Статистика Херста
Нелинейная динамика позволяет устанавливать, сколько переменных необходимо для их описания, сколько переменных нужно для прогнозирования, каким должен быть их мониторинг, т.е. пытается вычленить те элементы, которые оказывают определяющее воздействие на динамические процессы в подобных системах. Ученые принялись за разработку новых поколений моделей и алгоритмов, оперирующих массивами этих переменных, и прогностическая деятельность постепенно стала переходить из разряда любительской в профессиональную: быстрыми темпами пошло развитие индустрии прогноза. В центре внимания прогнозистов сейчас прежде всего находятся описание и предсказание редких катастрофических событий не только в природе, но ив обществе. Философы и социологи часто называют современную цивилизацию обществом риска.
А в дальнейшем, с развитием научно-технического прогресса, повсеместным внедрением био-, инфо- и прочих неотехнологий, спектр рисков и возможные масштабы катастроф будут только увеличиваться. В этой связи все более актуальной становится задача управления рисками -прогнозирования и предупреждения всякого рода катаклизмов. Связь между идеями нелинейной динамики и управлением рисками стала ясна недавно. Осознать ее помогла парадоксальная статистика техногенных катастроф.
С помощью математического аппарата нелинейной динамики было показано, что все образчики чудовищного невезения, сопутствующего прогрессирующему человечеству, вроде аварии на комбинате Маяк, чернобыльского взрыва или гибели Кон корда зачастую подчиняются неким универсальным сценариям возникновения хаоса из упорядоченного состояния, т.е. представляют из себя вариации на тему вышеописанного третьего класса процессов с ограниченной предсказуемостью. Еще в начале XIX века Карл Гаусс установил, что вероятность распределения случайных величин достаточно часто описывается одним и тем же математическим выражением, получившим позже его имя. Соответствующая распределению Гаусса кривая показывает, что большие отклонения от средних величин редки, ими можно пренебречь.
Однако существует и множество других вероятностных распределений, в том числе степенные. Хвосты этих распределений убывают гораздо медленнее, за что они получили название распределений с тяжелыми хвостами. В этом случае вероятности отклонений от средних величин уже существенно больше по сравнению с распределением Гаусса. Если бы человеческий рост был распределен по такому закону, мы бы жили в мире сказок братьев Гримм, регулярно сталкиваясь на улицах с великанами и карликами.
Еще в середине ЗQ-х годов создатель знаменитой шкалы землетрясений Чарльз Рихтер высказал предположение, что именно распределения с тяжелыми хвостами ответственны за катастрофы. В дальнейшем теория риска установила, что этот закон распределения вероятностей имеет фундаментальный характер для процессов, подпадающих под категорию катастрофических. Сегодня исследователи сходятся во мнении, что степенные распределения с тяжелыми хвостами описывают не только природные, но и разнообразные техногенные катастрофы: аварии на атомных станциях и химических предприятиях, разрывы трубопроводов, неполадки в компьютерных сетях, более того, ими в значительной степени определяется развитие биосферы и поведение финансовых рынков.
Степенная статистика существенно отличается от нормальной (это еще одно название Гауссового распределения). Степенная статистика описывает явления, при которых ущерб от одного самого крупного события может превосходить ущерб от всех остальных событий этого класса вместе взятых. Ответ на вопрос, откуда берется степенная статистика, удалось получить благодаря новой парадигме нелинейной динамики - теории сложности и построенной в ее рамках теории самоорганизованной критичности. Для всех степенных распределений общим является возникновение длинных цепочек причинно-следственных связей: одно событие может повлечь другое, третье и т.д., в результате чего происходит лавинообразный рост изменений, затрагивающих всю систему.
Причем окончание лавины изменений - переход к новому состоянию равновесия - может произойти не скоро. Исследование сложных систем, демонстрирующих самоорганизованную критичность (т.е. все тех же систем, относящихся к классу процессов с ограниченным горизонтом прогноза), показало, что такие системы сами по себе стремятся к критическому состоянию, в котором возможны лавины любых масштабов.
Поскольку к системам такого сорта относятся биосфера, общество, инфраструктуры различного типа, военно-промышленный комплекс, множество других иерархических систем, результаты теории самоорганизованной критичности очень важны для анализа управляющих воздействий, разработки методов прогнозирования и упреждающей защиты от этих явлений. Именно на базе нелиней ной динамики теория рисков выработала своеобразную технику работы с незнанием, направленную на поиски закономерностей поведения произвольной нелинейной системы как целого. Оказывается, компьютерный анализ большого массива статистических данных позволяет выявить так называемые предвестники катастроф.
