Нестационарные и стохастические модели управления запасами
В тех случаях, когда нельзя пренебрегать нестационарностью или стохастичностью отдельных параметров, применяются более сложные методы и модели управления запасами, описанию которых посвящено достаточно большое количество работ (см., например, [23, 117, 143, 146, 201]).
Рассмотрим нестационарную модель оптимизации параметров управления запасами МР, которая может быть применена, например, в складской системе внутрипроизводственных ЛС.
Зафиксируем последовательность возможных моментов tn , (n = 1, N) получения поставок МР в течение планового периода Т.
Величины: n = tn + 1 - tn; n = 1, N; tN + 1 = Т назовем длительностями n-ro этапа (цикла). Спрос за этап n равен
a(n) =
| tn + 1 |
| tn |
где (t) - функция расхода (спроса) МР.
Если обозначить объем наличного запаса МР в момент, непосредственно предшествующий tn через Q(n), то издержки на поддержание запаса C
| h |
C
| h |
| tn + 1 |
| tn |
| t |
| tn |
где Q(n + l) = Q(n) + qII(n) + d(n).
Таким образом, суммарные издержки за плановый период Т будут равны
C =
| N |
| n = 1 |
| h |
| l |
где
| l |
| { | 1, при qII 0; |
| 0, при qII = 0; |
C =
| N |
| n = 1 |
| l |
где С'h = С
| h |
Функция Сe принимается в качестве целевой функции оптимизации управления запасами (поставками) МР для внутрипроизводственной ЛС, которую следует минимизировать выбором объемов поставок qII(n), n = 1, N, с учетом следующих ограничений:
1) Q(l) - задано; Q(n + 1) .= Q(n) + qII(n) - а(n);
2) qII(n) i 0; n = 1, N ; (9.32)
3) Q(n) i 0; n = 2, ..., N + l.
В работе [106] показано, что в оптимальном решении объемы поставок должны совпадать с суммарным объемом спроса за ряд последовательных периодов
qII(i) =
| j - 1 |
| n = i |
т.е. длительность отрезка времени между поставками совпадает с суммарной длительностью ряда идущих последовательно периодов, а объем поставки должен совпадать с совокупным объемом спроса за этот отрезок.
Выбор оптимальных объемов поставок сводится тем самым к перебору по конечному числу возможных вариантов разбиения периода планирования на отрезки, в течение каждого из которых спрос обеспечивается одной и той же поставкой, или, что то же самое, перебору по различным вариантам множества моментов опустошения склада.
Для организации перебора удобно использовать логику динамического программирования [16].
Пусть
Cij =
| j - 1 |
| n = i |
где индексы i, j изменяются так, что
Cij =
| { |
|
||||||
| Co(i), i = j - 1. |
Величины Cij имеют смысл переменной части издержек за время использования одной поставки МР, поступившей в начале этапа i и покрывающей спрос вплоть до этапа j - 1 включительно.
Обозначим через Sj минимальное значение переменных издержек за j начальных этапов, вычисленное при условии, что к концу этапа j запас полностью исчерпан (Q(j + l) = 0). Очевидно, что справедливы рекуррентные соотношения
Sj =
| min |
| 1 i j |
т.е. перебор ведется по различным вариантам длительности последнего беспоставочного отрезка, примыкающего к моменту j + 1 в предположении, что до него политика была оптимальной.
Описанный выше алгоритм можно интерпретировать в задачах оптимального синтеза внутрипроизводственных ЛС, как проблему оптимизации графика выпуска W(t) продукции при условии, что график реализации R(t) задан извне требованием обязательного удовлетворения потребительского спроса.
При оптимизации управления запасами МР или ГП в дистрибутивной сети часто возникает задача распределения продукции по нескольким уровням складского хранения. В этом случае задача может сформулирована следующим образом:
определить оптимальные по периодам планирования поставки МР (ГП) потребителям, минимизировав суммарные затраты, связанные с заказами и поддержанием запасов при ограничении на величину поставок.
Для решения данной задачи можно использовать алгоритм оптимизации, основанный на применении аппарата марковских цепей и метода динамического программирования [212]. Предположим, что снабжение МР потребителя осуществляется по двухуровневой схеме: с распределительного центра (базы) завода-изготовителя МР и склада дилера, что часто встречается на практике.
