Дискретные случайные величины

30. В партии из 12 телевизоров имеется 10 корейского производства. Наугад отобраны три телевизора. Составить закон распределения числа телевизоров корейского производства среди отобранных.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение полученного закона распределения случайной величины.

Контрольные вопросы

1. Какое распределение называется биномиальным?
2. Чему равно математическое ожидание случайной величины, распределённой по биномиальному закону?
3. Чему равна дисперсия случайной величины, распределённой по биномиальному закону?
4. Как определяется распределение Пуассона?
5. Как найти математическое ожидание случайной величины, распределённой по закону Пуассона?
6. Как вычислить дисперсию случайной величины, распределённой по закону Пуассона?
7. Как записывается плотность равномерного распределения?
8. Определить показательное распределение.
9. Какое распределение называется нормальным?
11. Чему равно математическое ожидание случайной величины, распределенной по нормальному закону?
12. Чему равна дисперсия случайной величины, распределённой по нормальному закону?
13. Какое распределение называется нормированным нормальным распределением?
14. Какие свойства имеет функция распределения нормального закона?
15. Что называется потоком событий?
16. Какие свойства имеет простой поток событий?
17. Какое распределение используют для описания простого потока событий?
18. Какое распределение используют для описания промежутков времени между наступлением событий в простом потоке событий?
19. Случайные величины Х и Y независимы и распределены равномерно: Х - в интервале (a; b), Y - в интервале (c; d).

Найти дисперсию произведения XY.
20. Чему равны мода и медиана случайной величины, распределённой по нормальному закону?

ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ

Лабораторная работа 1
Случайные события и их вероятности
1. Цель работы - научиться вычислять вероятности различных случайных событий.
2. Задачи работы:
- уметь вычислить вероятность случайного события по определению вероятности;
- уметь отличить перестановки, размещения и сочетания;
- уметь находить число перестановок, размещений, сочетаний средствами Excel;
- уметь применять основной закон комбинаторики;
- различать события совместные и несовместные;
- уметь найти для события противоположное ему событие;
- уметь построить полную группу событий решаемой задачи;
- различать выборки с возвращением и выборки без возвращения;
- различать зависимые и независимые события;
- приобрести навыки решения различных задач по определению вероятности случайных событий;
- уметь вычислить геометрическую вероятность случайного события;
- уметь решать задачи на применение правила произведения.
3. Общее описание задания
Работа посвящена изучению основных формул комбинаторики. В задачах рассматриваются выборки с возвращением и без возвращения. Вычисления вероятности событий проводятся по определению понятия вероятности. Нарабатываются навыки по определению совместности событий, их зависимости друг от друга, составлению полной группы событий, нахождению среди событий противоположных друг другу.

Рассматривается понятие геометрической вероятности и методы вычисления её для различных геометрических объектов.
При выполнении лабораторной работы студент должен решить задачи своего варианта. Выполнение одного варианта может делать бригада из двух человек.

Расчёты должны быть проведены средствами Excel с использованием необходимых для этого математических функций и действий.
4. Варианты задания
Один вариант содержит 10 задач на определение вероятности случайных событий. Для каждого варианта в таблице указаны номера задач из раздела 1.1 данного учебного пособия.

Номер варианта	Номер задачи
1	1	4	9	8	12	17	23	27	29	30
2	2	6	7	11	15	19	21	24	26	28
3	3	10	12	13	14	18	20	22	25	29
4	4	5	16	20	21	23	24	27	28	30
5	5	6	9	10	11	13	16	19	23	25
6	6	8	12	14	15	17	18	22	24	28
7	1	3	7	14	15	16	18	20	23	25
8	2	4	8	10	12	14	22	24	28	30
9	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23
10	6	8	10	14	16	18	25	26	27	28
11	2	5	11	13	17	20	23	25	26	27
12	3	10	12	17	18	19	22	24	27	29
13	4	9	13	16	19	20	21	23	25	26
14	6	11	14	15	17	18	19	22	24	28
15	7	12	15	16	18	20	21	27	29	30

5. Требования к оформлению результатов
В ходе выполнения лабораторной работы на ПК студент формирует свой файл, в котором в табличном процессоре Excel последовательно записывает номер лабораторной работы и номер своего варианта. Затем записывается номер решаемой задачи, исходные данные задачи, ход решения и полученные результаты.

