d9e5a92d

Многокритериальный выбор

Вектор приоритетов стандартов будет иметь следующий вид:
{Н= 0,625 М= 0,257 L= 0,091}T
Из вышеприведенной матрицы следует, что эксперт отдал слабое предпочтение высокому стандарту (Н) перед средним (М), а также среднему перед низким стандартом (L). В то же время предпочтение высокого стандарта (Н) перед низким (L) определено как очень сильное (оценка 7 в матрице).
Рассмотрим правила построения иерархии (рис. 2.6), учитывающей стандарты и алгоритм вычисления векторов приоритетов альтернатив.
Введем следующие обозначения:
С = {С0, Cg} множество стандартов, включающее два подмножества, устанавливающие соответственно основную { С0 } и дополнительную { Сg } шкалы. Основная шкала включает градации С0 = {Н, М, L}, где Н, М, L соответственно высокий, средний и низкий уровень стандартов по определенному критерию.

Дополнительная шкала может включать градации Cg = {НН, НМ, ML, LL}, где НН, НМ, ML, LL соответственно очень высокое; промежуточное между высоким и средним; промежуточное между средним и низким; очень низкое значение стандартов.
Для конкретного элемента Esj, включенного в иерархию из множества С, определяется подмножество стандартов Сj, такое, что Сj М С, Сj О Esj. Например, для элементов иерархии (см. рис. 2.6)

E1s и Esp определены стандарты Н, М, L, а для элемента Е2s стандарты Н, НМ, М, ML, L. Следует отметить, что экспертом могут быть назначены различные значения для одних и тех же по наименованию стандартов, относящихся соответственно к элементам E1s и Esp.
Вычисление векторов приоритетов альтернатив относительно элементов иерархии,, учитывающей стандарты, осуществляется следующим образом.
Для каждого элемента Esj иерархии, непосредственно связанного со стандартами, устанавливается подмножество Сj М С. Стандарты, входящие в подмножества Сj, сформированные относительно Esj, попарно сравниваются по девятибалльной шкале предпочтений. Относительные предпочтения стандартов фиксируются в матрицах, обработка которых по итерационному алгоритму, выполняемому в соответствии с соотношениями (2.2) и (2.3), позволяет определить для них правые собственные векторы Wsj О Esj.

В собственном векторе верхний индекс указывает на принадлежность вектора уровню стандартов в иерархии.
Лицо, принимающее решение, присваивает каждой альтернативе Аi значение одного стандарта. Процедура идентификации проводится по всем элементам Esj (j = ). В результате идентификации строится матрица [А] следующего вида:

В матрице [А] через wij обозначено численное значение стандартов, соответствующее альтернативе Аi и элементу Esj иерархии. Таким образом, столбцы в матрице [А] образуют ненормированные векторы приоритетов альтернатив по соответствующим элементам Esj.
Для получения нормированных векторов WAj (верхний индекс указывает на то, что ранжируются альтернативы) приоритетов альтернатив матрица [А] умножается на диагональную матрицу [S] вида:

Множество нормированных векторов приоритетов альтернатив относительно всех элементов самого нижнего уровня иерархии определяется перемножением матриц
[WA]=[A]ґ[S].
В полученной матрице [ WA ] столбцами являются нормированные векторы приоритетов альтернатив WAj для каждого элемента Esj иерархии.
Дальнейшее определение векторов приоритетов альтернатив относительно элементов Eij иерархии, расположенных выше уровня S, осуществляется в соответствии с шагами 2 и 3 алгоритма иерархического синтеза (см. разд. 2.3).
Рассмотрим пример использования метода сравнения альтернатив относительно стандартов, подтверждающий тот факт, что добавление новой альтернативы не нарушает порядок ранее проранжированных альтернатив.
Пусть имеется матрица предпочтений стандартов:

