d9e5a92d

ПОВТОРЯЮЩИЕСЯ ИГРЫ

л:' € / (G), щ (х‘) = sup и,- (х),
*6/(0)
что можно эквивалентным образом переписать так:
€ I (G), и; (х) = sup (и; (х) I Uj (х) sup inf Uj (yjt y{)\. (4)
l yj yi )
Более того, любые два дележа, удовлетворяющие условию (4), дают один и тот же выигрыш обоим игрокам:
[х удовлетворяет (4)] =Ф [у (х) = Uj (х‘), } 1, 2].
Доказательство этих двух утверждений оставляем в качестве упражнения читателю.
Лемма 3. Пусть х‘дележ, для которого выполнено условие (4).
Пусть It (агрессивная) угроза игрока і:
( =
Пусть предупреждение игрока /, т. е. угроза вида I/ :) = х), уі
Тогда (х, ?г, ?у)сценарий предостережений.
Доказательство. Из (5) получаем у (г/у, і,-(г//)) sup inf Uj{zf, zt) для всех yf€Xf\{xf}, г/ Zi
Поскольку исход xf индивидуально рационален {х g JR (0)), то получаем
и/ (У/, і( (У/)) у (х) для всех г/у € Ху\{х}.
С другой стороны, из (6) имеем
/(!/(/,). Уі) inf sup (2/, гг) для всех /г€Х;\{*ІЬ
гі г]
Зафиксируем теперь стратегию у{, у{ Ф х\, и предположим Щ (I/ (/,). Уд Щ (х‘).
Последние два неравенства в совокупности с условием х‘ ? € /Я (G) позволяют утверждать, что у = (у{), yt) ? IR (G). В силу наших топологических предположений существует оптимальный по Парето исход г, для которого выполнены неравенстваUi(yXui(z), u/(y)^u/(z).
Таким образом, для дележа г справедливо неравенство щ (х{) tif (2). Получили противоречие.
Итак, мы доказали, что
иі (5/ (/,), Уд Щ (*0 для всех у,-? Х,\{х‘]. Щ
Следуя работе Шеллннг [1971], назовем предупреждением угрозу, которая совпадает с поведением ведомого. Такие ответные действия весьма убедительны.

Все остальные угрозы напоминают машину страшного суда *). В тот момент, когда придется приводить угрозу в исполнение, игрок либо должен отказаться от рационального (с точки зрения краткосрочных интересов) выбора, либо все-таки не осуществить угрозу.

Таким образом, успешное применение угроз в качестве механизма предостережений требует, чтобы угрожающий игрок был обязан приводить угрозу в исполнение или по крайней мере чтобы все в это верили.
Упражнение 1. Метаигры (Ховард [1971], Кукушкин [1974])
Для данной игры двух лиц G (Xit Ха, uit иг) с конечными множествами стратегий обозначим через S(l; G) ее расширение, в котором игрок 1 действует в качестве ведомого (в лемме 5 разд. 4 гл.

