Данилин Г. - Элементы теории вероятностей с EXCEL
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный университет леса
Введение
Теория вероятностей играет важную роль в выявлении количественных закономерностей и качественных утверждений в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Необходимость её изучения диктуется современным уровнем развития науки и экономики, когда математика стала универсальным языком науки и элементом общей культуры.
Необходимость применения персональных компьютеров в процессе принятия управленческих решений в наше время стала особенно актуальна. Однако, к сожалению, не все специалисты владеют простым и доступным даже непрофессиональным программистам средством решения задач теории вероятностей.
Это средство - табличный процессор Excel. Для успешного решения задач с помощью Excel необходимо знать основные идеи и методы теории вероятностей, условия их применения.
Цель курса - помочь студентам усвоить элементы теории вероятностей и методы поиска решений её задач с использованием Excel, дающие возможность оперативно и на современном уровне принимать решения в будущей деятельности студентов как специалистов.
Курс исключает разрыв между математической и компьютерной подготовкой и обеспечивает тесную связь обучения математическим методам с общеинженерной подготовкой специалиста.
применением Microsoft® Excel, а также примечания, поясняющие применение Microsoft® Excel для решения задач.
Наряду с решением задач теории вероятности студенты выполняют лабораторные работы, требующие использовать средства Microsoft® Excel. Усвоение курса позволит будущим специалистам исследовать математические модели, решать задачи в условиях риска и принимать необходимые управленческие решения.
Таким значком в пособии отмечены примеры решения задач с
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.1. Случайные события и их вероятности
Под событием понимают любой факт действительности. Опыт (испытание) - это осуществление определенного набора условий.
Пример. Подбрасывание монеты - опыт, исход (выпадение герба или цифры) - событие.
Здесь и в дальнейшем предполагаем, что падение монеты на ребро не рассматривается, так как это неустойчивое состояние равновесия, а изучаемая монета достаточно тонкая.
Все события (явления) действительности можно подразделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные.
Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдёт в условиях данного опыта.
Событие называется невозможным, если оно в условиях данного опыта заведомо не произойдёт.
Событие называется случайным, если оно может либо произойти, либо не произойти в данном опыте.
Пример. Что после вторника наступит среда - событие достоверное. Вода превратится в лёд при температуре +30 С - событие невозможное.
В четверг пойдёт дождь - событие случайное.
События будем обозначать большими буквами A, B, ... При этом достоверное событие будем обозначать буквой W, а невозможное событие -символом 0 - пустое множество (благоприятствующих событий).
События называются равновозможными, если имеются основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем любое другое из них. Два события называются противоположными, если при наступлении одного из них, второе событие не происходит.
Если событие обозначено A, то противоположное ему обозначают A . Случайные события называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе.
Пример. Выпадение любой цифры при бросании игральной кости -равновозможные несовместные и противоположные события.
Дождь и тучи на небе - совместные события, зима и лето - несовместные события.
Если любое из событий происходит независимо от реализации любой комбинации других событий, то они называются независимыми в совокупности. Если появление одного из событий влияет на возможность появления другого, они называются зависимыми.
Пример. Наличие продуктов в различных, не связанных друг с другом, магазинах - события независимые в совокупности. Стоимость бензина зависит от уровня цен на нефть.
А количество звёзд на небе не зависит от числа наших желаний.
Несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно произойдёт хотя бы одно из них. Если события, образующие полную группу, несовместны, то появление одного и только одного из них является достоверным событием.
Два несовместных события, образующие полную группу событий, являются противоположными.
Пример. Выпадение герба или цифры при подбрасывании монеты образуют полную группу событий.
Совершённые покупки какого-либо предмета из партии распроданного к концу дня товара задают полную группу событий - группу совершённых покупок.
Классическое определение вероятности
Вероятностью P(A) события A называется отношение числа благоприятствующих этому событию случаев m к числу всех возможных случаев, образующих полную группу несовместных равновозможных событий, п:
m
P( A) = . n
Понятие вероятности позволяет дать новые определения для разных видов событий. А именно, событие B называется независимым от события A, если вероятность события B не зависит от того, произошло событие A или не произошло. Событие B называется зависимым от события A, если вероятность события B зависит от того, произошло или не произошло событие A.
Свойства вероятности
Пример. В гардеробе имеется 5 различных галстуков, 8 сорочек и 3 заколки для галстука. Общее число разных вариантов по их использованию в одном комплекте согласно правилу произведения будет равно
m = 5 ¦ 8 ¦ 3 = 120.
