Оптимизация простейшего модельного портфеля
Можно без труда перейти от задачи вида (35) к задаче, где в качестве ограничения вместо фиксированного стандартного отклонения выступает вероятность того, что портфельная доходность окажется ниже заранее обусловленного уровня
Если задаваться различным уровнем ограничений по а, решая задачу (35), то можно получить зависимость макимальной доходности от ст вида
йпах Іщах ІР) (36)
Выражение (36), именуемое эффективной границей портфельного множества, в координатах риск-доходность является кусочно-параболической вогнутой функцией без разрывов. Правой точкой границы является точка, соответствующая тому случаю, когда в портфеле оказывается одна бумага с максимальной среднеожидаемой доходностью.
Подход Марковица, получивший широчайшее распространение в практике управления портфелями, тем не менее имеет ряд модельных допущений, плохо согласованных с реальностью описываемого объекта - фондового рынка. Прежде всего это отсутствие стационарности ценовых процессов, что не позволяет описывать доходность бумаги случайной величиной с известными параметрами То же относится и корелляции.
Если же мы рассматриваем портфель из модельных классов, а ценовую предысторию индексов модельных классов - как квазистатистику, то нам следует моделировать эту квазистатистику многомерным нечетко-вероятностным распределением с параметрами в форме нечетких чисел Тогда условия (33) - (35) запиываются в нечетко-множественной форме, и задача квадратичной оптимизации также решается в этой форме. Решением задачи является эффективная граница в виде нечеткой функции полосового вида.
Ее следует привести к треугольному виду по обычным правилам.
Каждому отрезку на эффективной границе, отвечающей абсциссе портфельного риска, соответствует нечеткий вектор оптимальных портфельных долей.
И, наконец, если нам заданы контрольные нормативы по доходности и риску (бенчмарк модельного портфеля), которые нам следует соблюсти в нашем портфеле, увеличивая доходность и одновременно снижая риск. Если бенчмарк попадает в полосу эффективной границы, то возникает дабл-риск (по факторам доходности и волатильности), что модельный портфель не переиграет бенчмарк.
Этот риск можно оценить по методу из [12].
Итак, изложение модифицированного подхода Марковица завершено. Далее по тексту статьи мы считаем, что имеем дело с квазистатистикой модельных индексов в портфеле, которая моделируется нами посредством N-мерного нечетковероятностного распределения. Оценив параметры этого распределения как нечеткие числа, мы решаем задачу квадратичной оптимизации в нечеткой постановке, получая эффективную границу в форме криволинейной полосы
Когда от квазистатистики надо отказываться
Можно еще раз взглянуть на перфоманс индекса SP500 (рис. 2), чтобы понять, какие у нас на самом деле трудности. Ясно, что квазистатистика до 2001 года нас не устраивает, т.к. она дает фотоснимок экономики США до рецессии. Если брать квазистатистику после 2001 года, то от инвестирования в американские акции надо отказываться как от инвенстиций в актив с ожидаемо отрицательной доходностью.
То, что непригодно по частям, непригодно и в совокупности. И поэтому, скрепя сердцем, мы вынуждены отказаться рассматривать пеформанс рис.
2 как квазистатистику.
Итак, условия анализа, кажется, приобрели максимум расплывчатости. Что же нам остается тогда?
Нам остается наша экспертная познавательная активность и умение мыслить нечетко, в качественных терминах.
Давайте попробуем построить качественную экспертную модель перфоманса индекса SP500, руководствуясь рядом макроэкономических соображений. Кое-что в этом отношении мы сделали в [11] еще в марте 2001 года, когда писалась работа.
Как отмечалось в [П], экономика США вступила в фазу рецессии, и уже год пребывает в этом состоянии (см. отчет Национального бюро экономических исследований США [25]). Прежде всего это характеризуется резким снижением темпов роста промышленного производства и валового внутреннего продукта. Компании сокращают непрофильные расходы, и прежде всего это ударяет по рынкам программного обеспечения и интернет-технологий.
Отсюда - волатильный рынок высокотехнологичных акций, характеризуемый индексом NASDAQ, потерявший за этот год порядка 20%.