Вектор приоритетов стандартов имеет следующий вид:
Н = 0,696 М = 0,225 L = 0,079.
Рассмотрим четыре альтернативы А1,..., А4 которым поставлены в соответствие следующие значения вектора приоритетов стандартов:
А1 = 0,225 (М), А2 = 0,079 (L), А3 = 0,225 (М), А4 =0,079 (L),
Нормированный вектор приоритетов рассматриваемых альтернатив следующий:
А1 А2 А3 А4
W4 = { 0,370 0,130 0,370 0,130 }Т.
где Т знак транспонирования;
(4) нижний индекс, указывающий число ранжируемых альтернатив.
В соответствии с приведенным вектором альтернативы ранжируются в порядке убывания приоритета: А1, А3, А2, А4.
Добавим к рассматриваемому множеству альтернатив новую А5 и присвоим ей значение, соответствующее высокому стандарту Н. Нормированный вектор приоритетов для пяти альтернатив имеет следующий вид:
А1 А2 А3 А4 A5
W5= {0,137 0,061 0,173 0,061 0,534}T.
В соответствии с этим вектором альтернативы ранжируются в порядке убывания приоритета следующим образом: А5, А1, А3, А2, A4. Анализ приведенной последовательности показывает, что добавление новой альтернативы А5, не привело к нарушению порядка у ранее проанализированных альтернатив А1, ..., А4.
Сравнение объектов методом копирования
В третьей модификации рассматривается определение вектора приоритетов альтернатив методом копирования.
Метод копирования применяется в тех случаях, когда среди анализируемых альтернатив имеются такие, которые идентичны по одним или нескольким анализируемым свойствам (критериям качества). Например, пневматическая виброзащитная система рукавного типа, используемая в рессорном подвешивании пассажирских автобусов, идентична по качеству виброизоляции с металлическим механизмом перескока, реализующим квазинулевую жесткость.
Рассмотрим процедуры сравнения и установления приоритета альтернатив, используемые в методе копирования.
Пусть определено множество альтернатив А = {а1, а2, ..., аn}, каждая из которых отличается от всех других альтернатив этого множества уровнем качества по рассматриваемому критерию Кi и определено другое множество альтернатив В == {b1, b2, ..., bn}, каждая из которых имеет одинаковые свойства со всеми другими по ранее определенному критерию Кi. Предположим, что множество А имеет хотя бы один элемент аi* , свойство которого по критерию Кi идентично свойствам всех альтернатив множества В. Тогда все альтернативы множества В являются копиями элемента аi* по критерию Кi.

При такой ситуации эксперт по критерию Кi попарно сравнивает только альтернативы множества А. Далее на основании матрицы попарных сравнений рассчитывается нормированный собственный вектор WA, ранжирующий альтернативы множества A. Всем альтернативам-копиям {b1, b2, ..., bn} присваивается значение нормированного собственного вектора WA, соответствующее элементу ai*. В результате получается новый ненормированный вектор приоритетов WAB всех альтернатив, входящих в множества A и В. Вектор WAB нормируется путем деления каждого значения указанного вектора на сумму всех его значений.
Метод копирования аналогичен методу сравнения альтернатив относительно стандартов в том плане, что позволяет не нарушать порядок ранее проранжированных альтернатив при добавлении новых, являющихся копиями ранее проранжированных альтернатив. Кроме того, число анализируемых альтернатив при добавлении копий может превышать пороговое значение, равное девяти, установленное для метода попарного сравнения.
Рассмотрим пример добавления к ранее проранжированным объектам альтернатив-копий.
Допустим, определены три альтернативы A1, А2 и А3, для которых экспертом установлена относительная степень предпочтений по критерию надежность функционирования системы. Альтернативы сравниваются попарно в матрице, для которой рассчитывается нормированный собственный вектор, имеющий значения {0,5 0,3 0,2}T . В приведенном векторе указан знак транспонирования Т, а порядок значений вектора соответствует весу альтернатив А1, А2 и А3. Предположим, что для анализа поступают две новые альтернативы А4, А5, свойства которых по указанному критерию полностью идентичны свойствам альтернативы А3.

