Повторные независимые испытания. Формула Бернулли
Вероятность того, что эти рестораны уже закрыты на обслуживание какой-то другой группы туристов, для первого ресторана равна 0,5; для второго - 0,127; для третьего - 0,333. Туристы пообедали в том ресторане, куда они пришли.
Какова вероятность того, что это был второй ресторан?
Контрольные вопросы
1. Что называется гипотезой?
2. При каких условиях применяется теорема гипотез?
3. Что позволяет оценивать формула Байеса?
4. Запишите формулу Байеса.
5. Можно ли переоценить вероятность гипотезы до того, как стал известен результат испытания?
Повторные независимые испытания. Формула Бернулли
Пусть производится несколько испытаний, в каждом из которых может появиться событие A. Если вероятность события A в каждом испытании не зависит от того, появилось или не появилось это событие в других испытаниях, то такие испытания называются независимыми относительно события A. Примером независимых испытаний является последовательность появления герба или решки при бросании монеты.
Пусть производится серия из n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться событие A с вероятностью P(A) = p . Вероятность того, что событие A не наступит, для каждого испытания равна
P( A ) = 1 - p = q.
Вероятность Pn (m) того, что при n независимых испытаниях событие A появится ровно m раз, вычисляется по формуле, называемой формулой Бернулли:
Pn (m) = Cmnpmqn-m,
или
n!
m!(n - m)!
n-m
Pn (m)
Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а) менее m раз; б) более m раз; в) не менее m раз; г) не более m раз, - находят соответственно по формулам:
Pn(0) + Pn(1) +... + Pn(m -1);
Pn(m +1) + Pn(m + 2) +... + Pn(n); Pn(m) + Pn(m +1) +... + Pn(n);
Pn (0) + Pn (1) +... + Pn (m).
Формула Бернулли представляется функцией БИНОМРАСЩ, n, р, ЛОЖЬ),
где k - количество появления события, n - число независимых испытаний; р - вероятность появления события; ЛОЖЬ - указание на то, что определяется вероятность появления ровно k событий. В случае, когда последний аргумент функции равен ИСТИНА, функция возвращает вероятность того, что в n испытаниях событие наступит не менее k раз.
Локальная теорема Лапласа. Вероятность Pn (k) того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 р 1), событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), определяется формулой
Pn (k) ~ 1 Ф(X),
л/npq
1 е - х2/2,
функция ф( х)
где
2п k - np
значение х =
Jnpq
Для вычисления значения х
k - np
-Jnpq
можно использовать функ-
цию НОРМАЛИЗАЦИЯ, а именно
х = НОРМАЛИЗАЦИЯ^; ц; о),
Jnpq
где ц = np, о
Для определения значения функции ф(х) применяется функция НОРМРАСП c параметрами ноль и единица:
Ф(х) = НОРМРАСП (х; 0; 1; ЛОЖЬ).
Пример. Найти вероятность того, что событие X наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.
Решение. По условию, n = 243; k = 70; p = 0,25; q = 0,75. Так как
n = 243 - достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Найдём
По таблице значений функции Лапласа найдём ф(1,37) = 0,1561. Искомая вероятность
P243 (70)- = ф( х) = 1 - 0,1561 = 0,0231.
-qnpq 6,76
Применяя функции Excel, решение этого примера можно найти следующим образом:
^ = np=243-0,25=60,75;
о = д/243 - 0,25 - 0,75 =6,75; х = НОРМАЛИЗАЦИЯ^0; 60,75; 6,75)=1,37;
ф(х)= НОРМРАСП (1,37; 0; 1; ЛОЖЬ)=0,1561;
P243 (70) - = ф( х) = 1 - 0,1561 = 0,0231.
sjnpq 6,75
Интегральная теорема Лапласа. Вероятность Р(к1, к2) того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0 p 1), событие наступит не менее к1 раз и не более к2 раз, задается зависимостью
Р(к1, к2) Ф( х) -Ф (х'),
1 х 2
где Ф(х) = f e-(z /2)dz - функция Лапласа;
?2п *
к1 - np
значение х = 1 ;
npq
к - np 70 - 243 - 0,25 ^jnpq д/243 - 0,25 - 0,75
9,25
6,75
1,37.
