Ценообразование А-опционов и их "производных" на нейтральном к риску рынке
Если предполагать рынок нейтральным к риску, то аналогично однопериодному случаю можно предложить формулу ценообразования A-опционов. Так, для варианта A-опциона с вектором a°, все компоненты которого равны +1, естественно положить
Г
де r – относительный доход от инвестиции за весь горизонт инвестирования.
Дифференцируя по всем переменным xi однократно и двукратно, получим стоимости "первой производной" и "второй производной" этого A-опциона соответственно (еще раз подчеркнем, что фактически речь идет о смешанных производных n-го и 2n-го порядков соответственно):
и
Из равенства (13) нетрудно получить соотношение, обобщающее формулу (2) из [1], задающую стоимость опциона пут через функцию распределения цены актива. Если обозначить через Rn(E) квадрант {x xi £ Ei, i Î T} n-мерного евклидова пространства Rn, то равенство (13) можно записать в виде
(2)и
.
Рассмотрим теперь произвольный вектор a и пусть I = {i1, i2,…, ik} – множество всех тех индексов iÎT , для которых ai = +1. Введем векторы EI и xI размерности I = k как совокупности координат векторов E и x, соответствующих множеству индексов I. Отметим очевидное условие согласованности частных функций распределения F(xI), определенных для всех подмножеств IÍT: если iÏI, то F(xI, xi = +¥) = F(xI).
Используя формулы (9) и (10), можно записать следующее соотношение для стоимости "первой производной" опциона A(E, a), обобщающее соотношение (14) для произвольного вектора a:
50%'>Доказательство этого соотношения повторяет доказательство известного соотношения теории вероятностей для вероятности объединения событий и потому опускается. Далее, можно заметить, что знак s(a) (формула (10)) совпадает со знаком перед F(E) в последней формуле. Поэтому, меняя порядок слагаемых в ее правой части на обратный, получаем иное представление:
(3)
