УРОВНЕВАЯ СИСТЕМА ПОВТОРНОГО ЗАКАЗА
Рассмотрим случай, когда закупочная цена равна 1,96 у.е. за упаковку. Тогда издержки хранения составят:
Ch = 20 % от 1,96 у.е. = 0,392 у.е. за упаковку ежегодно. Оптимальный размер заказа будет равен:
EOQ
TCP = І2 x10 x 500 = 15972 Ch І 0,392 ’ '
Данное значение меньше, чем нижняя граница интервала предоставления первой скидки, 200 ... 499, следовательно, абсцисса экстремальной точки кривой, соответствующей закупочной цене в 1,96 у.е., не
является допустимым размером заказа. Минимальная возможная стоимость будет получена, если q = 200 упаковкам.
Данное значение меньше, чем нижняя граница интервала предоставления второй скидки 500 и более, следовательно, абсцисса оптимальной точки кривой, соответствующей закупочной цене в 1,92, не является допустимым размером заказа. Минимальная возможная стоимость будет получена, если q = 500 упаковкам.
Минимальная общая стоимость за год (при закупочной цене в 1,92 у.е. за упаковку) = 10 x 500/500 +
0,384 x 1,92 x 500 = = 10 + 96 + 960 = 1066 у.е. в год.
Сравнивая три полученных решения табл. 1.2П, имеем:
1.2П Сравнение минимальных значений общей стоимости, соответствующих трем уровням закупочных цен
| Цена за упаковку, | Размер | Минимальная общая |
| у-е- | заказа | стоимость, у.е. |
| 2,00 | 158 | 1063,20 |
| 1,96 | 200 | 1044,20 |
| 1,92 | 500 | 1066,00 |
З а д а ч а 1.4 На некотором станке производятся детали в количестве 2000 единиц в месяц. Эти детали используются для производства продукции на другом станке производительностью 500 единиц в месяц; оставшиеся детали образуют запас. По оценкам специалистов компании, издержки хранения составляют
20 % средней стоимости запасов в год. Стоимость производства одной детали равна 2,50 у.е.
1) Каким должен быть размер партии деталей, производимой на первом станке, и с какой частотой следует организовывать циклы для производства этих деталей?
2) Если бы можно было снизить издержки производства до 500 у.е.,каков был бы ответ на вопрос 1?
3) Как изменился бы ответ на вопрос 1, если бы произошло дальнейшее снижение стоимости производства до 250 у.е.?
Решение
1) Cs = 1000 у.е. за производство одной партии деталей;
D = 500 деталей в месяц или 6000 деталей в год;
Р = 2000 деталей в месяц или 24000 деталей в год;
Ch = 0,2 х 2,50 у.е. = 0,50 у.е. за единицу детали в год.
ЭКОНОМИЧНЫЙ РАЗМЕР ПАРТИИ ДЕТАЛЕЙ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ПО ФОРМУЛЕ
2CSD,
(P - D)
Ch
Следовательно,
2 х 1000 х 6000
q = V-05-х
24 000
5656,85 .
(24 000 - 6000)
Оптимальный размер партии составляет 5657 деталей. В практических целях полученное значение
можно и далее округлять. Количество партий деталей, которое необходимо произвести в течение года, составит
D / q = 6000 / 5657 = 1,06.
Следовательно, частота производства партий деталей равна q/D лет:
q / D = 5657 /6000 = 0,94 лет или 11,24 месяца.
Общая переменная стоимость производства определяется следующим образом:
TC = CD = Ch (P - D) = q 2P
= 1000 х 6000/5657+0,5 х 18 000 х 5657/ (2 х 24 000)=2121,32 у.е. в год.
Если бы в течение одного года производилась только одна партия деталей объемом 6000 единиц, общая переменная стоимость составила бы
ТС = 1000 х 6000 /6000 + 0,5 х 18 000 х 6000 / (2 х 24 000) = = 2125 у.е. в год.
Очевидно, что компания выберет тот вариант производства, в котором предусматривается выпуск в течение года только одной партии деталей объемом в 6000 единиц.
