Метод прогнозирования динамических рядов с помощью экспоненциального сглаживания

Метод экспоненциального сглаживания является одним из распространенных методов экстраполяции динамических рядов. Сущность метода заключается в сглаживании исходного динамического ряда взвешенной скользящей средней, веса которой подчиняются экспоненциальному закону.
В качестве аппроксимирующей зависимости для прогнозирования динамического ряда y(t) в методе экспоненциального сглаживания применяется полином следующего вида
y(t) = b0 + b1t +

b2

2!

t2 + ... +

bp

p!

tp =

p

j = 0

bj

j!

tj (14.27)
где b0, b1, ..., bp - коэффициенты аппроксимирующей зависимости;
р - порядок полинома.
Введем понятие экспоненциальной средней.
Экспоненциальной средней первого порядка для ряда (14.27) называется функция вида:
S

[1]

t

(y) =

p

i = 0

(1 - )t yt - i, (14.28)
где - параметр сглаживания (0 1);
экспоненциальная среднего k-го порядка имеет вид:
S

[k]

t

(y) =

p

i = 0

(1 - )i S

|k - 1|

t - i

(y). (14.29)
Для определения экспоненциальной средней k-гo порядка Брауном была выведена следующая рекуррентная формула [56]
S

[k]

t

(y) = S

[k - 1]

t

(y) + (1 - ) S

[k]

t - 1

(y). (14.30)
При построении прогноза с помощью метода экспоненциального сглаживания одной из основных проблем является выбор значения параметра сглаживания а.
Часто для определения а (если число членов исходного динамического ряда мало) используют формулу:
=

2

n + 1

. (14.31)
Если число членов в ряде велико, то а определяется исходя из количества точек т в интервале сглаживания
=

2

m + 1

. (14.32)
Рассмотрим применение метода экспоненциального сглаживания, когда аппроксимирующая зависимость (тренд) описывается линейной функцией (р = 1) и параболой (р = 2).
Модель прогнозирования при линейном тренде
(линейная модель Брауна)
В этом случае аппроксимирующая зависимость (14.27) приобретает вид:
y(t) = b0 + b1t. (14.33)
Для того, чтобы воспользоваться формулами (14.28)-(14.30) нахождения экспоненциальных средних, необходимо иметь начальные приближения. Для линейного тренда они равны [56]:
S

[1]

0

(y) = b0 -

1 -

b1; (14.34)
S

[2]

0

(y) = b0 -

2(1 - )

b1; (14.35)
где b0 и b1 - значения коэффициентов, получаемые при аппроксимации исходного динамического ряда линейной функцией вида (14.33).
Коэффициенты b0 и b1 находятся методом наименьших квадратов.
Экспоненциальные средние 1-го и 2-го порядков будут соответственно определяться рекуррентными формулами вида (14.30):
S

[1]

t

(y) = yt + (1 - )S

[1]

t - 1

(y); (14.36)
S

[2]

t

(y) = S

[1]

t

(y) + (1 - )S

[2]

t - 1

(y); (14.37)
Оценки коэффициентов линейного тренда, полученные с учетом экспоненциальных весов, будут иметь вид:
b0 = 2S

[1]

t

(y) - S

[2]

t

(y); (14.38)
b1 =

1 -

[S

[1]

t

(y) - S

[2]

t

(y)]. (14.39)
Прогноз на 1 шагов (за время t1) будет равен
y

*

t1

= b0 + b1t1. (14.40)
Ошибка прогноза определяется по формуле
y* = t

(2 - )3

[1 + 4(1 - ) + 5(1 - )2 + 2(4 - 3)]te + 22t

2

1

, (14.41)
где t, - ошибка аппроксимации основного уравнения для тренда.
Модель прогнозирования при параболическом тренде
Аппроксимирующая зависимость (тренд) имеет вид:
y(t) = b0 + b1t +

1

2

b2t2. (14.42)
Начальные приближения определяются по формулам
S

[1]

0

(y) = b0 -

1 -

b1 +

(1 - )(2 - )

22

b2; (14.42)
S

[2]

0

(y) = b0 -

2(1 - )

b1 +

(1 - )(3 - 2)

2

b2; (14.43)
S

[3]

0

(y) = b0 -

3(1 - )

b1 +

3(1 - )(4 - 3)

22

b2; (14.45)
где b0, b1, b2 - определяются по исходному динамическому ряду методом наименьших квадратов.
Экспоненциальные средние рассчитываются по формулам:
S

[1]

t

(y) = yt + (1 - )S

1

t - 1

(y); (14.46)
S

[2]

t

= S

[1]

t

(y) + (1 - )S

2

t - 1

(y); (14.47)
S

[3]

t

= S

[2]

t

(y) + (1 - )S

3

t - 1

(y); (14.48)
Оценки коэффициентов параболической зависимости для тренда будут иметь вид :
b0 = 3[S