В этом случае альтернативам-копиям присваиваются веса, соответствующие весу альтернативы А3,, т. е. А4 = 0,2 и А5 = 0,2. Новый ненормированный вектор приоритетов альтернатив принимает следующий вид:
{0,5 0,3 0,2 0,2 0,2}T
Значения весов пяти альтернатив после нормирования предыдущего вектора приоритетов имеют следующий вид:
A1 = 0,35, А2 == 0,21, А3 = 0,14, A4 = 0,14, A5= 0,14.
Анализ двух векторов приоритетов, характеризующих соответственно множества из трех и пяти альтернатив, показывает, что добавление альтернатив А4, А5 не нарушило порядок приоритетности альтернатив А1, А2 и А3,.
Метод копирования позволяет существенно сократить время экспертов на подготовку исходных данных для анализа и уменьшить вероятность внесения в них как случайных, так и логических ошибок.

2.6. Многокритериальный выбор на иерархиях с различным числом и составом альтернатив под критериями

В четвертой модификации рассматривается метод определения векторов приоритетов альтернатив для иерархий с различным числом и различающимся составом альтернатив под критериями.
В практике принятия решений нередко встречается задача, когда ранжируемые по множеству критериев альтернативы оцениваются экспертом не по всем критериям. Эта задача характерна для ситуаций, в которых множество критериев, выделенных для всех рассматриваемых альтернатив, является избыточным относительно одной или нескольких альтернатив.

Таким образом, в рассматриваемом случае эксперт имеет разное количество альтернатив под каждым критерием или под их частью. На рис.

2.7 приведены примеры иерархий, в которых каждый критерий Ej из множества {Е1, E2, ... , Еp} имеет разное количество альтернатив из множества {А1,А2, ... ,Аr}.
Альтернативы А1 и Аr; А1, А2 Аr; А2 и Аr оцениваются соответственно относительно элементов (критериев) Е1, Е2, Ер (рис. 2.7а).

Рис. 2.7. Примеры иерархий с разным числом альтернатив под критериями а синтез; б декомпозиция
Рассмотрим методику определения вектора приоритета альтернатив для случая, когда иерархия имеет один уровень критериев, объединенных фокусом (рис. 2.7 б) с учетом значимости критериев, и разное количество альтернатив у каждого критерия.

Методика предполагает выполнение ряда процедур по структурированию информации и проведению вычислительных операций.
Процедура 1. Исходная проблема структурируется в виде иерархии, устанавливающей взаимосвязь между множеством сравниваемых альтернатив {А1, A2,... , Аr}и множеством критериев {E1, Е2, ... , Еp}.


Процедура 2. На основе иерархической структуры определяется бинарная матрица [В], устанавливающая соответствие между альтернативами и критериями. Матрица [В] содержит элементы bij = {0,1}. При этом если альтернатива Аi оценивается по критерию Ej, то bij = 1, в противном случае bij = 0.
Процедура 3. Осуществляется экспертная оценка альтернатив по соответствующим критериям. Для этой цели используются метод попарного сравнения, метод сравнения относительно стандартов или метод копирования. На основе экспертных оценок с учетом матрицы [В] строится матрица [А] следующего вида:

В матрице [А] экспертные оценки {aij} представляют векторы приоритетов альтернатив относительно критериев Ej. При этом если альтернатива Аi не оценивается по критерию Еj, то в матрице [А] соответствующее значение aij = 0. Векторы в указанной матрице имеют различное число значений aij и могут быть нормированными или ненормированными в зависимости от используемого метода сравнения альтернатив.
Процедура 4. В результате обработки матрицы попарных сравнений критериев Еj определяется нормированный вектор приоритетов критериев .
Процедура 5. Формируются структурные критерии S и L, отображаемые соответствующими диагональными матрицами [S] и [L].
Рассмотрим состав упомянутых матриц.
Матрица [S] имеет следующий вид:

где aij значения векторов приоритетов из матрицы [А].
С помощью матрицы [S] обеспечивается нормирование векторов приоритетов альтернатив, образующих матрицу [А], если последняя заполнена методом сравнения относительно стандартов или копирования без предварительного нормирования.
Матрица [L] имеет следующий вид:

