Эта величина, согласно свойств винеровского процесса как процесса с независимыми приращениями, имеет нормальное распределение со следующими параметрами:
Теперь, сделав все базовые допущения к математической модели, мы можем переходить непосредственно к процессу вероятностного моделирования опционов и их комбинаций.
Приобретая опцион call, инвестор рассчитывает получить премию как разницу между финальной ценой подлежащего актива ST и ценой исполнения опциона xc. Если эта разница перекрывает цену приобретения опциона zc, то владелец опциона получает прибыль.
В противном случае имеют место убытки.
Случайная величина дохода по опциону связана со случайной величиной финальной цены подлежащего актива соотношением 3.49.
Именно поэтому мы оперируем категорией текущей доходности как линейной функции дохода и финальной цены. Предполагая нормальность распределения финальной цены актива (что соответствует винеровскому описанию ценового процесса), мы автоматически таким образом приходим к нормальному распределению текущей доходности.
Построенная линейная связь текущей доходности и цены является полезной особенностью, которая потом может быть удачно использована в ходе вероятностного моделирования.
Определим плотность I(y) распределения дохода IT по опциону как функции случайной величины ST. Воспользуемся известной формулой. Если исходная случайная величина X имеет плотность распределения X(x), а случайная величина Y связана с X функционально как Y=Y(X), и при этом существует обратная функция X=X(Y), тогда плотность распределения случайной величины Y имеет вид
Это можно сделать косвенным образом. На участке, где функция ST(IT) дифференцируема, в силу (3.54)-( 3.58) выполняется
Это событие условие отказа от исполнения call-опциона и прямые убытки в форме затрат на приобретение опциона.
Наконец, итоговое выражение для I(y)
Видно, что мы перешли от нормального распределения цен к усеченному нормальному распределению доходов. Но это не классическое усеченное распределение, а распределение, функция которого претерпевает разрыв первого рода в точке с бесконечной плотностью.
Теперь нетрудно перейти к распределению доходности R(v), пользуясь (3.53), (3.54) и (3.60):
Это значение близко к текущей доходности государственных облигаций, и тогда ясно, что обладая сопоставимой с облигациями доходностью, опционный инструмент значительно опережает последние по уровню риска прямых убытков (отрицательной доходности).
Поэтому риск инвестиций в опцион call может быть определен как вероятность неприемлемой доходности по формуле
В противном случае имеют место убытки.
Надо сказать, что приобретение опциона put без покрытия подлежащим активом не является традиционной стратегий. Классический инвестор все же психологически ориентируется на курсовой рост приобретаемых активов.
С этой точки зрения стратегия классического инвестора это стратегия быка. А покупка put опциона без покрытия эта медвежья игра.
Обычная логика использования опциона put это логика отсечения убытков с фиксацией нижнего предела доходности, который не зависит от того, насколько глубоко провалился по цене подлежащий актив. Но для нас не имеет значения, какой стратегии придерживается инвестор.
Мы понимаем, что опцион put является потенциальным средством извлечения доходов, и нам эту доходность хотелось бы вероятностно описать.
Проведем рассуждения по аналогии с предыдущим разделом работы. Случайная величина дохода по опциону связана со случайной величиной финальной цены подлежащего актива соотношением.
При произвольном распределении финальной цены результаты были бы другими.
Теперь нетрудно перейти к распределению доходности R(v), пользуясь (3.69), (3.70) и (3.71):
Инвестор ориентируется на следующие параметры доходности и риска подлежащего актива: текущая доходность r = 30% годовых, СКО случайной величины текущей доходности r = 20% годовых. В пересчете на финальную цену ST это означает, что через время Т = 0.5 лет подлежащий актив будет иметь нормальное распределение ST с параметрами sT = 115 ед. и S = 10 ед.
Требуется определить доходность и риск опциона в момент времени Т = 0.5 года.
Все полученные соотношения реализованы в компьютерной программе. Расчет по формулам (3.63) - (3.65) дает QT = 0.335,
Это означает, что вложения в непокрытые опционы с точки зрения риска сопоставимы с игрой в орлянку. Для put опциона в деньгах сопоставимыми являются цена исполнения, с одной стороны, и сумма цены опциона и ожидаемой цены подлежащего актива с другой стороны.
Исследуем рынок полугодовых call-опционов компании IBM. Это можно сделать, воспользовавшись материалами по текущим котировкам опционов на сервере MSN. Исследуем вопрос, какие из обращающихся на рынке call-опционы нам предпочтительнее покупать. Для этого нам нужно задаться прогнозными параметрами распределения доходности подлежащего актива, близкими к реальным.
Это будет как бы тот ранжир, которым будут вымеряться опционы выделенной группы.
Взглянем на вектор исторических данных IBM за прошедший квартал (3.2.3). Процесс существенно нестационарен, поэтому стандартной линейной регрессией пользоваться нельзя. Глядя на график, зададимся умеренной оценкой доходности порядка 30% годовых и СКО доходности в 30% годовых.
Эти параметры и примем за базовые.
Стартовая цена подлежащего актива на дату покупки опциона 114.25$. Соответственно, через полгода мы должны иметь финальное распределение цены подлежащего актива с параметрами: среднеее 131$, СКО 17$.
В таблицу 3.2.1 сведены значения доходностей и рисков по каждой группе опционов.
