d9e5a92d

Анатолыев Е. Л. - Эконометрика

Курс служит введением в принципы современного искусства эконометрического оценивания и построения выводов как для кросс-данных, так и для временных рядов. Неудовлетворенность точным подходом заставляет нас рассмотреть две альтернативы: асимтотический и бутстраповский подходы. Изучив определенные важные эконометрические тонкости обоих подходов, курс концентрируется на построении и изучении свойств линейных оценок. Тем не менее, заключительная часть курса посвящена простейшим нелинейным моделям и методам.

Акцент делается на решении концептуальных задач эконометрики, нежели на математических тонкостях; тем не менее, последние иногда неизбежны. Домашние задания по курсу содержат как теоретические задачи, так и практические задания, подразумевающие использование пакета GAUSS, Задания служат важным ингредиентом обучающего процесса, в котором часто будут встречаться теоретические и эмпирические примеры,
2 Рекомендуемая литература
1, Goldberger, A, A Course in Econometrics, Harvard University Press
2, Greene, W, Econometric Analysis, 3rd edition
3, Poteher, B,, Prueha, I, (2001) Basic elements of asymptotic theory , in: A Companion to Theoretical Econometrics, edited by Baltagi, B,, Blackwell Publishers
4, Horowitz, J, (2001) The bootstrap, in: Handbook of Econometrics, vol, 5, Elsevier Science, North-Holland
I Приближенный подход к построению статистиче
ских выводов
1 Сравнение точного и приближенного подходов
Часто при эмпирическом анализе данных возникает ситуация, когда эконометрист, имея оценку некоторого параметра, хочет изучить ее статистические свойства. Для этого ему необходимо знать функцию распределения полученной оценки. Например, функция распределения всегда бывает нужна для построения доверительных интервалов или тестирования статистических гипотез.

Существует два подхода к вопросу о распределении оцениваемого параметра: точный и приближенный.
Точный подход основан на предположении о точном виде распределения данных. Затем распределение данных трансформируется в распределение построенной оценки.
Пример: Пусть условное распределение переменной Y имеет вид нормального со средним X в н дисперсией a2In, т,е,
Y |Х - N (Хв, a2In)
Тогда стандартная OLS оценка тоже имеет нормальное условное распределение:
воьн = (Х'Х )~1Х 'Y |Х - N (в, a2(X' X )~1)
Недостатки точного подхода достаточно очевидны. Во-первых, чтобы использовать точный подход, необходимо сделать предположение о виде функции распределения данных. Во-вторых, точный подход обычно ограничивается нормальным распределением, поскольку если данные имеют распределение, отличное от нормального, аналитический вывод распределения искомой оценки зачастую становится очень трудоемкой задачей. Наконец, точный подход ограничивает класс моделей и оцениваемых параметров, по-еущеетву, сводя всё к линейному случаю.

Нелинейность модели снова делает вывод распределения оцениваемого параметра вычислительно трудной задачей.
Приближенный подход основан на аппроксимации распределения оцениваемого параметра, В настоящее время существует два метода, относящихся к приближенному подходу: асимтотический и бутстра,повский.
Идея асимптотического метода в том, чтобы для построения приблизительного распределения оцениваемого параметра использовать предельное распределение выборочных средних. Несомненным достоинством такого подхода является факт, что используемые предельные распределения обычно являются стандартными и затабу-лированными, что делает ненужными сложные математические выкладки, С другой стороны, асимтотическая аппроксимация распределения оценки может быть плохой, и более того, мы не знаем, насколько хороша полученная оценка. Кроме того, аеим-тотический подход может также потребовать значительных аналитических вычислений,
Бутстраповский метод аппроксимирует распределение оцениваемого параметра, используя эмпирическое распределение данных ,
В настоящее время эконометристы предпочитают использовать приближенный подход, поскольку точный требует очень сильного предположения о виде распределения исходной выборки. Разумно считать, что это распределение неизвестно исследователю.
2 Концепции асимптотической теории
Основными понятиями асимптотической теории являются состоятельность, асимптотическая, нормальность и асимптотическая эффективность.
Пусть нас интересуют асимптотические свойства оценки Д, полученной из выборки размера и. Поскольку мы предполагаем случайную природу исходных данных, то и построенная оценка будет случайной величиной. Таким образом, мы имеем последовательность случайных величин - для каждого и своя Д, Тогда оценка Д называется :
- Состоятельной, если Д Д где в - истинное значение оцениваемого параметра,
- Асимптотически нормальной, если и6(Д в) ^ N(д, Е)
- Асимптотически более эффективпой, чем Д2), если при
Л(Д в) N(д, Е)
и6(Д2) в) ^ N(д,Е)
матрица (Е(2) Е) является положительно определенной,
Очевидно, что состоятельность оценки необходима, сели мы хотим делать какие-либо количественные выводы об истинном параметре, исходя из полученной оценки. Асимптотическая нормальность важна по той причине, что построение статистических тестов или критических интервалов требует знания распределения оценки, Т, к, точного распределения мы не знаем, то пользуемся асимптотическим, нормальным распределением.

