Пусть в момент TI = 0 выпущено две облигации – А и В – с равным сроком обращения TМ - TI = 3 (здесь и далее параметры времени - в годах). Также бумаги А и В характеризуются следующими параметрами выпуска:
А:
тип бумаги – дисконтная,
номинал бумаги N1 = 2000$,
размер дисконта при выпуске – (N1- N01) / N1 = 30%.
В:
тип бумаги - процентная,
номинал бумаги N2 = 1000$,
размер дисконта при выпуске – (N2- N02) / N2 = 10%.
размер процента – DN2 / N2 = 15% годовых,
число процентных выплат К2 = 3 c частотой 1 раз в год.
Время принятия решения о формировании портфеля t = 1+0, плановый срок владения портфелем T = 1.5.
Поэтому доходности и риски измеряются на момент времени t + T = 2.5.
Не прибегая к квазистатистическому анализу шумов курсовых цен и их взаимной корреляции, заложим расчетные значения СКО шумов цен бумаг А и В, причем эти шумы считаем приведенными к стационарному виду по правилам, изложенным нами в предыдущем сообщении:
s01 = s02= s0 - (8.7)
треугольные нечеткие числа.
Также предположим что совместный статистический анализ нормализованных шумов случайных процессов доходностей бумаг А и В дает нам значение коэффициента корреляции r12.
Тогда ковариационная матрица доходностей на интервале t Î [1,3], имеет вид
где соответствующие параметры СКО определяются по формулам (6.14) и (6.34), но уже как нечеткие функции параметров t и T.
Задача состоит в том, чтобы исследовать свойства портфеля из бумаг А и В и найти такую их пропорцию, которая оптимизирует портфель в точке (t + T).
Решение задачи
1. Справедливая цена дисконтной бумаги А определяется соотношением
где
СКО шума цены бумаги А определяется по формуле
Среднеожидаемая доходность по бумаге за плановый период владения имеет вид
где C1(t) определяется по (3), а СКО случайной величины доходности бумаги А
где H1(t) – известное значение покупной цены бумаги А в момент времени t.
2. Справедливая цена дисконтной бумаги В определяется соотношением
Внутренняя норма доходности долгового инструмента r2 отыскивается как корень трансцендентного уравнения вида
а решение уравнения (6.9) дает
r2 = 0.540. (8.16)
Замечание. Здесь и далее договоримся, что купонный платеж производится в моменты времени, строго равные расчетным. Непосредственно сразу после платежа (в момент t + 0) справедливая цена бумаги падает ровно на размер купона, поэтому левые ограничения по переменной t в (8.14) выполняются как строгие неравенства. То есть мы определяем функцию (8.14) как непрерывную слева.
СКО шума цены бумаги B определяется по формуле
Среднеожидаемая доходность по бумаге за плановый период владения имеет вид
где m – число купонных платежей в интервале времени [ t,t+T ],
C2(t) определяется по (8.14), а
СКО случайной величины доходности бумаги В
где H2(t) – известное значение покупной цены бумаги В в момент времени t.
3. Тогда показатели среднеожидаемой доходности и риска портфеля имеют выражения
где х1 и х2 - соответственно доли бумаг А и В в объединенном портфеле, и выполняется
х1 + х2 = 1. (8.22)
В формулах (8.20) и (8.21) нами использована сокращенная запись.
4. Произведем упрощение формул (8.9) – (8.11), подставив в них значения t = 1, T = 1.5:
Для упрощения, не влияющего на ход наших рассуждений, мы полагаем H1(1) = C1(1), H2(1) = C2(1).
Тогда
При х1 = 0 
= 0.196, 
= 
А при х1 = 1 
= 0.130, 
= 
На рис. 8. 1 представлены эффективные границы портфелей из бумаг А и В, где вариантой выступает коэффициент корреляции r12. Видно, что при отрицательной корелляции бумаг на эффективной границе есть участок, где падение риска портфеля сопровождается ростом его доходности, и есть безусловный оптимум соотношения “доходность - риск”. А задача Марковица,
решаемая для двумерного случая, вырождается в поиск ординаты эффективной границы, соответствующей фиксированной абсциссе (выбор максимума доходности при заданном уровне риска или минимума риска при заданной доходности).
Рис. 8.1. Семейство кривых эффективной границы портфеля из двух облигаций
Если нарисовать эффективную границу для известных расчетных значений s0 и r12 как треугольных нечетких чисел, то граница приобретет вид криволинейной полосы.
