Прогнозирование показателей ЛС с использованием функций с гибкой структурой
Часто для логистического менеджмента важным является получение прогноза агрегированного показателя (например, объема продаж ГП) в зависимости от одного или нескольких факторов, характеризующих, например, мощность и производительность технологического оборудования, использования основных фондов и оборотного капитала, трудовых ресурсов и т.п. В этих случаях, как правило, применяют двух и многофакторные корреляционно-регрессионные модели, общим ограничением которых является невозможность непосредственного использования для целей прогнозирования. Кроме того характер связи между факторами может отличаться от линейного, что создает дополнительные трудности вычислительного характера. Для построения прогнозов логистических показателей на основе использования предположения о наличии статистической связи между двумя показателями у и х может быть эффективно использован математический аппарат функций с гибкой структурой (ФГС) [67].
Форма ФГС может изменяться и автоматически определяться в процессе прогнозирования, учитывая не только статистическую зависимость у = (х), но и собственные временные тенденции изменения каждого фактора. С помощью ФГС можно решать и важные для логистики обратные задачи: например, для запланированного объема продаж определить экстенсивные и интенсивные производственные факторы и параметры.
F(x) = A0 +
| n |
| j = 1 |
| i(x) |
| D |
и имеет вид:
где n - фиксированное натуральное число;
- х0 - начальное значение фактора-аргумента на рассматриваемом интервале;
- А0, А1, Аn - параметры;
- D - определитель Ван-дер-Монда n-го порядка.
D =
| 1 [ZEBR_TAG_/tr |
| 2 |
| n - 1 |
| 3 |
| n - 1 |
| n |
j(x - x0) - функции, получаемые из определителя D путем замены j-й строки на экспоненты вида
| 1 |
| rv |
Идея метода ФГС заключается в представлении исходного процесса в виде
у(х) = F(x) + R(x), (14.81)
где R(x) -функция точности приближения (остаток);
F(x) - ФГС.
Основное влияние на структуру ФГС оказывают значения r(j = 1, n). Если все они - действительные числа, различные и не равные нулю, то ФГС будет представлять собой линейную комбинацию экспонент.
Если числа ri - комплексные, то ФГС является суммой экспонент, умноженных на гармонические (sin - cos) составляющие. При равенстве rj = 0 (j = 1, n) ФГС преобразуется в степенной многочлен.
Таким образом, основным становится вопрос о нахождении оптимальных значений rj, (j = l, n).
Если функция у(х) дифференцируема, то в качестве параметров А0, А1, ..., Aj можно взять соответствующие производные от у(х), тогда (14.79) запишется в виде
F(x) = y(x0) +
| n |
| j = 1 |
| j(x - x0) |
| D |
При этом числа r1,..., rn рассматриваются как корни базисного уравнения
rn + an - 1rn - 1 + an - 2rn - 2 + ... + a1r + a0 = 0. (14.83)
Аналитическое выражение остатка в формуле (14.81) имеет следующий вид
R(x) =
| x |
| x0 |
| t |
| x0 |
| n(t - ) |
| D |
где n(t - ) получается из определителя D заменой n-й строки (последней) на строку экспонент вида
lrv(t - ), (v = 1, n). (14.85)
Функция ( ) уравнения (14.84) определяется из уравнения
( ) = yn + 1() + an - 1yn() + ... + а1у(2)() + а0y(1)(), (14.86)
где y(j) - j-я производная у.
Идея оптимальной аппроксимации при использовании ФГС сводится к минимизации остатка R(x) установлению таких значений параметров a0, a1, ..., an - 1 чтобы значение остатка в каждой точке отрезка аппроксимации не превышало некоторой заданной величины погрешности аппроксимации - это и определяет вид ФГС.