где Rj число альтернатив Аi, находящихся под критерием Еj,
суммарное число альтернатив, находящихся под всеми критериями.
Здесь следует отметить, что число N в матрице [L] может приниматься равным числу рассматриваемых альтернатив r, т.е. N= r. При этом на конечный результат способ определения N не оказывает влияния.
Использование структурного критерия L позволяет эксперту или ЛПР изменять при необходимости вес альтернатив, связанных с соответствующими критериями пропорционально отношению Rj / N. Этим обеспечивается повышение приоритета альтернатив, образующих большие группы, и снижение приоритета альтернатив в группах с их относительно небольшим числом. Здесь имеется в виду, что группу определяют альтернативы, являющиеся потомками по отношению к критерию Ej. Необходимость в приведенной вычислительной процедуре обусловлена тем, что у критериев-родителей с высоким приоритетом в иерархии может находиться большое число альтернатив-потомков, а у критериев-родителей с низким приоритетом значительно меньшее число альтернатив-потомков, чем в первом случае.

Поэтому в этой ситуации желательно повышение приоритетов альтернатив в большой группе, поскольку, если альтернатив много, каждая из них получит меньший составной приоритет, чем каждая альтернатива, входящая в меньшую группу с низким приоритетом критерия.
На практике возможны также ситуации, прямо противоположные выше охарактеризованной, когда требуется повысить приоритет так называемых редких альтернатив-потомков, образующих относительно критериев-родителей маленькие группы. В этом случае структурная матрица [L] принимает следующий вид:

Процедура 6. Определяется вектор приоритетов альтернатив W относительно критериев. Данная процедура реализуется последовательным перемножением слева направо следующих матриц и векторов:
а) для случая, когда экспертные оценки в матрице [А] ненормированы:
W=[A] [S][L] [B]; (2.7)
б) для случая, когда экспертные оценки в матрице [А] нормированы:
W=[A] [L] [B]. (2.8)
В выражениях (2.7) и (2.8) диагональная матрица [В] предназначена для окончательного нормирования значений вектора приоритетов альтернатив. Эта матрица имеет следующий вид:

где хi значение ненормированного вектора приоритетов альтернатив, полученное после последовательного перемножения слева направо матриц [A], [S], [L] и вектора ;
r число альтернатив.
Рассмотрим пример вычисления вектора приоритета альтернатив.
Допустим, имеется иерархическая система (рис. 2.8), включающая корневую вершину фокус (Ф), два критерия К1 и К2 и пять альтернатив A1, ... ,А5.

При этом по критерию К1 оцениваются все пять альтернатив, а по критерию К2 две альтернативы: А4 и А5.

Предположим, что при попарном сравнении альтернатив и критериев получены матрицы, отображающие равную предпочтительность сравниваемых объектов.
Матрицы предпочтений альтернатив относительно критериев K1 и K2 соответственно примут вид:

Построим матрицу предпочтений критериев относительно фокуса (Ф):

Правые собственные векторы для приведенных матриц имеют следующий вид:
= {0,2 0,2 0,2 0,2 0,2}T приоритет альтернатив по критерию K1;
= {0,5 0,5}T приоритет альтернатив по критерию К2;
= {0,5 0,5}T приоритет критериев относительно фокуса Ф.
Поскольку векторы приоритетов альтернатив относительно критериев K1 и К2 нормированы, результирующий вектор рассчитывается по формуле (2.8).
При этом матрицы [А] и [L] и вектор с учетом ранее выполненных расчетов имеют следующий вид:

Производя последовательные перемножения матриц и вектора слева направо, получим следующие результаты:

Следует отметить, что при неучете структурного критерия L результирующий вектор приоритетов альтернатив имеет следующий вид:
W'=[A] = {0,1 0,1 0,1 0,35 0,35}T.
Из сравнительного анализа двух результирующих векторов W и W' видно, что в первом случае каждая из альтернатив A4, и A5, (значение 0,286 в векторе) в два раза весомее любой из альтернатив А1, A2 или А3, (значение 0,143 в векторе), а во втором случае различие между теми же альтернативами большее и равно 3,5 (значение 0,35 против 0,1) для альтернатив в векторе приоритетов W'.
Существуют иерархии (рис. 2.9), у которых, в отличие от ранее рассмотренных (приведенной, например, на рис.