значение х =
к2 - np
Jnpq
Функция Лапласа в её стандартном представлении для заданного значения аргумента может быть вычислена с помощью функции НОРМ-СТРАСП:
х2
Ф (х) = = f e -(^/2) dz = НОРМСТРАСП(х). 2п
Пример. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8.
Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.
Решение. а) По условию,
n = 100; к1 = 75; к2 = 90; p = 0,8; q = 0,2.
Так как n = 100- достаточно большое число, воспользуемся интегральной теоремой Лапласа. Найдём х' и х:
к1 - np Jnpq
75 -100 - 0,8
V100 - 0,8 - 0,2
1,25;
2,5.
к2 - np 90 -100 - 0,8
sjnpq -^100 - 0,8 - 0,2
Учитывая, что функция Лапласа нечётна, т. е. Ф(-х) = Ф( х), получим
Рш (75; 90) = Ф(2,5) - Ф (-1,25) = Ф (2,5) + Ф (1,25).
По таблице значений функций Лапласа найдём:
Ф(2,5) = 0,4938; Ф(1,25) = 0,3944.
Искомая вероятность
Р100(75; 90) * 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
б) Требование, чтобы событие появилось не менее 75 раз, означает, что число появлений события может быть равно 75 либо 76, либо 77, ..., либо 100. Таким образом, в рассматриваемом случае следует принять: n = 100; к1 = 75; к2 = 100; p = 0,8; q = 0,2.
Тогда
к1 - np
Jnpq
75 -100 - 0,8
V100 - 0,8 - 0,2
1,25;
x
к2 - np
yfnpq 100 -100 - 0,8 V100 - 0,8 - 0,2
rr
По таблице находим Ф(5) = 0,5; Ф(1,25) = 0,3944.
Искомая вероятность
P100 (75; 10) Ф(5) - Ф(-1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
в) События - А появилось не менее 75 раз и А появилось не более 74 раз противоположны, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице. Следовательно, искомая вероятность
P100(0; 74)1 - P100(75; 100) = 1 - 0,8944 = 0,1056.
Используяя функции Excel, решение этого примера для пункта а можно найти следующим образом:
^ = np=100*0,8=80; о = д/100 - 0,8 - 0,2 = 4;
х' = НОРМАЛИЗАЦИЯ^; 80; 4)= - 1,25; хп = НОРМАЛИЗАЦИЯ(90; 80; 4)= 2,5; Ф (х') = НОРМСТРАСП (-1,25)=0,3944;
Ф (х) = НОРМСТРАСП (5)=0,5;
P100(75;10) Ф(5) - Ф(-1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
Наивероятнейшим называют число к0 (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p), если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях к0 раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний.
Наивероятнейшее число к0 определяют из двойного неравенства
np - q к0 np + p,
причем:
а) если число (np - q) - дробное, то существует одно наивероятнейшее число;
б) если число (np - q) - целое, то существуют два наивероятнейших числа, а именно: к0 и к0 + 1;
в) если число np - целое, то наивероятнейшее число к0 = np .
Пример. Товаровед осматривает 24 образца товаров.
Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0,6.
Найти наивероятнейшее число образцов, которые товаровед признает годными к продаже.
Решение. По условию задано: n = 24;p = 0,6; q = 0,4. Наивероятнейшее число годных к продаже образцов товаров найдем из двойного неравенства, вычислив значения np - q и np + p:
24 ¦ 0,6 - 0,4 к0 24 - 0,6 + 0,4,
или
14 к0 15.
Так как np - q = 14 - целое число, то наивероятнейших чисел два:
к0 = 14 и к0 +1 = 15.
Задачи
1. Мастер обслуживает шесть однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует внимания мастера в течение дня, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение дня мастеру придется вмешаться в работу станков: а) меньше одного раза; б) больше двух раз; в) не меньше трёх раз;
г) не больше двух раз; д) от двух до пяти раз.
2. Девушка согласилась пойти в кино с юношей только на четвёртое его приглашение. Вероятность того, что юноша приглашает девушку в какой-то день пойти с ним в кино, равна 0,4.
Какова вероятность того, что девушка пойдет в кино с юношей, если он её сегодня приглашает в пятый раз?
