ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ
Метод анализа иерархий (МАИ) [1,2] предполагает декомпозицию проблемы на все более простые составляющие части и обработку суждений лица, принимающего решение. В результате определяется относительная значимость исследуемых альтернатив для всех критериев, находящихся в иерархии. Относительная значимость выражается численно в виде векторов приоритетов.
Полученные таким образом значения векторов являются оценками в шкале отношений и соответствуют так называемым жестким оценкам.
Можно выделить ряд модификаций МАИ, которые определяются характером связей между критериями и альтернативами, расположенными на самом нижнем уровне иерархии, а также методом сравнения альтернатив.
По характеру связей между критериями и альтернативами определяется два типа иерархий. К первому типу относятся такие, у которых каждый критерий, имеющий связь с альтернативами, связан со всеми рассматриваемыми альтернативами (тип иерархий с одинаковыми числом и функциональным составом альтернатив под критериями).
Ко второму типу иерархий принадлежат такие, у которых каждый критерий, имеющий связь с альтернативами, связан не со всеми рассматриваемыми альтернативами (тип иерархий с различными числом и функциональным составом альтернатив под критериями).
В МАИ имеется три метода сравнения альтернатив: попарное сравнение; сравнение альтернатив относительно стандартов и сравнение альтернатив копированием.
Ниже рассматриваются методология МАИ и отличительные особенности его модификаций.
2.1. Иерархическое представление проблемы, шкала отношений и матрицы парных сравнений
Иерархическое представление проблемы
В первой модификации метода рассматривается иерархия с одинаковыми числом и функциональным составом альтернатив под критериями и метод попарного сравнения элементов иерархии. Построение иерархии начинается с очерчивания проблемы исследования.
Далее строится собственно иерархия, включающая цель, расположенную в ее вершине, промежуточные уровни (например, критерии) и альтернативы, формирующие самый нижний иерархический уровень.
На рис. 2.1 приведен общий вид иерархии, где Еij элементы иерархии, Аi альтернативы.
Верхний индекс у элементов указывает уровень иерархии, а нижний индекс их порядковый номер. Существует несколько альтернативных способов графического отображения иерархии.
На рис. 2.2 приведены три варианта отображения одной иерархии.
Первый вариант конкретизация (декомпозиция) заданного множества элементов (в частности, критериев). Второй вариант противоположен первому и предполагает синтез более общих элементов из заданных частных.
Третий вариант упорядочение предварительно заданного множества элементов на основе их попарного сравнения.
Шкала отношений
Для установления относительной важности элементов иерархии используется шкала отношений (табл. 2.1).
Данная шкала позволяет ЛПР ставить в соответствие степеням предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим некоторые числа.
Таблица 2.1
Шкала отношений (степени значимости действий)
| Степень значимости | Определение | Объяснение |
| 1 | Одинаковая значимость | Два действия вносят одинаковый вклад в достижение цели |
| 3 | Некоторое преобладание значимости одного действия над другим (слабая значимость) | Существуют соображения в пользу предпочтения одного из действий, однако эти соображения недостаточно убедительны |
| 5 | Существенная или сильная значимость | Имеются надежные данные или логические суждения для того, чтобы показать предпочтительность одного из действий |
| 7 | Очевидная или очень сильная значимость | Убедительное свидетельство в пользу одного действия перед другим |
| 9 | Абсолютная значимость | Свидетельства в пользу предпочтения одного действия другому в высшей степени убедительны |
| 2,4,6,8 | Промежуточные значения между двумя соседними суждениями | Ситуация, когда необходимо компромиссное решение |
| Обратные величины приведен-ных выше ненулевых величин | Если действию i при сравнении с действием j приписывается одно из определенных выше ненулевых чисел, то действию j при сравнении с действием i приписывается обратное значение | Если согласованность была постулирована при получении N числовых значений для образования матрицы |
Правомочность этой шкалы доказана теоретически при сравнении со многими другими шкалами [2]. При использовании указанной шкалы ЛПР, сравнивая два объекта в смысле достижения цели, расположенной на вышележащем уровне иерархии, должен поставить в соответствие этому сравнению число в интервале от 1 до 9 или обратное значение чисел.