Эффективность оценки желательна, поскольку чем более эффективна оценка, тем точнее она предсказывает истинный параметр. Грубо говоря, дисперсия эффективной оценки мимнимальна среди дисперсий оценок некоторого класса, Таким образом, при использовании асимптотического подхода нас интересуют три вещи: состоятельность, асимптотическая нормальность и асимптотическая эффективность.
3 Кое-что о последовательностях случайных величин
При предположении о случайной природе исходной выборки (данных), построенные оценки являются, как правило, случайными величинами. Для дальнейшего исследования статистических свойств оценок дадим несколько определений и результатов, относящихся к моделям сходимости последовательностей случайных величин.
Определение 1 (сходимость почти наверное). Матричная последовательность Zn случайных величин сходится к случай ной матрице Z почти наверное (или с ее-роятностъю единица), т.е, Zn -^ Z, если
Pr{ lim Zn = Z} = 1,
П
t, e, "почти каждая" траектория сходится к Z,
Определение 2 (сходимость по вероятности). Матричная последовательность Zn случайных величин сходится к случай ной матрице Z по вероятности, т.е, Zn Р-^ Z или p lim Zn = Z, если
Ve 0 lim Pr{||Zn Z|| e} = 0,
n^
t, e, вероятность "больших отклонений" от Z стремится к 0,
Определение 3 (сходимость в средне-квадратичных отклонениях). Матричная последовательность Zn случайных величин сходится к случай ной матрице Z е средне-квадратичных отклонениях, т.е, Zn ^ Z , если
lim E[||Zn ZII2] = 0,
n^
т, e, среднеквадратичная ошибка стремится к 0,
Определение 4 (сходимость по распределению). Матричная последовательность Zn случайных величин сходится к случай ной матрице Z по распределению, т, е, Zn U Z или Zn U Dz, где DZ - распределение Z, если
lim Pr{Zn z} = Pr{Z z}
n
для всех точек непрерывности z распределения Dz,
Можно показать, что сходимость по вероятности следует из сходимости почти наверное или сходим,ости в средне-квадратичных отклонениях . Сходимость по распределению, в свою очередь, вытекает из сходим,ости по вероятности,.
Результат 1. {Zn U Z или Zn С Z} ^ Zn U Z Результат 2. Zn U Z ^ Zn U Z.
Результат 3. Если Z - константа, то {Zn U Z} ^ Zn U Z
Пример: Рассмотрим последовательность случайных величин
ZZZZ Z
{ n} = {Т, 1 ,У’ 1
где Z имеет стандартное нормальное распределение N(0,1). Тогда E(Zn) = 0 и Var(Zn) = Дг.