Отдельно выделить полученный ответ. Формулы, по которым находится тот или иной результат программируются с указанием использованных для вычислений ячеек, в которых хранятся численные исходные данные задачи. Результаты выполнения лабораторной работы сохраняются до конца занятия.

Студент должен уметь ответить на вопросы преподавателя по теме лабораторной работы, которые записаны в соответствующей главе в разделе Контрольные вопросы.
Лабораторная работа 2
Теоремы умножения и сложения вероятностей
1. Цель работы - научиться применять теоремы сложения и умножения вероятностей для совместных и несовместных, зависимых и независимых событий.
2. Задачи работы:
- уметь отличать совместные и несовместные события;
- уметь определять зависимость и независимость случайных событий;
- находить противоположные события для заданных;
- находить полную группу событий;
- отличать безусловную и условную вероятности событий;
- выработать навыки по вычислению условной вероятности;
- выработать навыки вычисления вероятности суммы и произведения случайных событий.
3. Общее описание задания
Лабораторная работа предполагает знание необходимых по теме определений понятий и теорем из раздела 1.2. При выполнении лабораторной работы студент должен решить задачи своего варианта, применяя теоремы сложения и умножения вероятности.

Номер варианта	Номер задачи
1	3	6	10	11	13	15	17	19	23	25
2	5	8	9	10	12	14	18	20	25	30
3	6	11	14	16	19	22	23	24	26	28
4	1	8	10	13	14	15	17	19	21	27

Номер варианта	Номер задачи
5	2	5	9	10	15	16	18	20	22	24
6	3	7	11	14	19	20	21	23	25	26
7	4	9	13	14	15	16	18	19	20	21
8	2	3	8	10	12	14	21	23	28	29
9	6	8	9	11	13	15	22	24	26	30
10	7	9	10	14	16	18	20	22	23	26
11	8	10	11	13	17	20	21	24	25	27
12	9	11	12	17	18	19	20	24	26	30
13	1	3	13	15	16	17	22	23	25	26
14	2	9	14	17	19	20	21	22	24	28
15	3	12	13	15	18	22	24	26	27	29

Отдельно выделить полученный ответ.
Лабораторная работа 3
Формула полной вероятности. Формула Байеса.
1. Цель работы - научиться вычислять вероятность события при наличии множества гипотез его наступления и получать оценки вероятностей гипотез.
2. Задачи работы:
- уметь построить различные гипотезы наступления случайного события;
- уметь найти все возможные гипотезы, приводящие к наступлению события;
- выработать навыки применения формулы полной вероятности;
- выработать навыки применения формулы переоценки вероятности гипотез;
- уметь организовать вычислительный процесс средствами Excel.
3. Общее описание задания
Лабораторная работа предполагает знание необходимых по теме определений понятий и теорем из разделов 1.3 и 1.4. При выполнении лабораторной работы студент должен решить задачи своего варианта, используя формулу полной вероятности или формулу Бейеса.

При этом важным моментом является построение алгоритма решения задачи, в котором следует учесть все возможные гипотезы развития событий, при которых может наступить рассматриваемое событие. При переоценке гипотезы следует понимать, что реальная вероятность гипотезы как правило отличается от предполагаемой на основе теории.

Расчёты должны быть проведены средствами Excel с использованием необходимых для этого математических функций и действий.
4. Варианты задания
Один вариант содержит 10 задач на вычисление либо по формуле полной вероятности, либо по формуле Байеса. Для каждого варианта в таблице указаны номера задач из раздела 1.3 и 1.4 данного учебного пособия.

При этом, например, номер 3.9 обозначает задачу номер 9 из раздела 1.3, а номер 4.2 обозначает задачу номер 2 из раздела 1.4.