2) Если стоимость организации производственного цикла снижается до 500 у.е., экономичный раздел партии определяется следующим образом:
\2CSD P
' Ch (P - D)’
следовательно,
24 000
2х 500х 6000 0,5
= 4000 .
q=
(24 000 - 6000)
Оптимальный размер партии равен 4000 деталей. Коли- чество партий деталей, необходимое в течение
года, составит D / q = 6000 / 4000 = 1,5.
Следовательно, частота производства партий деталей равна q/ D лет:
q / D = 4000/6000 = 2 /3 года, или 8 месяцев.
Общая переменная стоимость производства определяется следующим образом:
Если можно снизить стоимость производства наполовину, то экономия общей переменной стоимости составляет 625 у.е. в год. В этом случае производство деталей будет осуществляться партиями по 4000 штук каждые 8 месяцев.
3) Если стоимость организации производственного цикла снижается до 250 у.е., экономичный раздел партии определяется следующим образом:
2CsD P
2 x-,
C (P - D)’
следовательно,TC = CD = C ( p - d) q 2P
x 4000 / (2 x 24 000) = 1500 у.е. в год.
500 x 6000/4000 + 0,5 x 18 000 x
2828,43 .
2 x 250 x 6000 24 000
-x-
0,5 (24 000 - 6000)
Оптимальный размер партии равен 2828 деталей. Количество партий деталей, необходимое в течение года, составит D / q = = 6000/2828 = 2,12.
Следовательно, частота производства партий деталей равна q/ D лет:
q / D = 42 828 /6000 = 0,47 года, или 5,64 месяцев.
Общая переменная стоимость производства определяется следующим образом:
C (P - D)
-- = 250 x 6000 / 2828 + 0,5 x 18 000 x
2P
CD
TC -
x 2828 / (2 x 24 000) = 1060,66 у.е. в год.
Если можно снизить стоимость производственного цикла наполовину, то можно было бы получить дополнительную экономию общей переменной стоимости в 439 у.е. в год.
З а д а ч а 1.5 Одним из наиболее популярных товаров, предлагаемым крупным универмагом по продаже электронной и аудиоаппаратуре, является стереоплейер со встроенным радиоприемником. Спрос на эту продукцию, равный 2000 единиц, равномерно распределяется в течение года.
Закупка плейеров у непосредственного производителя обходится универмагу в 50 у.е., а издержки хранения - 15 % среднегодовой стоимости запасов.
Администратор компании рассматривает вопрос о сокращении запасов данной продукции, что позволило бы улучшить движение потоков наличности. По его оценке система заказов, предусматривающая отсутствие запасов, включая расходы, связанные со снижением объема продаж и утраты доверия клиентов, составляет 5 у.е. в год за один плейер.
Требуется:
1) Определить минимальное значение общей переменной стоимости запасов плейеров при условии, что отсутствие запасов является недопустимым. Каков оптимальный размер заказа?
2) Найти величину экономии, которая достигается при введении системы планирования отсутствия запасов. Принимается предпосылка о покрытии размера дефицита из новых поставок.
Каков оптимальный размер заказа?
Решение
D = 200 плейеров в год;
С0 = 50 у.е. за заказ;
С = 50 у.е. за один плейер;
Ch = 0,15 x 50 у.е. = 7,5 у.е. за единицу продукции в год.
Экономичный размер заказа составит
2Cо D
2 x 50 x 2000 7,5
163,3 .
Ch
Таким образом, в течение каждого цикла заказа компания должна подавать заказ на 163 стереоплейера. Годовая общая переменная стоимость запасов определяется в соответствии с формулой
1224,75 у.е. в год.
TC - CD + Cq = 50 x 2000 + 7,5 x 163 = ~q~ T = 163 2
Плановый дефицит составит: Сь = 5 у.е. за плейер в год. Оптимальный размер заказа равен:
2C0 DCh+Cb
2 x 50 x 2000 7,5 + 5
= 258,2.
