Литература
Значит, и сам он съел 4 картофелины. После этого нетрудно сообразить, что второй крестьянин оставил своим друзьям 12 картофелин, по 6 штук на каждого, и сам съел 6. Отсюда следует, что первый крестьянин оставил товарищам 18 картофелин, а сам съел 9. Следовательно, изначально хозяйка сварила 18 + 9, то есть 27 картофелин. Также нетрудно подсчитать, что, если каждому причиталось по 9 картофелин, то первый свою долю съел, а из оставшихся восьми штук второму крестьянину надо съесть 3 картофелины, а третьему 5.
89. Так как в 28 костях домино каждая цифра от 0 до 6 повторяется 8 раз (целое число пар), а кости прикладываются парами квадратов, содержащих по одинаковому числу очков, то цепочка костей домино, начавшаяся квадратом с 5 очками, должна закончиться парным ему квадратом, то есть тоже только 5 очками.
90. Верхняя сторона (слева направо): 43, 33, 31, 11, 1 4, 46, 60. Боковая правая сторона (сверху вниз): 02, 24, 44, 45, 55, 51, 12 Нижняя сторона (справа налево): 23, 35, 50, 03, 36, 62, 22.
Боковая левая сторона (снизу вверх): 25, 56, 66, 61, 10, 00, 04. Соединение в двух верхних углах.
91. Возможны различные решения.
Если в вершинах углов вы поместите по пустому квадрату (0 очков), то можете построить рамку в рамке, каждая из восьми сторон которой будет содержать по 21 очку.
Если сумма очков в восьми вершинах рамки в рамке будет равна 8, то сумма очков вдоль каждой стороны этой фигуры составит 22 очка. Каждая сторона фигуры будет содержать по 23 очка, если сумма очков во всех вершинах фигуры будет равна 16; по 24 очка, соответственно, при сумме в 24 очка; по 25 очков при сумме в 32 очка; по 26 очков при сумме в 40 очков.
Построить рамку в рамке так, чтобы сумма очков в каждой из сторон равнялась 27, невозможно, так как в этом случае в 8 вершинах должно было бы содержаться 48 очков, а больше 47 их быть не может. В самом деле, если мы в 7 вершин углов поместим даже все 7 шестерок, то в восьмую вершину придется поместить пятерку, и тогда получим 6 х 7 + 5 = 47 очков.
92. Если расположить все косточки домино одну за другой в порядке, требуемом правилами игры, т. е. чтобы последовательные косточки соприкасались квадратиками с одинаковым числом очков, то игра всегда окончится таким же числом очков, каким она началась.
Если, скажем, ряд косточек начинается квадратиком с пятью очками, то оно и окончится пятью при условии, конечно, что игра не будет закончена, пока не будут положены все косточки.
93. Из условия следует, что угадываемая сумма очков состоит из числа очков на верхних гранях всех кубиков в их последнем положении плюс сумма очков на какой-либо паре противоположных граней одного кубика, а последняя сумма, как известно, равна 7.
94. Определение скрытой суммы по замеченному числу очков на верхней грани столбика.
Сумма очков, скрытых между гранями, по которым соприкасаются кубики, и еще одной самой нижней равна 21 минус число точек, замеченных на верхней грани столбика.
В самом деле, если бы складывались очки, соответствующие всем горизонтальным граням трех кубиков, то есть очки, соответствующие трем парам взаимно противоположных граней кубиков, то такая сумма составляла бы ровно 21 (3 х 7 = 21). Но в сумме, обусловленной задачей, не участвует число очков, соответствующих верхней грани.
Вычитая это число из 21, мы получим искомую сумму.
Определение скрытой суммы по двум замеченным боковым граням столбика. Даже при соблюдении принципа семи возможны 2 порядка расположения точек на гранях игрального кубика. Один порядок расположения зеркальное отражение другого. Положите кубик на стол единицей вверх.
Тогда 2 точки расположатся на одной из боковых граней, а 3 точки на одной из соседних граней слева или справа от нее. Другими словами, при взгляде сверху три очка следуют за двумя либо по движению часовой стрелки, либо против движения часовой стрелки.
После установления порядка следования одной, двух и трех точек расположение четырех, пяти и шести точек на остальных гранях кубика определяется однозначно по принципу семи.
