Формула полной вероятности
7. Докажите, что P( A / B) 1 - P( A) / P( B).
8. Выведите теорему умножения вероятностей для любых трёх событий.
9. Пусть P(A/B) P(B/ A) и P(A) 0,P(B) 0. Справедливо ли неравенство P(A) P(B)?
10. Проверьте справедливость равенства P( A / Б) + P( A / B) = 1.
11. События A1, A2, A3 взаимно независимы и P(Ak) = pk, k = 1,2,3.
Найдите вероятность произведения событий (A1 + A2)( A3 + A1).
12. Докажите, что если события A1,A2,...,Anнезависимы, то события A1, A2,..., An также независимы.
13. События A1, A2, A3 взаимно независимы, и P(Ak) = pk, k = 1,2,3.
Найдите вероятность события (A3 + A2)( A3 + A1).
14. События A1,A2,A3 взаимно независимы, и P(Ak) = pk, k = 1,2,3.
Найдите вероятность события (A1 - A2)(A3 - A1).
15. События A1,A2,A3 взаимно независимы, и P(Ak) = pk, k = 1,2,3.
Найдите вероятность события A1 + A2 A3 + A1.
16. P(A) = p, а P(B) = q. Найдите вероятность события АААААВВВ, если события А и В независимы.
17. Известна условная вероятность P(A/BC) = p события А и безусловная вероятность события В: P(Б) = г. Найдите условную вероятность P( AC / Б), если P( ABC) = 0,5.
18. Найдите P( AC / B), если P( ABC) = 0,3; P( A / BC) = 0,5;
P( B) = 0,4.
19. Найдите вероятность события АААВВВВВ, если события А и В независимы и P( A) = 0,2; P( B) = 0,4.
20. Вычислите P(ABC), если P(A) = 0,2; P(B) = 0,4; P(C) = 0,7 , и события А, В, С независимы.
Формула полной вероятности
Если событие A может произойти лишь при условии наступления одного из несовместных событий H1, H2,..., Hn, образующих полную группу, события H1, H2,..., Hn называют гипотезами. Пусть известны вероятности гипотез Ht и условные вероятности события A при этих гипотезах, то есть известны значения P(H() и P( A / H(), i = 1, n. В этом
случае вероятность события A определяется по формуле, называемой формулой полной вероятности:
P( A) = ± P( H,) P( A / H,).
i=1
Пример. В двух коробках лежат зелёные и красные мячи: в первой -4 зелёных и 5 красных, во второй - 7 зелёных и 3 красных.
Из второй коробки наугад взяли мяч и переложили его в первую коробку. Найти вероятность того, что наугад взятый после этого из первой коробки шар будет зелёным.
Решение. Перекладывание из второй коробки зелёного мяча (событие B1- первая гипотеза) и красного мяча (событиеВ2- вторая гипотеза) образует полную группу независимых событий. Вероятности их равны P( B1) = 0,7 и P (В2) = 0,3.
Условные вероятности извлечения из первой коробки зелёного мяча (событие А) при перекладывании туда зелёного или красного мяча из второй коробки равны P( A / B1) = 0,5 и P (A / В2) = 0,4 соответственно. Искомая вероятность находится по формуле полной вероятности для двух гипотез:
P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) = 0,7 - 0,5 + 0,3 - 0,4 = 0,47.
Задачи
j. Имеются два ящика. В первом ящике четыре белых и три чёрных шара, во втором - пять белых и семь чёрных шаров. Из первого и второго ящика перекладывают по одному шару в третий ящик.
Наугад из третьего ящика берут один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?
2. В группе из 25 стрелков имеются 5 отличных , j5 хороших и 5 посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для отличного стрелка равна 0,95; для хорошего - 0,75; для посредственного - 0,5.
Найти вероятность того, что при одном выстреле двух стрелков из группы цель будет поражена.
3. В партии стаканов 95 % отвечают стандарту. Контроль признаёт пригодным стандартный стакан с вероятностью 0,98 и нестандартный стакан с вероятностью 0,03.
Определить вероятность того, что стакан, прошедший контроль, отвечает стандарту.
4. Имеются две партии стульев по 25 и 48 штук, причём в первой партии 2 стула ниже других, а во второй - четыре. Взяв из первой партии один стул, присоединили его ко второй партии. Покупатель купил стул из второй партии.