В тех случаях, когда трудно различить столько промежуточных градаций от абсолютного до слабого предпочтения или этого не требуется в конкретной задаче, может использоваться шкала с меньшим числом градаций. В пределе шкала имеет две оценки: 1 объекты равнозначны; 2 предпочтение одного объекта над другим.
Матрицы парных сравнений
После построения иерархии устанавливается метод сравнения ее элементов. Если принимается метод попарного сравнения, то строится множество матриц парных сравнений. Для этого в иерархии выделяют элементы двух типов: элементы-родители и элементы-потомки. Элементы-потомки воздействуют на соответствующие элементы вышестоящего уровня иерархии, являющиеся по отношению к первым элементами-родителями.
Матрицы парных сравнений строятся для всех элементов-потомков, относящихся к соответствующему элементу-родителю. Элементами-родителями могут являться элементы, принадлежащие любому иерархическому уровню, кроме последнего, на котором расположены, как правило, альтернативы. Парные сравнения проводятся в терминах доминирования одного элемента над другим.
Полученные суждения выражаются в целых числах с учетом девятибалльной шкалы (см. табл. 2.1).
Заполнение квадратных матриц парных сравнений осуществляется по следующему правилу. Если элемент E1 доминирует над элементом Е2, то клетка матрицы, соответствующая строке Е1 и столбцу E2, заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке E2 и столбцу Е1, заполняется обратным к нему числом.
Если элемент Е2 доминирует над Е1, то целое число ставится в клетку, соответствующую строке Е2 и столбцу Е1, а дробь проставляется в клетку, соответствующую строке Е1 и столбцу Е2. Если элементы Е1 и Е2 равнопредпочтительны, то в обе позиции матрицы ставятся единицы.
Для получения каждой матрицы эксперт или ЛПР выносит n(n 1)/2 суждений (здесь п порядок матрицы парных сравнений).
Рассмотрим в общем виде пример формирования матрицы парных сравнений.
Пусть Е1,E2, ..., Еп множество из п элементов (альтернатив) и v1, v2, , vn соответственно их веса, или интенсивности. Сравним попарно вес, или интенсивность, каждого элемента с весом, или интенсивностью, любого другого элемента множества по отношению к общему для них свойству или цели (по отношению к элементу-родителю). В этом случае матрица парных сравнений [Е] имеет следующий вид:
Матрица парных сравнений обладает свойством обратной симметрии, т. е.
aij=1/aji,
где aij=vi / vj
При проведении попарных сравнений следует отвечать на следующие вопросы: какой из двух сравниваемых элементов важнее или имеет большее воздействие, какой более вероятен и какой предпочтительнее.
При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из критериев более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию какая из альтернатив более предпочтительна или более вероятна.
2.2. Собственные векторы и собственные значения матриц. Оценка однородности суждений
Собственные векторы и значения матриц
Ранжирование элементов, анализируемых с использованием матрицы парных сравнений [E], осуществляется на основании главных собственных векторов, получаемых в результате обработки матриц.
Вычисление главного собственного вектора W положительной квадратной матрицы [E] проводится на основании равенства
EW=лmaxW, (2.1)
где лmax максимальное собственное значение матрицы [Е].
Для положительной квадратной матрицы [Е] правый собственный вектор W, соответствующий максимальному собственному значению лmax, с точностью до постоянного сомножителя С можно вычислить по формуле
где е={1,1,1, ....l}Т единичный вектор;
k = 1, 2, 3, ... показатель степени;
С константа;
Т знак транспонирования.
