d9e5a92d

Достижимое множество

Марковиц отмечает, что это будет в общем неразумным решением, так как типичный инвестор хотя и желает, чтобы доходность была высокой, но одновременно хочет, чтобы доходность была бы настолько определенной, насколько это возможно. Это означает, что инвестор, стремясь одновременно максимизировать ожидаемую доходность и минимизировать неопределенность (т.е. риск (risk)), имеет две противоречащие друг другу цели, которые должны быть сбалансированы при принятии решения о покупке. Подход Марковица к принятию решения дает возможность адекватно учесть обе эти цели. Марковиц утверждает, что инвестор должен основывать свое решение по выбору портфеля исключительно на ожидаемой доходности и стандартном отклонении.

Это означает, что инвестор должен оценить ожидаемую доходность и стандартное отклонение каждого портфеля, а затем выбрать лучший из них, основываясь на соотношении этих двух параметров. Ожидаемая доходность может быть представлена как мера потенциального вознаграждения, связанная с конкретным портфелем, а стандартное отклонение - как мера риска, связанная с данным портфелем. Таким образом, после того, как каждый портфель был исследован в смысле потенциального вознаграждения и риска, инвестор должен выбрать портфель, который является для него наиболее подходящим. Метод, с помощью которого можно определить местоположение портфеля для конкретного инвестора, основан на использовании так называемых кривых безразличия (/nd/fference cwves).3™ кривые отражают отношение инвестора к риску и доходности и могут быть представлены как двухмерный график, где по горизонтальной оси откладывается риск, а по вертикальной - ожидаемая доходность.

Все портфели, лежащие на одной заданной кривой безразличия, являются равноценными для инвестора. Ясно, что инвесторы выберут любой портфель, лежащий на кривой безразличия выше и левее, как более ценный, чем портфель, лежащий на кривой безразличия, проходящей ниже и правее. Инвестор выбирает свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых:
- Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска.
- Обеспечивает минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности.
Набор портфелей, удовлетворяющих этим двум условиям, называется эффективным множеством (eff/c/ent set) ..s

Достижимое множество


Достижимое и эффективное множества
Рисунок 1 представляет иллюстрацию местоположения достижимого множества (feasib/e set), также известного как множество возможностей, из которого может быть выделено эффективное множество. Достижимое множество представляет собой все портфели, которые могут быть сформированы из группы N ценных бумаг.

Это означает, что все возможные портфели, которые могут быть сформированы из N ценных бумаг, лежат либо на границе, либо внутри достижимого множества (точки G, Е, S и Н на рис.1 являются примерами таких портфелей). Определим местоположение эффективного множества.

Множеством портфелей, обеспечивающих максимальную ожидаемую доходность при изменяющемся уровне риска, является часть верхней границы достижимого множества, расположенная между точками Е и Н. Множеством портфелей, обеспечивающих минимальный риск при изменяющемся уровне ожидаемой доходности, является часть левой границы достижимого множества, расположенная между точками S и G. Учитывая, что оба условия должны приниматься во внимание при определении эффективного множества, отметим, что нас удовлетворяют только портфели, лежащие на верхней и левой границе достижимого множества между точками Е и S. Соответственно эти портфели составляют эффективное множество, и из этого множества эффективных портфелей (efficient portfo/ios) инвестор будет выбирать оптимальный для себя. Все остальные достижимые портфели являются неэффективными портфелями (inefficient portfo/ios), поэтому мы их можем игнорировать.



Каким образом инвестор выбирает оптимальный портфель (optirai portfolio)? Как показано на рис.2 инвестор должен нарисовать свои кривые безразличия на одном рисунке с эффективным множеством, а затем приступить к выбору портфеля, расположенного на кривой безразличия, находящейся выше и левее остальных. Этот портфель будет соответствовать точке, в которой кривая безразличия касается эффективного множества.

Как видно из рис.2, таким портфелем является портфель О* на второй кривой безразличия . Несомненно, что инвестор предпочел бы портфель, находящийся на первой кривой (выше и левее), но такого достижимого портфеля просто не существует.

Диверсификация риска


Марковиц разработал очень важное для современной теории ценных бумаг положение, которое гласит: совокупный риск портфеля можно разложить на две составные части. С одной стороны, это так называемый систематический риск, который нельзя исключить и которому подвержены все ценные бумаги практически в равной степени. С другой - специфический (несистематический) риск для каждой конкретной ценной бумаги, который можно избежать при помощи управления портфелем ценных бумаг (диверсификации). Одной из основных идей диверсификации при инвестировании является эффект отрицательной коррелированности, называемый также эффектом Марковица: при составлении портфеля ценных бумаг надо стремиться к тому, чтобы вложения делались в бумаги, среди которых, по возможности, много отрицательно коррелированных.