Рассмотрим простейший случай, когда n = 1. Тогда выражение (14.82) можно записать в виде
F(x) = у(х0) + у'(х0)
| [ |
| lr(x - x0) |
| r |
| ] |
Базисное уравнение (14.83) для r примет вид:
r + a0 = 0. (14.88)
Функция ( ) = (х) для остатка R(x) из уравнения (14.86) превратится в
( ) = у(х) + а0у'(х). (14.89)
Условие минимума остатка можно представить в виде (x) = 0, что обеспечит нулевую погрешность аппроксимации. Тогда для того, чтобы избавиться от производных в уравнении (14.89) проинтегрируем его
у'(х) + a0у(х) = с1. (14.90)
Подставляя в это выражение значение начальной точки для аргумента х = х0, получим
у'(х0) = с1 - a0у(х0). (14.91)
Еще раз интегрируем уравнение (14.90)
у(х)= a0
| x |
| x0 |
При х = x0 мы имеем с0 = у(х0), тогда уравнение (14.92) примет вид
с1(х - х0) - а0
| x |
| x0 |
Из уравнения (14.93) видно, что оно содержит две неизвестные постоянные a0, с1 и интеграл. Интеграл задан табличной функцией у(х) и может быть вычислен графически.
Для вычисления с1 и a0 образуем на основе уравнения (14.93) систему уравнений с двумя неизвестными. Это можно сделать, если подставить в (14.93) значения еще двух точек, взятых из временного ряда у(х). Тогда
| а0 [ZEBR_TAG_table border=1 |
| x1 |
| x0 |
| x2 |
| x0 |
После вычисления интегралов находим неизвестные коэффициенты с1 и a0. Затем определяем значение первой производной у'(x0) из уравнения (14.91).
Корень базисного уравнения r = а0 со знаком минус. Вычисленные параметры подставляем в формулу для ФГС (14.87) и получим аналитическое выражение для у(х).
Пример.
В качестве примера рассмотрим определение зависимости между коэффициентом обновления основных фондов () и объемом продаж ГП фирмы (Q). Исходные данные приведены в таблице 14.9.
В начале выбираем значения трех опорных точек, одна из которых (начальное значение) должна лежать в середине ряда для лучшей аппроксимации, т.е. для того, чтобы полученная функция одинаково точно приближала данные как в конце, так и в начале ряда.
Выбираем: х0 = 34,3 у0 = 0,618 = (у(х0));
х1 = 31,2 у1 = 0,597;
х2 = 37,8 у2 = 0,631.
Находим коэффициенты уравнений (14.94):
х1 - х0 = - 3,1; х2 - х0 = 3,5 ; у1 - у0 = - 0,021; у2 - у0 = 0,013.
Вычислим интегралы, входящие в систему (14.94).
Интеграл
| x1 |
| x0 |
Таблица 14.9
Исходные данные для прогнозирования с помощью ФГС (пример)
| Показатель | 1990 | 1991 | 1992 | 1993 | 1994 | 1995 | 1996 |
| ,(У) | 0,597 | 0,597 | 0,608 | 0,618 | 0,615 | 0,618 | 0,631 |
| Q, млн, усл, ед, (х) | 31,2 | 32,3 | 33,4 | 34,3 | 34,5 | 35,5 | 37,8 |
| 31,2 |
| 34,3 |
| 0,957 + 0,608 |
| 2 |
| 0,608 + 0,618 |
| 2 |
Значение интеграла
| 37,8 |
| 34,3 |
| 37,8 |
| 34,3 |
| 0,618 + 0,615 |
| 2 |
| 0,615 + 0,618 |
| 2 |
| 0,618 + 0,631 |
| 2 |
0,021, [ZEBR_TAG_/tr 3,5с1 - 2,176а0 = 0,013.
Решая эту систему, находим с1 = 0,108; а0 = 0,168.
Затем определяем значение первой производной в начальной точке, подставив в уравнение (14.91) полученные параметры:
у'(х0) = с1 - a0у(х0) = 0,108 - 0,168 0,618 = 0,00417.
Из базисного уравнения (14.88) находим
r = - a0 = - 0,168.
Теперь, получив все необходимые параметры, найдем выражение для ФГС:
F(x) = 0,618 + 0,00417
| [ |
| l-0,168(x - 34,3) - 1 |
| - 0,168 |
| ] |
Раскрыв скобки и сделав необходимые вычисления, окончательно получим
y = = 0,643 - 0,0248е-0,168(Q - 34,3)..
Найдем прогноз на 1997 год. Учитывая, что запланированный объем продаж должен составить в 1997 г. 41 млн. усл. ед., получаем требуемый (прогнозный) коэффициент обновления основных фондов
= 0,648 - 0,02481-0,168(41 - 34,3) = 0,635.
При решении обратной задачи получим выражение для нахождения прогноза объема продаж
Qt = 29,057 + 8,24exp[3t5(t - 0,618)].