Вычисления собственного вектора W по выражению (2.2) производятся до достижения заданной точности:
где l номер итерации, такой, что l = 1 соответствует k = 1; l = 2, k = 2;
l = 3, k = 4 и т. д.;
о допустимая погрешность.
С достаточной для практики точностью можно принять ξ = 0,01 независимо от порядка матрицы.
Максимальное собственное значение вычисляется по формуле:
лmax=eT[E]W
Динамические предпочтения и приоритеты
Задача прогнозирования экспертных предпочтений связана с получением оценок приоритетности альтернатив в форме зависимостей от времени. Для этого исходные экспертные оценки должны содержать информацию об изменении предпочтительности одной альтернативы перед другой на некотором временном отрезке. Следовательно, оценка предпочтительности может быть задана не константой, а функцией. Подбор таких функций можно осуществить, либо предоставив в распоряжение эксперта некоторую функциональную шкалу [2], либо путем аппроксимации экспертных оценок, полученных в различные моменты времени. Пример функциональной шкалы показан в табл.
2.2, где функции предпочтительности содержат параметры, подбор которых позволяет более или менее точно описать изменяющиеся суждения и установить область допустимых значений функций в пределах девятибалльной шкалы (см. табл. 2.1).
Таблица 2.2
Динамические суждения
| Вид функции | Описание функции | Примечание |
| const | Для всех t l Ј const Ј 9 | Постоянство предпочтений |
| a1(t)+a2 | Линейная функция от t на некотором отрезке, обратная функция - гипербола | Линейное возрастание предпочтения одной альтернативы перед другой во времени |
| b1ln(t+1)+b2 | Логарифмический рост | Быстрое возрастание предпочтения одной альтернативы перед другой до некоторого t, после которого следует медленное возрастание |
 |
Экспоненциальный рост или убывание (с20), в последнем случае обратная величина S-образная логистическая кривая | Медленное увеличение или уменьшение предпочтения во времени, за которым следует быстрое увеличение (уменьшение) |
| d1t2+d2t+d3 | Парабола с максимумом или минимумом в зависимости оттого, отрицательно или положительно d1. | Возрастание до максимума, а затем убывание (или наоборот) |
| f1tnsin(t+f2)+f3 | Колебательная функция | Колебания предпочтений во времени с возрастающей (п0) или убывающей (n≤0) амплитудой |
| Катастрофы | Функции, имеющие разрывы, которые следует указать | Крайне резкие изменения интенсивности предпочтений |
p> Эти функции отражают интуитивные чувства лица, принимающего решения об изменении в тренде: постоянном, линейном, логарифмическом и экспоненциальном, возрастающем до максимума и убывающем или опускающемся до минимума и возрастающем, колебательном и, наконец, допускающем катастрофические изменения.
Для динамических задач матрица парных сравнений содержит функции времени в качестве элементов, поэтому максимальное собственное число лmax, также собственный вектор W также будут зависеть от времени, т. е.
Здесь A(t) матрица парных сравнений объектов, содержащая информацию об изменении предпочтительности одной альтернативы перед другой на некотором промежутке времени, которая задана функцией из табл. 2.2.
Если порядок матрицы парных сравнений не превышает четырех, для уравнения (2.4) можно получить аналитическое решение [2]. Альтернативным способом является получение A(t) и W(t) численными методами.
Для этого необходимо иметь в распоряжении информацию о предпочтениях экспертов за определенный период времени. При накапливании такой информации в компьютерной системе становятся возможными прогнозирование предпочтений и оценка ближайших последствий принимаемых решений.
Оценка однородности суждений
В практических задачах количественная (кардинальная) и транзитивная (порядковая) однородность (согласованность) нарушается, поскольку человеческие ощущения нельзя выразить точной формулой. Для улучшения однородности в числовых суждениях, какая бы величина aij ни была взята для сравнения i-го элемента с j-м, aij приписывается значение обратной величины, т. е. аij = 1/aij.