3. Игральную кость бросаем 15 000 раз. Какова вероятность того, что шестёрка появится не менее 2 000 и не более 2 500 раз?
4. Вероятность выигрыша в лотерее равна 0,01. Какова вероятность того, что среди 1 000 наугад купленных билетов не менее 30 и не более 40 выигрышных?
5. Вероятность того, что студент забросит мяч в корзину, равна 0,4. Студент произвел 24 броска.
Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.
6. Мебельная фабрика производит продукцию, среди которой 90 % высшего качества. Какова вероятность того, что среди 200 изделий этой фабрики высшего сорта будет: а) не меньше 160; б) не больше 170?
7. Два равных по силе шахматиста играют в турнире. Что вероятнее: три победы одного из них в пяти партиях или 6 побед в десяти?
8. В освещении помещения фирмы используются 14 лампочек. Для каждой лампочки вероятность того, что она останется исправной в течение года, равна 7/8.
Какова вероятность того, что в течение года придётся заменить не меньше половины всех лампочек?
9. Вероятность встретить на улице знакомого равна 0,1. Сколько среди первых 100 случайных прохожих можно надеяться встретить знакомых с вероятностью 0,95?
10. Стрелок стреляет по цели до первого попадания.
Найти вероятность того, что у стрелка останется хотя бы один неизрасходованный патрон, если он получил 7 патронов и вероятность попадания в цель при одиночном выстреле равна 1/7.
11. В июне в Москве в среднем бывает 20 дождливых дней.
Какова вероятность того, что в период с 20 по 25 июня какие-то два дня окажутся дождливыми?
12. Саженцы сосны приживаются с вероятностью 0,9.
Найти вероятность того, что из 400 посаженных саженцев число прижившихся будет заключено между 348 и 368.
13. Вероятность выздоровления больных при применении нового лекарства составляет 85 %. В больницу на лечение положили 125 больных.
Какова вероятность того, что 117 из них вылечатся?
14. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного охотника равна 0,9 и не зависит от номера выстрела.
Найти наиболее вероятное число попаданий в мишень при 7 выстрелах и соответствующую этому числу вероятность.
15. Всхожесть семян астры данного сорта оценивается вероятностью 0,85.
Какова вероятность того, что из семи посеянных семян взойдут не менее четырёх?
16. Монета брошена 10 раз.
Какова вероятность того, что герб выпадет от 4 до 6 раз?
17. Игральная кость брошена 5 раз.
Чему равна вероятность выпадения единицы хотя бы один раз?
18. Было посажено 800 деревьев.
Чему равна вероятность того, что прижившихся деревьев больше 350, если вероятность приживания для одного дерева равна 0,85?
19. Вероятность выигрыша по облигациям займа за всё время его действия равна 0,25.
Какова вероятность человеку, купившему 6 облигаций, выиграть по четырём из них?
20. Какова вероятность того, что при 18 бросаниях монеты герб выпадет ровно 10 раз?
21. Игральную кость бросают 180 раз. Сколько раз, вероятнее всего, выпадет шесть очков?
Найти вероятность этого события.
22. Вероятность появления на занятиях студента равна 0,2.
В семестре всего 385 занятий. Какова вероятность того, что студент будет присутствовать не менее чем на 76 занятиях?
23. В мастерской работают 8 моторов. Для каждого мотора вероятность перегрева к обеденному перерыву равна 0,8.
Найти вероятность того, что к обеденному перерыву перегреются 4 мотора.
24. Монету бросают 387 раз.
Какова вероятность того, что герб при этом выпадет не менее 195 раз, но не более 207 раз?
25. Вероятность опоздать на электричку для студента ежедневно равна 0,15. Студент ездит на учёбу 236 дней в году.
Найти наивероятнейшее число опозданий в течение года. Какова вероятность этого числа?
26. Брошены три игральные кости.
Найти вероятность того, что хотя бы на одной из костей выпало не больше двух очков.
27. В кольцо делают четыре независимых броска. Вероятность попадания в кольцо при одном броске равна 0,3. Чтобы победить, команде достаточно попасть три раза.
При двух попаданиях в кольцо вероятность выигрыша равна 0,8, а при одном попадании - 0,5. Найти вероятность того, что команда выиграет.