Другая идея - это эффект некоррелированности: если инвестирование производится в некоррелированные ценные бумаги, то для уменьшения риска надо, по возможности, брать их число как можно большим.
Учет возможности безрискового кредитования
В предыдущей статье был описан подход к формированию портфеля, предложенный Марковицем. Подход Марковица предполагает, что активы, рассматриваемые для инвестиций, являются рисковыми, т.е. каждый из рисковых активов дает неопределенный доход. Поскольку никакой из активов не имеет совершенно отрицательную корреляцию с любым другим активом, то все портфели также дают неопределенные доходы за период владения и, следовательно, являются рисковыми.

Более того, инвестору не позволяется использовать оодлженные деньки вместе с начальным капиталом для покупки портфеля активов. Это означает, в модели Марковца инвестору не разрешается использовать финансовую поддержку или счет, находящийся у его брокера. В этой статье мы рассмотрим подход, который обобщает модель Марковица.

Этот подход был предложен Джеймсом Тобином в работе Национальная экономическая политика (1966). Тобин показал, что для того, чтобы добиться сбалансированности в своих инвестиционных портфелях, инвесторы стремятся сочетать инвестиции с повышенной степенью риска с менее рискованными, которые в настоящее время принято называть безрисковыми активами. Итак, под безрисковым активом понимается (riskfree asset) такой актив, будущая стоимость которого определена в любой момент времени.

Если инвестор покупает безрисковый актив в начале инвестиционного периода, то он точно знает, каковым будет его доход в конце периода. К таким активам можно отнести казначейские ценные бумаги и государственные облигации со сроком погашения, совпадающим с периодом владения, банковский депозит и кредит, а также с некоторой долей условности корпоративные облигации. Чтобы ценная бумага действительно была безрисковой, по ней не должны осуществляться купонные выплаты в течение владения этой бумагой инвестором. Она должна обеспечить ему единоразовую выплату в последний момент владения.

Любые промежуточные купонные выплаты подвергнут инвестора риску ставки реинвестирования, поскольку он не знает ставки, по которой могут быть реинвестированы купонные выплаты на остаток периода владения. С появлением на рынке безрискового актива инвестор получит возможность вкладывать часть своих денежных средств в этот актив, а остаток - в любой из рисковых портфелей, содержащихся в множестве достижимости Марковица.

Появление новых возможностей существенно расширяет достижимое множество и, что важнее, изменяет расположение значительной части эффективного множества Марковица.
Безрисковый актив и эффективное множество
Можно показать, что любая комбинация из безрискового и рискованного актива будет лежать на прямой линии в координатах неопределенность-доходность. Точное положение точки будет зависеть от пропорции инвестиций в эти два актива. Рассмотрим сочетание безрискового актива и рискованного портфеля, достижимое множество в этом случае будет иметь вид, показанный на Нисунке 1. В частности, обратите внимание на то, что две границы являются прямыми линями, выходящими из точки, соответствующей доходности безрискового актива.

Нижняя линия соединяет две точки, соответствующие безрисковому активу и низкорисковой акциям достижимого множества Марковица. Поэтому она определяет портфели, являющиеся комбинациями низкоризковой акции и безрискового актива.
Другая прямая линия, выходящая из точки, соответствующей доходности безрискового актива, представляет комбинации безрискового актива и определенного рискового портфеля из эффективного множества модели Марковица. Эта линия является касательной к данному эффективному множеству (в точке, обозначенной Т).

Хотя и другие рискованные эффективные портфели из модели Марковица могут быть скомбинированы с безрисковым активом, портфель, находящийся в точке Т заслуживает особого внимания. Почему?

Потому что не существует портфеля, состоящего из рисковых ценных бумаг, который будучи соединен прямой линией с точной, соответствующей безрисковому активу, лежал бы левее и выше его. Другими словами, из всех линий, которые могут быть проведены из точки, соответствующей доходности безрискового актива, и соединяют эту точку с рискованным активом и рискованным портфелем, ни одна не имеет больший наклон, чем линия, идущая в точку Т. Это означает, что данная линия является эффективной границей, и портфели, находящиеся на этой линии имеют максимально возможную доходность и минимально возможный риск. Также стоит обратить внимание, что часть эффективного множества Марковица отсекается этой линией. В частности портфели, которые принадлежали эффективному множеству в модели Марковица и располагались между минимально рискованным портфелем, обозначенным через V, и портфелем Т, с введением возможности инвестирования в безрисковые активы не являются эффективными.