Какова вероятность того, что он купил стандартный стул?
5. Устройства сигнализации производятся тремя фирмами. Устройства первой фирмы установлены на 43 % машин; устройства второй фирмы - на 28 %; устройства третьей фирмы - на 29 %. Надёжность устройства, изготовленного первой фирмой, равна 0,9; второй - 0,8; третьей -0,85.
Какова надёжность устройства, принадлежность которого неопределенна.
6. Имеются две коробки с мячами для тенниса. В первой коробке 7 красных и 8 зелёных мячей; во второй - 9 красных и jj зелёных. Из первой и второй коробок, не глядя, берут по одному мячу и кладут в третью коробку.
Мячи в третьей коробке перемешивают и берут наугад один мяч. Определить вероятность того, что этот мяч зелёный.
7. На опытной станции имеется запас семян сосны, полученных из двух лесничеств. Среди них 30 % семян сосны заготовлены в первом лесничестве, а 70 % - во втором.
Известно, что всхожесть семян из первого лесничества составляет 90 %, а семян из второго лесничества - 80 %. Определить вероятность того, что наугад посаженное семечко взойдёт.
8. По периметру охраняемого участка леса установлены четыре датчика различной конструкции, фиксирующих проникновение внутрь участка. Вероятность срабатывания датчиков равна 0,9; 0,8; 0,85; 0,75 соответственно.
Исследователь включил наугад один из датчиков. Какова вероятность зафиксировать нарушение границы?
9. В ателье работают три портнихи. Первая выполняет 40 % всех заказов; вторая - 35 %, а третья - 25 %. При изготовлении костюмов процент брака у каждой из портних составляет 2, 3 и 5 % соответственно.
Какова вероятность того, что случайно выбранный костюм будет иметь дефект?
10. В одной корзине лежат 25 красных и 35 желтых яблок, а во второй - 42 желтых и 37 красных яблок. Берут по два яблока из каждой корзины и перекладывают в третью, а затем не глядя берут одно яблоко из третьей корзины.
Какова вероятность, что возьмут красное яблоко?
11. В одном мешке лежат 15 синих перчаток и 18 зелёных, а в другом - 21 синяя перчатка и 17 зелёных.
Наугад из одного из мешков вынимают две перчатки. Найти вероятность того, что вынут обе перчатки одного цвета.
12. На двух станках изготавливаются детали для стульев и складываются в общую тару.
Вероятность получения детали нестандартного типа на первом станке равна 0,086, а на втором - 0,065. Производительность второго станка втрое больше, чем первого.
Найти вероятность того, что наугад взятая деталь нестандартная.
13. В первой группе спортсменов 7 мастеров спорта и 8 кандидатов в мастера, во второй группе 6 мастеров и 10 кандидатов, в третьей 5 мастеров и 11 кандидатов. Из каждой группы выбрали случайным образом по два спортсмена.
Какова вероятность того, что в сформированной команде будет три мастера спорта и 3 кандидата?
14. На склад поступает продукция трёх фабрик.
Причём продукция первой фабрики составляет 20 %; второй - 46 %; третьей - 34 %. Известно также, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 1 %; для второй - 3 %, а для третьей - 1,5 %. Вычислите вероятность того, что наугад взятое изделие окажется стандартным.
15. Среди восьми винтовок пристрелянными оказываются только три.
Вероятность попадания из пристрелянной винтовки равна 0,9, а из не-пристрелянной - 0,5. Выстрелом из одной наугад взятой винтовки цель поражена.
Определить вероятность того, что взята пристрелянная винтовка.
16. В первом ящике 17 сосновых и 15 еловых шишек, а во втором -20 сосновых и 19 еловых.
Из первого ящика переложили две шишки во второй, а потом из второго ящика достали одну шишку. Какова вероятность того, что эта шишка сосновая?
17. С первого склада на сборку поступает 35 % деталей; со второго -22 %; с третьего - 25 %; с четвертого - 18 %. Вероятность получить с первого склада бракованную деталь равна 0,01; со второго - 0,003; с третьего - 0,005; с четвертого - 0,001.
Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.
18. В первом мешке лежат 55 зелёных и 67 красных яблок, во втором мешке - 67 красных и 44 зелёных яблок, в третьем мешке - 38 зелёных и 65 красных яблок. Из каждого мешка взяли по яблоку и положили в корзину, из которой затем берут одно яблоко.