28. Вероятность того, что телевизор в течение гарантийного срока потребует ремонта, равна 0,03.
Найти вероятность того, что из 10 телевизоров хотя бы один потребует ремонта в течение гарантийного срока.
29. Вероятность изготовления детали высшего качества на данном станке равна 0,43. Найти наивероятнейшее число деталей высшего качества среди 42 деталей.
Чему равна вероятность этого события?
30. По цели производятся три независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,12; при втором - 0,21 и при третьем - 0,34.
Для поражения цели достаточно двух попаданий. При одном попадании цель поражается с вероятностью 0,63.
Найти вероятность поражения цели.
Контрольные вопросы
1. Какие испытания называются независимыми?
2. Запишите формулу Бернулли.
3. Как вычислить вероятность того, что в n испытаниях событие наступит менее к раз?
4. Как вычислить вероятность того, что в n испытаниях событие наступит не менее к раз?
5. Как вычислить вероятность того, что в n испытаниях событие наступит более к раз?
6. Как вычислить вероятность того, что в n испытаниях событие наступит не более к раз?
7. Что вычисляется с помощью локальной теоремы Лапласа?
8. Как записывается локальная теорема Лапласа?
9. Какие задачи решаются с помощью интегральной теоремы Лапласа?
10. Как формулируется интегральная теорема Лапласа?
11. Запишите функцию Лапласа.
12. Функция Лапласа является чётной или нечётной?
13. Функция Лапласа является монотонной или нет?
14. Какая формула используется для получения зависимостей локальной и интегральной теорем Лапласа?
15. Как найти значение функции Лапласа для конкретно заданного числового значения?
Дискретные случайные величины
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять одно и только одно из возможных значений, причём неизвестно заранее, какое именно.
Дискретную случайную величину X с возможными значениями x1, x2,...,xn будем записывать в виде X = (x1;x2;...;xn). Каждое из значений xt возможно, но не достоверно, и случайная величина X может принять одно из них с некоторой вероятностью P(X = xt) = p(xt) = pt (i = 1,n). В результате опыта произойдет одно из полной группы несовместных событий X = x1, X = x2,..., X = xn, следовательно, сумма вероятностей этих
событий равна единице. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями.
Совокупность значений дискретной случайной величины и вероятности этих значений могут быть объединены в таблице следующего вида:
| Х=x | x1 | x2 | xn | |
| Р = Pi | P1 | P2 | Pn |
Графическим изображением закона распределения является многоугольник распределения, который строится следующим образом. По оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат - вероятности этих значений; для наглядности полученные точки соединяют отрезками прямых.
В Excel для построения графиков, гистограмм и диаграмм применяется средство Мастер диаграмм. Для его использования необходимо нажать на иконку с таким названием.
После включения окна Мастер диаграмм выбирают тот вид графического изображения заданной случайной величины, который наиболее соответствует решаемой задаче.
Задачи
В следующих задачах требуется найти законы распределения случайных величин 3X + A, AX - 5X, X2, Vx, по закону распределения для дискретной случайной величины X , заданному рядом распределения, и построить для нее многоугольник распределения. Число A равно последней цифре в номере текущего года.
При построении различных диаграмм продемонстрировать возможности Excel для представления различных типов гистограмм, графиков и диаграмм. Сделать соответствующие надписи на осях и диаграммах. Применить возможности нахождения тренда и его аналитической зависимости для линейных графиков.
Использовать при построении диаграмм цветовые возможности программы Мастер диаграмм.
1.
