Фрагмент таблицы Кэли группы системных антипреобразований

Из табл. 3 видно, что, во-первых, результатом совместного действия (композиции) любой пары преобразований является одно из восьми преобразований; во-вторых, композиция любых трех преобразований ассоциативна, например (КлКчZКчО) ZТ = КлКчZ (КчОZТ)=КлО; в-третьих, существует такое тождественное (нейтральное) преобразование Т, композиция которого с любым нетождественным преобразованием дает то же самое нетождественное преобразование, например ТZКч = КчZТ = Кч; в-четвертых, для каждого преобразования существует такое ему обратное, результатом композиции с которым является Т-преобразование (в нашем случае каждое преобразование обратно самому себе); в-пятых, закон Z коммутативен, так как таблица симметрична относительно главной диагонали, проходящей из верхнего левого угла в правый нижний. Следовательно, в данной группе для любой пары преобразований а, в aZb bZa.

В алгебре такие группы называют абелевыми по имени норвежского математика Н. X. Абеля.
Следуя теореме Лагранжа (1771 г.) о том, что во всякой конечной группе порядок любой подгруппы является делителем порядка самой группы, и теореме Силова (1872 г.), согласно которой группа Г порядка g содержит подгруппу порядка k в том случае, если k делитель числа g и k = pm (где р простое число, a m любое положительное целое число), можно показать, что существуют семь подгрупп 2-го порядка, шесть подгрупп 4-го порядка, одна подгруппа 1-го и еще одна 8-го порядка (всего 15 подгрупп).
Существование семи подгрупп (тоже групп!) 2-го порядка говорит о том, что каждое из нетождественных преобразований в сочетании с тождественным образует относительно закона Z группу симметрии 2-го порядка. Но это означает, что буквально каждому виду системных преобразований при определенных условиях присущи гармония, известная полнота и замкнутость на себя.
С точки зрения исторического времени каждый неэволюционный способ системного преобразования предстает как клеточка, неразвитая форма соответствующего эволюционного системного преобразования (подробнее об этом см. параграф 16 настоящей главы). Поэтому применительно к истории неживой, живой природы, общества тождественное преобразование оборачивается стасигенезом, количественное преобразование квантигенезом (с его двумя видами прогрессом и регрессом) , качественное квалигенезом, относительное изогенезом (одноуровневым развитием), … , количественно-качественно-относительное кванти-квали-изогенезом; тождественное и нетождественное преобразования стаси- и неогенезом; группа и подгруппы неэволюционных восьми системных преобразований математически им изоморфными группой и подгруппами восьми эволюционных системных преобразований.
Новый шаг в учении о преобразованиях может быть сделан с помощью диалектического раздвоения каждого преобразования на n пар системных антипреобразований (кстати, в каждом приведенном выше примере четырех основных преобразований мы указали как « + », так и « » их формы). Реальными же аналогами всех таких « + », « » -преобразований могут служить прямые и обратные мутации в биологии, прямые и обратные реакции в химии, физике и т. д.
Для 8 фундаментальных преобразований центрального предложения возможны 27 антипреобразований: 1 для Т; по 2 для Кл, Кч, О; по 4 для КлКч, КлО, КчО; 8 для КлКчО-преобразований. В частности, для Кл-преобразования возможны +Кл, Кл; для КлКч + Кл+Кч, Кл Кч, + Кл Кч, -Кл + Кч; для КлКчО- +Кл +Кч + О, Кл Кч О; +Кл+Кч-О, Кл Кч + О; + Кл-Кч + О, Кл+Кч О; +Кл Кч О, Кл+Кч + О-антипреобразования. Антипреобразованием Т-преобразования является само это преобразование.
Предложение 6. Совокупность 27 антипреобразований относительно закона композиции F есть абелева группа 27-го порядка.
Для схематического изображения «действия» закона F пришлось бы дать квадратную таблицу Кэли, в первом столбце и в первой строке которой были бы приведены обозначения всех 27антипреобразований, а в местах их пересечения результаты композиции по закону F всех возможных пар антипреобразований. В итоге мы получили бы таблицу из 27х27 = 729 клеточек с результатами. Однако вовсе не обязательно строить столь громоздкую таблицу, можно воспользоваться и репрезентативным фрагментом таблицы, который позволяет убедиться в выполнении требований всех четырех аксиом теории групп (табл.