Теперь эффективное множество состоит из прямого и искривленного отрезка. Прямой отрезок идет из точки Т и поэтому представляет портфели, составленные из различных комбинаций безрискового актива и портфеля Т. Искривленный отрезок расположенный выше и правее точки Т представляет портфели из эффективного множества модели Марковица.

Влияние безрискового кредитования на выбор портфеля


На Рисунке показано, как будет вести себя инвестор при выборе эффективного портфеля, когда кроме рискованных активов имеется безрисковый актив. Если кривые безразличия инвестора выглядят аналогично показанным на Рисунке 2.1, то оптимальный портфель (0*) будет состоять из вложений части начального капитала в безрисковый актив и остальной части - в портфель Т, так как кривые безразличия касаются эффективного множества между безрисковым активом и портфелем Т.


Аналогично, если инвестор менее склонен избегать риска и его портфель характеризуется кривыми безразличия, сходными с изображениями на рисунке 2.2, то оптимальный портфель (0*) вообще не будет включать безрисковых активов, так как кривые безразличия касаются искривленной части эффективного множества в точках, лежащих выше и правее точки Т.
Рыночная модель
В предыдущих статьях были рассмотрены Модель Марковца и Модель Тобина, которые предполагают, что для решения задачи портфельного инвестирования необходимо оценить два наиболее значимых параметра ценной бумаги - её ожидаемую доходность и неопределенность (риск). После чего нужно оценить все коэффициенты ковариации (найти статистическую связь) между ценными бумагами.

Используя такие оценки, инвестор может построить кривую эффективного множества Марковца, и затем для заданной безрисковой процентной ставки определить касательный портфель, найдя эффективное множество по Тобину. Наконец, инвестор может произвести инвестицию в этот касательный портфель. Как оценить эти показатели с наименьшими трудозатратами? Наиболее простой способ состоит в применении так называемой рыночной модели, которая является частным случаем факторных (или индексных) моделях (factor 7ode/s).

В рыночной модели предполагается, что имеется только один фактор -доходность по индексу рынка. Итак, предположим, что доходность обыкновенной акции за данный период времени связана с доходностью рыночного индекса, например, индекса ММВБ.

В этом случае с ростом рыночного индекса, вероятно, будет расти и цена акции, а с падением рыночного индекса, вероятно, будет падать и акция. Один из путей отражения данной зависимости носит название рыночная модель (rarket 7ode/):
Гі = Oil + Pil *r + El
, где
Гі - доходность ценной бумаги i за данный период;
гі - доходность на рыночный индекс 1 за этот же период;
Оіі - коэффициент смещения;
Ріі - коэффициент наклона;
Еіі - случайная погрешность. Предположив, что коэффициент наклона положителен, из приведенного уравнения можно заметить следующее: чем выше доходность на рыночный индекс, тем выше будет доходность ценной бумаги (заметим, что среднее значение случайной погрешности равняется нулю).
Бета -коэффициент
Наклон в рыночной модели ценной бумаги измеряет чувствительность её доходности к доходности на рыночный индекс. Коэффициент наклона рыночной модели принято называть бета-коэффициентом, он вычисляется следующим образом:
PlI = Oii/oj2
, где
Oii - ковариация между доходностью акции i и доходностью на рыночный индекс J;
а? - дисперсия доходности на индекс. Акция, которая имеет доходность, являющуюся зеркальным отражением доходности на индекс, будет иметь бета-коэффициент, равный 1. То есть акции с бета-коэффициентом больше единицы обладают большей изменчивостью, чем рыночный индекс, и носят название агрессивные акции (а* ressive stocks).

И наоборот, акции с бета-коэффициентом меньше единицы обладают меньшей изменчивостью, чем рыночный индекс, и называются оборонительными акциями (defensive stock).
Факторные модели
В факторных моделях предполагается, что доходность ценной бумаги реагирует на изменения различных факторов. В предыдущей статье был рассмотрен частный пример факторной модели - рыночная модель. Однако более точной оценки доходности, неопределенности и статистической связи ценных бумаг многофакторные модели более полезны.

