Пусть бумага данного вида эмиттирована в момент времени TI по цене N0 < N, где N – номинал ценной бумаги.
Тогда разница N – N0 составляет дисконт по бумаге. Параметрами выпуска также определен срок погашения бумаги TM, когда владельцу бумаги возмещается ее номинал в денежном выражении.
Пусть t – момент времени, когда инвестор собирается приобрести бумагу.
Определим ее справедливую рыночную цену С(t).
Это выражение и является трендом для случайного процесса цены бумаги.
Пусть время в модели дискретно, а интервал дискретизации - год. Бумага выпускается в обращение в начале первого года, а гасится в конце n – го. Тогда рыночная цена дисконтного инструмента, приобретаемого в начале (k+1) – го года обращения бумаги, имеет вид:
где r – внутренняя норма доходности долгового инструмента, определяемая по формуле:
Формула (6.1) предполагает, что на рынке имеются бумаги с той же самой внутренней нормой доходности, что и наша, которые при этом имеют реинвестируемые купонные платежи, а период реинвестирования равен одному году. Если бы не так, то расчет следовало бы вести по формуле, предполагающей, что период реинвестирования платежей совпадает с периодом обращения дисконтного инструмента.
Получим аналоги формул (6.1) и (6.2) для непрерывного времени, предполагая по ходу, что реинвестирование также идет в непрерывном времени с периодом бесконечно малой длительности. Это делается следующим образом.
Разобъем весь период обращения ценной бумаги [TI, TM] на интервалы числом n и длительностью
Обозначим t = TI + k * D и применим к расчету рыночной цены бумаги формулы (6.1) и (6.2).
Это дает:
Предельный переход в (6.4) и (6.5) при D ® 0 дает:
Рис. 6.1. Функция справедливой цены дисконтной облигации
Это и есть соотношение для справедливой цены дисконтной бумаги для непрерывного времени. Качественный вид функции (6.5) представлен на рис. 6.1.
Сделаем предположение о характере шума цены.
Для этого построим частную производную цены по показателю внутренней нормы доходности бумаги:
Видно, что чувствительность цены к колебаниям процентной ставки имеет нестационарный вид и убывает до нуля по мере приближения срока погашения бумаги.
Таким образом, резонно искать среднеквадратичное отклонение (СКО) шума как функцию вида:
Ожидаемый вид СКО представлен на рис. 6.2.
С практической точки зрения это означает следующее. Мы наблюдаем случайный процесс цен на бумаги, который можно обозначить H(t).
Тогда шум процесса имеет вид
где C(t) – тренд цены - определяется по (6.6).
Рис. 6.2. Ожидаемый вид функции СКО
Перейдем от нестационарного шума к стационарному введением корректирующего делителя
Тогда процесс e*(t) является стационарным, и в его сечении находится случайная величина с матожиданием 0 и с СКО s0. И определение фактического значения параметра s0 этого процесса может производиться стандартными методами.
Теперь посмотрим, что делается со случайной величиной доходности долгового инструмента, в процентах годовых:
где Т - период владения долговым инструментом.
Заметим здесь, что рыночная цена H(t), измеренная в момент t, не рассматривается нами как случайная величина, так как ее значение в этот момент известно. Эта же цена неизвестна в будущем времени (t + T) и является случайной величиной, которая имеет нормальное распределение с матожиданием С(t + T) и СКО s (t + T) (эти функции вычисляются по формулам (6.6) и (6.9)).
Cлучайный процесс доходности на интервале [t, t+T] в сечении имеет параметры:
Рассмотрим пример анализа доходности дисконтной облигации.