Таким образом Zn U 0, а, следователь но, и Zn U 0 (см. Результат !)¦
4 Кое-что о последовательностях функций случайных величин
Существует также несколько полезных теорем, которые нам понадобятся впоследствии. Здесь они приведены без доказательств.
Теорема (Манна-Вальда), Пусть функция g : RklXk2 u RllXlr непрерывнa, a Zn -последовательность случайных величин, тогда:
- Если Zn U Z, то g(Zn) U g(Z).
- Если Zn U Z, to g(Zn) U g(Z).
- Если Zn U Z и g линейна, то g(Zn) U g(Z).
- Есл и Zn U Z, to g(Zn) U g(Z).
Замечание: Если Z константа, то для выполнения теоремы достаточна только локальная непрерывность функции g в точке Z.
Теорема (Слуцкого), Если последовательность случайных величин Un сходится по вероятности к некоторой константе U, а последовательность случайных величин Vn сходится по распределению к случайной величине V, т,е, Un U U и Vn U V, то:
- Un + Vn U U + V
- Un Vn U UV
- U-1Vn U U-1V, если Pr{det(Un) = 0} = 0
Ещё раз обратим внимание на тот факт, что в теореме Слуцкого одна последовательность должна сходиться по вероятности к константе. Если это не так, то теорема, вообще говоря, не верна.

Следующий пример демонстрирует это.
Пример: Пусть случайная величина Z имеет стандартное нормальное распределение, т. е, Z ~ N(0,1), Рассмотрим две последовательности случайных величин: {Zn} = {Z,Z,Z,Z,...} и {Xn} = {Z, Z, Z, Z,... }. Ясно, что {Zn} U Z и {Xn} U Z, Однако, {Zn + Xn} = {2Z, 0, 2Z, 0, 2Z,... }, Таким образом, последовательность суммы случайных величин не сходится по вероятности к Z, Т.е. теорема Слуцкого неприменима.
Теорема (Дельта Метод), Пусть последовательность случайных векторов Z размерности k х 1 удовлетворяет уеловию ^n(Zn Z) U N(0, Е), где Z = plim Zn -константа, и функция д: Rk u R1 непрерывно дифференцируем а в точке Z, Тогда
?П(дЩ) g(Z)) U N(0,GEG')
гдеС = 2гіД |z_z.
Примеры 1 и 2 демонстрируют применение теоремы Манна-Вальда и Дельта Метода на практике.
Пример 1: Пусть x U ц и Дп(х ц) U N(0, Е), Рассмотрим непрерывно дифференцируемую функцию g(x) = x'x. По теореме Манна-Вальда
Е1/2ДП(х ц) U N(0,4)
где (Е-1/2)'Е-1/2 = Е-1, Таким образом, получаем результат:
Дп(х цУЕ-1(х ц) U x2(k).
Используя Дельта Метод, получим:
\fn(x'x Д д) -^ N(0,4д'Ед),
учитывая, что G = = 2хД = 2д'
Пример 2: Пусть
г(хг
'n _
_\Х2
Рассмотрим выражение ¦ По теореме Манна-Вальда:
Ді
Д2
N (0,Д).
Хі Ді d N (0,1) Х2 Д2 N (0, 1)
Cauchy.
Т е, интересующая нас величина имеет распределение Коши, Теперь рассмотрим непрерывно дифференцируемую функцию д няя Дельта Метод, имеем:


, Приме-
xo *
__Ді
Д2 ’ Д2
(Ml)
Таким образом,
2\
1+ ^
\Ю2
д2
Хі
Х2
Ді
Д2
5 Законы Больших Чисел (ЗБЧ) и Центральные Предельные Теоремы (ЦПТ) для независимых наблюдений
Основными инструментами построения статистических выводов в асимптотическом подходе являются Законы Больших Чисел (ЗБЧ) и Центральные Предельные Теоремы, (ЦПТ), ЗБЧ представляет собой результат о сходимости выборочного среднего, ЦПТ дает представление о предельном распределении выборочного среднего. Существует довольно большое количество формулировок ЗБЧ и ЦПТ.

