а) Паритет европейских опционов пут и колл
душ акций, не выплачивающих дивиденды
Определим взаимосвязь между рe и се, которая носит название
паритета опционов пут и колл. Значение паритета состоит в том,
что, приравнивая друг к другу опционы пут и колл, имеющие
одинаковые цены исполнения и сроки истечения контрактов,
можно, зная, например, величину премии опциона пут, определить цену опциона колл и наоборот. Если условия паритета не
выдерживаются, то возникает возможность получить прибыль за
счет арбитражной операции. Рассмотрим вышесказанное более
детально.
Предположим, имеется два портфеля — А и Б. Портфель А
состоит из одного европейского опциона колл и облигации с нулевым купоном, равной Xе-rT. В портфель Б входит один европейский опцион пут и одна акция. Если к моменту истечения
контракта Р > X, то портфель А равен Р и портфель Б также равен
Р. Если Р ≤ X, то портфели А и Б равны X. Таким образом, в конце
периода T оба портфеля имеют одинаковую стоимость. Поэтому
можно сделать вывод, что в начале периода Т стоимость их также
Должна быть равна то есть:
Указанное равенство носит название паритета опционов пут и
колл.
Пример. S = 42 долл., Х=40долл., r — 10%, срок контрактов —
3 месяца, се =3,5 долл. Определить стоимость pe.
Она равна:
се + Xe-rT = 3,5 долл. + 40 долл. е-0,1×0,25 = 42,5 долл.
ре = 42,51 долл. – 42 долл. = 0,51 долл.
Предположим теперь, что цена ре завышена и составляет не 0,51
долл., а 1 долл.
В этом случае открывается возможность совершить следующую арбитражную операцию. Арбитражер покупает европейский опцион колл и продает европейский опцион пут и акцию,
заняв ее у брокера. В результате он получает сумму:
-3,5 долл. + 1 долл. + 42 долл. = 39,5 долл.
и инвестируетее под ставку без риска на три месяца:
39,5 долл. е0,1 ×0,25 = 40,5 долл.
Если по окончании срока контрактов Р> 40 долл., то арбитражер
исполнит опцион колл, то есть купит акцию за 40 долл. В этом
случае его прибыль от данной операции составит:
40,5 долл. - 40 долл. = 0,5 долл.
Если Р < 40 долл., то будет исполнен опцион пут. Арбитражер
купит у контрагента акцию за 40 долл. и получит прибыль от
операции в размере:
40,5 долл. — 40 долл. = 0,5 долл.
Допустим теперь, что цена опциона пут занижена и равна 0,2
долл. Тогда инвестор продает опцион колл и покупает опцион пут
и акцию. Для этого он занимает под ставку без риска сумму в
размере:
0,2 долл. + 42 долл.-3,5 долл. = 38,7 долл.
Через три месяца он должен вернуть кредитору сумму, равную:
38 долл.е0,1 ×0,25 = 39,68 долл.
При Р < 40 долл. арбитражер исполняет опцион пут и получает
прибыль:
40 долл. -39,68 долл. = 0,32 долл.
При Р > 40 долл. контрагент исполняет опцион колл, то есть
арбитражер продает ему акцию за 40 долл. Вновь его прибыль
составит:
40 долл.-39,68 долл. = 0,32 долл.
б) взаимосвязь между премиями американских опционов
пут и колл для акций, не выплачивающих дивиденды
Паритет существует только для европейских опционов пут и
колл. В то же время можно установить определенную взаимосвязь
между американскими опционами пут и колл.
Теперь сравним два портфеля — А и Б. Портфель А состоит из
одного американского опциона пут и одной акции. В портфель Б
входит один европейский опцион колл и облигация с нулевым
купоном, равная X, эмитированная под процент er на период Т.
Опционы имеют одинаковую цену исполнения и срок контрактов
равен Т. Предположим, что опцион пут не исполняется раньше
срока истечения контракта. Если в конце периода ТР > X, опцион
пут не исполняется, и портфель А стоит Р. Если Р < X, то опцион
исполняется и портфель равен X.
Если Р >X, исполняется опцион колл портфель Б равен
(P -Х)+ХеrT . При Р < X портфель равен ХеrT Таким образом в
обоих случаях портфель Б стоит больше портфеля А.
Предположим, что имеет место раннее (время t) исполнение
американского опциона пут. Это означает, что Р < Х и портфель А
равен X. Портфель Б в этот же момент стоит как минимум, если
предположить, что са = 0, Xert. Таким образом, портфель Б вновь
стоит больше портфеля А. Вышесказанное наглядно представлено
в таблице 28.
Таблица 28
в) Паритет опционов для акций, выплачивающих дивиденды
Рассмотрим два портфеля. Портфель А состоит из одною европейского опциона колл, облигации с нулевым купоном X е-rT и
суммы денег D. В портфель Б входят один европейский опцион пут
и одна акция. В конце периода T стоимость портфелей будет равна
(см. табл. 29).
Таблица 29
Следовательно, мы можем записать, что в начале периода Т
Данное равенство представляет собой паритет опционов пут и
колл, в основе которых лежат акции, выплачивающие дивиденды.
г) Взаимосвязь американских опционов пут и колл
для акций, выплачивающих дивиденды
Рассмотрим портфели А и Б. Портфель А состоит из одного
европейского опциона колл, облигации с нулевым купоном, равной X, эмитированной под процент r, и суммы D. В портфель Б
входят один американский опцион пут и одна акция. Как следует
из таблицы 30, портфель А в конце периода T стоит больше портфеля Б.
Поэтому правомерно записать, что и в начале этого периода
ca - pa< S - Xe -rT
Данные условия выдерживаются и для акций, выплачивающих
дивиденды, поскольку выплата дивидендов уменьшает премию
американского опциона колл и увеличивает премии американского опциона пут. В итоге взаимосвязь между американскими опционами пут и колл принимает следующий вид:
S -X -D < са - ра < S -Хе-rТ
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
Опцион колл с более низкой ценой исполнения должен стоить
дороже опциона с более высокой ценой исполнения. Опцион пут
с более низкой ценой исполнения должен стоить дешевле опциона
с более высокой ценой исполнения.
Цена американских опционов колл и пут возрастает по мере
увеличения периода действия контрактов. Нельзя однозначно настаивать на данном утверждении применительно к европейским
опционам. Выплата дохода на актив в течение действия европейского опциона может привести к тому, что опцион с более близкой
датой истечения будет стоить дороже опциона с более отдаленной
датой истечения.
Опцион на актив, цена которого имеет более высокое стандартное отклонение, должен стоить дороже опциона с меньшей величиной стандартного отклонения.
Между ценами европейских опционов пут и кол на активы,
выплачивающие и не выплачивающие доход, существуют паритетные отношения. Если условия паритета не выдерживаются, то
открываются возможности для арбитражных операций.