Данный факт можно объяснить тем, что на фактические доходности ценных бумаг могут быть чувствительны не только к изменению индекса рынка, но и к другим экономическим показателям. Факторные модели представляют собой попытку учесть основные экономические силы, систематически воздействующие на курсовую стоимость всех ценных бумаг.

При построении факторной модели неявно предполагается, что доходности по двум ценным бумагам связаны между собой (т.е. изменяются согласованно) только за счет общей реакции на один или более факторов, определенных этой моделью. Считается, что любой аспект доходности ценной бумаги, не объясненный факторной моделью, является уникальным для данной конкретной ценной бумаги и, следовательно, не коррелирован с уникальными аспектами других ценных бумаг.

В результате факторная модель является мощным средством управления портфелем инвестиций. С помощью факторной модели можно:
- Вычислить ожидаемые доходности, дисперсии и ковариации для каждой ценной бумаги.
- Характеризовать чувствительность портфеля к изменениям факторов.
На практике все инвесторы явно или неявно при меняют факторные модели. Это связано с тем, что невозможно рассматривать взаимосвязь каждой ценной бумаги с каждой другой по отдельности, так как объем вычислений при расчете ковариаций ценных бумаг растет с ростом числа анализируемых ценных бумаг. Сложная картина дисперсий и ковариаций начинает пугать воображение в случае десятка ценных бумаг, не говоря уже о сотнях или тысячах. Даже огромных возможностей быстродействующих компьютеров становится недостаточно для построения эффективных множеств при большом числе ценных бумаг.

Поэтому абстракция является существенным шагом при определении кривой эффективного множества Марковица, и факторные модели дают необходимый уровень абстрактности. Этот метод позволяет выделить в экономике важные факторы и оценить, насколько различные ценные бумаги и портфели чувствительны к изменениям этих факторов. Если принять, что доходности ценных бумаг подвержены влиянию одного или более факторов, то первоначальной целью анализа ценных бумаг является определение этих факторов и чувствительности доходностей ценных бумаг к их изменению.

Формальное утверждение о существовании такой связи называется факторной моделью доходности ценных бумаг.
Общий вид факторной модели
Пусть задана система переменных rlf Г2, ..., гп, где n - доходность по /-ой ценной бумаге в определенный момент времени. Представим исходную информацию в виде столбца R = (г*) размерности п.
Предположим, что каждый элемент столбца R является результатом воздействия некоторого числа t гипотетических общих факторов и одного специфического (характерного) фактора. Тогда (r*) можно представить в виде следующего выражения:
tit = bil * fit + bil * f2t + ... + bim * fmt + di * Vit + Eit
, где
tit - доходность ценной бумаги за период t;
fit - j-ый фактор, оказывающий влияние на доход по всем ценным бумагам за период t;
bjj - чувствительность i-ой ценной бумаги к изменению j-oro фактора;
di - весовой коэффициент i-ой ценной бумаги к изменению специфического (характерного) фактора;
Vit - значение специфического (характерного фактора) для i-ой бумаги за период t;
Eit - случайная ошибка.
Оценки факторных моделей
Для оценок факторных моделей используется много различных методов, в общем случае их можно классифицировать по трем основным группам моделей:
- Методы временных рядов;
- Методы пространственной выборки;
- Методы факторного анализа.
Рассмотрим общие положения каждого из этих методов.
- Методы временных рядов
Предположим, что инвестор заранее знает, какие факторы влияют на доходность ценных бумаг. Идентификация соответствующих факторов обычно происходит на основе экономического анализа фирм, включаемых в модель, при этом главную роль играют аспекты макроэкономики, макроэкономики, организации промышленности и фундаментальный анализ ценных бумаг.

Например, можно ожидать, что некоторые макроэкономические переменные значительно влияют на доходность ценных бумаг. К ним относятся, в частности, ожидаемый темп прироста ВВП, инфляция, процентные ставки, цены на нефть.

После выбора таких факторов следующий шаг при построении модели состоит в сборе информации об их значениях и доходности ценных бумаг от периода к периоду. Затем полученные данные используются для вычисления чувствительности доходностей к факторам, специфических факторов (собственной доходности ценных бумаг), а также стандартных отклонений факторов и их корреляций.

