ФОРМИРОВАНИЕ ПРОГНОЗНОГО ФИНАНСОВОГО ПЛАНА
F( x, x2_xn ,Z ) = F(x1, x 2_xn ) - (1 + Z ) (1.3.3)
где X - случайная величина, такая, что
E(X ) = 0. (1.3.4)
Случайная величина X характеризует возможные отклонения реального объема от его среднего значения F(x1t x2, xn), т.е. X означает степень неожиданности, непредвиденности результатов при данных затратах и определяется для каждого направления деятельности следующим образом 22
где y{ - фактический объем прибыли в і-ой сфере, уі -рассчитанный по формуле (1.3.2’).
Относительно вида распределения случайной величины X можно сделать следующие предположения:
0, если z 81 ;
Р( X z) = G(z), если S1 z S2;
(1.3.5)
1, если z S2,
где G(z) - функция распределения вероятностей случайной величины X , а St (і=1, 2) - коэффициенты, принимающие значения из интервала (0, 1) и определяющие амплитуду колебаний
реального объема выпуска вокруг своего среднего значения.
Для каждой сферы производственной деятельности эти коэффициенты могут быть найдены следующим образом. По имеющимся опытным данным для і-го направления распределения об объеме вложенных средств xti в момент времени t и соответствующего полученного эффекта у‘ строится математическая зависимость вида (1.3.2’). Затем для каждого момента времени определяем относительные отклонения фактических значений yit от теоретических yit :
Найдем верхнюю S 2 = max D и нижнюю границы
5( = min Ai (1.3.8)
отклонений. Полагая, что существующая зависимость не изменит своего характера, предположим 51 Xi 52.
Задача максимизации ожидаемой чистой прибыли сводится в рассматриваемом случае к определению max W(x1 ,x2,...,xn)
xl,x2.--.xn
n
при ограничениях ^ xt T, xt 0, i = 1,n ,
i=1
причем
W (x1,x2,...,xn ) = jy, (:fi)(1 + x )j = Z
vi(x,)* J(1 + zk(z')dz
51
(1.3.9)
где g(z)=G’(z) - плотность распределения вероятностей случайных отклонений X в предположении, что она существует.
Если о случайной величине X известно только то, что она
принимает значения из интервала (51,52), то исходя из принципа максимума энтропии, следует использовать равномерный на этом интервале закон распределения. Тогда зависимость общего эффекта от варианта распределения средств с учетом неопределенности характеристик производственного процесса примет вид
ki
W(x1 ’...,xn ) = Ё
(1.3.10)
1 + bi - e-
i=1
Имея временной статистический ряд вложений и соответствующих полученных доходов длины N, эмпирическая
функция распределения вероятностей случайной величины X также может быть построена с помощью метода скользящих окон.
Пример. Рассмотрим применение изложенного метода к задаче распределения средств (Т=2000) между тремя возможными направлениями, каждое из которых описывается логистической функцией дохода.
Приведенная далее таблица 1.3.1 содержит исходные данные для определения коэффициентов аналитического выражения (1-й, 2-й и 3-й столбцы).