Даже незначительный рост этих медленно меняющихся величин, рассчитываемых по определенным сложным формулам, сигнализирует о надвигающейся опасности. Одним из первых идею о подобном применении методов нелинейной динамики высказал более 20 лет назад Владимир Кейлис-Борок (ныне - академик РАН, директор Международного института теории прогноза землетрясений и математической геофизики). Под его руководством был создан алгоритм прогноза, основанный на накопленных за многие годы данных сейсмической активности.
Этот метод получил название М8, поскольку предназначался для прогноза достаточно сильных (более чем в 8 баллов) землетрясений. С 1985 года началось систематическое применение разработанного российскими учеными алгоритма. За это время было успешно предсказано пять из семи происшедших крупнейших землетрясений, в том числе Спитакское и Калифорнийское.
Впрочем, удачные предсказания едва ли могут серьезно облегчить работу соответствующим службам спасения: точность данного метода крайне невелика - прогноз выдается с неопределенностью по времени в один - два года и с неопределенностью в пространстве в 200... 400 км. Не слишком успешно применение данного метода и к прогнозу землетрясений слабее 8 баллов.
Но даже с учетом этих оговорок продемонстрированная алгоритмом Т8 возможность предсказывать землетрясения за несколько лет до их наступления представляется серьезным научным достижением. Более того, уже обкатанный на прогнозе природных катаклизмов алгоритм был применен Кейлис-Бороком с сотрудниками и в социально-экономической сфере. В рамках метода Т8 анализировались экономические рецессии в США с 1963 года по 1997 год. 3а основу были взяты 9 ежемесячных характеристик экономики США - объем ВВП, суммарный личный доход граждан, уровень безработицы и др.
Расчеты на базе этих данных позволяли определить так называемые промежутки тревоги - периоды времени, за которыми должны были последовать рецессии. И действительно, все пять рецессий, происходивших с 1963 года по 1997 год, предварялись периодами тревоги.
В одном случае тревога длилась 13 месяцев, в другом - 10, а в оставшихся трех случаях - по 3 месяца. Правда, данное исследование было ретроспективным, и пока вопрос о будущих катаклизмах в американской экономике группа Кейлис-Борока не изучала.
Наиболее яркий пример взаимопроникновения точного естествознания и наук об обществе - возникшее в середине 90-х годов новое междисциплинарное направление, эконофизика. Официальной датой ее рождения считается 1997 год, когда в Будапеште была проведена первая эконофизическая конференция, а начиная с 1999 года Европейское физическое общество поставило организацию конференций Применение физики в финансовом анализе на поток - в декабре этого года в Лондоне состоится уже третья по счету тусовка эконофизиков.
Многочисленные зарубежные адепты новомодной дисциплины (подавляющее их большинство по образованию - физики), вооружившись методами нелинейной динамики, сегодня активно вторгаются в заповедную зону экономической науки - в анализ и прогнозирование разнообразных финансовых потрясений (ибо, как мы уже отмечали, финансовые рынки, согласно представлениям нелинейной динамики, - всего лишь одна из вариаций третьего класса процессов, систем с ограниченной предсказуемостью). Характерный пример подобных попыток - недавние исследования группы Дэвида Лэмпера из Оксфордского университета.
Лэмпер создал модель, позволяющую, по его мнению, эффективно предсказывать финансовые катастрофы. Его модель базируется на анализе стандартной системы, состоящей из множества игроков, конкурирующих друг с другом за ограниченные ресурсы.
Всеобщая взаимозависимость поведения игроков приводит к тому, что система в целом оказывается очень чувствительной к небольшим флуктуациям. И хотя подавляющее их большинство так и остается малозначимым для рынка, отдельные мелочи способны вызвать лавины изменений. Декларируемая новизна подхода Лэмпера состоит в том, что ему якобы удалось нащупать очаги будущей катастрофы (те самые предвестники, выявление которых -важнейшая задача рискового прогнозирования) - ими оказались так называемые коридоры предсказуемости, внутри которых краткосрочные изменения параметров рынка с высокой степенью определенности соответствуют рациональным ожиданиям. Как ни странно, именно эти небольшие периоды повышенной предсказуемости поведения рынка зачастую предвещают последующие серьезные катаклизмы.