1	3.1	3.6	3.10	3.21	3.30	4.5	4.7	4.19	4.23	4.25
2	3.5	3.8	3.9	3.20	2.22	4.1	4.8	4.20	4.25	4.30
3	3.6	3.11	3.14	3.16	3.19	4.22	4.23	4.24	4.26	4.28
4	3.7	3.12	3.13	3.15	3.24	4.15	4.17	4.19	4.21	4.27
5	3.2	3.25	3.26	3.27	3.30	4.6	4.9	4.12	4.27	4.30
6	3.3	3.7	3.11	3.14	3.29	4.2	4.11	4.13	4.15	4.16
7	3.4	3.19	3.23	3.24	3.25	4.16	4.18	4.19	4.20	4.21
8	3.2	3.3	3.8	3.10	3.12	4.3	4.4	4.23	4.28	4.29
9	3.6	3.8	3.9	3.11	3.13	4.5	4.12	4.24	4.26	4.30
10	3.7	3.9	3.10	3.14	3.16	4.18	4.20	4.22	4.23	4.26
11	3.8	3.10	3.11	3.13	3.17	4.20	4.21	4.24	4.25	4.27
12	3.9	3.11	3.12	3.17	3.18	4.9	4.10	4.14	4.16	4.20

Номер варианта	Номер задачи
13	3.1	3.10	3.13	3.15	3.16	4.17	4.22	4.23	4.25	4.26
14	3.2	3.9	3.14	3.18	3.19	4.10	4.1	4.2	4.4	4.18
15	3.3	3.12	3.13	3.15	3.18	4.22	4.24	4.26	4.27	4.29

Отдельно выделить полученный ответ.
Лабораторная работа 4
Повторные независимые испытания. Формула Бернулли
1. Цель работы - научиться находить наивероятнейшие события и вероятность появления события в повторных независимых испытаниях.
2. Задачи работы:
- вычислять по формуле Бернулли средствами Excel вероятности появления события заданное число раз;
- уметь пользоваться локальной теоремой Лапласа;
- уметь пользоваться интегральной теоремой Лапласа;
- уметь использовать аппарат функций Excel для вычислений вероятностей по локальной и интегральной теоремам Лапласа;
- уметь вычислить наивероятнейшее число событий;
- находить вероятность появления наивероятнейшего числа событий.
3. Общее описание задания
Лабораторная работа посвящена повторным независимым испыта-нииям и предполагает знание необходимых по теме определений понятий и теорем из раздела 1.5. В ходе выполнения работы нарабатываются навыки использования в качестве справочных таблиц для вычисления функци-ий средств Excel, размещённых в разделе Статистические функции. Кроме того, рассматривается задача прогнозирования наиболее вероятного числа появления событий в ходе многократного повторения опытов при заданной вероятности его появления в одном опыте.

При выполнении лабораторной работы студент должен решить задачи своего варианта.
Расчёты, проведенные по локальной и интегральной теоремам Лапласа, следует провести двумя способами: с использованием таблиц локальной и интегральной функций Лапласа и средствами Excel. Полученные результаты должны быть сопоставлены.
4. Варианты задания
Один вариант содержит 10 задач на определение вероятности случайных событий. Для каждого варианта в таблице указаны номера задач из раздела 1.5 данного учебного пособия.

Номер варианта	Номер задачи
1	1	5	9	8	12	17	23	27	28	30
2	2	6	7	11	15	19	21	24	26	27
3	3	4	12	13	14	18	20	22	25	28
4	4	5	16	20	21	23	24	27	28	29
5	5	7	9	10	11	13	16	19	23	25
6	6	8	12	14	15	17	18	22	24	26
7	1	3	7	14	15	16	18	20	23	24
8	2	4	8	10	12	14	22	24	28	30
9	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23
10	6	8	10	14	16	18	25	26	27	28
11	2	5	11	13	17	20	23	25	26	27
12	3	10	12	17	18	19	22	24	27	29
13	4	9	13	16	19	20	21	23	25	26
14	6	11	14	15	17	18	19	22	24	28
15	7	12	15	16	18	20	21	27	29	30

