Системы скользящей средней

Скользящая средняя для данного дня равна среднему значению цены закрытия данного дня и цен закрытая предыдущих N - 1 дней, где N равно числу дней, по которым вычисляется скользящая средняя. Напри­мер, 10-дневная скользящая средняя для данного дня будет равна сред­нему значению 10 цен закрытия, включая данный день. Термин «сколь­зящая средняя» отражает тот факт, что набор усредняемых чисел не­прерывно скользит во времени.

Поскольку скользящая средняя основывается на прошлых ценах, на растущем рынке скользящая средняя окажется ниже текущей цены, а на падающем — выше. Таким образом, когда ценовой тренд меняет на­правление с восходящего на нисходящее, цены обязаны пересечь сколь­зящую среднюю сверху вниз. Похожим образом, когда ценовой тренд меняет направление с нисходящего на восходящее, цены должны пере­сечь скользящую среднюю снизу вверх. В большинстве систем скользя­щей средней эти точки пересечения рассматриваются как торговые сиг­налы: сигнал к покупке возникает, когда цены пересекают скользящую среднюю снизу вверх; сигнал к продаже возникает, когда цены пере­секают скользящую среднюю сверху вниз. Пересечение должно опре­деляться исходя из цен закрытия. Табл. 17.1 иллюстрирует вычисление скользящей средней и показывает торговые сигналы, генерируемые этой простой схемой.

На рис. 17.1 показаны графики цен контракта на казначейские облигации с поставкой в декабре 1993 г. и соответствующей скользяшей средней. Сигналы на покупку и продажу, показанные буквами на графике, основаны на только что описанной простой системе пересе­чения цены и скользящей средней. (Пока не обращайте внимание на сиг­налы, обведенные ромбиками; значение этих сигналов будет объясне­но позже.) Отметьте, что хотя система улавливает основной восходя­щий тренд, она все-таки генерирует множество ложных сигналов. Ко­нечно, эта проблема может быть смягчена с помощью увеличения дли­ны скользящей средней, но тенденция к чрезмерной генерации ложных сигналов — это характерная черта системы пересечения цены и про­стой системы скользящей средней. Дело в том, что временные резкие флуктуации цены, весьма распространенные на рынке фьючерсов, ча­сто приводят к генерации сигналов, за которыми не следует развитие нового тренда.

Многие аналитики полагают, что проблема с системой простой скользящей средней заключается в том, что в ней одинаковы веса всех дней, в то время как более недавние дни важнее и, следовательно, дол­жны оцениваться как более весомые, идя построения скользящей сред­ней были предложены многочисленные различные весовые схемы. Два наиболее распространенных весовых подхода — это линейно взвешен­ная скользящая средняя LWMA (Linearly weighted moving avarage) и эк­споненциально взвешенная скользящая средняя EWMA (exponentially weighted moving avarage)*.

LWMA присваивает вес, равный 1, наиболее старой цене в сколь­зящей средней, следующей цене вес, равный 2, и т.д. Вес последней цены будет равен количеству дней в скользящей средней. LWMA рав­на сумме взвешенных цен, деленной на сумму весов. Это можно выра­зить с помощью уравнения:

где       t — индикатор времени (наиболее отдаленный день = 1, следующий за ним день = 2, и т.д.), Pt — цена в день t, n — число дней в скользящей средней.

Таблица 17.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ СКОЛЬЗЯЩЕЙ СРЕДНЕЙ

День	Цена закрытия	10-дневная скользящая средняя	Сигнал пересечения
1	80,50
2	81,00
3	81,90
4	81,40
5	83,10
6	82,60
7	82,20
8	83,10
9	84,40
10	85,20	82,54
11	84,60	82,95
12	83,90	83,24
13	84,40	83,49
14	85,20	83,87
15	86,10	84,17
16	85,40	84,45
17	84,10	84,64	Продавать
18	83,50	84,68
19	83,90	84,63
20	83,10	84,42
21	82,50	84,21
22	81,90	84,01
23	81,20	83,69
24	81,60	83,33
25	82,20	82,94
26	82,80	82,68	Покупать
27	83,40	82,61
28	83,80	82,64
29	83,90	82,64
30	83,50	82,68

Например, для 10-дневной LWMA цену 10-дневной давности сле­ дует умножать на 1, цену 9-дневной давности на 2 и т.д. вплоть до пос­ледней цены, которую следует умножать на 10. Сумму этих взвешен­ных цен затем следует поделить на 55 (сумма чисел от 1 до 10), чтобы получить LWMA.

EWMA вычисляется как сумма текущей цены, умноженной на сгла­живающий коэффициент а, и значения EWMA для предыдущего дня, умноженного на (1 - а). Значения коэффициента а могут изменяться от 0 до 1. Математически определение EWMA формулируется следую­щим образом:

Это реккурентное соотношение, согласно которому EWMA для каж­дого дня основывается на значении EWMA для предыдущего дня, оз­начает, что все предыдущие цены будут иметь некоторый вес, но вес для каждого дня экспоненциально уменьшается, по мере того как этот день отдаляется во времени. Вес для каждого отдельного дня вычисля­ется как:

a(1 - а)k,

где     k — номер дня, возрастающий по мере удаления в прошлое (для текущего дня k = 0 и вес равен просто а).