Нас будут интересовать ЗБЧ и ЦПТ для двух основных случаев: независимые наблюдения и стационарные, эргодичные временные ряды, Далее приводятся ЗБЧ и ЦПТ для независимых или серийно неекоррелированных скалярных случайных величин.
Теорема А (Колмогорова, независимые одинаково распределенные наблюдения). Пусть случайные величины |^га}=і независимы и одинаково распределены. Кроме того, пусть существует математическое ожидание E\Zi\, Тогда:
E [Z*].
Теорема В (Колмогорова, независимые однородные наблюдения). Пусть случайные величины {Zn}=1 независимы и имеют конечные дисперсии а2, Если
І=11? ж т
- Е Zi - E
^
1Е Zi
i= 1
i=1
Теорема С (Чебышева, некоррелированные наблюдения). Пусть случайные величины {Zn}=1 некоррелированы, т.е. Cov(Zi, Zj) = 0 для i = j, Если П? ^П=1 а2
0, то:
Е Zi - E
Е Zi
i=i
0.
i= 1
Теорема E (Линдберга-Леви, независимые одинаково распределенные наблюдения). Пусть случайные величины {Zn}=1 независимы и одинаково распределены с математическим ожиданием E||Zi| = д и дисперсией Var[Zi] = а2. Тогда:

i=1

N(0, а2).
Теорема F (Ляпунова, независимые однородные наблюдения). Пусть случайные величины {Zn}=1 независимы с математическим ожиданием E[Zi] = ді, дисперсией Var[Zi] = а2 и третьим центральным моментом E [|Zi ді|3] = ?і. Тогда, если
1/3
(ЕП=і ?і)
(ЕП=і а2)1/2 n
то
N (0,1).
En=1(Zi ді) _±
(EL, а?)1/2
6 Статистические выводы с помощью асимптотического подхода
Идея построения статистических выводов при помощи асимптотического метода довольно очевидна. Вместо точного распределения оценки берется асимптотическое, на основании которого строятся тестовые статистики.
Пример:
V(Zn д) N(0, а2)
В данном случае мы имеем дело с выборочным средним Zn, которое согласно ЦПТ имеет асимтотически нормальное распределение. Заметим, что в данном случае распределение зависит от неизвестного параметра а2, поэтому етатиетика Zn является непивоталъной статистикой.
Определение: Статистика называется (асимтотически) пивотальной, если ее (асимптотическое) распределение не зависит от неизвестных параметров.
Возвращаясь к нашему примеру, мы можем получить пивотальную статистику, построив состоятельную оценку дИСперСИИ а2:
N(0,1),
Vn(Zn - д) \fn{Zn - д) о
т.к. согласно ЦПТ ^n(Z§i-p) С N(0,1), а в силу состоятельности оценки О2, § С 1, Теперь, зная асимптотическое распределение построенной статистики можно построить доверительный интервал. Так аеимтотичеекий доверительный питервал для д будет: [Zn - Jnд-f ^;Zn + ^qf-(01)] ¦
Предположим теперь, что нам нужно протестировать гипотезу Н0 : д = д0. Согласно построенному нами а процентному доверительному интервалу гипотеза будет оТВергаТЬСЯ, если ? 1 ^ а . В противном случае гипотеза принимается.
Итак, с данным примером все кажется ясным, но возникает резонный вопрос: как построить состоятельную оценку дисперсии? Оказывается, выборочная дисперсия будет состоятельной оценкой для дисперсии:
1 ?(Zi - Z,,)2 = 1 ?(Z - д)2 - (Zn - д)2 С О,
\ n ^ \ n
^ г=1 ^ г=1
\2 Р
поскольку из ЗБЧ n ?- д)2 -С E[(Z* - д)2] = a2, a (Zn - д)
7 Асимптотический подход для временных рядов
До сих пор мы рассматривали асимптотические свойства оценок в случае независимых наблюдений, Т.е., если у нас есть последовательность Z1; Z2, Z3, ..., Zn, мы могли сказать, что у нас имеется n наблюдений, В случае временных рядов (наблюдений во времени) это, вообще говоря, не так. Каждая траектория Z1, Z2, Z3,..., ZT представляет собой в общем случае одно наблюдение, что сильно затрудняет анализ.