Надо сказать, что инерция представлений о том, какая цена на акции является справедливой, очень велика. Поэтому темп снижения дивидендных выплат выше, чем темп снижения цен на акции, особенно для высококапитализированных компаний. Среднее значение фактора "цена-доходы" (Р/Е), измеряемое в целом по индексу SP500, колеблется в пределах от 20 до 30 в течение последних 10 лет [26], но похоже, что для сегодняшних рецессионных условий значение 20 является наиболее перспективным.
Причем это не должно быть достигнуто за счет роста дивидендных выплат (этого не будет), но исключительно за счет снижения цен на акции. Индекс SP500 еще не нашел своего дна, и это дно, по нашим оценкам, составляет от 800 до 900, т.е. дном является уровень 1997 года.
И думается, что этого дна индекс достигнет во втором-третьем кварталах 2002 года.
Почему я считаю для себя возможным делать прогнозы?
В [11] я предсказывал дно индекса NASDAQ на уровне 1600-1800, когда сам индекс пребывал еще на отметке 2400. С тех пор NASDAQ падал на это дно дважды: в апреле и сентябре этого года.
Полагаю, что это еще не предел, и пару разочков-то он еще шлепнется на дно жизни. Потому что некуда ему пока расти, вот в чем беда, а нынешний его уровень 1940 (по состоянию на 28 ноября 2001 г.) -это переоценка значимости афганских побед.
Любая неприятная макроновость типа сообщения об увеличении темпов роста безработицы в США, может вернуть индекс NASDAQ туда, где ему, собственно, и место - в красный угол, вплоть до первых проблесков окончания рецессии, чего все ожидают в середине 2002 года. Но возможно, эти все очень и очень ошибаются в перспективах окончания тяжелых времен, и сама рецессия может продлиться гораздо дольше, чем ей отводится времени
Итак, у меня есть определенный опыт сбывшихся предсказаний, основанный на том, что уже где-то 2 года я непрерывно наблюдаю американский фондовый рынок. Поэтому я беру на себя смелость высказываться и оценивать.
Итак, мы прогнозируем дно SP500 в середине 2002 года. Что будет потом?
Как думается - медленный рост с повышенной волатильностью. В пересчете на ближайшие пять лет, если учесть, что в спокойные времена доходность по индексу в среднем составляла 15-20% годовых, то в пострецессионные годы надо говорить о 10-15%.
Что касается волатильности, то в дорецессионные времена она составляла 40-50% годовых Полагаю, что оценка 20-30% годовых для дисперсии доходности - это достоверно, с учетом сохранения пропорций между доходностью и волатильностью до н после начала рецессии.
Качественно прогноз индекса до середины 2003 года представлен на диаграмме рис 8 Прогноз осуществлен поквартально, начиная с 4 квартала 2001 года.
То, что представлено на рис. 8 - это прогноз в виде нечеткой последовательности, составленной из треугольных нечетких числел В виде треугольных нечетких чисел выступают и прогнозы доходности и волатильности индекса.
И, таким образом, в хоже портфельной оптимизации мы можем заменить оценки, полученные на основе квазистатистики, экспертными прогнозными оценками в той же форме.
Оптимизация простейшего модельного портфеля
Рассмотрим простейший пример американского модельного портфеля из двух модельных классов: правительственных долгосрочных облигаций (Класс 1, характеризующийся индексом LB Govt Bond) и высококапитализированных акций (Класс 2, характеризующийся индексом SP500). Индекс долгосрочных правительственных облигаций мы оценили в разделе 4.10 настоящей работы, а индекс SP500 мы прогнозировали только что. Сводные данные по обоим индексам приведены в таблице 3.
| Таблица 3 | |||||||||||||||||||||||
|
Надо сразу оговориться, что случай портфеля из двух компонент является вырожденным с точки зрения оптимизации. Здесь полное множество портфельных решений представляет собой участок в общем случае кривой линии на плоскости, и он же является эффективной границей. Так что в настоящем примере мы не сколько решаем оптимизационную задачу, сколько ищем аналитический вид эффективной границы в координатах риск-доходность.
Запишем (33) - (34) в частном виде Все постоянные коэффициенты в (37) - (38) являются треугольными нечеткими числами. Можно было бы как-то отличить треугольные параметры от обычных скалярных, вводя специальную запись, но, честно говоря, мне не хочется загромождать формулы. И, поскольку в нашем случае а2 сц, то имеет место приближенное равенство:
с = х2хо2, (40)
и справедливо
г = х о + Tj - (41)
уравнение эффективной границы в виде полосы с прямолинейными границами (см. рис. 9).