Ch
Cb
7,5
В данной ситуации компания должна подавать заказы на партии плейеров размером в 258 единиц. Максимальный размер дефицита равен:
2CD Ch
2 x 50 x 2000 x 7,5 5 x (7,5 + 5)
= 154,9.
Cb
Cb + Ch
После округления получим, что максимальный дефицит составляет 155 плейеров. Общая переменная стоимость за год определяется следующим образом:
TC = CD + Ch(q - S2) + CS2 =
q 2q 2q
774,6 у.е. в год.
50 x 2000 7,5 x (258 -155)2 5 x1552 258 2x258 2x258
По сравнению с основной моделью величина экономии составляет 1224,75 - 774,6 = 450,15 у.е. в год. Таким образом, если компания будет использовать модель планирования дефицита, она сможет достичь экономии общей переменной стоимости запасов, равной 450,15 у.е. в год.
УРОВНЕВАЯ СИСТЕМА ПОВТОРНОГО ЗАКАЗА
М о д е л ь I: Достижение минимального уровня обслуживания
Необходимо принять решение по следующим вопросам:
1) Каково значение фиксированного размера заказа q?
2) При каком уровне запасов следует сделать новый заказ? Эта величина называется уровнем повторного заказа R.
Суть алгоритма состоит в том, чтобы с помощью модели EOQ зафиксировать размер повторного заказа, а затем на этой основе выбрать соответствующее значение повторного заказа. Данный алгоритм не всегда приводит к получению наилучшего решения, однако он позволяет найти достаточно хорошее решение. Для того, чтобы зафиксировать уровень повторного заказа, необходимо знать, как меняется величина спроса в течение исполнения заказа и ожидаемое значение уровня обслуживания.
Общее решение можно показать на примере.
З а д а ч а 1.6 Промышленная компания в одном из технологических процессов использует деталь Х. Эти детали закупаются у внешнего поставщика. Спрос компании на детали Х периодически меняется, однако приблизительно его можно описать с помощью нормального распределения со средним значением, равным 80 деталям в день.
Стандартное отклонение спроса составляет 10 деталей в день. Стоимость каждой детали равна 0,50 у.е. Как было оценено, за каждый заказ поставщик взимает плату в 25 у.е.
Время поставки заказа поставщиком фиксировано и составляет восемь дней. По оценкам специалистов компании, издержки хранения составляют 20 % среднегодовой стоимости запасов.
Компания работает пять дней в неделю в течение 50 недель в году.
Какое количество деталей должна заказывать компания каждый раз и каким должен быть уровень повторного заказа, если нехватка запасов в среднем более чем в 20 циклах нежелательна для компании? Каков размер резервного запаса, соответствующего данному уровню повторного заказа?
Решение
Для определения нужного размера предположим, что спрос постоянен и зафиксирован на уровне среднего значения.
Со = 25 у.е. за один заказ;
D = 80 x 50 x 5 = 20000 деталей в год (в среднем);
Ch = 20 % от 0,5 у.е. = 0,10 у.е. за одну деталь в год.
Если предполагается, что спрос постоянен, то экономичный размер заказа определяется по следующей формуле:
2 x 25 x 20 000
0д
2C D
= 3162,3.
q=
Ch
В качестве размера заказа примем значение, равное 3162 деталей. Максимально допустимый уровень нехватки запасов, как было задано априорно, составляет 1 из 20 циклов, то есть в среднем только в 5 % циклов допускается нехватка запасов.
Следовательно, уровень обслуживания равен 95 %. Поскольку спрос за день аппроксимируется нормальным распределением, спрос в течение поставки также распределен по нормальному закону при условии, что предполагается независимость спроса в любой день от его величины в другие дни.
Среднее значение спроса в течение 8 дней времени поставки составляет: 80 х 8 = 640 деталей. Дисперсия спроса в течение поставки заказа равна: 8 х дисперсия спроса за день = 8 х 102, следовательно, стандартное
отклонение спроса в течение поставки составит: 7 8 х102 = 28,28 деталей.