Какова вероятность, что яблоко окажется красным?
19. На экзамене студентам предлагается 40 билетов.
Студент выучил только 21 билет. Каким по счету ему выгоднее зайти: первым, вторым или третьим?
20. При исследовании жирности молока лосих всё стадо было разбито на три группы.
В первой группе оказалось 70 %; во второй 23 % и в третьей 7 % всех лосих. Вероятность того, что молоко, полученное от отдельной лосихи, имеет не менее 4 % жирности, для каждой группы лосих соответственно равна 0,6; 0,35 и 0,1. Определить вероятность того, что для взятой наугад лосихи жирность молока составит не менее 4 %.
21. Имеется 5 ящиков с кружками. В первом, втором и третьем находится по 5 белых и 7 синих кружек, в четвертом и пятом ящиках по 6 белых и 6 синих кружек. Случайно выбирают ящик и из него извлекают кружки.
Какова вероятность того, что извлеченная кружка будет синей?
22. Первой бригадой производится в четыре раза больше продукции, чем второй.
Вероятность того, что производимая продукция окажется стандартной для первой бригады 0,88; для второй - 0,93. Определить вероятность того, что взятая наугад единица продукции будет стандартной.
23. Для посева заготовлены семена 4 видов клёна. Причем, 22 % всех семян клёна 1-го вида; 33 % - 2-го вида; 32 % - 3-го вида; 13 % - 4-го вида.
Вероятность всхожести для семян первого вида равна 0,69; для второго -0,74; для третьего - 0,43; для четвёртого - 0,38. Найти вероятность того, что наугад взятое семечко взойдёт.
24. В ящик, содержащий 6 одинаковых перчаток, брошена перчатка с дефектом, а затем извлечена одна перчатка.
Найти вероятность того, что извлечена перчатка без дефекта, если равновероятны все возможные предположения о числе дефектных перчаток, первоначально находящихся в ящике.
25. Из полного набора 28 костей домино наугад извлечена кость.
Найти вероятность того, что вторую извлеченную кость можно приставить к первой.
26. В группе спортсменов 12 метателей снарядов, 17 бегунов и 19 прыгунов.
Вероятность выполнить квалификационную норму для метателя снаряда равна 0,71; для бегуна - 0,89; для прыгуна - 0,73. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наугад, выполнит норму.
27. При попытке угона машины сигнализация первого вида подаёт сигнал тревоги с вероятностью 0,84, а сигнализация второго вида - с вероятностью 0,99. Вероятность того, что машина оборудована сигнализацией первого или второго вида соответственно равна 0,7 и 0,3.
Какова вероятность подачи сигнала тревоги сигнализации на случайно выбранной машине?
28. Агентство по страхованию автомобилей разделяет водителей по 3 классам: Р1 (практически не рискует), Р2 (мало рискует), Р3 (всегда рискует).
Анализ застрахованных водителей предыдущих периодов показал, что 32 % водителей принадлежит классу Р1; 48 % - классу Р2 и 20 % - классу Р3. Вероятность попасть в течение года в аварию для водителей класса Р1 равна 0,01; класса Р2 - 0,015; класса Р3 - 0,124.
Какова вероятность того, что наугад выбранный водитель за год не попадёт в аварию?
29. В соревнованиях участвуют 7 спортсменов из Москвы, 9 из городов Поволжья, 13 из городов Сибири. Спортсмен из Москвы попадает в сборную с вероятностью 0,9; из Поволжья - с вероятностью 0,7; а из Сибири - 0,85.
Какова вероятность попасть в сборную наугад выбранному спортсмену?
30. В собранной электрической цепи могут быть поставлены предохранители 3 типов.
Вероятности постановки предохранителя первого, второго или третьего типов равны 0,19; 0,63 и 0,18 соответственно. Вероятности перегорания при перегрузке цепи для предохранителей первого, второго и третьего типов равны 0,89, 0,97 и 0,82 соответственно.
Какова вероятность того, что предохранитель в цепи перегорит, если его тип неизвестен?
Контрольные вопросы
1. Что называется полной группой событий?
2. Какие события называются совместными?
3. Для чего применяется формула полной вероятности?
4. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае вероятность вытащить неизвестный билет будет для него наименьшей: когда он берёт билет первым или последним?