Таблица 1.3.1
| 1 функция | ||||
| момент времени, t |
Значения аргумента, x | Значения функции, Уточн |
Значения функции, Yприбл |
относитель ное отклонение |
| 1 | 100.00 | 580.09 | 600.00 | 0.03 |
| 2 | 200.00 | 604.24 | 630.00 | 0.04 |
| 3 | 450.00 | 662.21 | 610.00 | -0.08 |
| 4 | 300.00 | 627.88 | 590.00 | -0.06 |
| 5 | 1,100.00 | 789.70 | 800.00 | 0.01 |
| 2 функция | ||||
| момент времени, t |
Значения аргумента, x | Значения функции, Y |
Значения функции, Yприбл |
относитель ное отклонение |
| 1 | 150.00 | 565.92 | 515.00 | -0.09 |
| 2 | 170.00 | 583.50 | 610.00 | 0.05 |
| 3 | 210.00 | 611.90 | 630.00 | 0.03 |
| 4 | 280.00 | 644.15 | 623.00 | -0.03 |
| 5 | 400.00 | 668.66 | 670.00 | 0.00 |
| 3 функция | ||||
| момент времени, t |
Значения аргумента, x | Значения функции, Y |
Значения функции, Yприбл |
относитель ное отклонение |
| 1 | 270.00 | 757.75 | 740.00 | -0.02 |
| 2 | 320.00 | 943.27 | 920.00 | -0.02 |
| 3 | 345.00 | 999.29 | 1,100.00 | 0.10 |
| 4 | 500.00 | 1,095.03 | 1,150.00 | 0.05 |
| 5 | 620.00 | 1,099.55 | 1,080.00 | -0.02 |
| Найденные параметры кривых приведены в таблице 1.3.2. Таблица 1.3.2 |
||||||||||||||||
|
Таблица 1.3.3
| 1 кривая | |
| Верхняя граница | 0.04 |
| Нижняя граница | -0.08 |
| 2 кривая | |
| Верхняя граница | 0.01 |
| Нижняя граница | -0.08 |
| 3 кривая | |
| Верхняя граница | 0.01 |
| Нижняя граница | -0.09 |
Таблица 1.3.4 представляет собой основную рабочую таблицу задачи. Ее последний столбец содержит ожидаемое значение дохода для соответствующего варианта распределения, вычисляемое по формуле (1.3.10).
| Таблица 1.3.4 Фрагмент выборки для метода Монте-Карло Распределение средств между 3 видами деятельности |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
/center> |
Второй подход. Поскольку второй вариант постановки стохастической задачи основан на двухкритериальной задаче, имеющей следующие целевые функции
доход ® max, (13 11)
риск ® min, (.. 1
то обратим внимание на возможности количественной оценки указанных критериев и подходы к решению, связанные с векторным характером задачи.
Особенностью этой задачи, как и любой задачи векторной оптимизации, является принятие решения, последствия которого станут до конца ясными лишь в будущем. Как и в любой жизненной ситуации, эти последствия не могут быть объективно оценены при помощи математических расчетов. Каждый получаемый, эффективный по Парето, вариант решения имеет оценку по двум противоречивым критериям, расчеты не могут определить компромисс между этими критериями. Но поскольку выбор одного из вариантов должен быть осуществлен в любом случае, то неопределенность, связанная с наличием двух критериев, может быть устранена только на основе информации, полученной от экспертов или же с помощью внешнего критерия, не входящего в состав целевых функций задачи.
Количественная оценка критерия дохода определяется, согласно описанному выше подходу, как сумма прибылей, полученных во всех сферах деятельности. Этот подход, отличный от классической оценки доходности портфеля вложений как средневзвешенной доходностей его составляющих, кажется разумным для моделирования зависимости затраты -выпуск, поскольку развитие производства в любой отрасли в некоторой степени соответствует жизненному циклу, при этом существуют пороговые значения сумм инвестиций, при переходе через которые изменяется величина прибыли на единицу вложений.
При определении оценки риска портфеля вложений кроме классического метода измерения риска с помощью ковариаций
І ±Cj ¦ ¦ Xj = І s2 i ¦ X2 i + ? ±Cj ¦ хг - Xj
i=1 J=1 i=1 i=1 J= 1, J Фi
могут быть использованы и альтернативные подходы. Например, определение риска с использованием понятий теории информации, позволяющие оценить содержание, полезность полученных данных для их потребителя. Применительно к проблеме распределения средств: информация, полученная от экспертов, может быть названа полезной, если после того, как управляющий учел ее при принятии решения, были достигнуты более высокие результаты. При анализе распределения инвестиций будем использовать понятия теории информации: неопределенность и энтропия. Величину
N(X /X*) = ~І xi ¦ ln x* , где xi 0 и Іxi = 1,
i =1 i =1
(если брать log2 , то N(X*/X) измеряется в битах) называют неопределенностью для ситуации, когда истинное распределение есть X*, а человек , решающий задачу, думает, что оно есть X. Изменение неопределенности можно интерпретировать как процесс запасания полезной информации. За нулевой уровень часто удобно принимать запас полезной информации при xi = 1/n , i = 1,n . Если мы ничего не знаем о распределении X*, то в некотором смысле гипотеза xi = 1/n является оптимальной: если мы не имеем сведений о событиях, объектах, то будем считать их
равновероятными, имеющими одинаковые характеристики. При таком подходе запас полезной информации, содержащийся в гипотезе X относительно задачи с распределением ответа X*, дается соотношением
1п = log(n) - N(X* / X) .