2.8), альтернативы сгруппированы в подмножества {А1, А2, ..., Аm}, {А'1, А'2, ..., А's}, {А1, А2, ... , Al}, а элементы каждого из таких подмножеств связаны, в свою очередь, с определенными группами критериев {K11, K12,...,K1m}, {K21, K22,...,K2n}, {Kn1, Kn2,,Knp}.
В этом случае перевернутое иерархическое дерево состоит из ряда самостоятельных иерархических ветвей.
Рассмотрим особенности алгоритма для определения векторов приоритетов альтернатив на иерархиях, состоящих из нескольких ветвей. Для лучшего понимания сущности алгоритма проиллюстрируем его на примере конкретной иерархии (см. рис.

2.9).

Алгоритм для иерархии с несколькими ветвями
Шаг 1. Вычисляются векторы приоритетов альтернатив относительно критериев Кij:

Шаг 2. Строятся r матриц [Аi], у которых наименованиями строк являются альтернативы, а наименованиями столбцов критерии Кij . При этом если альтернатива Аi не связана с критерием Kij , то в матрице [Аi] на пересечении соответствующих строки и столбца проставляется нуль.
Шаг 3. Вычисляются r векторов приоритетов альтернатив WAi (i = 1,r) относительно критериев Кi по выражениям:

где [Si] матрица для нормирования матрицы [Аi];
[Li] структурная матрица для изменения веса альтернатив пропорционально отношению R/N (R число альтернатив, находящихся под критерием Кij , N суммарное число альтернатив);
вектор приоритетов критериев Кij относительно критериев Кi;
[Bi] диагональная матрица для получения нормированного вектора WAi, определяемая по выражению (2.9).
Ш а г 4. Вычисляется вектор приоритетов критериев относительно фокуса иерархии К0.
Шаг 5. Строится результирующая матрица [A0], у которой наименованиями строк являются все рассматриваемые альтернативы ({Аi}, i = 1,т, {А'i}, i = 1,s, {Аi}, i = 1,t), а наименованиями столбцов критерии Кi. При этом результирующая матрица [Ао] имеет следующий вид:

Шаг 6. Определяется результирующий нормированный вектор приоритетов W0A всех рассматриваемых альтернатив относительно фокуса иерархии К0 на основании известного выражения:
W0A= [А0] [S0] [L0] [В0] .
Конец алгоритма.

2.7. Методика решения прикладных задач на ЭВМ

2.7.1. Выбор и прогнозирование наилучшего обеспечения банковского кредита

Метод статических предпочтений и приоритетов
Возвратность кредита представляет собой основополагающее свойство кредитных отношений. Кредитная сделка предусматривает возникновение обязательства ссудополучателем вернуть соответствующий долг. Однако наличие обязательства еще не означает гарантии своевременного возврата.

Инфляционные процессы в экономике могут вызывать обесценение суммы предоставленной ссуды, а ухудшение финансового состояния заемщика нарушение сроков возврата кредита, включающее не только порядок погашения конкретной ссуды исходя из реальных экономических условий, не только юридическое закрепление его в кредитном договоре, но и формы обеспечения полноты и своевременности обратного движения ссуженной стоимости. Под формой обеспечения возвратности кредита следует понимать конкретный источник погашения имеющегося долга, юридическое оформление права кредитора на его использование, организацию контроля банка за достаточностью и приемлемостью данного источника.
Залог имущества клиента одна из распространенных форм обеспечения возвратности банковского кредита. Предметом залога могут выступить любая вещь или другое имущество, принадлежащее заемщику, на которые в соответствии с законодательством допускается обращение взыскания. Приемлемость товарно-материальных ценностей для залога определяется качеством ценностей и возможностью кредитора осуществлять контроль за их сохранностью. Критериями качества товарно-материальных ценностей являются: быстрота реализации, относительная стабильность цен, долговременность хранения и др. Важно не только определить критерий качества, выбрать в соответствии с ним ценности, но и обеспечить их сохранность.