| X | 12 | 14 | 16 | 24 | 27 |
| Р | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,15 | 0,05 |
| X | 10 | 14 | 17 | 20 | 23 |
| Р | 0,2 | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,1 |
| X | 20 | 24 | 28 | 34 | 37 |
| Р | 0,2 | 0,3 | 0,25 | 0,15 | 0,1 |
| X | 13 | 15 | 17 | 21 | 26 |
| Р | 0,1 | 0,35 | 0,3 | 0,2 | 0,05 |
| X | 10 | 20 | 25 | 30 | 35 |
| Р | 0,2 | 0,15 | 0,15 | 0,3 | 0,2 |
| X | 1,0 | 1,5 | 1,9 | 2,5 | 2,8 |
| Р | 0,1 | 0,25 | 0,35 | 0,25 | 0,05 |
| X | 112 | 114 | 128 | 144 | 157 |
| Р | 0,2 | 0,35 | 0,2 | 0,15 | 0,1 |
| X | 40 | 53 | 67 | 80 | 93 | |
| Р | 0,25 | 0,3 | 0,25 | 0,19 | 0,01 | |
| 9 | ||||||
| X | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 | |
| Р | 0,15 | 0,25 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | |
| 10 | ||||||
| X | 35 | 75 | 80 | 105 | 120 | |
| Р | 0,05 | 0,25 | 0,45 | 0,15 | 0,1 | |
| 11 | ||||||
| X | 100 | 130 | 170 | 200 | 230 | |
| Р | 0,5 | 0,25 | 0,15 | 0,08 | 0,02 | |
| 12 | ||||||
| X | 30 | 34 | 38 | 54 | 57 | |
| Р | 0,5 | 0,2 | 0,15 | 0,09 | 0,06 | |
| 13. | ||||||
| X | 10,5 | 13,4 | 17,6 | 20,7 | 23,8 | |
| Р | 0,35 | 0,25 | 0,2 | 0,15 | 0,05 | |
| 14 | ||||||
| X | 122 | 142 | 182 | 242 | 276 | |
| Р | 0,2 | 0,6 | 0,1 | 0,07 | 0,03 | |
| 15 | ||||||
| X | 60 | 63 | 68 | 70 | 83 | |
| Р | 0,13 | 0,17 | 0,29 | 0,22 | 0,19 | |
| 16 | ||||||
| X | 21 | 24 | 27 | 33 | 39 | |
| Р | 0,5 | 0,25 | 0,15 | 0,06 | 0,04 | |
| 17 | ||||||
| X | 11 | 13 | 19 | 20 | 27 | |
| Р | 0,05 | 0,15 | 0,25 | 0,45 | 0,1 | |
| 18. | ||||||
| X | 42 | 54 | 58 | 64 | 77 | |
| Р | 0,3 | 0,15 | 0,12 | 0,33 | 0,1 | |
| 19 | ||||||
| X | 10 | 15 | 30 | 40 | 45 | |
| Р | 0,18 | 0,1 | 0,22 | 0,38 | 0,12 | |
| 20 | ||||||
| X | 24 | 42 | 68 | 74 | 87 | |
| Р | 0,4 | 0,35 | 0,07 | 0,15 | 0,03 | |
| 21 | ||||||
| X | 12 | 13 | 19 | 28 | 33 | |
| Р | 0,1 | 0,12 | 0,28 | 0,32 | 0,18 |
| Х | 120 | 145 | 160 | 205 | 220 |
| Р | 0,3 | 0,5 | 0,05 | 0,05 | 0,1 |
| Х | 1,05 | 1,35 | 1,7 | 2,05 | 2,53 |
| Р | 0,2 | 0,15 | 0,25 | 0,3 | 0,1 |
| Х | 32 | 35 | 39 | 42 | 47 |
| Р | 0,05 | 0,55 | 0,25 | 0,1 | 0,05 |
| Х | 45 | 55 | 80 | 90 | 100 |
| Р | 0,3 | 0,4 | 0,15 | 0,1 | 0,05 |
| Х | 10 | 15 | 30 | 40 | 45 |
| Р | 0,03 | 0,07 | 0,7 | 0,15 | 0,05 |
| Х | 24 | 42 | 68 | 74 | 87 |
| Р | 0,25 | 0,35 | 0,15 | 0,15 | 0,1 |
| Х | 12 | 13 | 19 | 26 | 30 |
| Р | 0,02 | 0,18 | 0,4 | 0,24 | 0,16 |
| Х | 120 | 150 | 160 | 200 | 280 |
| Р | 0,2 | 0,4 | 0,15 | 0,14 | 0,11 |
| Х | 1, 5 | 2,5 | 2,7 | 3, 2 | 3,5 |
| Р | 0,1 | 0,25 | 0,35 | 0,2 | 0,1 |
Контрольные вопросы
1. Какая случайная величина называется дискретной?
2. Что называют законом распределения дискретной случайной величины?
3. Основное свойство закона распределения.