Т.о. полезная информация зависит не от точности, с которой известны X, а от того, насколько X соответствует X*.
Нижней границей неопределенности является энтропия распределения X*, равная
H(X ) = -^ Xj ¦ ln xi
i=1
Модифицируем определение энтропии, нормируем ее:
H"(X) = 1 - H(X)/ ln(п)
Величина H'(X) принимает значения из интервала [0, 1), H'(X) = 0 при х^ = 1/п для i = 1,п . Ее значение можно рассматривать как меру риска портфеля вложений. H'(X) показывает степень отклонения распределения X от равномерного распределения (1/п, 1/п, ..., 1/п). При равномерном распределении средств велика вероятность того, что выбор сделан неправильно, и чем меньше H'(X), то есть чем ближе распределение к равномерному, значит, тем больше возможность ошибиться при наборе портфеля, и тем больше риск; т.е. неопределенность рассматривается как мера риска, возможности сделать неправильный выбор.
Если мы хотим при измерении риска учитывать только вероятность нежелательных результатов инвестирования, то простейшим способом его измерения является вероятность недобора, измеряющая шансы на то, что доходность направления 30
окажется ниже ожидаемой доходности. По существу, это доля вероятностного распределения, лежащая справа от ожидаемой доходности.
Более сложные способы измерения риска получения доходности ниже ожидаемой производятся с помощью семейства статистических данных, известных как частичные моменты низких порядков. Например, средний недобор измеряет среднее отклонение доходности ценной бумаги вниз от ожидаемой доходности. Он является более полезным, чем вероятность недобора, т.к. принимает во внимание величину каждого отрицательного отклонения и показывает какова может быть величина уменьшения относительно ожидаемой доходности.
Мерой риска, учитывающей лишь случаи снижения доходности по отношению к среднему значению, является полувариация. Она рассчитывается как обычная вариация кроме тех случаев, когда доходность выше ожидаемой.
Еще одним альтернативным методом измерения риска является определение величины потерь, такой, что потери в доходности портфеля за определенный период времени с заданной вероятностью не превысят этой величины (стоимостная оценка риска VAR).
Перейдем к формулировке задачи, в которой второй критерий - оценка рискованности предлагаемого варианта распределения средств - может определяться одним из описанных выше способом.
Постановка интервальной задачи. Приводимая ниже задача отличается от классических стохастических моделей планирования производства тем, что кроме областей возможного изменения параметров (оценок доходности каждой сферы деятельности;
величин, характеризующих рискованность вложений средств в каждое из рассматриваемых направлений) содержит еще и два критерия. Т.е. отражает как бы два вида неопределенности: неточность, неполноту, частичную недоступность информации о внешней среде и противоречивость внутренних целей любой производственной деятельности. Указанное обстоятельство приводит к некоторым изменениям в применении классических критериев принятия решений.
Рассмотрим математическую постановку задачи. В реальной ситуации точные значения внешних переменных обычно неизвестны, поэтому возникает необходимость привлечения других методов, которые способны дать представление о значениях и закономерностях изменения переменных в течение того периода, на который строится прогноз. Далее предлагается подход к решению задачи распределения средств на основе модели, экзогенные параметры которой предварительно оценены по статистической информации.
Возьмем в качестве интервальной оценки будущей доходности сферы деятельности отрезок, задаваемый минимальным и максимальным ее значением в предыдущих периодах. При этом необходимо быть уверенным, что в следующем периоде существенных изменений на рынке не произойдет. Т. о. сформируем вектор верхних и нижних границ
min Eti Ei max Ei (1.3.12)
t t
или
E_ E E .