С результатами его компьютерного моделирования вполне коррелирует и другое недавнее исследование флуктуаций финансовых рынков, проведенное Рикардо Мансиллой (Национальный университет Мехико). Мансилла также пришел к выводу, что непосредственно перед резкими изменениями на рынке возрастает предсказуемость. Лавинообразный рост исследований, наблюдающийся в последние годы в сфере анализа и прогнозирования процессов с ограниченной предсказуемостью, безусловно, в значительной степени объясняется увеличением вычислительной мощи используемых при моделировании этих процессов компьютеров.
Однако, по мнению ведущего отечественного специалиста в данной области, заместителя директора Института прикладной математики РАН профессора Георгия Малинецкого, оптимистические ожидания, типичные для нашего общества, связывающего слишком много надежд с компьютерными технологиями, пока явно опережают реальный прогресс в этой научной сфере: Вначале предполагалось, что автоматизированные системы управления позволят резко повысить эффективность экономики. Но экономика оказалась не готова к этому. Большие надежды возлагались на вычислительный эксперимент, связанный с компьютерным решением различных уравнений. Но выяснилось, что для описания многих важных объектов у нас нет соответствующих уравнений, а если они и есть, то определение коэффициентов и настройка модели сами по себе представляют исключительно сложную задачу.
Ахиллесовой пятой алгоритмов прогноза для социально-экономических систем и задач по управлению риском являются данные. Для того чтобы „научить соответствующие компьютерные системы, нужно иметь длинные ряды достоверных и достаточно точных данных, характеризующих различные стороны изучаемого объекта. Пока этого практически нигде нет.
Только восполнив этот пробел, можно существенно повысить качество прогноза.
Статистика Херста
Эконофизика и фрактальный анализ
Эконофизика использует современный математический аппарат нелинейной динамики и статистической физики, чем принципиально отличается от эконометрики, основанной на линейных моделях. В настоящее время преимущества использования современных физических концепций для описания и анализа финансовых систем не требуют дополнительных доказательств. Взаимный интерес физиков и экономистов к совместным исследованиям оказался обеспеченным большим количеством баз экономических данных и появлением новых физических результатов и парадигм, таких как критические явления, неупорядоченные системы, системы с нелинейной динамикой. Усилия многих исследователей направлены на анализ больших массивов эмпирических данных по обменным курсам валют, ценам акций, функционированию отдельных секторов финансового рынка.
Математический аппарат включает методики корреляционного анализа, выявление тренда, мультифрактального анализа. Приложение к управлению рисками и прогнозированию осуществляется путем выявления аттракторов, определения ранних симптомов обвала рынка.
Для моделирования финансового рынка используются многоагентные (тиій-адепіt) и перколяционые модели. Рассматривается универсальность скейлинговых закономерностей во флуктуациях активов компаний, статистические распределения дохода фирм.
Пристальное внимание уделяется результатам стохастического моделирования априорных ожиданий, новым подходам к определению цен опционов, анализу Леви-процессов в динамике цен. Сложившаяся в эконофизике ситуация во многом напоминает начальную стадию развития термодинамики и квантовой механики. По общему мнению, эконофизический подход к финансам должен в целом стать значительно более прибыльным, чем интуитивное прогнозирование, хотя в настоящее время нет достоверной информации о том, что кто-то сумел заработать большие деньги на данных теориях. Значительное увеличение количества научных статей, монографий, конференций за последние 4 года демонстрируют растущую популярность эконофизики.
Согласно журналу Института физики Великобритании, финансовый сектор экономики стал одним из основных работодателей молодых физиков-теоретиков. Так одним из направлений эконофизики является фрактальный анализ структуры рынка (в т.ч. финансового), который показывает, что его общая емкость имеет тенденцию к бесконечному росту: суммарный объем мелких рыночных ниш может превышать суммарный объем крупных, поскольку чем меньше размер ниш, тем в большем количестве они присутствуют на рынке. Зная расположение незанятого пространства на рынке, можно расположить там новых агентов с соответствующим набором услуг и оборотом. При этом будет получена новая, более плотная конфигурация рыночной структуры.
Такая процедура может продолжаться бесконечно. Практический интерес представляет получение плотных, оптимальных по заполнению конфигураций, размер ниш которых варьируется в ограниченных пределах.
Представление многоукладного рынка как масштабируемой структуры взаимодействующих рыночных ниш позволяет оценить его емкость и структурировать как финансовую, так и производственно-торговую сферы. Совокупность действующих на рынке однородных агентов описывается распределением численных значений их характеристик.