Для того, чтобы сделать использование асимтотического метода во временных рядах возможным, на природу исходных данных накладывают определенные ограничения: предположения о стационарности и эргодичности. Грубо говоря, стационарность-это "устойчивость" распределения Zt во времени, а эргодичность- это "потеря памяти со временем". Дадим более четкие определения:
Определение: Временной ряд называется строго стационарным, если совместное распределение Zt, Zt-1,..., Zt-k те зависит от t для любых к.
Поскольку точное определение эргодичности использует понятия теории меры и сигма-алгебры, дадим интуитивное определение: "Определение": Временной ряд Zt называется эргодичпым, если Zt и Zt+k асимптотически независимы при к ^ х.
Приведем примеры различных стационарных (нестационарных) и эргодичных (неэр-годичных)временных рядов:
Пример 1 (стационарные и эргодичные ряды):
- Zt ~ iid (независимые одинаково распределенные наблюдения)
- ?t ~ White Noise (Белый Шум)
- AR( 1) : zt = pzt-1 + ?t, |p| 1
- MA(1) : zt = ?t + ??t-1
Пример 2 (нестационарные и неэргодичные ряды):
- Random Walk (Случайное блуждание): zt = zt-1 + ?t
Диепереия наблюдений растет со временем: V ar(zt) = Var(zt-1) + о2, т.е. ряд нестационарен. Кроме того, шоки "не забываются" со временем: zt+k = zt +
Ek
i=i ?t+i, т-е- РЯД неэргодичен.
Пример 3 (стационарные и неэргодичные ряды):
- z N (0,1); zt = z + ?^^де ?t a z независимы.
Очевидно, что ряд стационарен, но неэргодичен.
Пример 4 (нестационарные и эргодичные ряды):
- Сезонный ряд: zt = s(r,t) + ?t, где s(r,t) = s(r,t + т),
Результат: Если случайный процесс zt является стационарным и эр годичным, и если Yt = f (zt,zt-1...) - случайная величина, то Yt является стационарным и эрго-дичным рядом.
Определение: Информацией в момент времени t называются все реализовавшиеся значения zk вплоть до zt, т.е.
It = {zt,zt-1.. .}.
Определение: Ряд zt называется последовательностью мартингальных приращений (MDS) по отношению к своему прошлому, если E[zt|It-1] = 0,
Сформулируем ЗБЧ и ЦПТ для временных рядов.
Теорема D (Биркоффа-Хинчина, зависимые наблюдения). Пусть ряд {Zt}+=’_IX стационарен и эргодичен. Кроме того, пусть E\Zt| то, тогда
т
E [Z]
t=i
при T и то.
Теорема G (Биллингслея, последовательность мартингальных приращений). Пусть ряд {Z^+C-^, стационарен, эргодичен и является MDS по отношению к своему прошлому. Кроме того, пусть а2 = E[Zt2] то, тогда
Vr^Zt
v т t=i
N (0 ,а2)
при T и то.
Теорема Н (зависимые наблюдения). Пусть ряд {Zt}+=_х стационарен и эргодичен. Кроме того, пусть
а2 = Cov[Zt,Zt_j] то.
І=-ж
Тогда при определенных условиях,
(T ? Zt - E[Ztlj -U N(0, а2)
при T и то.
Приведем примеры использования изложеньи выше теорем для исследования аеим-тотичееких свойств оценок во временных рядах.
Пример: Рассмотрим авторегрессионный процесс первого порядка ( AR(1)):
Xt = pxt_ 1 + ?.; \p\ 1; ?t ~ iid(0, а2).
Нас интересуют аеимтотичеекие свойства оценки OLS:
лТ
Et=2 xt_ixt = . Е1=2 xt_i?t