Аналогичным образом определим границы для матрицы ковариаций:
C ? C ? C или С, ? С, ? С, , (1.3.13)
У У У
где с.,- = min cj , cH = max cj .
if ^ if if ? if
Приходим к задаче, о коэффициентах которой известно лишь то, что они находятся в некотором множестве, отражающем все реальные ситуации:
min XTCTX, C ? C ? C , (1.3.14)
max ETX, E ? E ? E, (1.3.15)
? Xt = 1, Xt 0, i = 1,2,...,n . (1.3.16)
i=1
Возможные алгоритмы решения. Так как ограничения (1.3.12)-(1.3.13) задают бесконечное число возможных реализаций будущей ситуации, исследовать которые все не представляется возможным, то упростим задачу (1.3.14) - (1.3.16), введя параметр а е [0,1 ] , определяющий характеристики ситуаций следующим образом:
Ck = а к - C + (1 - а к) - C, Ek = а к - E + (1 - а к) - E,
где ак = ак-1 + h , h = ^, а0 = 0, к = 1,N . (1.3.17)
Задача (1.3.14) - (1.3.16) решается N раз при соответствующих коэффициентах целевых функций Ck и Eli. При отсутствии экспертных процедур выбора единственного решения из получаемых на каждом шаге множеств эффективных точек может быть использована процедура выбора недоминируемых точек, заключающаяся в определении альтернативы, наиболее близкой к
33
"оптимальной" по всем критериям. Т.е. этот подход позволяет сузить множество Парето-оптимальных точек до единственной.
Пусть множество критериев задачи векторной оптимизации имеет вид f (f1, f2, а W - множество допустимых значений аргументов, то идеальная точка определяется следующим образом. Каждая отдельная компонента F(X) имеет максимум при некотором X е W , предположим, ft(X) достигает
своего экстремума при X е W. Можно записать, что
extr fi(X) = fl(X) = f. Тогда вектор f ={fl ) есть
идеальная точка, т.е. вектор всех экстремальных допустимых значений, достигаемых отдельными целевыми функциями на множестве W. Но такое идеальное решение чаще всего невозможно. Будем предполагать, что ЛПР стремится найти такое решение, которое было бы как можно ближе расположено к идеальной точке.
Выбор такого "компромиссного варианта" возможно и не является оптимальным, но оказывается наиболее предпочтительным по совокупности критериев.
Алгоритм
Для двухкритериальной задачи (1.3.14)-(1.3.16) определяем идеальную точку, решая две оптимизационные задачи:
minXTCkX *
¦V -1 ъ 0 из нее находим точку X1 и соответствующее
/ Хі 1, Xi Ъ 0
i-1
значение целевой функции f ;
max EkTX *
n _ i 0 из нее находим точку X2 и соответствующее
/ . Xi _ 1 Xi 0
i_1
значение целевой функции f2 .
Идеальная точка в пространстве критериев имеет следующие координаты F _ (f , f2 ) .
Ищем решение задачи d(F(X), F *) ® min
/ хг _ 1, Xi 0 ’
i_l
где d(F(X),F ) расстояние между двумя точками в пространстве критериев, определяемое одним из следующих способов
d(F,F *) _
(fl - fi* )2 +(/2 - f2
или
d(F,F*) _\fi - f*\ +1 f2 - f
После N повторений процедур (1)-(2) получаем серию точек
внешних и
fak,Xk')}, соответствующих различным реализациям
внутренних условий (Ck,Ek). Следующим сложным вопросом является процедура выбора определенной программы из этого множества точек.
Пример. В приведенном далее примере используются следующие исходные данные: таблица 1.3.5 содержит верхние и нижние границы координат вектора доходностей направлений деятельности; таблица 1.3.6 - содержит матрицы, элементы которых представляют собой максимальное и минимальное значение матрицы ковариаций доходностей.
Таблица 1.3.5
| Е | Е | |
| 1 | 0,7 | 0,6 |
| 2 | 0,4 | 0,2 |
| 3 | 1,2 | 0,6 |
| Таблица 1.3.6 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| Фрагмент рабочей таблицы | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| 8 | 0,40742 | 0,390 | 0,201 | 0,623576 | 0,54158 | 0,132053 | |
| 9 | 0,86324 | 0,043 | 0,093 | 0,696084 | 0,50243 | 0,080524 | |
| 10 | 0,13858 | 0,0929 | 0,768 | 0,932991 | 0,77854 | 0,112169 |
распределения (Xh X2, X3) определяется точка, самая близкая к идеальной. Расстояние между точками определяется стандартной евклидовой мерой.