II эта игра обозначается G):5(1; G) = (Xfy Х2; 1, й3)2).
Рассмотрите игру
Я = S (2; S( 1, G)).
2) Дайте интерпретацию данной игре.
3) Докажите, что пара (а1г аг) является вектором выигрышей для некоторого NE-исхода игры Н тогда и только тогда, когда выполнены следующие два свойства..
а) (аи а2)допустимый вектор выигрышей в игре G, т. е. для некоторого х*€Х{12}
(ах, а3) = (иХ(х*), иг(х*)).
б) inf sup И, (хх, х2)^.щ(х^),
¦Х2 X,
sup inf и2 (хи х2) sgl и2 (X*).
Ху дг,
4) Докажите, что 1-выигрыш по Штакельбергу в игре 5(1; G) (см. лемму 6 разд. 4 ниже) совпадает с наилучшим выигрышем для первого игрока на множестве дележей в игре G. Вычислите также і-выигрыш по Штакельбергу в игре Н, і= 1, 2.
2. а-ЯДРО
Определение 3. Для данной игры G==(X(., и,-; і 6 N) а-ядром игры G называется подмножество (обозначаемое Ca(G)) таких исходов х*, для которых:
для любой коалиции TcN и любой совместной стратегии Хт?Хт существует совместная стратегия дополнительной коалиции Xtc^Xjc, такая, что не выполнено условие
I и{(хт, хтс)'^иі(х*) для всех і?Т,
\ U;(xt, хтс) м,-(х*) по крайней мере для одного і?Т.
В целях упрощения мы привели формулировку определения 3 без точных ссылок на сценарий предостережений, в котором коалиции реагируют на совместные отклонения дополнительных коалиций. Формально сценарий коалиционных предостережений должен быть такимі
{X*, Sr, Tc=N),
где Iтс такое отображение из Хт в Хтс, что не найдется коалиции TsN и совместной стратегии х? ?Хт, для которых было бы выполнено
j Uj(XT, Sг*(хг))^і(**) лля всех і?Т,
1 и{(хт, Srr (хт)) ut (х*) для некоторого і?7\
Таким образом, х* принадлежит множеству Са (G) тогда и только тогда, когда для любой коалиции TsiV найдется такая угроза коалиции Тс против потенциальных отклонений коалиции Т, что (X*, Sr; Т с= N) коалиционный сценарий предостережений.
По определению 3 исход х* содержится в a-ядре игры G в том случае, если любому отклонению хт коалиции Т может быть противопоставлен ход Хтс дополнительной коалиции Тс, который предостерегает по крайней мере одного члена коалиции Т от принятия стратегии Хт, поскольку в этом случае этот игрок проигрывает: и^хт, хТс) ut (л;*) (или все игроки коалиции Т получают такой же выигрыш, как и раньше
u{(xTt xTc) Ui(x*) для всех і ?Т).
Применяя это свойство последовательно к коалициям Т = М и Т {і\, i$N, получаем, что любой исход в a-ядре является также дележом:Са (G)cl (G).
Отметим, что оптимальный по Парето ME-исход также является дележом (вместе с пассивной угрозой, состоящей в отсутствии реакции, он образует сценарий предостережений). Сильное равновесие содержится в a-ядре (стабилизируется с помощью пассивных угроз):ME (G) п РО (G) с [ (G), SE (G) с Са (G).
Упражнение 3 иллюстрирует эти включения. В частности, приведена простая игра трех лиц, в которой нет сильного равновесия в то время, как a-ядро состоит из двух точек (пункт 2).
В игре двух лиц а-ядро совпадает со множеством дележей и, следовательно, всегда непусто (в топологических предположениях леммы 2). Интересно отметить, что в играх по крайней мере с тремя игроками a-ядро может оказаться пустым.
Пример 3. Парадокс Кондорсе
Пусть М сообщество, состоящее из нечетного числа участников, которые должны из конечного множества кандидатов А выбрать одного. Кандидат выбирается большинством голосов: каждый игрок голосует за одного кандидата, и выигрывает тот, у кого наберется максимальное число голосов.
Для всех і g N обозначим через и; функцию полезности игрока і на А. Полезности любых двух исходов из А считаются различными, поэтому существует ровно р\ отношений предпочтения, где р = Л мощность множества А.
Стратегии игрока і составляют множество Х; = Л. Правилом голосования является любое отображение я из Хц в А, такое, что для всех х^Хці
я (х) = а =Ф I {і € Л/ \xi = a\\^\\i^N\xt = b\\ для всех Ь$А. (7) При фиксированных и{, і?М, возникает следующая игра в нормальной форме:
G = (Xf, и,-ол; 1N).
Найдем в этой игре кооперативно устойчивые исходы. Предположим; что х* ? Хд/ содержится в a-ядре, и обозначим а = я (¦?*). Отметим, что любая коалиция Г, в которую входит более половины участников может обеспечить избраниелюбого кандидата Ь, если все ее члены будут голосовать за b (это следует из (7)):
[хг = b для всех і ?Т]=[я(Хт, Хтс)~Ь Для всех хтс^Хте].
Следовательно, неравенство?і € Т щ ф) и{ (а) (8)
противоречило бы принадлежности исхода х* a-ядру (см. определение 3). Таким образом, для всех коалиций Т, содержащих большинство голосов, и для всех кандидатов Ь, Ьфа свойство (8) не должно быть выполнено. Это утверждение эквивалентным образом может быть переформулировано так:
I {і € NI и{ (а) и,- ф)\\ -іуі для всех Ь, Ьфа. (9)
В силу нечетности N либо сама коалиция содержит большинство игроков, либо ее дополнение. Если выполнено свойство (9), будем говорить, что кандидат а является победителем по Кон-дорсе для порядков предпочтений ,- i?N.