Поскольку значение а заключено между 0 и 1, вес каждого дня до­вольно быстро снижается с течением времени. Например, если а = 0,1, то вес вчерашней цены окажется равным 0,09, цена двухдневной дав­ности будет иметь вес 0,081, цена десятидневной давности будет ве­сить 0,035 и цена месячной давности получит вес 0,004.

Экспоненциально взвешенная скользящая средняя со сглаживающей константой а может быть грубо приближена простой скользящей сред­ней с длиной n, где а и n связаны следующей формулой:

а = 2/(n + 1), или

n = (2-а)/а.

Таким образом, например, экспоненциально взвешенная скользящая средняя со сглаживающей константой, равной 0,1, будет грубо прибли­жаться к 19-дневной простой скользящей средней. В качестве другого примера 40-дневная простая скользящая средняя будет грубо прибли­жать экспоненциально взвешенную скользящую среднюю со сглажива­ющей константой, равной 0,04878.

С моей точки зрения, нет сильных эмпирических оснований для поддержки идеи, что линейно или экспоненциально взвешенная скользящая средняя представляет собой самостоятельное и последователь­ное улучшение простой скользящей средней.

Рисунок 17.1.

ФЬЮЧЕРСЫ НА КАЗНАЧЕЙСКИЕ ОБЛИГАЦИИ С ПОСТАВКОЙ В ДЕКАБРЕ 1993 Г. И 35-ДНЕВНАЯ СКОЛЬЗЯЩАЯ СРЕДНЯЯ

Иногда лучше работают взвешенные усреднения; иногда — простые. Вопрос, какой метод при­ведет к лучшим результатам, будет полностью зависеть от рынков и выб­ранных периодов времени; нет никаких причин предполагать, что пре­имущество одной из систем в прошлом сохранится и в будущем. Иначе говоря, эксперименты с различными типами скользящих средних, веро­ятно, не предоставляют очевидно плодотворного пути в попытках улуч­шить систему пересечения цены и скользящей средней.

Как показывает опыт, эффективность торговли проще повысить, при­меняя метод пересечения двух скользящих средних. В этой системе тор­говые сигналы основываются на взаимодействии двух скользящих сред­них в противоположность взаимодействию между единственной скользящей средней и ценой.

Рисунок 17.2

ДЕКАБРЬ 1994, ХЛОПОК, 12-ДНЕВНАЯ СКОЛЬЗЯЩАЯ СРЕДНЯЯ

Замечания: В - сигнал к покупке: цена пересекает скользящую среднюю снизу вверх и закрывается выше нее; S - сигнал к продаже: цена пересекает скользящую среднюю сверху вниз и закрывается ниже нее.

Торговые правила здесь очень близки к прави­лам системы пересечения цены и скользящей средней: сигнал к покупке генерируется, когда более короткая скользящая средняя пересекает сни­зу вверх длинную скользящую среднюю; сигнал к продаже генерирует­ся, когда короткая скользящая средняя пересекает сверху вниз длинную скользящую среднюю. (В некотором смысле система пересечения сколь­зящей средней и цены эквивалентна системе пересекающихся скользя­щих средних, в которой длина короткой скользящей средней равна 1.) Поскольку торговые сигналы в системе пересекающихся скользящих средних основываются на двух сглаженных сериях (в противоположность одной сглаженной серии и цене), количество ложных сигналов очевидным образом снижается.

Рисунок 17.3.

ДЕКАБРЬ 1994, ХЛОПОК, 48-ДНЕВНАЯ СКОЛЬЗЯЩАЯ СРЕДНЯЯ

Замечания: В - сигнал к покупке: цена пересекает скользящую среднюю снизу вверх и закрывается выше нее; S - сигнал к продаже: цена пересекает скользящую среднюю сверху вниз и закрывается ниже нее.

Рис. 17.2- 17Л сравнивают торговые сигналы, сгенерированные системой пересечения цены и простой 12-дневной скользящей средней, системой пересечения цены и простой 48-дневной скользящей средней и системой пересечения 12- и 48-дневной скользя­щих средних. Вообще говоря, система пересечения скользящих средних намного более предпочтительна, чем пересечение цены и скользящей средней. (Тем не менее, следует отметить, что при использовании неко­торых модификаций в системе следования за трендом, даже система пе­ресечения цены и скользящей средней может являться ядром жизнеспо­собного подхода к торговле.) Недостатки системы пересекающихся скользящих средних и возможные пути ее улучшения обсуждаются ниже.

Рисунок 17.4.

ДЕКАБРЬ 1994, ХЛОПОК, ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ СКОЛЬЗЯЩИЕ СРЕДНИЕ

Замечания:     В - сигнал к покупке: краткосрочная скользящая средняя (12 дней) пересекает долгосрочную скользящую среднюю снизу вверх; S - сигнал к продаже: краткосрочная скользящая средняя пересекает долгосрочную скользящую среднюю сверху вниз.