Коэффициент пропорциональности в (41) есть не что иное, как хорошо известный в портфельном менеджменте показатель Шарпа [27] - отношение доходности индекса (за вычетом безрисковой составляющей доходности) к волатильности индекса. Только в нашем случае он имеет нечеткий вид, сводимый к треугольному по правилу:
12min
llmin
2av
llmax
lav 2max
5
(42)
2max
2av
2min
В таблицу 4 сведены границы для модельного класса облигаций в структуре модельного портфеля для различных уровней риска.
| Таблица 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| объясняется тем, что на краях полосы эффективной границы портфель обладает вполне определенным стилем: большей доходности отвечает модельный класс акций, а меньшему риску - модельный класс облигаций. |
Бенчмарк-риск
Инвестор, инвестируя деньги, всегда ставит перед собой определенную инвестиционную цель (например, накопить денег на обучение детей). Процесс такого накопления долгосрочен и требует поэтапного контроля доходности инвестиций.
Например, инвестор поставил своей целью иметь доход не хуже 8% годовых с риском не хуже 10%. Это и есть бенчмарк.
Поглядев на эффективную границу и заглянув в таблицу 4, инвестор формирует модельный портфель, заполняя его на 50% - 60% облигациями. Он ожгдает разброс доходности, оцениваемый (41), от 7.27% до 10.7% годовых.
Нижняя граница разброса лежит ниже бенчмарка, - значит, существуют ненулевые шансы не выполнить инвестиционный план.
Каковы эти шансы? На этот вопрос дает ответ метод из [12], где риск срыва плана (применительно к нашему случаю) оценивается формулой
*
г г гг гг
5 = -==(1 + -In -) (43)
Г Г г г г г
max min min av mm
где r=8% - бенчмарк, (rmin = 7.27%, rav = 8.66%, rmax = 10.70%) - параметры треугольного числа ожидаемой доходности модельного портфеля. И расчеты по (43) дают 5 = 19.3%. Много это или мало? Все зависит от предпочтений инвестора.
Возможно, ему покажется, что риск велик, и он сочтет свой финансовый план чрезмерно напряженным. В то же время надо обратить внимание на то, что бенчмарк ниже ожидаемого среднего, поэтому шансы на исполнение плано весьма велики.
9. Решение нечетко-оптимизационной задачи в общем случае
Задача вида (35) является задачей квадратического программирования с нечеткими параметрами. Ее решением, как отмечалось, является полосовая эффективная граница.
Чтобы уточнить параметры границы, можно воспользоваться следующим приближенным алгоритмом.
1. Сначала уточняется средняя линия полосы. Это делается обычным образом, например, методом угловых портфелей (см., например, [28]). При этом вся кривая разбивается на достаточно большое множество точек, и для каждой из них фиксируется портфельное распределение {х;}, которой соответствует точка средней линии эффективной границы (ста?, га?)
2. Затем восстанавливаются верхняя и нижняя граница полосы в выделенных точках по формулам:
| N | ||||||||
|
и (атах, гтіп)-
Заключение
Нам удалось проследить решение задачи портфельной оптимизации в нечеткой постановке, начиная с формирования блока исходных данных и заканчивая построением эффективной границы портфельного множества. Новыми с научной точки зрения являются следующие моменты работы:
- исследование возможности отказа от использования квазистатистики и ее замещение экспертным прогнозом в виде треугольно-нечеткой функции.
В целом применение теории нечетких множеств к портфельному менеджменту в мировой науке пошло несколько иным путем, чем тот, который предпослал появление настоящей статьи. Во-первых, активизировалось применение нейронных сетей и иных методов искусственного интеллекта к портфельному выбору, о чем книга [23].
Также следует обратить внимание на труды ученых японской школы нечетких множеств, где доминирующим подходом к портфельному выбору является т.н подход эволюционного программирования (см., в частности, [29]).
В то же время нам представляется, что еще не до конца исчерпан потенциал нечетких интерпретаций классических подходов к фондовому менеджменту (к примеру то, что в настоящей работе поименовано как модифицированный метод Марковица). И в этом смысле примечательны две публикации. Монография [30] обосновывает применение нечетких вероятностей к портфельному выбору, а в статье [31] выстраивается нечеткий прогноз доходности индекса облигаций.
Моя статья написана как раз в русле этой вновь формирующейся традиции.