В этой связи наиболее надежным способом обеспечения сохранности заложенных ценностей выступает передача их кредитору, т.е. банку. Одновременно на него переходит обязанность надлежащим образом содержать и хранить предмет заклада, нести ответственность за утрату и порчу.
Рассмотрим пример использования метода анализа иерархий для выбора наиболее надежного обеспечения кредита. Количество и состав рассматриваемых критериев и альтернатив ограничен, поскольку пример носит учебный характер.
В качестве альтернатив примем наиболее часто применяемые в России виды обеспечения кредитов: A1 иностранная валюта, А2 драгоценные металлы, А3 ценные бумаги, А4 недвижимость.
Для выбора наиболее рациональной альтернативы используем подход выгоды издержки. В соответствии с этим подходом необходимо построить две иерархии, упорядочивающие критерии качества и определяющие общие выгоды и издержки для рассматриваемых альтернатив (рис.

2.10). Наилучшей является альтернатива с наибольшим отношением количественно определенных выгод к издержкам.

В приведенных иерархиях на первом уровне расположены основные факторы, определяющие выгоды и издержки, на втором критерии качества, характеризующие собственно выгоды и издержки, на третьем альтернативы, из которых предстоит сделать выбор.
Используя метод попарного сравнения элементов иерархии, построим матрицы парных сравнений для иерархии, отражающей выгоды от обеспечения кредита. Для каждой матрицы рассчитаем нормированный вектор приоритетов (W), собственное число матрицы (лmax) и отношение согласованности (ОС).
Рассмотрим матрицы парных сравнений факторов и критериев качества:

Построим матрицы парных сравнений альтернатив относительно критериев качества:

Осуществим иерархический синтез в целях определения вектора приоритета альтернатив относительно факторов и фокуса иерархии.
Вектор приоритетов альтернатив относительно экономического фактора (WAЭ) определяется путем перемножения матрицы, сформированной из значений векторов приоритетов W5, W6, W7, на вектор W2, определяющий значимость критериев качества, расположенных под экономическим фактором:
WAЭ = [W5, W6, W7] ґ W2.

Аналогично определяются векторы приоритетов альтернатив относительно физического фактора (WфизА юридического фактора (WюА) и фокуса иерархии (WфА):

Результирующий вектор приоритетов альтернатив имеет следующие значения:

Анализ значений полученного вектора показывает, что наиболее надежным обеспечением кредита относительно выгод является валюта (альтернатива А1)
По изложенному выше алгоритму проводится расчет вектора приоритетов альтернатив для второй иерархии, отражающей издержки от обеспечения кредита.
Результирующие векторы приоритетов альтернатив для двух рассмотренных иерархий и отношения их значений приведены в табл. 2.4.
Таблица 2.4
Значения векторов приоритетов

В результате проведенного анализа можно сделать вывод, что наиболее надежным обеспечением кредита является валюта (А1). Далее в порядке убывания следуют: драгоценные металлы (А2), ценные бумаги (А3) и недвижимость (А4).
Метод динамических предпочтений и приоритетов
Рассмотрим применение компьютерной системы для поддержки динамических процессов при решении задачи прогнозирования наилучшего обеспечения банковского кредита.
С течением времени приоритет альтернатив может изменяться по тому или иному закону. Для того чтобы определить изменение во времени приоритета альтернатив по комплексу наиболее важных критериев, необходимо определить изменения предпочтений экспертов как по самим критериям, так и по альтернативам. В примере рассматриваются три альтернативы, обеспечивающие банковский кредит: А1 валюта; А2 драгоценные металлы;

А3 недвижимость. Прогнозирование эффективности обеспечения банковского кредита на пятилетие (t = 1, ...., 5 лет) производится по множеству критериев качества, упорядоченных в иeрархию (рис. 2.11). Экспертно методом парных сравнений установлены динамические предпочтения критериев качества (табл.

2.5) и альтернатив относительно критериев качества (табл. 2.6).

Динамические предпочтения установлены на основании функциональной шкалы (см. табл. 2.2).



Содержание раздела