5. Как записывается формула полной вероятности?
6. Что такое гипотеза в формуле полной вероятности?
7. Для каких событий справедлива формула полной вероятности?
8. Какие ограничения накладываются на гипотезы в формуле полной вероятности?
9. Если для наступления события А необходимо выполнение только одного события В, может ли быть применена для вычисления его вероятности формула полной вероятности?
10. Если наступление события А возможно в результате счётного числа гипотез, применима ли для вычисления его вероятности формула полной вероятности?
Формула Байеса (теорема гипотез)
Пусть имеется полная группа несовместных гипотез H1,
Hn, известны вероятности P(H(), i = 1, n, этих гипотез до опыта и условные вероятности P(A / Hi) события A, которое может произойти лишь совместно с одной гипотезой.
Произведён опыт, в результате которого событие A произошло, тогда условные вероятности P(Hi / A) вычисляются по формуле
P (Ht) P ( A / Ht)
P (A) ’
где P( A) = ? P( H) P( A / Ht).
i=1
Пример. В магазин поступают лампочки, изготовленные на трёх заводах, причем 40 % лампочек поступает с завода I; 50 % лампочек - с завода II и 10 % - с завода III.
Процент бракованных лампочек, изготовленных на заводах I, II, III соответственно равен 1 %, 2 %, 4 %. Купленная лампочка оказалась качественной.
Определить вероятность того, что эта лампочка изготовлена на заводе I.
Решение. Пусть событие A - взятая лампочка качественная.
Возможны три гипотезы H1, H2, H3 - взятая лампочка изготовлена, соответственно, на I, II, III заводе. Вероятность каждой из гипотез определяется по условию задачи:
P( H1) = 0,4; P( H2) = 0,5; P (H3) = 0,1.
Соответствующие условные вероятности события A:
P( A / H1) = 1 - 0,01 = 0,99;
P (A / H2) = 1 - 0,02 = 0,98;
P( A / H3) = 1 - 0,04 = 0,96.
Полная вероятность события A:
P( A) = 0,4 - 0,99 + 0,5 - 0,98 + 0,1 - 0,96 = 0,882.
Условная вероятность гипотезы И\.
Р( И) Р( A / И)
Р( A)
0,4 - 0,99 0,882
Р( И / A)
= 0,449.
Задачи
1. Браконьер, убегая от лесника, вышел на поляну, от которой в разные стороны идут пять дорог. Если браконьер пойдет по первой дороге, то вероятность его выхода из леса в течение часа составляет 0,7; если по второй - 0,4; если по третьей - 0,3; по четвёртой - 0,2; по пятой - 0,6.
Какова вероятность того, что браконьер пошел по первой дороге, если он через час вышел из леса?
2. Вероятность попадания при каждом выстреле у трёх охотников равна, соответственно, 0,8; 0,6; 0,7. При одновременном выстреле всех трех охотников имелось одно попадание.
Найти вероятность того, что попал первый стрелок.
3. Счётчик регистрирует частицы трёх типов: А, В и С. Вероятность появления этих частиц составляет 0,3; 0,6; 0,1 соответственно. Вместе с тем, счётчик улавливает частицы типа А с вероятностью 0,7; частицы типа В - 0,6; а частицы типа С - 0,9.
Счётчик отметил частицу. Определить вероятность того, что это была : а) частица С; б) частица В.
4. Вероятность того, что клиент банка направится к первой кассе -1/2; ко второй - 1/6; к третьей - 1/3. Вероятность того, что ему придётся стоять в очереди больше получаса в первую кассу составляет 1/6; во вторую кассу - 1/10; в третью - 1/9. Клиент обратился в одну из касс и был обслужен в течение 20 минут.
Определите вероятность того, что клиент был обслужен в первой кассе.
5. Соревнования на стрельбище происходят следующим образом. Один из трёх спортсменов вызывается на линию огня и производит два выстрела.
Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле для первого стрелка равна 0,2; для второго - 0,4; для третьего - 0,7. Мишень не была поражена стрелком.
Какова вероятность того, что на линию огня вызывался: а) второй стрелок? б) третий стрелок?
6. Для сдачи экзамена по правилам дорожного движения слушателям нужно было выучить 45 билетов. Из 30 слушателей 15 выучили все билеты; 8 - 30 билетов; 6 - 20 билетов и 1 - 10 билетов. Слушатель сдал экзамен.