4). Следуя теоремам Лагранжа и Силова, мы получаем 13 подгрупп 3-го порядка, 3 подгруппы 9-го порядка, одну подгруппу первого и еще одну 27-го порядка (всего 18 подгрупп). Существование 13 подгрупп 3-го порядка говорит о том, что пары взаимопротивоположных форм каждого из восьми преобразований в сочетании с тождественным преобразованием относительно закона группы F образуют вполне гармоничную троицу, в чем можно убедиться и по приведенному фрагменту.
Как и ранее, применительно к истории группа и подгруппы меэволюционных 27 системных антипреобразований оборачиваются математически изоморфными им группой и подгруппами 27 эволюционных системных антипреобразований. Существование и у эволюционных системных преобразований, в частности у количественного (квантигенеза), « + »- и « »-реализаций вполне убедительно подтверждают хотя бы следующие данные.
В. А. Догель в книге «Олигомеризация гомологичных органов как один из главных путей эволюции животных» [25] на основании колоссального материала по самым различным группам животных установил реализацию в ходе их эволюции: 1) процесса полимеризации увеличения числа гомологичных органов; 2) процесса олигомеризации уменьшения числа гомологичных органов; 3) смены полимеризации олигомеризацией, а в более редких случаях олигомеризации полимеризацией; 4) полимеризации по одним и олигомеризации по другим органам; 5) сочетания полимеризации с децентрализацией и дезинтеграцией, а олигомеризации с централизацией и интеграцией организма, с большей его дифференциацией, более тонкой и сложной организацией и т. д.

Таблица 4. Фрагмент таблицы Кэли группы системных антипреобразований 27-го порядка

F	Т	+ Кл	-Кл
Т	Т	+ Кл	-Кл
+ Кл	+ Кл	- Кл	Т
-Кл	-Кл	Т	+ Кл

Соответственно восьми случаям центрального предложения и отвечающим им одной подгруппе первого и семи подгруппам второго порядка можно для неживой, живой природы и общества назвать также восемь случаев сохранения: 1) Кл, Кч, О, Z; 2) Кч, О, Z; 3) Кл, О, Z; 4) Кл, Кч, Z; 5) О, Z; 6) Кч, Z; 7) Кл, Z; 8) Z, где четыре индекса Кл, Кч, О, Z обозначают четыре основные формы сохранения соответственно количества, качества, отношений, закона композиции «первичных» элементов. Примерами первых двух случаев могут служить законы сохранения электрического, барионного, лептонного зарядов в квантовой механике; в качестве примера закона сохранения отношений может служить закон постоянства скорости света в пустоте, а примером последнего (8-го) инвариантность законов физики относительно, например, зарядово-пространственно-временного, или СРТ-преобразования по Паули и Людерсу.
Восемь видов сохранения (инвариантности) состоят из четырех пар противоположностей: 1) и 8), 2) и 7), 3) и 6), 4) и 5). Действительно, скажем, в случае 2) сохраняются качество, отношения и закон композиции «первичных» элементов, а количество последних нарушается; в случае же 7), наоборот, сохраняются количество и закон композиции «первичных» элементов, а качество и отношения их нарушаются. Это означает, что разного рода системные преобразования, за исключением Т-преобразования, характеризуются нарушением одних и ненарушением других законов сохранения.
1. Формы изменения, развития, сохранения материи. Исходя из центрального предложения, мы придаем не только теоретико-системный, но и философский смысл основному закону ОТС закону системных преобразований, поскольку он сохраняет значение для всех форм движения и существования материи, любых материальных и идеальных объектов. Действительно, согласно закону системности, любой объект (стало быть, и такой, как форма движения и форма существования материи) суть объект-система и любой объект-система принадлежит хотя бы одной системе объектов одного и того же рода. Это проявляется, в частности, в том, что любая форма движения и любая форма существования материи принадлежат соответственно системе механической, физической, химической, геологической, биологической, социальной форм движения и системе пространства, времени и движения.

Согласно же основному закону ОТС, любой объект-система в рамках системы объектов одного и того же рода благодаря даже только своему существованию будет либо покоиться (относительно), либо изменяться одним из 7 (и только 7) способов, что убедительно подтверждается материалами наук о каждой форме движения и каждой форме существования материи.
2. Важное значение для конкретизации диалектического закона единства и «борьбы» противоположностей имеет положение о диалектике неэволюционных системных преобразований, выраженной в раздвоении их на тождественное и нетождественные преобразования, а нетождественных в зависимости от их вида на 1, 2, 4 пары неэволюционных антипреобразований. Это позволяет впервые говорить о взаимопротивоположных положительных и отрицательных количественных и (или) качественных и (или) относительных формах изменения.

Содержание раздела