Нечеткие классификаторы и матричные схемы агрегирования данных
Определим в качестве носителя лингвистической переменной отрезоквещественной оси [0,1]. Любые конечномерные отрезки вещественной оси
могут быть сведены к отрезку [0,1] путем простого линейного
преобразования, поэтому выделенный отрезок единичной длины носит
универсальный характер и заслуживает отдельного термина. Назовем
носитель вида [0,1] 01- носителем.
Теперь введем лингвистическую переменную «Уровень показателя»
с терм-множеством значений «Очень низкий, Низкий, Средний, Высокий,
Очень Высокий». Для описания подмножеств терм-множества введем
систему из пяти соответствующих функций принадлежности
трапециедального вида:
Везде в (2.30) х . это 01.носитель. Построенные функции
принадлежности приведены на рис. 2.6.
Рис. 2.6. Система трапециевидных функций принадлежности на 01-носителе
0.7, 0.9), которые являются, с одной стороны, абсциссами максимумов
соответствующих функций принадлежности на 01-носителе, а, с другой
стороны, равномерно отстоят друг от друга на 01-носителе и симметричны
относительно узла 0.5. Тогда введенную лингвистическую переменную «Уровень фактора»,
определенную на 01-носителе, в совокупности с набором узловых точек
здесь и далее будем называть стандартным пятиуровневым нечетким 01-
классификатором.
Сконструированный нечеткий классификатор имеет большое значение
для дальнейшего изложения. Его суть в том, что если о факторе неизвестно
ничего, кроме того, что он может принимать любые значения в пределах 01-
носителя (принцип равно предпочтительности), а надо провести ассоциацию
между качественной и количественной оценками фактора, то предложенный
классификатор делает это с максимальной достоверностью. При этом сумма
всех функций принадлежности для любого х равна единице, что указывает
на непротиворечивость классификатора.
Если при распознавании уровня фактора эксперт располагает
дополнительной информацией о поведении фактора (например,
гистограммой), то классификация фактора в общем случае не будет иметь
стандартного вида, потому что узловые точки классификации и
соответствующие функции принадлежности будут лежать несимметрично на
носителе соответствующего фактора.
Также, если существует набор из i=1..N отдельных факторов со своими
текущими значениями xi, и каждому фактору сопоставлен свой
пятиуровневый классификатор (необязательно стандартный, необязательно
определенный на 01-носителе), то можно перейти от набора отдельных
факторов к единому агрегированному фактору A_N, значение которого
распознать впоследствии с помощью стандартного классификатора.
Количественное же значение агрегированного фактора определяется по
формуле двойной свертки:
Из формулы (2.31) становится понятным назначение узловых точек в
нечетком классификаторе. Эти точки выступают в качестве весов при
агрегировании системы факторов на уровне их качественных состояний. Тем
самым узловые точки осуществляют сведение набора нестандартных
классификаторов (со своими не симметрично расположенными узловыми
точками) к единому классификатору стандартного вида, с одновременным
переходом от набора нестандартных носителей отдельных факторов к
стандартному 01-носителю.
Можно построить матрицу, где по строкам расположены факторы, а по
столбцам . их качественные уровни. На пересечении строк и столбцов лежат
значения функций принадлежности соответствующих качественных
уровней. Дополним матрицу еще одним столбцом весов факторов в свертке
pi и еще одной строкой с узловыми точками j. Тогда для расчета
агрегированного показателя A_N по (2.31) в полученной матрице собраны
все необходимые исходные данные. Поэтому предлагаемую здесь схему
агрегирования данных целесообразно назвать матричной.
Матричные схемы на основе пятиуровневых классификаторов уже
давно и довольно успешно применяются для комплексной оценки уровня
функционирования многофакторных систем, в том числе и финансовых
(например, финансов корпорации). Об этом речь будет идти в главах 3, 5 и 8
настоящей книги.
Все изложение данного параграфа базируется на пятиуровневом
классификаторе. На самом же деле, уровней в классификаторе может быть
произвольное число, и все определяется лишь удобством моделирования.
Простейший классификатор . бинарный (хорошо-плохо, высоко-низко), но
он представляется слишком грубым, т.к. не фиксирует характерного
среднего положения, вокруг которого и группируется большинство
количественных состояний в реальной жизни. Отвлеченная аналогия:
крайности жизни особенно выпукло наблюдаются с позиций мещанской
середины (об этом «Степной Волк» Г.Гессе). Поэтому целесообразно
говорить о стандартном трехуровневом нечетком 01-классификаторе
(состояния Низкий, Средний, Высокий) с функциями принадлежности
следующего вида (рис. 2.7):
Рис. 2.7. Трехуровневая 01-классификация
Итак, изложение базовых формализмов теории нечетких множеств
завершено. Посмотрим, чем все-таки они могут нам помочь.
Содержание раздела