Такой кандидат наносит поражение любому другому кандидату при парном сравнении. Таким образом, мы доказали: .
[х*?Са (6)]=ф[я(х*) является победителем по Кондорсе при
(U;) 1 в Л/ ] -
Обратное утверждение также справедливо мы оставляем его читателю в качестве упражнения.
Данным порядкам предпочтений щ, і € N, соответствует не более одного победителя по Кондорсе (из (9)). Соответственно могут возникнуть только два случая.
Случай 1. Для порядков uh i ? N есть победитель по Кондорсе (а). Тогда a-ядро игры G состоит из всех исходов х, для которых п(х) = а: Са (G) = я~* (а).
Случай 2. Для порядков щ, і ? N, не существует победителя по Кондорсе. Тогда a-ядро игры 0 пусто:
Са(?)=0.
Случай 2 известен под названием парадокса Кондорсе, и возникающая ситуация подробно исследована в обширной литературе по теоріи общественного выбора (см., например, Сен [1970], Мулен [1981] Миркин [1974]). Для того чтобы построить порядки предпочтений, при которых нет победителя по Кондорсе, предположим, что и \N \ = п^Ъ. Выберем далее трехкандидатов с, Ь, с и три натуральных числа пи пг, п3 так, чтобы было ш полнено г)
I + h + ns = n,
\ пк+Ъпт при всех {k, I, т} = { 1, 2, 3}.
Предположим далее, что сообщество N распадается на три однородные щуппы Nk с числом игроков пк, k=\, 2, 3, причемдля всех і € и{ (а) и{ (b) ut (с) и{ (а),
для всех ji ut (b) и{ (с) и{ (а) ц, (а),
для всех і С ?3; ut (с) и,- (а) щ (Ь) и{ (а),
для любого а?А\{а, Ь, с}.
Участники из (j Na кандидата а предпочитают кандидату Ь. Поскольку п -f /г3 пг, то b не может быть победителем по Кондорсе. Аналогично, большинство, состоящее из U Ыг, предпочитает кандидата b кандидату с, а большинство, состоящее из N2 и /?3, предпочитают кандидату а кандидата с.
Упражненіе 2
Докажите, что дележ х из a-ядра игры G не обязательно является сильным равновесием. Тем не менее из пустоты множества SE (G, следует пустота множества Са (G) и наоборот. Более того, ии соответствует избрание одного и того же кандидата
n(SE(G)) = n(Ca(G)).
Что изменится в примере 3 при четном JV ?
В игре с пустым a-ядром кооперативная стабильность не может быть достигнута только за счет предостерегающих угроз. Даже тот факт, что стратегические отклонения могут быть совершены только в открытую, не гарантирует от возможного существования коалиции, для которой отклонение является выгодным, несмотря на соответствующие действия остальных игроков. В этом случае для обеспечения стабильности введем более гибкий сценарий поведения, в котором реакция игроков, поддерживающих соглашение, состоит в том, чтобы подкупить некоторых членов из коалиции отступников, причем таким образом, чтобы остальные члены коалиции отступников понесли существенные потери
і) Напомним, что I Л/1 нечетно .Прим, перед.
Рассмотрим, например, игру выборы большинством голосов (пример 3) с тремя игроками- и тремя кандидатами, в которой порядки предпочтений образуют цикл Кондорсе


щ (а) (Ь) Щ (с),
иг {Ь)иг {с) и2 (а),Щ (с) и* (Ь).
Рассмотрим исход х (Ь, Ь, с), при котором выбирается кандидат Ь. Стабильность, исхода х может быть нарушена коалицией {1, 3}: игроки 1 и 3, выбирая кандидата а, увеличивают свой выигрыш, не боясь каких-либо стратегических действий со стороны игрока 2:
и, (а, хш, а) щ (Ь, Ь, с) для і = 1, 3 и для всех х2?Хг.
Тем не менее игрок 2 может предложить игроку 3 лучший вариант: голосуя вдвоем за кандидата с, они обеспечат его избрание, и тем самым игрок 3 получит наибольший возможный выигрыш. При этом игрок 1 получит наименьший возможный выигрыш.