Отсюда следует, что если один элемент в а раз предпочтительнее другого, то последний только в 1/а раз предпочтительнее первого.
При нарушении однородности ранг матрицы отличен от единицы и она будет иметь несколько собственных значений. Однако при небольших отклонениях суждений от однородности одно из собственных значений будет существенно больше остальных и приблизительно равно порядку матрицы. Таким образом, для оценки однородности суждений эксперта необходимо использовать отклонение величины максимального собственного значения лmax от порядка матрицы п.
Однородность суждений оценивается индексом однородности (ИО) или отношением однородности (OO) в соответствии со следующими выражениями:
где М(ИО) среднее значение (математическое ожидание) индекса однородности случайным образом составленной матрицы парных сравнений [E], которое основано на экспериментальных данных (табл. 2.3), полученных в работе [2].
Таблица 2.3
Среднее значение индекса однородности в зависимости от порядка матрицы
| Порядок матрицы (п) | М(ИО) | Порядок матрицы (и) | М(ИО) | Порядок матрицы (п) | М(ИО) | |
| 1 | 0,00 | 6 | 1,24 | 11 | 1,51 | |
| 2 | 0,00 | 7 | 1,32 | 12 | 1,48 | |
| 3 | 0,58 | 8 | 1,41 | 13 | 1,56 | |
| 4 | 0,90 | 9 | 1,45 | 14 | 1,57 | |
| 5 | 1,12 | 10 | 1.49 | 15 | 1,59 |
В качестве допустимого используется значение OO ≤ 0,10. Если для матрицы парных сравнений отношение однородности OO 0,10, то это свидетельствует о существенном нарушении логичности суждений, допущенном экспертом при заполнении матрицы, поэтому эксперту предлагается пересмотреть данные, использованные для построения матрицы, чтобы улучшить однородность.
2.3. Синтез приоритетов на иерархии и оценка ее однородности
Иерархический синтез
Иерархический синтез используется для взвешивания собственных векторов матриц парных сравнений альтернатив весами критериев (элементов), имеющихся в иерархии, а также для вычисления суммы по всем соответствующим взвешенным компонентам собственных векторов нижележащего уровня иерархии. Ниже рассматривается алгоритм иерархического синтеза с учетом обозначений, принятых в предыдущей иерархии (см. рис.
2.1).
Ш а г 1. Определяются векторы приоритетов альтернатив 
относительно элементов Eij предпоследнего уровня иерархии (i = S). Здесь через Eij обозначены элементы иерархии, причем верхний индекс i указывает уровень иерархии, а нижний индекс j порядковый номер элемента на уровне.
Вычисление множества векторов приоритетов альтернатив WAS относительно уровня иерархии S осуществляется по итерационному алгоритму, реализованному на основе соотношений (2.2) и (2.3) по исходным данным, зафиксированным в матрицах попарных сравнений. В результате определяется множество векторов:
Ш а г 2. Аналогичным образом обрабатываются матрицы попарных сравнений собственно элементов Eij. Данные матрицы построены таким образом, чтобы определить предпочтительность элементов определенного иерархического уровня относительно элементов вышележащего уровня, с которыми они непосредственно связаны.
Например, для вычисления векторов приоритетов элементов третьего иерархического уровня (см. рис. 2.1) обрабатываются следующие три матрицы попарных сравнений:
В матрицах через vj обозначен вес, или интенсивность, Еj-го элемента.
В результате обработки матриц попарных сравнений определяется множество векторов приоритетов элементов:
Полученные значения векторов 
используются впоследствии при определении векторов приоритетов альтернатив относительно всех элементов иерархии.
Шаг 3. Осуществляется собственно иерархический синтез, заключающийся в последовательном определении векторов приоритетов альтернатив относительно элементов Еij находящихся на всех иерархических уровнях, кроме предпоследнего, содержащего элементы ЕSj. Вычисление векторов приоритетов проводится в направлении от нижних уровней к верхним с учетом конкретных связей между элементами, принадлежащими различным уровням.