Назовем распределительный центр поставщиком 1, склад дилера - поставщиком 2. Состояние потребителя МР зададим вектором ni = (n1i, n2i, n3i), компоненты которого соответственно представляют собой: n1i - суммарная потребность в МР 1-го наименования; n2i - поставка МР 1-го наименования от первого поставщика; n3i - поставка МР от второго поставщика.
Период планирования Т поставок МР i-ro вида разобьем на k интервалов (k = 1, ..., М).
Предположим, что на k-м шаге состояние потребителя МР i-гo вида описывается вероятностью перехода Pnimi из состояния ni = (n1i, n2i, n3i) в состояние mi = (m1i, m2i, m3i), а расходы, соответствующие этому переходу, обозначим через Cnimi. Введем обозначения:
fk(x) = P{k = x} - распределение случайной величины k - потребности в МР 1-го вида;
k(u/uk) = P{k = u/uk} - условное распределение случайной величины поставки hk с базы первого поставщика;
qk(/k) = P(k = /k} - условное распределение случайной величины поставки k со склада второго поставщика.
Стохастический характер поставок k, k по периодам планирования (k = 1,М) определяется например, неритмичностью производства МР, перебоями в доставке и целым рядом других причин.
Потребность k в МР 1-го наименования на k-й период планирования может быть определена по данным прогноза (точечная или интервальная оценка, см. главу 14). Интервальная оценка потребности в МР позволяет, задавшись определенной доверительной вероятностью, перевести k в нерандомизированную (неслучайную) компоненту, понизив тем самым размерность марковского процесса.
Тогда состояние будет характеризоваться двумерным вектором ni = (n2i, n3i). Состав затрат, формирующих критерий оптимизации при использовании обозначений раздела 3.4. будет следующим:
Co2i, Co3i - затраты на заказы МР i-гo вида при поставках с баз первого и второго поставщика соответственно;
Chi - удельные затраты хранения МР i-ro вида на складе в течение одного промежутка времени между двумя последовательными поставками;
Сдефi - удельный ущерб потребителя вследствие дефицита МР i-го вида за это же время.
Для решения задачи оптимального управления поставками МР i-гo вида введем следующие допущения и ограничения:
- случайные величины k и k независимы;
- суммарный объем поставок за период (0, Т) ограничен и равен Wo (при uk 0, uk 0);
- приращение поставок МР i-ro вида с базы второго поставщика по интервалам планируемого периода разно k = lkVo, lk = 0, 1, 2,...
Используя введенные обозначения, определим вероятность Pnimj перехода процесса из состояния а в состояние пг и суммарные расходы Cnimi сопутствующие этому переходу (при условии, что Cn = C
| c |
| n |
| v |
| n |
| c |
| n |
С
| v |
| n |
Pnimi = k (m2i - n2i/uk)qk(m3i - n3i/k); (9,37)
Cnimi = C
| c |
| ni |
+ Cдеф i (
| M |
| j = k |
+ C
| v |
| hi |
| M |
| j = k |
где i - величина потребности в МР i-ro вида на j-м интервале планирования (j = k, M), определяемая при заданной величине доверительной вероятности ; mi(k) - бинарная переменная;
mi =
| { | 0,
|
|||
1,
|
Оптимальную стратегию поставок МР i-ro наименования находим на основе минимизации ожидаемых затрат Zni(k) для k-шагового процесса планирования при условии, что система выходит из состояния п(.
Функциональное уравнение динамического программирования для издержек Zni(k) будет иметь вид:
Zn1(k) =
| min |
| uk, k |
| mi ni |
Zn1(l) =
| min |
| ul, l |
| mi ni |
при следующих ограничениях
uk 0; k 0; uk + k Wo - n2i - n3i; k = lkVo;
lk = 0, 1, ..., (Wo - n2i - n3i - uk)/Vo; Zni(0) = 0. (9.42)
Уравнения (9.40), (9.41) определяют оптимальные решения на каждом шаге процесса планирования, обеспечивающие минимум ожидаемых суммарных расходов для любого возможного состояния системы поставщик-потребитель.
Пример.
Рассмотрим оптимизацию стратегии планирования поставок в АТП 34 (накладок сцепления) для автомобилей МАЗ-5432.
Ведущая функция потока отказов W(L) для накладки сцепления МАЗ-5432, полученная в результате обработки статистических данных по отказам, приведена на графике ( 9.22).