Уровень повторного заказа R выбирается с тем условием, чтобы вероятность что величина спроса в течение поставки окажется меньше уровня повторного заказа, была не менее 0,95, то есть Р (величина спроса в течение поставки меньше R) 0,95.
ст = 28,3 единицы
Через R
удовлетворяется 95 % спроса
R - 640 ) 28,3 )
По таблицам стандартного нормального распределения находим, что если Р (z
= 0,05, то z
1,645.
Следовательно,
R - 640 28,3
1,645
R = 686,55.
Зафиксируем уровень повторного заказа на уровне 687 деталей. Следовательно, резервный запас составит 47 деталей.
Этот запас необходим для обеспечения колеблемости спроса и требуемого уровня обслуживания.
Предполагается, что 47 деталей находятся в запасе в течение всего периода, таким образом, в данном случае среднегодовой уровень запаса равен (q /2 + 47) деталям.
Если не учитывать величину стоимости нехватки запасов, то общая годовая переменная стоимость определяется как
TC = 2--+ Ch I q + резервный запас I =
+1,10 х| + 47 I = 320,93 у.е. в год.
3162
Стоимость резервного запаса равна: (0,1 х 47) = 4,70 у.е. в год.
М о д е л ь II: Достижение минимальной стоимости
Необходимо принять решение по тем же вопросам, которые были сформулированы для модели I, с использованием такого же алгоритма. Исследуем проблему, поставленную в задаче 6, с точки зрения минимизации общей переменной стоимости за год.
З а д а ч а 1.7 Вернемся к задаче 6. Если возникает нехватка запасов, то процесс производства в компании останавливается, следовательно, при приближении кризиса компания посылает местному поставщику багажный фургон для закупки дополнительной партии деталей. По оценкам фирмы, дополнительная стоимость этой операции составляет О.А. за одну деталь.
Какое количество деталей должна заказывать компания единовременно и каким должен быть уровень повторного заказа, если ее целью является минимизация общей переменной стоимости за год? Каков размер резервного запаса, соответствующий данному уровню повторного заказа?
Решение
Общая переменная стоимость за год = Годовая стоимость подачи заказа + Годовые издержки хранения стандартного запаса + Годовые издержки хранения резервного запаса +
+ Годовая стоимость нехватки запасов.
Фиксированный размер запаса является таким же, как и в примере 6, то есть составляет 3162 деталей в одном заказе, следовательно,
2 + резервный запас
+ С*ъ (математическое ожидание единиц продукции, составляющих нехватку запасов,
ЛЧ 25 х 20 000 Л (3162 1
в год) =--+ 0,1 х I--+ резервный запас I +
3162 ^ 2 )
+ 1* (математическое ожидание единиц продукции, составляющих нехватку запасов, в год).
Мы должны выбрать значение резервного запаса минимизирующее суммарное значение последних двух компонент общей стоимости. По мере увеличения резервного запаса издержки хранения также возрастают, а математическое ожидание количества единиц продукции, составляющей нехватку запасов, снижается, следовательно, снижается и стоимость отсутствия запасов, и наоборот.
Необходимо определить размер резервного запаса, обеспечивающий наилучшее соотношение этих двух величин. Метод, который будет нами использоваться, основан на теории проб и ошибок.
В данной задаче спрос в течение поставки заказа аппроксимируется непрерывным распределением, следовательно, мы должны найти особую точку данного распределения, в которой следует рассчитать и сопоставить стоимость нехватки запасов и издержек хранения резервного запаса. Проверку указанных значений будем производить с интервалами в 10 деталей.
Данный интервал выбирается для удобства расчетов, кроме того, поскольку детали являются относительно недорогими, шаг в 10 деталей является достаточно надежным и обоснованным.
Если спрос в течение поставки не превосходит своего среднего значения, нехватки запасов не появится. Проблемы возникают только в том случае, если значение спроса в течение поставки выше среднего.