P +
т 2
t=2 xt_ 1
E-o x:
t= 2 xt_1
По теореме Биркоффа-Хинчина (Теорема D):
т
^^xt_i?t U E[xt_i?t] = Ф t=2
J2xt-1 E [x2-1].
T- 1
t=2
Следовательно, по теореме Слуцкого оценка p является состоятельной оценкой, т.е.
Теперь найдем аеимтотичеекое распределение OLS оценки:
V^T
ITf t=2 Xt-1?t
VT (p - p)
/T
T x2 V T - 1
-1 Z_t-2 xt-1 V
T-
Очевидно, что \ TTTг 1a tzt SL2 x2_1 ^ E[x2_1] (Теорема D),
V T 1 T 1
Покажем, что последовательность xt-1et является последовательностью мартингал fa-ных приращений (MDS) по отношению к информационному множеству
It-1 {xt-20-1, xt-зО-2 - - - }
E[xt-1?t|It-1] E[E[xt-1^t|xt-1,xt-20-1 - ..]|It-1] 0.
Т.е. последовательность xt-1et является MDS, Таким образом, мы можем применить ЦПТ Биллингслея для временных рядов (Теорема G):
T
^xt-1?t t=2
1
/Т-1
N(0, E[x?_1?t2]).
Заметив, что E [xf] Var[xt] p2Var[xt-1] + a2 --p, результат:
получим окончательный
/T (?- p) -^ N(0,1 - p2).
Соответствующая пивотальная статистика будет:
/Т (р - р) d
N (0,1).
В результате, доверительный интервал для р:
1 - р2
Т
CIp
1.96
Обратимся еще раз к теореме Н, Вид вариационной матрицы в аеимтотичееком распределении оценки требует некоторого пояснения. Когда мы имеем дело е последовательностью мартингальных приращений Zt; математическое ожн mime E [ZtZt-j ] равно нулю, т.е, E[ZtZt-j-] 0 для j 0, поэтому асимтотическая вариация для MDS
имеет простой вид: а2 = E[Zt2], Однако, всё сложнее для более зависимых наблюдений:
?zt
t=i
-Var
Var 1t= i
T [TVar(Zt) + (T - 1)Cov(Zt; Zt+i) + (T - 1)Cov(Z,; Zt-i) + (T - 2)Cov(Zt; Zt+2) + (T - 2)Cov(Zt; Z-) + ... +
^ Cov(Zt; Z-).
Cov(Zi; Zt) + Cov(Zt; Zi)]
T ^oo
3 = -ж
Рассмотрим пример, e зависимыми наблюдениями, когда вариационную матрицу аеимтотичеекого распределения приходится считать по указанной выше формуле. Ясно, что в этом случае ошибки должны быть екоррелироваными.
Пример: Рассмотрим процесс скользящего среднего первого порядка ( MA(1)):
zt = ?t + Bet-1; ?t ~ iid(0, a2).
Заметим, что
Var(zt) = (1 + ?2)а2; Cov(zt; zt-i) = Ba2; Cov(zt; zt - j) = 0, j 1.
В этом случае,
Y Cov(zt; zt-j) = (1 + ?2)а2 + 2?а2 = (1 + ?)2а2.
І=-ж
Тогда, согласно теореме Н:
? Zt N(0, (1 + ?)2(72).
VT t=i
Обратим внимание на то, что в этом случае zt те является MDS относительно It = {zt-i, zt-2, zt-3 . . .}, Т.к, E[zt\zt-i,zt-2, ..] = ??tl = 0.
В случае, если наблюдения являются зависимыми, для получения пивотальной статики возникает необходимость оценивания асимтотической дисперсионной матрицы. Согласно теореме Н, вид искомой оценки должен быть:
т т -i т
Й = T ?(z, - zHZ. - Z)' + ? - ? {(Z, - Z)(Z,_j - Z)' + (Zt - Z)(Zt+j - Z)'}.
t=i j=i t=j+i
Однако, такая оценка не будет состоятельной, т.е. О О, Дело в том, что из-за конечности выборки невозможно оценить состоятельно крайние члены ряда. Таким образом (пользуясь эргодичностью), необходимо "обрезать" ряд на каком-то члене m Т, таком, чтобы при T ^ то : мы имели m ^ то и m ^ 0.