Вычисление проводится путем перемножения соответствующих векторов и матриц.
Общий вид выражения для вычисления векторов приоритетов альтернатив определяется следующим образом:
где 
вектор приоритетов альтернатив относительно элемента E1i-1, определяющий j-й столбец матрицы;
вектор приоритетов элементов E1i-1, E2i-1,..., Eni-1, связанных с элементом Ej вышележащего уровня иерархии.
Ниже приведен конкретный пример по вычислению векторов приоритетов альтернатив относительно элементов третьего (E3j), второго (Е2j) и первого (Е1j) уровней иерархии с учетом конкретных связей между элементами иерархии (см. рис. 2.1).
Определение векторов приоритетов альтернатив для элементов второго уровня осуществляется следующим образом:
Результирующий вектор приоритетов альтернатив относительно корневой вершины иерархии Е11 вычисляется следующим образом:
Рассмотренная модификация МАИ может эффективно применяться при решении широкого класса социально-экономических и управленческих задач.
Оценка однородности иерархии
После решения задачи иерархического синтеза оценивается однородность всей иерархии с помощью суммирования показателей однородности всех уровней, приведенных путем взвешивания к первому иерархическому уровню, где находится корневая вершина. Число шагов алгоритма по вычислению однородности определяется конкретной иерархией.
Рассмотрим принципы вычисления индекса ИОИ и отношения ООИ однородности иерархии.
Пусть задана иерархия критериев и альтернатив (рис. 2.3.) и для каждого уровня определен индекс однородности и векторы приоритетов критериев следующим образом:
ИО1 индекс однородности для 1-го уровня;
{ИО2, ИО3} индексы однородности для 2-го уровня;
{ИО4, ИО5, ИО6} индексы однородности для 3-го уровня;
{W1} вектор приоритетов критериев К2 и К3 относительно критерия К1;
{W2},{W3} векторы приоритетов критериев К4, К5, К6 относительно критериев К2 и К3 второго уровня.
В этом случае индекс однородности рассматриваемой иерархии можно определить по формуле
где Т знак транспонирования.
Определение отношения однородности ООИ для всей иерархии осуществляется по формуле
ООИ = ИОИ / М(ИОИ),
где М(ИОИ) индекс однородности иерархии при случайном заполнении матриц попарных сравнений.
Расчет индекса однородности М(ИОИ) с учетом экспериментальных данных (см. табл. 2.3) выполняется по формуле, аналогичной (2.5):
Однородность иерархии считается удовлетворительной при значениях ООИ ≤ 0,10.
2.4. Учет мнений нескольких экспертов
Для повышения степени объективности и качества процедуры принятия решений целесообразно учитывать мнения нескольких экспертов. С этой целью проводится групповая экспертиза, причем множество экспертов может быть подразделено на несколько подмножеств в зависимости от области экспертизы [З], определяемой характером критериев, используемых в иерархии. Оценка весомости критериев и альтернатив с учетом данного подхода предполагает привлечение специалистов-управленцев, маркетологов, производственников, специалистов-теоретиков и т. п. (рис.
2.4).
Для агрегирования мнений экспертов принимается среднегеометрическое, вычисляемое по следующему соотношению:
(2.6)
где aАij агрегированная оценка элемента, принадлежащего i-й строке и j-му столбцу матрицы парных сравнений;
п число матриц парных сравнений, каждая из которых составлена одним экспертом.
Логичность критерия (2.6) становится очевидной, если два равноценных эксперта указывают при сравнении объектов соответственно оценки а и 1/а, что при вычислении агрегированной оценки дает единицу и свидетельствует об эквивалентности сравниваемых объектов.