Известно, что сумма независимых случайных величин подчиняется вполне определенному закону, который назван распределением Гаусса. Вдали от среднего значения кривая Гаусса очень быстро убывает, большие отклонения столь редки, что ими пренебрегают. Однако выяснилось существенное значение и другого класса законов - степенное распределение (распределение Парето), описывающее фрактальные объекты (ТаndеIЬгоt, The Fractal GeOTetry, 1982). Здесь хвост убывает гораздо медленнее, большие отклонения более вероятны и ими пренебрегать нельзя.
Отличительной особенностью фрактальных распределения является бесконечная дисперсия. Именно такова, в частности, статистика биржевых крахов и многих других событий в экономике.
Сами фрактальные распределения известны достаточно давно. В экономической литературе они носят названия Парето, или Парето-Леви, или устойчивые паретовские распределения.
Их свойства были изучены Леви и опубликованы в 1925 г. Работа Леви базировалась на наблюдениях Парето (1897), касающихся негауссового характера распределения доходов в области больших отклонений от среднего (3% наивысших доходов). Негауссово распределение характерно практически для всех экономических параметров, в том числе: курсы акций на бирже, цена золота, соотношение курсов валют, динамика розничных продаж и др. (Peters, Fractal Tarket Analysis, 1994; Tandelbrot, Оп Dollars, Tarks, 1997).
Каждый из параметров имеет свой странный аттрактор в фазовом пространстве. Аттрактор может быть охарактеризован соответствующим значением фрактальной размерности. Оказалось, что рынки обыкновенных акций США, Англии и Германии имеют фрактальную размерность между 2 и 3. Это означает, что их динамика может быть смоделирована с использованием всего трех независимых параметров.
Японский рынок акций сложнее - его фрактальная размерность равна 3.05 (и нужны 4 переменных для моделирования).
Показатель Херста
Таким образом, одна из центральных характеристик, позволяющих отличать фракталы друг от друга - это их размерность, которая описывает, как объект заполняет пространство и является продуктом всех влияющих на этот процесс факторов. Для экономики размерность определяет, например, как та или иная компания будет реагировать на микро- и макроэкономические изменения рынка. Поэтому акции двух компаний с одинаковой волатильностью (стандартным изменением стоимости ценной бумаги) могут очень по-разному реагировать на одни и те же новости и, соответственно, иметь совершенно разные модели прибыли по причине разных видов производства, состояний финансовых балансов и кадровых перспектив. В результате нелинейных законов, по которым могут быть приняты решения на финансовых рынках, график динамики рыночных цен и других показателей имеет вид смещенных случайных блужданий.
Впервые эти процессы обнаружил и описал египетский гидролог Херст, разрабатывавший в первой половине ХХ века стратегию резервуарного контроля для Нильских резервуаров: его задача состояла в том, чтобы придумать алгоритм спуска воды из резервуаров так, чтобы они никогда не переполнялись и никогда не становились пустыми. Строя этот алгоритм, Херст выявил закономерность, по которой поднимался и опускался уровень воды в Ниле. Расширив это исследование, Херст показал, что большинство естественных явлений, включая речные стоки, температуру, осадки, солнечные пятна, следуют смещенному случайному блужданию, то есть тренду с шумом. В дальнейшем выяснилось, что динамика показателей на рынках капитала столь же естественное явление, что и вода в Ниле, и также подчиняется этому закону.
Херст вывел уравнение для этих нелинейных процессов. Оно выглядит так:
С = 22Н-1 - 1
где С - мера корреляции, а Н - показатель Херста. Имеются три различных классификации для различных показателей Херста : при Н = 0,5 получается истинно случайный ряд чисел, то есть события случайны и не коррелированны. Правая часть уравнения обращается в нуль и настоящее не влияет на будущее. при О Н 0,5 происходит так называемый возврат к среднему: если система растет в какой-то период, то в следующий период надо ожидать спада. Если вчера шло снижение цен, то завтра ждите их повышения.
Чем ближе Н к нулю, тем устойчиве эти колебания. Но таких процессов в реальности очень мало. в реальности обычно 0,5 Н 1 - и это трендоустойчивые ряды. То есть если ряд начал возрастать, ждите, что он будет возрастать и дальше, если он убывает сегодня, завтра тоже будет убывать. Трендоусточивость тем больше, чем ближе Н к 1, потому что чем больше корреляция между процессами, тем более одинаково они себя ведут.