Предвидя, что игрок 2 может подкупить игрока 3, игрок 1 не станет входить в коалицию [1,3] первоначального отклонения от договора, поскольку иначе его выигрыш в конечном счете может уменьшиться: н1(с)ы1 (Ь).
Двухэтапный сценарий, в котором ход коалиции порождает контрмеры, связанные с подкупом некоторых игроков данной коалиции, для того, чтобы предостеречь остальных игроков из этой коалиции, приводит X концепции стабильности, обобщающей понятие сх-ядра. ПраИДа, изложенный выше сценарий угроз и контругроз достаточно сложен технически. Содержательность такого сценария является спорной, однако это понятие обладает хорошими матек*атическими свойствами, а именно в работе: Лафон, Мулен [$80] доказано, что соответствующее множество равновесных йСхДОв не пусто.

В задаче 3 этот результат приводится для случая трех игроков.
Замечание 1
В литературе по теории игр встречается несколько двух-тапных концепций стабильности: решение НейманаМорген-ітерна (Льюс, Райфа [195?]), сильное решение по Викри [1959], юдрешения и сверхядро (Р0т [1976]) и др. Обзор соответствую-дей литературы см- в Розенталь [1972].
Упражнение 3
1) Дилемма заключенного с тремя игроками.
У каждого игрока есть агрессивная стратегия (Л) и кооперативная стратегия (Q. ИФа симметрична. Ниже перечисленывозможные варианты выигрышей игроков:
Например, пусть игроками являются три конкурирующие фирмы, которые могут назначить обычную цену (С) или использовать политику демпинга (Л). Максимальный суммарный выигрыш равен 6 (достигается, если все игроки придерживаются кооперативного поведения) и уменьшается на единицу при увеличении на единицу агрессивности игроков.