Зная заранее относительное расположение точек на гранях кубика и помня принцип семи, достаточно взглянуть на любые две соседние боковые грани кубика, чтобы определить число очков на верхней, а затем и на нижней его гранях.
Конечно, для безошибочного отгадывания числа точек на скрытых гранях кубика указанным методом нужна острая наблюдательность и предварительная практика.
95. Дать четырем девочкам по яблоку, а пятой девочке оставшееся яблоко отдать вместе с корзинкой.
96. 4 кошки.
97. Волк не ест капусту, следовательно, начинать переправу надо с козы, так как волка и капусту можно оставить на берегу без человека.
Переправив козу на другой берег, человек возвращается, берет в лодку капусту и также перевозит ее на другой берег, где ее оставляет, но зато берет в лодку козу и везет ее обратно на первый берег.
Здесь он козу оставляет и перевозит волка. Капусту он оставляет с волком, а сам возвращается за козой, перевозит ее, и переправа оканчивается благополучно.
98. Когда задача касается какого-либо физического явления, то непременно следует учитывать все его стороны, чтобы не попасть впросак. Так и здесь.
Никакие расчеты не приведут к истинному результату, если не принять во внимание, что вместе с водой поднимутся и корабль, и лестница, так что в действительности вода никогда не покроет третьей ступеньки.
99. 4 брата и 3 сестры.
100. Искусная кулинарка кладет два ломтика на сковородку и поджаривает одну их сторону в течение 30 секунд. Затем первый ломтик она повертывает на другую сторону, а второй ломтик вынимает и кладет на его место третий.
Таким образом, во вторую полу минуту первый ломтик будет готов полностью, а третий наполовину. Теперь она имеет 2 ломтика (второй и третий), каждый из которых готов наполовину.
Их поджаривание будет закончено в следующие полминуты. Общее время, как видите, 1,5 минуты, а не 2.
101. Часто дают неправильный ответ, например, 7. Это объясняется тем, что, имея в виду те пароходы, которые должны еще отправиться в путь, забывают о тех, что уже в дороге.
Очень убедительное и наглядное решение можно получить при помощи графиков движения каждого из пароходов (см. рисунок 68).
На примере парохода, график которого изображен линией АВ, видно, что пароход, идущий из Гавра в Нью-Йорк, встретит в море 13 судов да еще два: один в момент отхода (прибывший из Нью-Йорка) и один в момент прихода в Нью-Йорк (отбывающий из Нью-Йорка), или всего 15 судов. График показывает также и то, что встречи пароходов будут происходить ежедневно в полдень и в полночь.
104. Будем пользоваться обозначениями предыдущей задачи.
Смотрите таблицу на рисунке 70.
105. Можно разлить сок так: 1) наполнить литровую банку, 2) вылить ее содержимое в двухлитровую банку, 3) наполнить литровую банку из трехлитровой банки. Теперь во всех банках будет по одному литру сока. Однако можно разлить сок и так: 1) наполнить двухлитровую банку, 2) наполнить из нее литровую банку.
Теперь во всех банках будет по одному литру сока, схема на рисунке 71.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
| Рис. 70 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Рис. 71 |
| Пояснения | Решение | ||
| 4л | 3л | 2л | |
| До переливания | 4 | 0 | 0 |
| После 1-го | 2 | 0 | 2 |
| После 2-го | 0 | 2 | 2 |
Ответы на задачи 107, 108, 109 в таблице на рисунке 73.
| Пояснения | Задача 107 | Задача 108 | Задача 109 | ||||||
| 5 л | 3л | 2л | 6л | 4л | 3л | 7л | 4л | 3л | |
| До переливания | 5 | 0 | 0 | 6 | 0 | 0 | 7 | 0 | 0 |
| После 1-го | 2 | 3 | 0 | 2 | 4 | 0 | 4 | 0 | 3 |
| После 2-го | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 3 | 4 | 3 | 0 |
| После 3-го | 4 | 1 | 0 | 5 | 1 | 0 | 1 | 3 | 3 |
| После 4-го | - | - | - | 5 | 0 | 1 | 1 | 4 | 2 |
110. Решения приведены на рисунке 74.
| 2 | 2 | 2 | 6 | 3 | 3 | |
| 2 | 2 | 1 | 1 | |||
| 2 | 2 | 2 | 3 | 1 | 3 |
111. Нарисуем круг и разделим его окружность тридцатью рисками.