Чем ближе Н к 0,5, тем более зашумленный и менее выраженный тренд получается на выходе. Интересно, что для имитации смещенного случайного блуждания Херст использовал колоду из 52 карт, пронумерованную числами +1,-1, +2, -2, +3, -3, +5, -5, +7, -7, поделенных по картам так, чтобы комплект давал нормальное распределение. .Херст провел на этой колоде шесть тысяч экспериментов, имитировавших случайные блуждания и получил свой коэффициент Херста Н = 0,714+/-0,091.
Приблизительно такую же величину он получал в итоге природных наблюдений за естественными нелинейными процессами вроде воды в Ниле. В имитаторе Херста случайное событие (он перемешивал колоду и после этого делил ее пополам) определяет степень смещения.
Другое случайное событие (он добавлял джокер в одну из половинок колоды) обусловливает длину смещенного пробега. Однако эти два случайных события имеют пределы.
Степень смещения находится в границах +/-7, в результате комбинация случайных событий создает упорядоченную структуру.
Практическое применение показателя Херста
Исследования показали, что рынки капитала также образуют статистики Херста. Смещения генерируются инвесторами, которые реагируют на текущую экономическую обстановку. Это смещение продолжается до тех пор, пока не появится случайная информация (экономический эквивалент джокера) и не изменит смещения по величине, направлению или в том и другом плане. То же самое происходит в популяциях при появлении полезной мутации генов, в семейной традиции при очень удачном браке - и в бизнесе компании при возникновении эффективной творческой идеи.
Так, месячные значения индекса SP 500 за 1950-1988 гг. имеют Н = 0.78, тогда как для абсолютно случайного ряда событий в точности Н = 0.5. За это же время акции 1ВТ имели Н = 0.72; Coca-Cola - Н = 0.70; ТсDоnаld's - Н = 0.65. Изменение доходности 30-летних казначейских облигаций США дает Н = 0.68. Для средней доходности 3-, 6- и 12-месячных казначейских векселей США, выступающих доверенностью на получение дохода по краткосрочным обязательствам, Н = 0.65.
Таким образом, статистика Херста показала, что рыночные прибыли являются временными рядами с фрактальным распределением вероятностей. Важно, что акции компаний из одной отрасли имеют схожие значения Н.
Производства с высоким уровнем инноваций, которые сосредоточены на выпуске современной техники, имеют тенденцию к более высокому уровню Н. В противоположность им акции коммунальных предприятий, имеющих низкий уровень инноваций, отличаются меньшими величинами Н. Поскольку акции имеют Н 0.5, применение стандартного
статистического анализа становится проблематичным. Дисперсии неопределенны или бесконечны, что делает волатильность бесполезной или ошибочной оценкой риска.
Поведение системы внешне кажется хаотичным, но при подробном рассмотрении в нем обнаруживаются элементы порядка (например, универсальность показателя Н, фрактальной размерности и др.), что позволило выделить экономические системы (и ряд других) в класс систем с детерминированным хаосом. Детерминированность проявляется, например, в периодичности изменений, а хаотичность - в неопределенной длине каждого цикла.
Непериодичность не позволяет обнаружить циклы стандартными методами (например, спектральным анализом), поскольку не имеет характерного масштаба (фрактальна). Это - статистический цикл. Он измеряет влияние информации на рынок и то, как память о тех или иных событиях влияет на будущее поведение рынков. Для уже упоминавшегося индекса SP 500 длина цикла составляет 42-48 месяцев (т.е. около 4-х лет), что соответствует длине цикла американского промышленного производства.
Динамика индексов международного рынка капитала Моргана-Стенли (TSCI) для Англии, Германии и Японии (1959-1990 гг.) выявила существование непериодических циклов длиной около 8, б и 4 лет соответственно. Академик В.Л. Макаров следующим образом охарактеризовал расхождение классической теории и реально наблюдающейся в экономике разномасштабности : Теория общего экономического равновесия, которая в настоящее время доминирует как в науке, так и в экономическом образовании, как известно, не вполне согласуется с реальностью, по крайней мере, в ее классическом варианте ... . В реальном экономическом мире наблюдается огромное разнообразие в эффективности, в частности, в прибыльности фирм, отраслей, регионов.
Это разнообразие отнюдь не уменьшается со временем, а, скорее, наоборот, возрастает.