Каждый игрок, переключаясь со стратегии С на стратегию Л, получает дополнительно единицу выигрыша и уменьшает на единицу выигрыш каждого из оставшихся двух игроков.
Докажите, что в этом варианте игры дилемма заключенного равновесие в доминирующих стратегиях доминируемо по Парето и не существует сильного равновесия. Докажите также, что в этой игре ровно четыре дележа и a-ядро совпадает со множеством дележей.
2) Каждый игрок может выбрать одного из трех игроков, в частности самого себя. Таким образом,
а:,={і,2, з).
2, 3, 1) каждый игрок получает ровно по одному голосу.
Докажите, что a-ядро состоит из двух исходов тйпа (2, 3, 1).
Задача 1. Теорема Накамуры (Накамура [1979])
Для данного конечного сообщества N правильная простая игра1) задается подмножеством W множества непустых коалиций из N, для которого выполнены следующие свойства:
I [T?W, Т сГ]#Г eW,
\ T$W=T'$W.
Для данного конечного множества кандидатов А правилом голосования сообщества N по выбору кандидата нз А является отображение л из AN в А (каждый игрок выдвигает ровно одного кандидата). Скажем, что правило голосования я порождено правильной простой игрой W, если выполнено следующее свойство:
?х? AN ?аеА [3TeW ?іет xt = a]^[n(x) = a].
Обозначим через L(A) множество (линейных) порядков на множестве А, а через и е L (A)N совокупность порядков предпочтений на А: для каждого іеН функция ut показывает полезность элемента а для игрока і (равенство полезностей для различных элементов из А недопустимо).
Заданная правильная простая игра W и правило голосования л, порожденное W, определяют для каждой конкретной совокупности порядков предпочтений и игру G (и): множество стратегий Х( = А, функция выигрыша игрока і: щ о л для всех igN.
1) Обозначим через С (и) следующее, возможно пустое, подмножество А:
аеС(и)?ЬеА { g-ЛГ I и j (а) и, (?)} W.
Докажите, что С (и) является образом при отображении я a-ядра игры G (и).
С (ы) = л [Са (G (и))].
В предположении, что простая игра W является сильной, т. е. выполнено условие
T$W=pTeeW,
докажите, что
Са(0()) = я- (С (и)).
2) Предположим, что для некоторой совокупности и мно
жество С (и) пусто. Докажите, что существует р = А не обязательно различных коалиций Тк, k~\, для которых
выполнено
' Тк ? W для всех k= 1, ..., р,
П Тк 0.
3) Предположим, что \N\ = n~^p \A\. Докажите следующую эквивалентность (теорема Накамуры):
[Vu?L(A)K С(и)#0]фф[ ЛI ?(W7)],
где ?(И7) обозначает число Накамуры для простой игры W, которое определяется как минимальное число подмножеств (Та) из W, таких, что
П Та = 0.
а
Дайте интерпретацию.
Задача 2. Выборы с правом вето. Кооперативное поведение (Мулен, Пелег [1982])
Фиксируем сообщество N, множество кандидатов А и предположим, что
IJVI = I ЛI 1. (10)
Отображение я из AN в А называется выборами с правом вето, если Ух ? AN Уі g N я(х)фх{. Из (10) следует, что такие правила существуют.
' 1) Для данных порядков предпочтений u$L(A)A (см. обозначения задачи 1) обозначим через С? (и) следующее подмножество множества А:
a?CV(u)VT=N IТ\ + \Р(Т,а, и)р-1,
где Р (Т, а,и) = {Ь?А\Уі?Т и: (а) щ (Ь)\
множество кандидатов, которых коалиция Т единогласно предпочитает кандидату а.
Докажите, что С? (и) всегда не пусто.
Указаниеі рассмотрите последовательность alt ..., а„, определенную по индукции:
наихудший кандидат по и± среди А, at+1наихудший кандидат по ы+1среди Л\{я1( ..., at\.
Докажите затем, что а = А \{аг.....ап\ принадлежит множе
ству С? (а).
2) Обозначим через G (и) игру со множествами стратегий Х/ = А и функциями полезности о я, і ? N. Докажите, что a-ядро игры G (и) является прообразом множества С? (и) при отображении я:
Ос (с ()) = я-1 (С? (и)).
3) Докажите, что множество С? (и) является образом множества сильных равновесий игры G (и) при отображении я:n(SE(G(u)))=*CV(u).
Указание: Выберем а?С? (и) и обозначимQi = {b€A\ ui(b) Uf (а)}.
Множества Qt являются подмножествами множества Л\{а}, в котором п элементов. Более того, они удовлетворяют условию?Г с N I U QA\T\.I f г I
Таким образом, по лемме о паросочетаниях) элементы множества Л\{а можно занумеровать так, что а1 ? Q. для всех і € N. Докажите теперь, что (ах, .. - , а„) € SE (G (и)).
Задача 3, Возражения и контрвозражения в играх трех лиц) (Лафон, Мулен [1980])
Пусть (Хи Хг, Х3; их, 2, и3) игра трех лиц с конечными множествами стратегий Х{. Для данного исхода х ? Хц, 2.3} обозначим через 012 (х) множество возражений коалиции {1, 2} против хі
[(і/и У г) € Q (х)] [ІШ Uj (Уі, У2, l/j) ^ (xlt Х3, Х3), І 1, 2 J ,
Контрвозражением коалиции ]2, 3) против возражения (уи у2) ? является пара (г2, г8)ёл,хХа, такая, что
' inf иг (ги г„ г) inf и* (ylt yt, у3),г,
sup Mj (2j, г2, z3) E щ (X\ x2, x3). ^ ^г,
Игрок 3 навязывает кооперацию игроку 2: Если ты будешь настаивать на возражении (ух, уг), то я сделаю так, чтобы твой выигрыш был не больше Ыи3{уг, у3, у3). Если же тыV
примкнешь ко мне и мы выберем (z2, z„), то тебе будет обеспечен выигрыш inf w2 (z1( z2, z3). Наконец, нижнее неравенствоz,в (11) предостерегает игрока 1 от внесения возражения (уи у3).
Множество DE (G) в игре G состоит из всех дележей, для которых на каждое возражение со стороны коалиции {і, /} найдется контрвозражение коалиции {г, Щ или коалиции {/, k}. Докажите, что множество DE (G) игры G непусто.
Указание: Предположим сначала, что / (и) = Х{1,2, з}- Скажем, что возражение (yv ya) ? 013 (х) коалиции {1,2} противъ является максимальным, если
1) на него нет контрвозражения;
2) для всех возражений (z1( z2) 4 0la (х) из неравенствinf и{ (г„ z„ г3) inf и, (уг, у„ у3), і = 1, 2,У*
следует, что эти неравенства обращаются в равенства. Предположим далее, что множество DE (G) в игре G пусто. Определим следующую последовательность:
*, (S1, х1), (S2, х2), ..., (S*. х% где
х произвольный элемент множества Х{і23}, х*максимальное возражение коалиции S‘ против х*-1, на которое нет контрвозражения (t ^ 1).
Докажите, что любые два исхода1 х* различны, что противоречит конечности множества Х{!2з}.
3. ПОВТОРЯЮЩИЕСЯ ИГРЫ
Определение 4. 0-ядром игры в нормальной форме G *^(Х{, и{\ і $ N) называется множество Ср (G) исходов х*, обла-дающих следующим свойством.
Для любой коалиции Т, Т с N, существует совместная стратегия дополнительной коалиции хТс € Хт?, такая, что для любой совместной стратегии хт?Хт не может быть выполнена следующая система неравенств:
I и{ (хт, хТс) и{ (х+) для всех і € Т,
\ щ (хт, хТс) иі (х*) по крайней мере для одного і € Т.
Стабильность исхода из 0-ядра является более сильной, чем стабильность исходов из a-ядра: коалиция Тс Может пресечь отклонение коалиции Т, даже если члены коалиции Т выби‘ рают свою совместную стратегию хт тайно. Конечно, сам факт того, что коалиция Т собирается отклониться от согласованной стратегии х*, должен быть известен, иначе игроки коалиции
Тс не узнают о предательстве и не смогут ему ничего противопоставить. Сравнивая определения 3, 4 и определение 1 гл. V, получаем
S?(G)cCf(G)cCa(G).
Для того чтобы дать интерпретацию определению 4, представим, что игра G повторяется во времени. В момент t, t = 1, 2, ..., каждый игрок і, зная предыдущие ходы х1, ..., л;-1, выбирает стратегию х\.

