d9e5a92d

Дисконтные облигации и векселя


 

Пусть бумага данного вида эмиттирована в момент времени TI по цене N0 < N, где N – номинал ценной бумаги.

Тогда разница N – N0  составляет дисконт по бумаге. Параметрами выпуска также определен срок погашения бумаги  TM, когда владельцу бумаги возмещается ее номинал в денежном выражении.

 

Пусть t – момент времени, когда инвестор собирается приобрести бумагу.

Определим ее справедливую рыночную цену С(t).

Это выражение и является трендом для случайного процесса цены бумаги.

 

Пусть время в модели дискретно, а интервал дискретизации  - год. Бумага выпускается в обращение  в начале первого года, а гасится в конце n – го. Тогда рыночная цена дисконтного инструмента, приобретаемого в начале (k+1) – го года обращения бумаги,  имеет вид:

 

               

 

где r – внутренняя норма доходности долгового инструмента, определяемая по формуле:

 

 

Формула (6.1) предполагает, что на рынке имеются бумаги с той же самой внутренней нормой доходности, что и наша, которые при этом имеют реинвестируемые купонные платежи, а период реинвестирования равен одному году. Если бы не так, то расчет следовало бы вести по формуле, предполагающей, что период реинвестирования платежей совпадает с периодом обращения дисконтного инструмента.



Получим аналоги формул (6.1) и (6.2) для непрерывного времени, предполагая по ходу, что реинвестирование также идет в непрерывном времени с периодом бесконечно малой длительности. Это делается следующим образом.

 

Разобъем весь период обращения ценной бумаги [TI, TM] на интервалы числом  n и длительностью

 

 

Обозначим  t = TI + k * D и применим к расчету рыночной цены бумаги формулы (6.1) и (6.2).

Это дает:

 

 

 

Предельный переход в (6.4) и (6.5) при D ® 0 дает:

 

 

 

 

Рис. 6.1. Функция справедливой цены дисконтной облигации

 

Это и есть соотношение для справедливой цены дисконтной бумаги для непрерывного времени. Качественный вид функции (6.5) представлен на рис. 6.1.

Сделаем предположение о характере шума цены.

 

Для этого построим частную производную цены по показателю внутренней нормы доходности бумаги:

 

 

Видно, что чувствительность цены к колебаниям процентной ставки имеет нестационарный вид и убывает до нуля по мере приближения срока погашения бумаги.

 

Таким образом, резонно искать среднеквадратичное отклонение (СКО) шума как функцию вида:

 

 

Ожидаемый вид СКО представлен на рис. 6.2.

 

С практической точки зрения это означает следующее. Мы наблюдаем случайный процесс цен на бумаги, который можно обозначить H(t).

 

Тогда шум процесса имеет вид

 

 

где C(t) – тренд цены - определяется по (6.6).

 

 

Рис. 6.2. Ожидаемый вид функции СКО

 

Перейдем от нестационарного шума к стационарному введением корректирующего делителя

 

 

Тогда процесс e*(t) является стационарным, и в его сечении находится случайная величина с матожиданием 0 и с СКО s0. И определение фактического значения параметра s0 этого процесса может производиться стандартными методами.

 

Теперь посмотрим, что делается со случайной величиной доходности долгового инструмента, в процентах годовых:

 

 

 

где Т - период владения долговым инструментом.

 

Заметим здесь, что рыночная цена H(t), измеренная в момент t, не рассматривается нами как случайная величина, так как ее значение в этот момент известно. Эта же цена неизвестна в будущем времени (t + T) и является случайной величиной, которая имеет нормальное распределение с матожиданием С(t + T)  и СКО s (t + T) (эти функции вычисляются по формулам (6.6) и (6.9)).

 

Cлучайный процесс доходности на интервале [t, t+T] в сечении имеет  параметры:

 

 

 

Рассмотрим пример анализа доходности дисконтной облигации.

 

 




Содержание раздела