В результате получена таблица 1.3.7.
| Таблица 1.3.7 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ФОРМИРОВАНИЕ ПРОГНОЗНОГО ФИНАНСОВОГО ПЛАНА ДИВЕРСИФИЦИРОВАННОЙ КОМПАНИИ
Рассмотрим модель финансирования стратегии конгломератной диверсификации. Предполагаем, что
первоначальный анализ предложенных сфер бизнеса, согласно трем перечисленным выше критериям уже проведен и в результате отобрано n направлений деятельности. Объем инвестиций в основной капитал будем считать неизменным, то есть рассмотрим случай, соответствующий только перераспределению средствами между отдельными направлениями корпорации, но не предполагающий свертывания или ликвидации какого-либо направления.
Реконструкция бизнеса также не производится, но происходят изменения в издержках и объемах производства различных блоков, что в свою очередь приводит к изменениям потребности в оборотном капитале.
Горизонт планирования составляет m лет, на протяжении которых компания фиксирована во вложениях долгосрочного характера, что обеспечивает некий минимальный объем производства в каждом блоке и определяет величину амортизационных отчислений (di, i = 1,n). Часть капитала, находящаяся ежегодно в обороте, может быть направлена на финансирование расширения текущей деятельности одного направления за счет некоторого сокращения других.
В модели используются следующие допущения и обозначения. Все сырье, которое требуется для производства, поступает от внешних фирм. В качестве исходных данных вводятся следующие переменные:
цена продукции /-го блока p\ (i = 1,n ; t = 1,m) изменяется в течение периода планирования в соответствии с общим уровнем инфляции;
издержки производства и реализации подразделяются на переменные и постоянные и составляют cv/ и cf/, амортизация из состава постояных издержек выделяется, так как при анализе денежных потоков она должна быть учтена особо, постоянные издержки приводятся по направлению в целом, а переменные - в расчете на единицу продукции;
расход сырья на производство единицы продукции l/; производительность капитала по каждому блоку компании определяется как
объем производства 1 ; капитал
общий объем капитала Кt, его распределение между блоками компании в t-м году К/, часть капитала фиксированная в основных
ту 0
средствах К / .
Капитал, включающий основные и оборотные средства, ограничивает объемы производства и продаж. Величина капитала является одним из наиболее важных ограничений в модели, его увеличение может производиться за счет инвестиций (капитальных вложений).
Компания не располагает достаточными средствами для финансирования расширения производства во всех блоках одновременно, поэтому при изменении внешних условий возникает необходимость в распределении ограниченной суммы (общий капитал компании К) между не связанными технологически блоками оптимальным образом.
Ликвидность, кредитоспособность и рациональная структура капитала являются необходимыми, но недостаточными элементами ее финансовой устойчивости. Важным фактором, определяющим платежеспособность и финансовую стабильность, является возможность генерировать устойчивый денежный поток, который обеспечивает потребности текущей операционной деятельности и прирост стоимости капитала. Поэтому оптимальное распределение вложений в течение периода планирования должно позволять предприятию генерировать положительный денежный поток, превосходящий заданную величину M:
Е( ЧДД) M,M 0.
Результирующий показатель - чистый денежный дисконтированный поток - формируется за счет поступлений от деятельности направлений, очищенных от всех необходимых расходов. Этот доход, получаемый от всего портфеля за весь период планирования m, соответствует приросту капитала компании
m П
ЧДД = (1 - а)?(?(Р‘ - cv‘) - q\) * at -
t=1 i=1
m п m п
- (1 - а )??cf! - at + а - at
t=1 i=1 t=1 i=1
qti = 1i - Kti , i = 1,n ; t = 1,m;
m n
ZZKj = K, Kt K0, K0 = const ,
t=1 i=1
где а - ставка налога на прибыль в долях единицы; q‘ -объемы производства по блокам.