Пронумеруем эти риски от 1 до 30. Начинаем счет с первой и зачеркиваем каждую девятую риску, т. е. у нас будут зачеркнуты риски с номерами: 5, 6, 7, 8, 9, 12, 16, 18, 19, 22, 24, 26, 27, 30.
Значит, купец подговорил матросов расставить тюки следующим образом: 4 своих, 5 чужих, 2 своих, 1 чужой, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 3 чужих, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 1 чужой.
112. Если вода в ведре налита ровно до половины, то, наклонив ведро так, чтобы уровень воды пришелся как раз у его края, мы увидим, что высшая точка дна находится также на уровне воды (см. рисунок 75).
Это случится потому, что плоскость, проведенная через диаметрально противоположные точки верхней и нижней окружности ведра, делит ее на две равные части. Если вода налита менее чем до половины, то при таком же наклоне
| td |
| Рис. 75 |
126. Рассуждения могут быть проведены, например, в такой последовательности. Если (3) верно, тогда (10) и (12) ложь, а это невозможно по условию. Следовательно, (3) ложь, то есть кошелек украл не Тео.
Так как (3) ложь, то и (9) ложь. Так как (9) ложь, то (8) верно. Так как (8) верно, то (15) ложь, если (15) ложь, то (14) верно.
Следовательно, виновна Джуди.
127. Мудрец А рассуждал так: Каждый из нас может думать, что его собственное лицо чистое.
Б уверен, что его лицо чистое, и смеется над измазанным лицом мудреца В. Но если бы Б видел, что мое лицо чистое, то он был бы удивлен смеху В, так как в этом случае у В не было бы повода для смеха. Однако Б не
удивлен, значит, он может думать, что В смеется надо мной. Следовательно, мое лицо черное.
128. Надо плотно намотать проволоку на карандаш так, чтобы получилось не менее десятка витков, и измерить линейкой длину от первого витка и до последнего, после чего разделить полученную длину на количество витков.
129. Так как дно имеет форму круга или прямоугольника, то для определения его площади вполне хватит линейки. Обозначим площадь дна как S. Теперь нам надо измерить высоту h1 жидкости в бутылке.
Тогда объем той части бутылки, что занимает жидкость, равен Sh1. Опрокидываем бутылку вверх дном и измеряем высоту h2 ее части от уровня воды до дна бутылки.
Объем этой части будет равен Sh2. Остальную часть бутылки занимает жидкость, объем которой уже определен (Sh1).
Значит, остается сложить полученные данные: Sh1 + Sh2 = S(h1 + h2).
130. Велосипедист прошел пешком 1/3 пути, то есть вдвое меньше того, чем он проехал, а времени затратил вдвое больше.
Следовательно, он ехал в четыре раза быстрее, чем шел.
Загадка Эйнштейна. Ответ: немец.
Литература
1. Барр Ст. Россыпи головоломок.
М.: Мир, 1978.
2. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. М.: Наука, 1969.
3. Виленкин Н. Я. Популярная комбинаторика. М.: Наука, 1975.
4. Гарднер М. Математические новеллы. М.: Мир, 1974.
5. Гарднер М. Математические досуги. М.: Мир, 1972.
6. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М.: Мир, 1971.
7. ГоломбС. В. Полимино.
М.: Мир, 1975.
8. Дьюдени Г. Э. 520 головоломок. М.: Мир, 1975.
9. Кокстер Г. С. Введение в геометрию. М.: Наука, 1966.
10. Кордемский Б. А. Математическая смекалка.
9-е изд. М.: Наука, 1991.
11. Ландгрен Г. Занимательные задачи на разрезание.
М.: Мир, 1977.
12. Нестеренко Ю. В. и др. Задачи на смекалку.
2-е изд. М.: Дрофа, 2005.
13. Перельман Я. И. Занимательная алгебра.
М.: Наука, 1978.
14. Яглом А. М., Яглом И. М. Вероятность и информация.
М.: Наука, 1973.