Таблица 3.2.1
# | Symbol | Strike price,$ | Option Price,$ |
Risk |
Return, sh/ y |
Ret/Risk | Rank |
1 | IBMDP | 80 | 35.0 | 0.215 | 0.933 | 4.3 | 2 |
2 | IBMDQ | 85 | 37.6 | 0.363 | 0.468 | 1.3 | |
3 | IBMDR | 90 | 29.2 | 0.279 | 0.822 | 3.0 | 3 |
4 | IBMDS | 95 | 22.8 | 0.244 | 1.059 | 4.5 | 1 |
5 | IBMDT | 100 | 21.5 | 0.314 | 0.817 | 2.6 | 4 |
6 | IBMDA | 105 | 18.9 | 0.361 | 0.658 | 1.8 | |
7 | IBMDB | 110 | 17.3 | 0.435 | 0.393 | 0.9 | |
8 | IBMDC | 115 | 13.5 | 0.456 | 0.246 | 0.5 |
# |
Symbol |
Strike price, $ | Option Price, $ |
Risk |
Return, sh/ y |
1 | IBMPF | 130 | 22.3 | 0.93 | -0.381 |
2 | IBMPG | 135 | 26.9 | 0.929 | -0.512 |
3 | IBMPH | 140 | 32.2 | 0.934 | -0.638 |
4 | IBMPI | 145 | 24.1 | 0.763 | -0.273 |
5 | IBMPJ | 150 | 27.5 | 0.738 | -0.281 |
6 | IBMPK | 155 | 34.6 | 0.785 | -0.428 |
7 | IBMPL | 160 | 48.1 | 0.91 | -0.701 |
Результаты расчетов сведены в таблицу 3.2.3.
Таблица 3.2.3
# | IBM STD, sh/y | IBM return, sh/y | Option risk |
Option return, sh/ y |
1 | 0.1 | -0.1 | 0.908 | -0.957 |
2 | -0.2 | 0.630 | -0.136 | |
3 | -0.3 | 0.252 | 0.730 | |
4 | 0.2 | -0.1 | 0.747 | -0.711 |
5 | -0.2 | 0.566 | -0.053 | |
6 | -0.3 | 0.369 | 0.632 | |
7 | 0.3 | -0.1 | 0.671 | -0.528 |
8 | -0.2 | 0.544 | -0.064 | |
9 | -0.3 | 0.412 | 0.375 |
И тогда мы можем решать задачу Марковица, отыскивая максимум доходности портфеля при фиксированном среднеквадратичном отклонении портфеля.
Во второй части главы мы рассмотрели основные аспекты хеджирования как страхования рисков. Рассмотрели как производятся расчеты по инвестициям в производные инструменты.
Производные инструменты, как основной инструмент по снижению рисков, пользуется большой популярностью на мировых рынках.
В работе исследованы теоретические и прикладные аспекты финансового управления инвестиционными рисками с использованием ценных бумаг.
Практическая значимость работы состоит в том, что применение рассмотренных моделей поможет лучше управлять собственными и клиентскими рисками, снизить возможности потерь и получить дополнительную прибыль в деятельности российских банков.
В соответствии с целями и задачами исследования были рассмотрены следующие группы проблем:
в первой главе одна из проблем была связана с анализом теоретических аспектов управления инвестиционными рисками. Для изучения предпосылок финансового управления рисками в качестве исходной базы было принято положение о том, что возникновение моделей по снижению инвестиционных рисков было определено новыми потребностями финансовых рынков, возникшими в последние десятилетия.
Появление новых финансовых продуктов и услуг помогло рынкам сохранить стабильность и управляемость.
Важнейшими причинами, из-за которых стали активнее использовать методы по управлению инвестиционными рисками: усиление неравномерности экономического развития и международная интеграция, периодические финансовые кризисы в различных странах, концентрация рисков у банковских заемщиков, глобализацией рисков хозяйственной деятельности на формирующихся рынках (emerging markets), развитие внебалансовых операций банков, усложнение финансовых потребностей их клиентов.
Выделим основные моменты по оценке инвестиционных рисков, на которые нужно обратить внимание во второй главе работы. Ожидаемая доходность служит мерой потенциального вознаграждения, связанного с портфелем.
Стандартное отклонение рассматривается как мера риска портфеля. Ожидаемая доходность портфеля является средневзвешенной ожидаемой доходностью ценных бумаг, входящих в портфель. В качестве весов служат относительные пропорции ценных бумаг, входящих в портфель.
Ковариация и корреляция измеряют степень согласованности изменений значений двух случайных переменных.
Одной из распространенных моделей по оценке рисков является VaR модель. VaR величина максимально возможных потерь, такая, что потери в стоимости данного портфеля инвестора за определенный период времени с заданной вероятностью не превысят этой величины.
Таким образом, VaR дает вероятностную оценку потенциальных убытков по портфелю в течение определенного периода при экспертно заданном доверительном уровне.
В третьей главе работы мы получили вероятностную интерпретацию цены долгового инструмента. Зная матожидание и дисперсию цены, мы можем оценивать то же для текущей доходности.
И тогда мы можем решать задачу Марковица, отыскивая максимум доходности портфеля при фиксированном среднеквадратичном отклонении портфеля.
Во второй части главы мы рассмотрели основные аспекты хеджирования как страхования рисков. Рассмотрели как производятся расчеты по инвестициям в производные инструменты.
Производные инструменты, как основной инструмент по снижению рисков, пользуется большой популярностью на мировых рынках.
Резюмируя все вышесказанное, можно сказать, что, в принципе, все приведенные модели по управлению инвестиционными рисками являются классикой инвестиционного анализа. На самом деле, в мире используется многочисленное количество моделей по оценке рисков. Каждая модель имеет свои недостатки и преимущества, которые устраняются или дополняются.
По данным Татфондбанка можно отметить, что им применялась не одна модель по оценке риска. В результате, применение какой-либо модели по оценке риска в полной мере сейчас не применяется в силу выявленных в них недостатков.
Cписок литературы