Отдельно выделить полученный ответ.
Лабораторная работа 5

Дискретные случайные величины

1. Цель работы - научиться строить законы распределения по заданным для дискретных случайных величин.
2. Задачи работы:
- уметь находить закон распределения для произведения константы на случайную величину;
- уметь находить закон распределения для суммы случайных величин;
- уметь находить закон распределения для разности случайных величин;
- уметь находить закон распределения для квадрата случайной величины;
- уметь находить закон распределения для корня квадратного из случайной величины;
- строить по закону распределения случайной величины ее многоугольник распределения;
- проводить расчеты средствами Excel с использованием необходимых для этого математических функций и действий;
- уметь применять средства Мастера диаграмм Excel.
3. Общее описание задания
Лабораторная работа предполагает знание необходимых по теме определений понятий из раздела 1.6. Изучаются различные дискретные случайные величины и действия с ними.

Строятся многоугольники и гистограммы распределения. При выполнении лабораторной работы студент должен решить задачи своего варианта.

Выполнение одного варианта может делать бригада из двух человек. Расчёты должны быть проведены средствами Excel с использованием необходимых для этого математических функций и действий.
Построение многоугольника распределения проводится средствами Мастера диаграмм Excel. При этом ставится цель: овладеть способами нанесения на рисунки необходимых текстовых пояснений,а также обозначений осей и рисуемых объектов. При построении диаграмм используются различные виды диаграмм и их цветовые разновидности.

При построении графиков для многоугольника распределения изучаются различные формы линии тренда и способы получения аналитических зависимостей для них. Рассматриваются возможности Excel построения графиков разного типа.
4. Варианты задания
Один вариант содержит 10 задач на определение вероятности случайных событий. Для каждого варианта в таблице указаны номера задач из раздела 1.6 данного учебного пособия.

Номер варианта	Номер задачи
1	3	4	9	10	12	17	18	20	22	25
2	1	6	7	11	15	19	21	24	26	28
3	2	10	12	13	14	18	20	22	25	29
4	5	8	16	20	21	23	24	27	28	27
5	7	10	12	13	14	17	18	19	29	30
6	6	8	12	14	15	17	18	22	24	28
7	1	3	7	14	15	16	18	20	23	25
8	2	4	8	10	12	14	22	24	28	30
9	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23
10	6	8	10	14	16	18	25	26	27	28
11	2	5	11	13	17	20	23	25	26	27
12	3	10	12	17	18	19	22	24	27	29
13	4	9	13	16	19	20	21	23	25	26
14	6	11	14	15	17	18	19	22	24	28
15	7	12	15	16	18	20	21	27	29	30

Многоугольник распределения построить с помощью графиков из Мастера диаграмм Excel.
Полученные в ходе решения задач рисунки могут быть сделаны как отдельно для каждой из вновь полученных случайных величин, так и на общих координатных осях.
На графике воспользоваться средствами для нахождения аналитической функции тренда и определить достоверность найденного тренда.
Провести эксперименты с цветами и формами представления различных видов диаграмм.
Лабораторная работа 6
Функция распределения. Плотность распределения
1. Цель работы - приобретение навыков работы с функциями распределения различных случайных величин.
2. Задачи работы:
- уметь находить функцию распределения дискретной случайной величины;
- определять по заданной функции распределения непрерывной случайной величины её плотность и наоборот;
- уметь вычислять вероятность события по заданной функции распределения или плотности распределения;
- определять параметры функций распределения и плотности распределения на основании их свойств.
3. Общее описание задания
Лабораторная работа предполагает знание теоретических положений разделов 1.7 и 1.8. В работе изучаются понятия функции и плотности Распределения, их взаимосвязь и свойства.

При выполнении лабораторной работы студент должен решить задачи своего варианта. Расчёты должны быть проведены средствами Excel, где это возможно.