Осреднение суждений экспертов может быть осуществлено и на уровне собственных векторов матриц парных сравнений. При этом результаты будут эквивалентны тем, которые получены на уровне элементов матриц, если однородность составленных матриц достаточна и удовлетворяет условию OO ≤ 0,10.
Покажем это на следующем примере.
Пусть заданы суждения двух экспертов в виде матриц попарных сравнений [A1] и [A2]:
Для этих матриц собственные векторы WАi, максимальные собственные значения лmax и оценки однородности (ИО; OO) имеют следующий вид:
для матрицы [A1]
Для матрицы [A2],
Осреднение на уровне элементов собственных векторов дает
WA= {0,184 0,117 0,699}T.
Осредняя элементы матриц [A1] [A2], получим матрицу [А3]:
Правый собственный вектор матрицы [А3] следующий:
= {0,184 0,116 0,699}T.
Сравнивая два собственных вектора Wa и 
определенных двумя разными способами, можно убедиться в их совпадении, даже несмотря на то, что однородность суждений эксперта, заполнившего матрицу [A2], была неудовлетворительной (OO = 0,255 0,10).
В достаточно ответственных задачах при оправданных затратах на экспертизу осреднение суждений экспертов проводится с учетом их квалификации (веса). Для определения весовых коэффициентов экспертов целесообразно использовать иерархическую структуру критериев (рис.
2.5).
Расчет агрегированной оценки в случае привлечения п экспертов, имеющих различную значимость, осуществляется по формуле
где aakij оценка объекта, проведенная k-м экспертом с весовым коэффициентом ak; при этом а1 + а2 +...+ аn= 1.
2.5. Методы сравнения объектов относительно стандартов и копированием
Сравнение объектов относительно стандартов
Во второй модификации рассматривается метод сравнения объектов относительно стандартов. Метод попарного сравнения альтернатив не всегда может быть эффективно применен в некоторых практических ситуациях:
- эксперту может быть предложено для анализа более девяти альтернатив. В этом случае построение однородных матриц попарных сравнений становится затруднительным. Это связано с физическими ограничениями интеллекта человека;
- при добавлении новых альтернатив изменяется порядок ранее прошедших сравнение альтернатив относительно критериев качества. Нарушение порядка альтернатив нежелательно при решении ряда прикладных задач, связанных со значительными финансовыми, материальными и социальными затратами на корректировку последствий принимаемых решений или возможностью возникновения конфликтной ситуации между экспертами, готовящими и обосновывающими решения, и лицами, принимающими решения, несущими ответственность за принятые решения и их последствия;
- альтернативы могут поступать эксперту для сравнения не одновременно, а через определенные промежутки времени. Поэтому в данной ситуации не представляется возможным попарно сравнить объекты.
Для решения проблемы сравнения и оценки альтернатив в указанных ситуациях наиболее целесообразен метод сравнения альтернатив относительно стандартов. Стандарт устанавливает уровень качества объекта относительно критерия качества. Например, критерию надежность для объекта автомобиль может быть назначено три стандарта, характеризующих соответственно высокий (H high), средний (М medium), низкий (L little) уровень надежности.
Каждый стандарт отождествляется, как правило, с некоторым существующим на практике эталоном качества. В качестве таких эталонов принимаются объекты, аналогичные сравниваемым альтернативам.
Например, для видов обеспечения банковских кредитов высокий, средний и низкий стандарты по критерию ликвидность могут быть отождествлены соответственно с драгоценными металлами, ценными бумагами и недвижимостью.
В иерархической структуре стандарты присваиваются элементам, имеющим непосредственную связь с альтернативами. При этом число стандартов по каждому такому элементу (критерию качества) может быть различно и определяется экспертом с учетом конкретной ситуации.
По каждому стандарту экспертом устанавливается относительная степень предпочтения, которая указывает значимость стандарта для эксперта. Численное значение каждого стандарта определяется их попарным сравнением по девятибалльной шкале (см. табл. 2.1) путем обработки матрицы