Для каждого из выбранных значений резервного запаса вычисляется математическое ожидание количества нехваток запаса в течение цикла. Затем данное значение умножается на число циклов запаса в год, что дает нам математическое ожидание количества нехваток запаса в течение года. Учитывая издержки хранения дополнительного запаса (0,10 у.е. за единицу) и ожидаемую стоимость нехватки запасов (у.е. за единицу), мы можем получить ожидаемую величину общей годовой стоимости, соответствующую данному уровню резервного запаса.
Как правило, эти две стоимости равномерно уменьшаются, пока не достигнут минимального значения, а затем снова начинают возрастать. Как только значения стоимости начинают возрастать, необходимость в дальнейших расчетах отпадает.
Число циклов запаса в год составит 20 000 / 3162 = 6,3 (Примечание: в приведенных ниже расчетах предполагается, что вероятность того, что спрос за время поставки превысит 720, равна нулю).
1.3П Расчет вероятности различных значений спроса в течение поставки с использованием нормального распределения с ц = 640 и с = 28,3 единиц за 8 дней
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
| представляет промежуток от 635 до 645 деталей. Вероятность Р (635 спрос 645) = 0,135 находится с помощью таблиц стандартного нормального распределения. Остальные значения рассчитываются аналогично. |
ТС = 25 х 20 000/3162 + 0,1 х 3162/2 + 0,1 х резервный запас + 1 х х математическое ожидание количества нехваток запасов в год = = 158,1 + 158,1 + 0,1 х 60 + 1 х 0,82 = 323,02 у.е. в год.
Это значение получено с достаточной степенью приближенности, однако вероятнее всего оно является наилучшим значением, которое
можно получить довольно просто. В данном случае переменная стоимость запасов достаточно мала по сравнению со стоимостью закупки
продукции (0,50 у.е. х 20 000 = 10 000 у.е. в год).
1.4П Издержки, соответствующие различным уровням резервного запаса
| Резервный запас |
Удовлетворенный спрос |
Математическое ожидание числа нехваток запасов |
Стоимость у.е. в год | |||
| в течение цикла | в течение года |
нехватки запасов |
резервного запаса |
общая | ||
| 80 | 720 | 0 | 0 | 0 | 80 х 0,10=8 | 8,00 |
| 70 | 710 | 10 х 0,003=0,03 | 0,03 х 6,3=0,19 | 0,19 х 1 | 70 х 0,10=7 | 7,19 |
| 60 | 700 | 20 х 0,03+ + 10 х 0,07=0,13 |
0,13 х 6,3=0,82 | 0,82 х 1 | 60 х 0,10=6 | 6,82 |
| 50 |
|
7,46 |
Время поставки - три дня. По данным о последних 50 циклах заказа было получено следующее распределение частот для спроса:
Таблица 1.5П
| Спрос на телевизоры в течение поставки, шт. | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Число циклов запаса | 1 | 2 | 6 | 8 | 10 | 8 | 8 | 5 | 2 |
Насколько велик размер резервного запаса, соответствующий данному уровню повторного заказа?
Решение
Общая переменная стоимость за год = Годовая стоимость подачи заказа + Годовые издержки хранения стандартного запаса + Годовые издержки хранения резервного запаса + + Годовые издержки хранения отсутствия запасов.
D - ежегодный спрос на запас продукции;
D = 475 телевизоров в среднем за год;
С0 = 50 у.е. за заказ;
Си = 0,15 Ф 250 у.е. = 37,50 у.е. за телевизор в год;
С = 250 у.е. за телевизор;
Съ = 20 у.е. за телевизор.
Используя среднее значение спроса и зафиксировав размер заказа на уровне EOQ, получим
475
37,5
2 х 50 х
35,6.
В качестве фиксированного размера заказа выберем значение, равное 36 телевизорам.
C D
TC = -2- + -
q
-2 + резервный запас
+ Съ (математическое ожидание единиц продукции, составляющих нехватку запасов, в год) =
= 50 Ф 475/36 + 37,5 Ф 36/2 + 37,5 Фрезервный запас + 20 Ф Ф математическое ожидание размера нехватки запасов за год = = 1334,72 + 37,5 (резервный запас) + 20 Ф
математическое
ожидание размера нехватки запасов за год (у.е. в год).