4. Как определяется сумма случайных величин?
5. Как определяется произведение случайной величины на число?
6. Как определяется произведение случайных величин?
7. Что называется многоугольником распределения?
8. Приведите пример дискретной случайной величины.
9. Составьте закон распределения дискретной случайной величины Х - числа выпадений чётного числа очков на двух игральных костях.
10. В партии из 12 деталей имеются 9 стандартных. Наугад отобраны две детали.
Составьте закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.
11. Напишите закон распределения числа появления решки при двух бросаниях монеты.
12. Устройство состоит из 1 000 элементов, работающих независимо друг от друга.
Вероятность отказа любого элемента в течение 10 минут равна 0,003. Найти вероятность того, что за 10 минут откажут ровно три элемента.
13. Вероятность того, что стрелок попадёт в мишень при одном выстреле, равна 0,9. Стрелку выдают патроны до тех пор, пока он не промахнётся.
Составьте закон распределения случайной величины Х - числа патронов, выданных стрелку.
14. Фабрика отправила на торговую базу 500 изделий.
Вероятность повреждения в пути одного изделия равна 0,002. Найти закон распределения случайной величины Х - числа повреждённых изделий в пути следования.
15. Машина состоит из 3 000 элементов, работающих независимо друг от друга.
Вероятность отказа любого элемента в течение 30 минут равна 0,001. Найти вероятность того, что за 30 минут откажут ровно три элемента.
Функция распределения
Функцией распределения F(х) называется вероятность P(X х) события, состоящего в том, что случайная величина X принимает значение меньшее, чем х:
F(х) = P(X х).
Свойства функции распределения
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0; 1], то есть 0 F (х) 1.
Это следует из определения функции распределения как вероятности.
2. Функция распределения неубывающая, то есть, если х1 х2, то F ( х1) F ( х2).
3. Если возможные значения случайной величины X принадлежат промежутку [a; b], то при х a F(х) = 0, при х b F(х) = 1.
Следствие l. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключённое в промежутке (a; Ъ), равна приращению функции распределения на этом промежутке:
P(a X Ъ) = F(b) - F(a).
Непрерывной будем называть такую случайную величину, для которой функция распределения в любой точке, соответствующей возможному значению, является непрерывной.
Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определённое значение x0, равна нулю.
Для дискретной случайной величины X = (x1,x2,...,xn) функция распределения определяется формулой
F(x) = Z P ,
Xj x
где P = P(X = Xj), а неравенство xt x под знаком суммы означает, что суммирование распространяется на все те значения xt, которые меньше x.
Пример. Дискретная случайная величина X задана законом распределения
| X | 3 | 5 | 7 | 9 |
| P | 0, 2 | 0, 5 | 0, 2 | 0, l |
Решение. Если x 3, то значение интегральной функции распределения F (X) = 0. Действительно, значений, меньших числа 3, дискретная
случайная величина X не принимает. Следовательно, при x 3 функция F(X) = P(X x) = 0.
Если 3 x 5, то значение функции распределения F (X) = 0,2. Действительно, случайная величина X может принимать в рассматриваемом промежутке только значение 3, причем с вероятностью 0, 2.
Если 5 x 7, то значение функции распределения F (X) = 0,7. Действительно, случайная величина X может принимать значение 3 с вероятностью 0, 2 и значение 5 с вероятностью 0, 5. Следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, случайная величина X может принять (по теореме сложения несовместных событий) с вероятностью 0,2 + 0,5 = 0,7.
Если 7 x 9, то значение функции распределения F (X) = 0,9. Действительно, случайная величина X может принимать значение 3 с вероятностью 0, 2, значение 5 с вероятностью 0, 5, значение 7 с вероятностью 0,
2. Следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, случайная величина X может принять (по теореме сложения несовместных событий) с вероятностью 0,2 + 0,5 + 0,2 = 0,9.
Если .х 9, то значение функции распределения F (X) = 1. Действительно, событие X 9 достоверно для рассматриваемой случайной величины, и вероятность его равна единице.
Итак, искомая функция распределения имеет вид
| F(X) |
|
График функции распределения непрерывной случайной величины является непрерывной линией.
Задачи
Изобразить многоугольник распределения и интегральную функцию распределения для случайной величины 2X - A.