За период планирования Т принимаем год с поквартальной разбивкой, т.е. k = 1, 4 (M = 4).
Предположим, что среднегодовой пробег автомобиля МАЗ-5432 в рассматриваемом АТП составляет Lг = 40 тыс. км . Считая, что по интервалам планирования пробеги всех автомобилей одинаковы, найдем суммарную потребность АТП в накладках сцепления для парка автомобилей Ncc=100 единиц МАЗ-5432.
потребности АТП в 34 на j-м интервале планирования. На основании ведущей функции потока отказов для накладки сцепления (см.
9.22) находим для интервалов пробега (L = 10 тыс. км), соответствующих интервалам планирования (кварталу), значения wj для парка автомобилей МАЗ-5432. Расчет производим по формуле [ZEBR_TAG_br wj = 100[(Lo + jL) - (Lo + (j - 1)L)]; j = 1, 4.
Значения определяем из графика с учетом того, что Lo = 150 тыс. км.
В результате расчета получим w1 = 53 шт.; w2 = 47 шт.; w3 = 31 шт.; w4 = 24 шт.
Исходные данные для решения задачи оптимального планирования поставок накладок сцепления для автомобилей следующие: Wo = 160 шт.; Vo = 40 шт.; Сo2 = 0,5 /шт.; Сo3 = 0,2 /шт.; Ch = 0,5 / шт.;Сдеф = 1,5 /шт.
Условные вероятности (u/uk) и q(v/vk) приведены соответственно в виде матриц R и Q.
Матрица R
| uk | u | |
| 0 | 20 | |
| 0 | 1 | 0 |
| 20 | 0,1 | 0,9 |
| uk | V | ||
| 0 | 40 | 80 | |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 40 | 0,2 | 0,8 | - |
| 80 | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
Предполагая, что управление начинается с момента, когда n = (0, 0), перебором на каждом шаге, используя уравнения (9.37)-(9.41) при ограничениях (9.42), получим оптимальную последовательность поставок накладок сцепления для парка автомобилей МАЗ-5432 в АТП.
Расчеты сводим в табл.. 9.5, где, кроме номера оптимального решения в соответствии с табл.
9.4 на каждом шаге в зависимости от начального состояния, приведены и минимальные значения издержек, соответствующие оптимальным поставкам ЗЧ.
Таблица 9.4
Варианты поставок с баз по интервалам планируемого периода
| Объемы поставок | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| uk | 0 | 0 | 0 | 20 | 20 | 20 |
| uk | 0 | 40 | 80 | 0 | 40 | 80 |
Пример оптимального планирования поставок накладок сцепления автомобилей МАЗ-5432
| Начальное состояние n = (n2, nЗ) | Zn(1) | решения | Zn(2) | решения | Zn(3) | решения | Zn(4) | решения |
| (0,0) | 48,82 | 6 | 19,69 | 6 | 26,15 | 3 | 35,36 | 2 |
| (0,40) | 21,82 | 6 | 25,31 | 6 | 28,20 | 4 | 36,20 | 1 |
| (0,80) | 9,25 | 3 | 23,81 | 4 | 36,31 | 1 | - | - |
| (0,120) | 8,4 | 2 | 17,40 | 1 | - | - | - | - |
| (0,160) | 2,5 | 1 | 31,50 | 1 | - | - | - | - |
| (20,00) | 35,32 | 6 | 16,88 | 3 | 23,47 | 2 | 29,47 | 1 |
| (20,40) | 12,82 | 6 | 18,84 | 2 | 21,43 | 1 | - | - |
| (20,80) | 14,76 | 5 | 17,76 | 1 | - | - | - | - |
| (20,120) | 11,25 | 4 | - | - | - | - | - | - |
| (40,0) | 21,82 | 6 | 16,70 | 3 | 29,79 | 4 | - | - |
| (40,40) | 9,25 | 3 | 24,98 | 4 | -41,38 | 1 | - | - |
| (40,80) | 8,40 | 2 | 17,40 | 1 | - | - | - | - |
| (40,120) | 2,50 | 1 | - | - | - | - | - | - |
| (60,0) | 12,82 | 6 | 20,60 | 2 | - | - | - | - |
| (60,40) | 14,76 | 5 | 17,76 | 1 | - | - | - | - |
| (60,80) | 11,25 | 4 | - | - | - | - | - | - |