В этом подходе решающим моментом является точное измерение значений факторов, что на практике может составить нетривиальную задачу.
- Методы пространственной выборки
Метод пространственной выборки (gross-sect/ona/ approaches) менее распространен, чем метод временных рядов, но часто оказывается не менее мощным средством. Построение модели начинается с оценки чувствительности ценных бумаг к определенным факторам.

Затем для некоторого периода времени оцениваются значения этих факторов на основе анализа доходностей ценных бумаг и их чувствительности к факторам. Этот процесс повторяется для большого числа временных интервалов, что позволяет дать оценки для стандартных отклонений факторов и их корреляций.

Таким образом, из известных чувствительностей оцениваются значения факторов. В этом методе чувствительности ценных бумаг к факторам иногда называют атрибутивными (а^гіЬ^е). Анализ в этом методе проводится для одного временного интервала и группы ценных бумаг, затем для другого временного интервала и той же группы бумаг и т.д .
- Факторный анализ
В рамках факторно-аналитического метода построения факторной модели неизвестны ни значения факторов, ни чувствительности ценных бумаг к этим факторам. Для определения числа факторов и чувствительнотсей к данным о доходностях ценных бумаг в прошлом применяется статистический метод, называемый факторным анализом (factor ana/ys/s). При использовании этого метода доходности некоторой выборки ценных бумаг рассматриваются за большое число временных периодов в целях установления одного или нескольких статистически значимых факторов, которые могли бы привести к ковариации доходностей, наблюдаемых в этой выборке.

По сути дела, в этом подходе данные по доходности сами указывают на структуру факторной модели. К сожалению, факторный анализ не конкретизирует, какие экономические переменные представлены полученными факторами.
Другие концепции
Одной из главных причин новых исследований и разработок в финансовом анализе стала прокатившаяся в различных странах за последние ЗО лет серия финансовых катастроф. Она разорила множество банков и инвестиционных фондов, в том числе и знаменитый LTCT, активно использующий идеи количественного анализа. В результате новейших исследований оказалось, что те очень редкие и очень сильные колебания, которые ранее считались несущественными и отбрасывались при проверке распределений на нормальность, на самом деле являются очень важными.

Отсюда следовало, что те положения, на которых базируется количественная теория финансов, являются неверными. Возможно, именно с кризисом классической теории связано возрождение в последние десятилетия интереса к техническому анализу (анализу графиков поведения цен).

В бестселлере Петерса Хаос и порядок на рынках капитала приведено множество примеров, на которых ясно показаны отклонения реального поведения цен от логнормального распределения, принятого классической теорией. Этот факт связан с тем, что на цены оказывает влияние множество дополнительных факторов (в т. ч. связанных с психологией инвесторов), которые весьма сложно отделить друг от друга. Их совместное влияние и определяет отклонения распределения реальных цен от логнормального распределения. Пионерами в исследованиях динамических систем третьего рода были американский метеоролог Эдвард Лоренц и франко-американский математик Бенуа Мандельброт.

В середине БО-х Лоренц задался вопросом: почему стремительное совершенствование компьютеров, математических моделей и вычислительных алгоритмов не привело к созданию достоверных среднесрочных прогнозов погоды? Лоренц предложил упрощенную модель процессов, происходящих в атмосфере.

Компьютерный анализ модели Лоренца привел к принципиальному результату: для динамического хаоса возможен весьма ограниченный горизонт прогноза. С точки зрения математики любая динамическая система, что бы она ни моделировала, описывается движением точек в фазовом пространстве (координатами такого пространства служат степени свободы системы), вернее их траекториями, которые в классической динамике однозначно определены для сколь угодно большого промежутка времени. Но динамическому хаосу соответствует клубок расходящихся траекторий, причем от скорости их расходимости зависит интервал времени, на который может быть дан прогноз (более подробно кубок траекторий мы рассмотрим в разделе Статьи).

Благодаря анализу модели Лоренца метеорологи были вынуждены признать, что их пророческие способности ограничены максимум тремя неделями и даже новейшие компьютерные погодные модели пока не в состоянии преодолеть этот барьер. Бурно развивающаяся с середины прошлого века нелинейная динамика окончательно развеяла иллюзию глобальной предсказуемости : выяснилось, что начиная с какого-то горизонта прогноза мы в принципе не можем предсказать поведение многих даже достаточно простых систем.

Однако нелинейная динамика дала исследователям помимо очередной демонстрации принципиальной ограниченности человеческого знания будущего достаточно мощный инструментарий для анализа разнообразных процессов с ограниченным горизонтом прогноза.



Содержание раздела