Необходимо определить такой размер резервного запаса, при котором достигается минимум двух последних видов издержек. Если спрос в течение поставки не превышает среднего значения, нехватка запасов отсутствует.
Проблема возникает только в том случае, когда спрос в течение поставки превышает его средний уровень.
Средний спрос за день составляет: 475/300 = 1,58 телевизоров. Таким образом, средний спрос в течение поставки определяется как 1,58 Ф 3 = 4,75.
Допустив некоторую погрешность в округлении, решим, что спрос равен 4 телевизорам. Распределение вероятностей значений спроса за время поставки можно найти из соответствующего распределения частот:
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ РАЗЛИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ СПРОСА В ТЕЧЕНИЕ ПОСТАВКИ
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
| ДЛЯ СООТВЕТСТВУЮЩИХ ЗНАЧЕНИЙ СПРОСА ЗА ВРЕМЯ ПОСТАВКИ |
| Приближенное значение спроса в течение поставки |
Вероятность появления этого значения |
Резервный запас, требующийся для удовлетворения этого спроса |
| 640 | 0,135 | 0 |
| 650 | 0,134 | 10 |
| 660 | 0,109 | 20 |
| 670 | 0,082 | 30 |
| 680 | 0,052 | 40 |
Для того, что бы получить ожидаемое значение общей стоимости, соответствующее данному размеру резервного запаса, необходимо принять во внимание издержки хранения дополнительного запаса (37,5 у.е. за единицу продукции) и расходы, связанные с нехваткой запасов (20 у.е. за единицу продукции). Количество циклов запаса составит за год: 475/36 = 13,2.
Ожидаемое значение общей стоимости возрастает, следовательно, можно предположить, что ее минимум достигается в случае, когда резервный запас состоит из 2 телевизоров. Если предположить, что среднее значение спроса в течение времени поставки равно 4, уровень повторного заказа составит: 4 + 2 = 6 телевизоров. В этом случае общая переменная стоимость за год будет равна:
ТС = 1334,72 + 37,5 Ф (резервный запас) + 20 Ф(математическое ожидание размера нехватки запаса за год) =
= 1334,72 + 75,0 + 47,52 = 1457,24 у.е. в год.
ЗНАЧЕНИЯ СТОИМОСТИ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ РАЗЛИЧНОМУ РАЗМЕРУ РЕЗЕРВНОГО ЗАПАСА
| Резервный запас |
Удовлетворенный спрос |
Математическое ожидание числа нехваток запасов |
Стоимость у.е. в год | |||
| в течение цикла |
в течение года |
нехватки запасов |
резервног о запаса |
общая | ||
| 4 | 8 | 0 | 0 | 0 | 4 Ф 37,5 = 15 | 150,0 |
| 3 | 7 | 1 Ф 0,4=0,4 | 0,04 Ф 13,2= | 0,528 Ф 20 | 3 Ф 37,5 = 112,5 | 123,1 |
| = 0,528 | == 10,56 | |||||
| 2 | 6 | 2 Ф 0,04 +1 Ф Ф 0,01= 0,18 |
0,18 Ф 13,2= =2,376 |
2,736 Ф 20 = = 47,52 | 2 Ф 37,5 = 75 | 122,5 |
| 1 | 5 | 3 Ф 0,04+2 Ф Ф0,01 + 1 Ф Ф 0,16=0,48 |
0,48 Ф 13,2= = 6,336 |
6,336 Ф 20 = =126,72 | 1 Ф 37,5=37,5 | 164,2 |
ЦИКЛИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ПОВТОРНОГО ЗАКАЗА
Основная циклическая модель повторного заказа предназначена для принятия решений по следующим двум вопросам:
1. Каковы границы фиксированного интервала, в котором следует осуществлять подачу заказа?
2. Какое количество продукции необходимо заказывать?
Рассмотрим задачу в два этапа, что позволит получить достаточно хорошее, но не обязательно оптимальное, решение.