Найти вероятность того, что он знал всего 20 билетов.
7. Среди абитуриентов, подавших документы в приёмную комиссию, 60 проц. закончили обучение в текущем году, 30 проц. - не более трёх лет назад и 10 проц. более трёх лет назад. Вероятность поступления из этих групп абитуриентов равна 0,88, 0,73 и 0,45 соответственно.
Найти вероятность того, что успешно сдавший экзамены абитуриент закончил обучение более трёх лет назад.
8. В лесхозе 50 % посадок составляет сосна; 40 % береза и 10 % ель. Вероятность поражения грибковыми заболеваниями для этих деревьев составляет 0,3; 0,6 и 0,8 соответственно. При санитарном осмотре было выбраковано дерево.
Какова вероятность того, что это дерево ель?
9. На склад поступает продукция трёх фабрик. Причем продукция первой фабрики составляет 26 %; второй - 40 %; третьей - 34 %. Известно также, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 1 %; для второй - 3 %; а для третьей - 1,5 %. Вычислите вероятность того, что наугад взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.
10. В гимназии 67 проц. учащихся девочки. 89 проц. девочек и 78 проц. мальчиков имеют билеты в театр.
В учительскую принесли кем-то потерянный билет. Какова вероятность того, что билет принадлежит девочке?
11. В кафе посетителей обслуживают три официантки.
Первая обслуживает 40 % столиков, вторая - 35 % столиков и третья - 25 % столиков. Вероятность ожидания клиентами каждой из них более 5 минут составляет 0,4; 0,35 и 0,2 соответственно.
Какова вероятность того, что клиенты были обслужены второй официанткой, если они ждали официантку 2 минуты.
12. В первом ящике 22 сосновых и 15 еловых шишек, а во втором -20 сосновых и 25 еловых.
Из первого ящика переложили две шишки во второй, а потом из второго ящика достали одну шишку. Какова вероятность того, что эта шишка из первого ящика, если она еловая?
13. В группе из 30 стрелков 7 отличных, 11 хороших, 10 посредственных и 2 плохих. При одном выстреле отличный стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,98; хороший - с вероятностью 0,9; посредственный - с вероятностью 0,75; а плохой - с вероятностью 0,4. Наугад выбранный стрелок выстрелил дважды; отмечены одно попадание и один промах.
Каким стрелком вероятнее всего были произведены выстрелы?
14. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания у первого охотника равна 0,8, а у второго - 0,6. В результате трёх залпов оказалось 5 попаданий.
Какова вероятность того, что промахнулся первый охотник?
15. В цеху изготавливается 40 % овощных соков и 60 % фруктовоягодных. В среднем 9 пакетов овощных соков из 1 000 оказываются с недоливом, а среди 500 пакетов фруктово-ягодных соков недолив встречается в 2 пакетах.
Случайно выбранный пакет с соком оказался неполным. Найти вероятность того, что это пакет с овощным соком.
16. При исследовании жирности молока лосих всё стадо было разбито на три группы. В первой группе оказалось 50 %; во второй 33 % и в третьей 17 % всех лосих. Вероятность того, что молоко, полученное от отдельной лосихи, имеет не менее 4 % жирности, для каждой группы лосих соответственно равна 0,7; 0,45 и 0,2.
Взятая наугад лосиха даёт молоко жирностью 4%. Найти вероятность того, что эта лосиха из первой группы.
17. Имеется 5 ящиков с кружками. В первом, втором и третьем находится по 6 белых и 8 синих кружек, в четвёртом и пятом ящиках по 4 белых и 6 синих кружек. Случайно выбирается ящик, и из него извлекается кружка.
Какова вероятность того, что был выбран четвёртый или пятый ящик, если извлеченная кружка оказалась белой?
18. Покупатель с равной вероятностью посещает 3 магазина. Вероятность того, что он купит товар в первом магазине равна 0,3; во втором 0,4; в третьем - 0,2.
Определить вероятность того, что покупатель купил товар только в одном магазине, если каждый магазин он посетил дважды.
19. Первая бригада производит в четыре раза больше продукции, чем вторая.
Вероятность того, что производимая продукция окажется стандартной для первой бригады 0,88; для второй - 0,93. Взятая наугад единица продукции оказалась стандартной.