[1]

t

(y) - S

[2]

t

(y)] + S

[3]

t

(y); (14.49)
b1 =

2(1 - )2

[(6 - 5)S

[1]

t

(y) - 2(5 - 4)S

[2]

t

(y) + (4 - 3)S

[3]

t

(y)]; (14.50)
b2 =

(1 - )2

[S

[1]

t

(y) - 2S

[2]

t

(y) + S

[3]

t

(y)]. (14.51)
Прогноз на момент t1 будет равен
y

*

t1

= b0 + b1t1 +

1

2

b2t

2

1

. (14.52)
Ошибка прогноза
y* t 2 + 32 + 33t1. (14.53)
Оценка коэффициентов аппроксимирующей зависимости методом наименьших квадратов
В случае равной точности измерений для динамического ряда, заданного таблицей (yi, ti), i = l, n , критерий оптимальности МНК будет иметь вид
S = [yi - f(ti, b0, b1, ..., bp)]2 min, (14.54)
где f(ti, b0, b1, ..., bp) - аппроксимирующая зависимость вида (14.27).
Дифференцируя (14.54) по параметрам b0,b!,...,bp и приравнивая частные производные нулю, получаем систему нормальных линейных уравнений:

f(ti, b0, b1, ..., bp)]2[ZEBR_TAG_/td

n - 1

. (14.58)
Пример прогнозирования объема продаж методом экспоненциального сглаживания
Рассмотрим задачу прогнозирования объема продаж ГП фирмы с помощью линейной модели Брауна. Исходный ретроспективный ряд объема продаж за период с 1993 по 1996 годы дан в табл.

14.4.
Для определения начальных приближений по формулам (14.34), (14.35) нам необходимо предварительно найти оценки коэффициентов линейного тренда

y(t) = Q = b0 + b1t.
Коэффициенты b0, b1 определяем по МНК, используя данные
табл. 14.4 и формулы (14.56), (14.57).

Расчет сводим в табл. 14.5, графы 3-8.
Определяем коэффициенты линейного тренда по формулам (14.56), (14.57):
D0 =

|	4	10	|
10	30

= 20; D1 =

|	177	10	|
456	30

= 750; D2 =

|	4	177	|
10	456

= 54;
b1 =

D1

D0

=

750

20

= 37,5; b2 =

D2

D0

=

54

20

= 2,7.
Уравнение линейного тренда, полученное по МНК с использованием ретроспективного ряда (табл. 14.4) имеет вид
у = f(t) = 37,5 + 2,7t.
Таблица 14.4
Исходный динамический ряд объемов продаж ГП

Годы, t	1993 г.	1994 г.	1995 г.	1996 г.	1997 г.
Объем продаж (тыс. усл. ед.), yi	40	43	46	48	прогноз
i	1	2	3	4	5

Таблица 14.5
Расчет прогноза объема продаж на 1997 год
f (ti) (гр. 8 табл. 14.5) и подставляем их в формулу (14.58) для определения ошибки t: [ZEBR_TAG_br t =

(0,2)2 + (0,1)2 + (0,4)2 + (0,3)2

4 - 1

= 0,3
Вычисляем параметр сглаживания . Для этого используем формулу (14.31)
=

2

n + 1

=

2

4 + 1

= 0,4.
Рассчитываем по формулам (14.34), (14.35) начальные приближения для определения экспоненциальных средних:
S

[1]

0

= 37,5 -

1 - 0,4

0,4

2,7 = 33,45;
S

[2]

0

= 37,5 -

2(1 - 0,4)

0,4

2,7 = 29,4.
Далее формируем рекуррентную процедуру вычисления экспоненциальных средних и прогноза по формулам (14.36) - (14.40). Данные расчета заносим в таблицу (14.5) (графы 9-11).
Шаг 1: t = 2, (1993г.)

0,4) 29,4 = 32. [ZEBR_TAG_/tr

Находим значения коэффициентов прогноза (14.32):
b0 = 2 36 - 32 = 40;
b1 =

0,4

1 - 0,4

(36 - 32) = 2,6.
Определяем новое значение (инверсный прогноз) по формуле (14.40) для 1993 г. (t = 1):
y

*

1993

= 40 + 2,6 1 = 42,6 тыс. усл. ед.
Шаг 2: t = 3, (1994 г.)
S

[1]

3

= 0,4 43 + (1 - 0,4) 36 = 38,6;
S

[2]

3

= 0,4 38,6 + (1 - 0,4) 32 = 34,6.
b0 = 42,6; b1 = 2,7. y

*

1994

= 42,6 + 2,7 1 = 45,3 тыс. усл. ед.
Шаг 3: t = 4, (1995 г.)
S

[1]

4

= 0,4 46 + 0,6 38,6 = 41,6;
S

[2]

4

= 0,4 41,6 + 0,6 34,6 = 37,4 ;
b0 = 45,8; b1 = 2,8 ; y

*

1995

= 45,8 + 2,8 1 = 48,6 тыс. усл. ед.
Шаг 4: t = 5. Модель прогноза на 1996 год.
S

[1]

5

= 0,4 48 + 0,6 41,6 = 44,2;
S

[2]

5

= 0,4 44,2 + 0,6 37,4 = 40,1;
b0 = 48,3; b1 = 2,73.
Прогноз на 1997 год y

*

1996

= 48,3 + 2,73 1 = 51 тыс. усл. ед.
Прогноз на 1997 год будет равен y

*

1997

= 48,3 + 2,73 2 = = 53,76 тыс. усл. ед.
Определим ошибку прогноза на 1996 год по формуле (14.41)
* = 0,3

0,4

(2 - 0,4)3

[1 + 4(1 - 0,4) + 5(1 - 0,4)2 + 2 0,4(4 - 3 0,4)] 1 + 2 0,42 1 0,82.

Содержание раздела

---