Выборы игроков в момент t могут быть смешанными или коррелированными стратегиями, могут производиться независимо или после некоторого этапа обмена информацией. Важно только, чтобы реализация лотерей, проводимых в момент t, становились известными к моменту t Наконец, выигрыш каждого игрока і есть среднее Чезаро его текущих выигрышей:
t
Ига -т- щ (лг5). (12)
І-+Я s_
В работах Аумана [1978] и Рубинштейна [1979] ) доказано, что все исходы из смешанного 0-ядра игры G могут быть получены как сильные равновесия в повторяющейся игре G (оо). Обратно, выигрыши, соответствующие сильным равновесиям в игре G (оо), покрывают выпуклую оболочку выигрышей, соответствующих смешанному 0-ядру игры G. Таким образом, с помощью повторений исходной игры формализуется весьма существенная черта кооперации с применением угроз.

Отклонения, выгодные в краткосрочном плане, становятся невыгодными в долгосрочном плане, если объявленная угроза приводится в исполнение. Для этого необходимо, чтобы долгосрочные выигрыши всегда перевешивали краткосрочные, как это неявно предполагается в нашей интерпретации сценариев предостережений.
Среднее Чезаро (12) обеспечивает выполнение этого условия.
Мы не будем воспроизводить сложное доказательство этих результатов. Вместо этого разберем более простой вариант повторяющихся игр, в котором общий выигрыш является дисконтированной суммой текущих выигрышей.
Повторяющиеся игры с дисконтированными выигрышами
Предположим, что в исходной игре G = (Xt-, up, t g /V) функции иi равномерно ограничены на множестве XN (например, Xf компактны, а и{ непрерывны при всех i?N). Пусть в момент t = 1 разыгрывается игра G. Исход игры G обозначим через х1. Далее некоторый случайный механизм диктует либо закончить игру с вероятностью (1б), в этом случае общий выигрыш игрока і равен ut{xl), i$N, либо продолжать игру (с вероятностью б), и тогда игра G разыгрывается заново в момент t 2. После каждой партии игры G с вероятностью (1 6) считается, что соответствующий исход является окончательным, а с вероятностью 6 все предыдущие партии аннулируются, и проводится очередная партия игры G.
Другая интерпретация повторяющейся игры, формально эквивалентная приведенной выше, состоит в том, что игра G разыгрывается бесконечное число раз, а общий выигрыш игрока і, соответствующий последовательности исходов х1, х2,... .... х*, ..., равен
(1 б) {и,- (х^-Ь би, (x2)-f- . . (х‘)+ ...} для всех i?N.
(13)
Известно, что при стремлении 6 к 1 значение ряда (13) стремится к среднему Чезаро (12), если предел в (12) существует.
Положим Р,= inf sup и{. Р,-это максимальный выигрыш* X
игрока і, который он может себе обеспечить при условии, что к моменту выбора своей стратегии он знает стратегии всех остальных игроков. Выберем дележ г* так, чтобы выполнялось условие и{ (х*) для всех і € N.
Будем считать, что х* является соглашением, которое игроки хотят сделать стабильным в повторяющейся игре с дисконтированием. Для этого найдем МЕ-тхож о* в повторяющейся игре, который дает каждому игроку выигрыш и{ (х*).



Содержание раздела