Какова вероятность того, что она сделана первой бригадой?
20. Для посева заготовлены семена 4 видов клёна. Причем, 25 % всех семян клёна 1-го вида; 36 % - 2-го вида; 28 % - 3-го вида; 11 % - 4-го вида.
Вероятность всхожести для семян первого вида равна 0,61, для второго -0,54; для третьего - 0,33; для четвертого - 0,47. Найти вероятность того, что взошедшее семечко принадлежит к клёнам: а) третьего вида; б) второго вида; в) первого вида.
21. Агентство по страхованию автомобилей разделяет водителей по 3 классам: Р1 (практически не рискует), Р2 (мало рискует), Р3 (всегда рискует).
Анализ застрахованных водителей предыдущих периодов показал, что 24 % водителей принадлежит классу Р1; 48 % - классу Р2 и 28 % -классу Р3. Вероятность попасть в течение года в аварию для водителей класса Р1 равна 0,01; класса Р2 - 0,015; класса Р3 - 0,024. Какова вероятность того, что водитель, ни разу не попавший за год в аварию, из класса
Р1?
22. В собранной электрической цепи могут быть поставлены предохранители 3 типов.
Вероятности постановки предохранителя первого, второго или третьего типов равны 0,17; 0,62 и 0,21. Вероятности перегорания при перегрузке цепи для предохранителей первого, второго и третьего типов равны 0,98; 0,87 и 0,84 соответственно.
Какова вероятность того, что поставлен предохранитель первого или второго типа, если предохранитель перегорел?
23. На мебельной фабрике выпускаются столы: 24 % - под орех; 37 % - под сосну; 39 % - под дуб. При этом в течение месяца продается 99 % выпускаемых столов под орех; 95 % - под сосну; 90 % -под дуб.
Какова вероятность того, что проданный сегодня утром стол имеет окраску под орех?
24. На деревообрабатывающем предприятии выпускают фанеру трех типов, причем типа А - 27 % от общего количества; типа В - 45 %; типа С - 38 %. За день распродано 98 % фанеры типа А; 90 % фанеры типа В и 80 % фанеры типа С. Какова вероятность того, что последняя продажа дня пришлась на фанеру типа А?
25. При окраске изделий фабрики в 30 случаях из 100 используется синяя краска, в 15 красная, в 23 зелёная и в 33 белая. Среди изделий, окрашенных цветными красками, вероятность некачественной окраски составляет 0,04, а среди тех, что окрашены белой краской, - 0,06.
Случайно проверенное изделие оказалось с дефектом окраски. Какова вероятность того, что это изделие: а) зелёное? б) синее? в) белое?
26. Три пассажира вышли из вагона метро на станции Киевская. Вероятности того, что они сделают пересадку, равны 0,89; 0,73 и 0,92, соответственно, для перового, второго и третьего пассажиров. Двое из пассажиров вышли к Киевскому вокзалу.
Найти вероятность того, что среди них был второй пассажир.
27. Для контроля влажности воздуха в музее установлены четыре датчика. Вероятности ошибки в их показаниях равны 0,01 для первого, 0,013 для второго, 0,011 для третьего и 0,009 для четвертого. Контролёр наугад снимает показания с одного из датчиков и записывает его показания в контрольный журнал.
Какова вероятность того, что были сняты показания со второго датчика, если они оказались ошибочными?
28. На одной яблоне привиты три сорта яблок, а на второй два из них. В этом году с первой яблони собрали 30 яблок сорта анис, 42 яблока сорта грушовка и 32 яблока сорта пепин шафранный, а со второй яблони -43 яблока сорта анис и 54 яблока сорта пепин шафранный. Хозяин угостил мальчика яблоком сорта пепин шафранный.
Какова вероятность того, что это яблоко росло на второй яблоне?
29. Хоккейная команда собрана из представителей клубов трёх областей: 30 % ее состава из Псковской области, 33 % из Новгородской и 47 % из Ленинградской. В нападении играет 30 % игроков из Ленинградской области и 28 % из Новгородской. В игре тренер выпускает на замену нападающего.
Какова вероятность того, что он из Псковской области?
30. Туристы могут пообедать в трёх ресторанах города.
Вероятность того, что они направятся к первому ресторану - 1/3; ко второму - 1/5; к третьему -7/15.