Задачи для непрерывных случайных величин выполняются методами дифференциального и интегрального исчисления, изученными ранее.
4. Варианты задания

Один вариант содержит 10 задач на определение вероятности случайных событий. Для каждого варианта в таблице указаны номера задач из разделов 1.7 и 1.8 данного учебного пособия. При этом, например, номер 8.14 обозначает задачу номер 14 из раздела 1.8.

Номер варианта	Номер задачи
1	7.1	7.6	7.10	7.31	7.50	8.5	8.16	8.21	8.28	8.35
2	7.5	7.8	7.30	7.32	7.49	8.1	8.15	8.23	8.30	8.40
3	7.6	7.11	7.24	7.33	7.48	8.2	8.20	8.24	8.36	8.38
4	7.7	7.12	7.13	7.34	7.47	8.15	8.17	8.22	8.31	8.3
5	7.2	7.25	7.26	7.35	7.46	8.6	8.14	8.25	8.37	8.37
6	7.3	7.13	7.20	7.36	7.45	8.4	8.11	8.23	8.35	8.36
7	7.4	7.19	7.23	7.37	7.44	8.16	8.18	8.29	8.32	8.35
8	7.2	7.14	7.28	7.38	7.41	8.3	8.13	8.26	8.33	8.39
9	7.6	7.18	7.29	7.39	7.40	8.7	8.12	8.24	8.36	8.40
10	7.7	7.9	7.21	7.30	7.39	8.8	8.20	8.22	8.34	8.36
11	7.8	7.10	7.22	7.34	7.37	8.10	8.11	8.27	8.35	8.37
12	7.9	7.15	7.27	7.36	7.38	8.9	8.15	8.25	8.36	8.38
13	7.1	7.10	7.23	7.35	7.49	8.17	8.20	8.28	8.35	8.39
14	7.2	7.16	7.24	7.33	7.50	8.10	8.18	8.29	8.37	8.38
15	7.3	7.17	7.25	7.45	7.48	8.22	8.19	8.28	8.38	8.40

5. Требования к оформлению результатов
В ходе выполнения лабораторной работы на ПК студент формирует свой файл, в котором в табличном процессоре Excel последовательно записывает исходные данные задачи, ход решения и полученные результаты. При этом следует указать номер лабораторной работы, номер решаемой задачи. Отдельно выделить полученный ответ.
Задания лабораторной работы для непрерывных случайных величин, требующие знания дифференциального и интегрального исчисления функций, необходимо выполнять на листах формата А4 в рукописном или печатном виде.
Эти задачи могут быть выполнены вне аудитории и представлены в готовом виде для проверки преподавателю после окончания выполнения лабораторной работы, но не позже недели после её проведения.
При этом следует быть готовым к ответам на все вопросы из разделов Контрольные вопросы глав 1.7 и 1.8.
Лабораторная работа 7
Числовые характеристики случайной величины
1. Цель работы - научиться вычислять числовые характеристики случайной величины.
2. Задачи работы:
- уметь находить математическое ожидание дискретной случайной величины с помощью Excel;
- уметь находить дисперсию дискретной случайной величины с помощью Excel;
- уметь находить средне квадратическое отклонение дискретной случайной величины с помощью Excel;
- уметь находить математическое ожидание, дисперсию, моду, медиану, среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины.
3. Общее описание задания
Лабораторная работа предполагает предварительное изучение, и усвоение теоретических положений раздела 1.9. В работе нарабатываются навыки вычисления математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения случайных величин. При решении задач изучаются различные свойства числовых характеристик случайных величин.
Для непрерывных случайных величин изучаются понятия моды и медианы. При выполнении лабораторной работы студент должен решить задачи своего варианта. Расчёты должны быть проведены либо на листах формата А4, либо средствами Excel, где это возможно.
Задачи для непрерывных случайных величин выполняются методами интегрального исчисления, изученными ранее.
4. Варианты задания
Один вариант содержит 10 задач на определение вероятности случайных событий. Для каждого варианта в таблице указаны номера задач из раздела 1.9 данного учебного пособия.