Правило произведения часто применяется при подсчёте числа способов использования элементов одного и того же множества, когда элемент множества используется в образуемой подгруппе неоднократно. Например, при составлении номера из цифр. В этом случае элемент множества возвращается после его применения обратно в исходное множество.
Говорят, что осуществляется выборка с возращением. Число способов, которыми можно выполнить к действий, согласно правилу умножения для множеств с одинаковым числом элементов n равно
к
m = n .
Пример. Если при кодировании замков боксов в гаражном кооперативе используются трёхзначные номера из 5 цифр от 0 до 5, то число различных кодов, которые можно составить, равно m = 5 = 125.
Сочетания. Произвольное к-элементное подмножество данного множества из n элементов называется сочетанием из n элементов по к. Порядок элементов в сочетании не существенен.
При составлении сочетания взятый из множества элемент не возвращается в исходное множество. Говорят, что в том опыте осуществляется выборка без возвращения.
Число к-элементных сочетаний множества из n элементов обозначается СЩк и вычисляется по формуле
Ск = n!
n к!(п - к)!,
где n!= 1 ¦ 2 ¦ 3 ¦... ¦ n (читается эн факториал).
Пример. Имеется 3 красные и 4 оранжевые гвоздики.
Букет составляют из 5 цветков. Число различных вариантов составления букета будет равно
7! = 1 ¦ 2 ¦ 3 ¦ 4 ¦ 5 ¦ 6 ¦ 7
5!(7 - 5)! = 1 ¦ 2 ¦ 3 ¦ 4 ¦ 5 ¦ 1 ¦ 2
С7
= 21.
Число сочетаний СП =
n!
можно вычислить с помощью
к!(п - к)!
функции ЧИСЛКОМБ(п, к), которая относится к математическим функциям.
Перестановки. Множество из n элементов называется упорядоченным., если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое натуральное число (номер элемента) от 1 до n так, что различным элементам соответствуют различные числа.
Различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов, то есть могут быть получены из того же самого множества перестановкой местами элементов, называются перестановками этого множества.
Число перестановок множества из n элементов обозначается Pn и вычисляется по формуле
P n!.
n
Пример. Вокруг стола рассаживают 7 человек.
Способов различного распределения их за столом Р7 7!= 5040.
Число перестановок можно вычислить, применяя функции из Excel, двумя способами: либо с помощью математической функции ФАКТР(п), либо используя статистическую функцию ПЕРЕСТ(п; n).
Размещения. Различные упорядоченные к-элементные подмножества множества из n элементов называются размещениями из n элементов по к. Размещения отличаются друг от друга либо элементами, либо их порядком следования.
Число k-элементных размещений множества, состоящего из n элементов, обозначается An и вычисляется по формуле
Ак=_n!_
(n - к)!
Пример. В группе 9 девушек и 11 юношей.
Для представительства этой группе на форуме выбирают 3 человек, которых по присвоенным в процессе выбора порядковым номерам выстраивают в ряд. Различных рядов можно построить
20!
20!
А
А20 _
= 18 - 19 - 20 = 6840.
(20 - 3)! 17!
Число перестановок из n элементов по к (размещения) можно вычислить с помощью статистической функции
n!
Ак = An -
(n - к)!
ПЕРЕСТ(п; к).
Число сочетаний, перестановок и размещений связано формулой
к
Cn =
рк
Задачи
1. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется: а) случайно названное число; б) случайно названное число, цифры которого различны.
2. Монета брошена три раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится изображение герба.
3. В коробке семь одинаковых пронумерованных кубиков. Наудачу извлекают все кубики по очереди.
Найти вероятность того, что номера кубиков появятся в убывающем порядке.
4. В пачке 30 пронумерованных карточек. Наудачу взяли 3 карточки.
Какова вероятность того, что взяли карточки с номерами 12, 24, 30?
5. Среди 25 участников розыгрыша лотереи находятся 10 девушек. Разыгрывается 5 призов.
Вычислить вероятность того, что обладателями двух призов окажутся девушки.
6. В коробке 4 белых и 5 черных футболок. Наугад вытаскивают две футболки.
Найти вероятность того, что одна из футболок белая, другая -черная.
7. В 30 экзаменационных билетах содержатся по три вопроса, которые не повторяются. Студент знает ответы на 45 вопросов.
Какова вероятность того, что доставшийся ему билет состоит из подготовленных им вопросов?
8. Из партии, состоящей из 20 плееров, для проверки произвольно отбирают три плеера. Партия содержит 2 плеера с дефектами.
Какова вероятность того, что в число отобранных плееров попадут только два бракованных плеера?
9. Потребители сдали в ремонт 16 компьютеров. Из них 8 нуждаются в мелком ремонте.