В 1987 году Ньюи и Веет предложили состоятельную оценку вариационной матрицы, которая по построению является положительно определенной :
min(T,T+j)
Е (Z - Z)(Z,_j -
t=max(1,1+j)
JjM 1
m + 1) TМ1
j=-N ?
? NW
Z )'.
Для приложений была предложена следующая формула выбора m:
Т \ 1/3
іо?у
Такой выбор m дает хорошие результаты в смысле построения оценок, за исключением тех случаев, когда затухание возмущений в процессе происходит медленно, т, е,, корни соответствующих полиномов лежат близко к единичному кругу.
Вернемся к уже рассмотренному примеру МА(1): zt = et+?щ-:1, Результат, который мы получили:
Е zt N(0, (1 + ?)2^2).
?Т t=i
Допустим теперь, что мы хотим получить состоятельную оценку для асимтотической дисперсии. На практике у нас есть 3 возможных способа:
- Мы можем получить еоетоятельные оценки ? ? и а2 ^ а2, а затем, согласно полученному результату, сконструировать состоятельную оценку асимтотической дисперсии: ?2 = (1 + О)2 а2.
- Зная, что искомая дисперсия выражается как а2 = Var(zt) + 2Cov(zt; zt-1), мы можем сконструировать состоятельную оценку в виде:
a2z = Var(zt) + 2Cov(zt; zt-i), где
1 t 1 t
Var(zt) = T E zt2; Cov(zt; zt-i) = T E ztzt-1.
t= 1 t=2
Мы можем использовать приведенную выше оценку Ньюи-Веста:
min(T,T+j)
N
z Е (1
j=-N
|j I
і2
ztzt-j.
t=max(1,1+j)
8 Введение в асимтотический подход для нестационарных про
цессов
Если временной ряд не обладает свойством стационарности, то построение статистических выводов значительно усложняется. Здесь мы рассмотрим простейший пример нестационарного процесса. Пусть процесс Xt описывается уравнением случайного блуждания, те.:
Xt = Xt-1 + ?t; ?t ~ iid(0,a2); Xq = 0.
1 ?? ? ?т 2 T t + 1
/ у Xt = + ?T-1 + ¦ ¦ ¦ ± Щ-?t + ¦ ¦ ¦ + ?1.
t=l
Тогда выборочное среднее выражается следующим образом: т
T
Следовательно,
2\2 /Iх 2'
X*l = a2 ( 1 +
t=1
To есть
H = a2 = O(T).Var( X
t=1
В результате мы получим следующие асимптотики:
1 Е X Vi; T Е Xi-i?‘^ Е X2 p
t- 1 V3,
T 3/2
t=1
t=1
t=1
где V1, V2, V3 - некоторые случайные величины.
Если мы теперь используем OLS оценку, то асимтотические свойства этой оценки будут следующие:
V2
?з.
T (р 1)
Во-первых, мы видим, что OLS оценка в данном случае суперсостоятельна, поскольку скорость сходимости к аеимтотичеекому распределению есть T, Во-вторых, асим-тотическое распределение нестандартно, оно носит название распределения Дики-Фуллера.
II Бутстраповский подход
1 Приближение истинного распределения бутстраповским
В основе бутетраповекого подхода лежит идея, что истинное распределение данных может быть апроксимировано эмпирическим. Таким образом может быть получено
приблизительное распределение интересующей нас статистики. Пусть из исходной генеральной совокупности с распределением F(x) была получена выборка размера и, Тогда эмпирическая функция распределения Fn (x) = П ^ і=1 I (Xi Д x) равномерно почти наверное стремится к F(x) при и ^ то, И это благоприятно отражается на свойствах бутстрапа.



Содержание раздела