Номер варианта	Номер задачи
1	3	6	10	11	13	25	27	31	37	41
2	5	8	9	12	14	24	28	32	38	42
3	7	15	16	17	19	22	30	34	39	43
4	1	4	10	15	18	21	27	33	40	44
5	2	5	9	10	15	26	28	35	37	45
6	3	7	11	14	19	20	23	36	38	46
7	4	9	13	15	17	27	28	31	39	47
8	2	3	8	10	12	23	29	33	40	48
9	6	8	9	11	13	25	26	32	37	49
10	7	9	10	14	16	24	27	34	38	50
11	8	10	11	13	17	20	21	35	39	41
12	9	11	12	17	18	22	25	36	40	45
13	1	3	13	15	16	27	30	33	37	47
14	2	9	14	17	19	23	25	32	38	49
15	3	12	15	16	18	25	26	36	39	50

Отдельно выделить полученный ответ.
Результаты решения задач для непрерывных случайных величин представляются на отдельных листах формата А4 в рукописном или печатном виде с указанием номера лабораторной работы и решаемого варианта. Материал на проверку должен быть сдан преподавателю не позднее, чем через неделю после проведения лабораторной работы.
При защите результатов лабораторной работы студент должен уметь ответить на контрольные вопросы из раздела 1.9.
Лабораторная работа 8
Специальные законы распределения
1. Цель работы - изучить свойства различных законов распределения случайных величин.
2. Задачи работы:
- уметь находить значения параметров различных распределений с помощью функций Excel;
- уметь распознавать тип закона распределения случайной величины;
- уметь составить закон распределения для дискретной случайной величины;
- решать задачи для простейших потоков событий;
- уметь вычислять числовые характеристики для специальных законов распределения.
3. Общее описание задания
Лабораторная работа предполагает предварительное изучение, и усвоение теоретических положений раздела 1.10. Необходимо обратить особое внимание на формулы, задающие числовые характеристики каждого из рассмотренных в разделе специальных распределений. При выполнении лабораторной работы студент должен решить задачи своего варианта.

Выполнение одного варианта может делать бригада из двух человек. Расчёты должны быть проведены средствами Excel.
4. Варианты задания
Один вариант содержит 10 задач на определение вероятности случайных событий. Для каждого варианта в таблице указаны номера задач из раздела 1.10 данного учебного пособия.

Номер варианта	Номер задачи
1	3	6	10	11	13	15	17	19	23	25
2	5	8	9	10	12	14	18	20	25	30
3	6	11	14	16	19	22	23	24	26	28
4	1	8	10	13	14	15	17	19	21	27

Номер варианта	Номер задачи
5	2	5	9	10	15	16	18	20	22	24
6	3	7	11	14	19	20	21	23	25	26
7	4	9	13	14	15	16	18	19	20	21
8	2	3	8	10	12	14	21	23	28	29
9	6	8	9	11	13	15	22	24	26	30
10	7	9	10	14	16	18	20	22	23	26
11	8	10	11	13	17	20	21	24	25	27
12	9	11	12	17	18	19	20	24	26	30
13	1	3	13	15	16	17	22	23	25	26
14	2	9	14	17	19	20	21	22	24	28
15	3	12	13	15	18	22	24	26	27	29

Отдельно выделить полученный ответ. Все используемые числовые данные задачи должны быть записаны в отдельные ячейки.

Ход решения программируется с помощью ячеек, используемых для хранения числовых данных.
6. Требования к защите результатов
При защите всех лабораторных работ студент предъявляет полученные результаты в электронном виде и отвечает на контрольные вопросы из разделов, задачи которых решались. Для успешной защиты лабораторной работы необходимо дать верные ответы не менее, чем на три заданных вопроса.

Дискретные случайные величины

Контрольные вопросы

ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ

Дискретные случайные величины

Рекомендуемая литература