Мастер берет 6 компьютеров. Какова вероятность того, что два из них нуждаются в мелком ремонте?
10. В туристической группе 14 женщин и 9 мужчин.
Среди них разыгрываются 6 билетов на бесплатное посещение театра. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся три женщины и трое мужчин?
11. В ящике лежат 6 чёрных и 6 синих перчаток. Наудачу извлекли 7 перчаток.
Какова вероятность того, что 3 из них синие, а 4 - чёрные?
12. В коробке 12 мячиков, из которых 3 красных, 5 зелёных и 4 жёлтых. Наудачу взяли 3 мячика.
Какова вероятность того, что все три мячика разного цвета?
13. В партии из 12 шкафов при транспортировке 4 получили повреждение.
Наудачу выбрано 6 шкафов. Вычислить вероятность того, что 2 шкафа из них имеют повреждения.
14. В клуб принесли в корзине 9 рыжих и 11 серых котят. Наугад вынимают двух котят.
Какова вероятность того, что они разного цвета?
15. С блюда с 30 пирожками взяли наугад 3. Какова вероятность того, что хоть один пирожок окажется с грибами, если их на блюде лежало шесть.
16. Молодой человек забыл номер своего приятеля, но помнит из него первые 4 цифры.
В телефонном номере 7 цифр. Какова вероятность, что молодой человек дозвонится до своего приятеля, если наберёт номер случайным образом?
17. Сейфовый замок имеет 4 диска с пятью секторами, на каждом из которых записана одна из цифр от 0 до 4 . Какова вероятность открыть замок сейфа, набрав 4 цифры наугад?
18. Владелец лотерейной карточки зачеркивает 6 номеров из 49.
Какова вероятность того, что им будет угадано 5 номеров в очередном тираже?
19. В группе 16 юношей и 14 девушек. Выбирают делегацию из 5 человек.
Какова вероятность того, что при случайном выборе в состав делегации попадут 3 девушки и два юноши?
20. В мешке лежат 25 красных, 19 синих и 16 зелёных шарфов, одинаковых на ощупь.
Наудачу вынимают 9 шарфов. Вычислить вероятность того, что взяли 4 красных, 3 синих и 2 зелёных шарфа.
21. Из полной колоды карт (52 карты) вынимаются наугад сразу три карты.
Найти вероятность того, что этими картами будут: а) тройка, семёрка, дама; б) тройка, семёрка, туз; в) три туза?
22. Трёх стюардесс для рейса выбирают по жребию из 25 девушек, среди которых 5 блондинок, 15 шатенок и 5 брюнеток.
Какова вероятность того, что среди выбранных девушек все будут иметь разный цвет волос?
23. В ящике лежат 15 игрушек, среди которых 4 с дефектами.
Найти вероятность того, что среди 7 наудачу вынутых игрушек одна окажется с дефектом.
24. Среди 17 желающих поехать на модный курорт 10 женщин.
Определить вероятность того, что среди 12 случайным образом купивших путёвки оказались 7 женщин?
25. В непрозрачной шкатулке лежат 7 белых, 6 красных и 9 чёрных бусин. Мастерица берет 5 бусин наугад.
Какова вероятность того, что среди них окажутся 2 чёрных и 1 красная бусины?
26. Из партии, состоящей из 22 пар ботинок, для проверки отбирают 6 пар. Партия содержит 3 бракованные пары.
Какова вероятность того, что в число отобранных ботинок войдёт не более одной бракованной пары?
27. На прилавке лежат 15 дынь, среди которых 3 нестандартные.
Найти вероятность того, что среди четырёх отобранных продавцом дынь будет хотя бы одна нестандартная?
28. Кодовый замок содержит 5 цифр, которыми могут быть числа от 0 до 9. Замок открывается при наборе только одной единственной комбинации из пяти цифр.
Какова вероятность открыть этот замок, набрав случайным образом 5 цифр?
29. К празднику в фирме формируют наборы из 45 шейных платков, 30 булавок для галстука и 25 дезодорантов. Менеджеру нравится только по одному предмету из всего предложенного ассортимента - один платок, одна булавка и один дезодорант.
Какова вероятность того, что случайным образом составленный набор будет содержать все три предмета, понравившиеся менеджеру?
30. Из 5 лётчиков, 7 штурманов и 5 стюардесс необходимо сформировать экипаж, в который должны войти 2 лётчика, 1 штурман и 3 стюардессы.
Сколькими способами это можно сделать?
Контрольные вопросы
1. Какие события называются случайными?
2. Как определяется классическая вероятность?
3. Какие события несовместны?
4. Какие события независимы?
5. Докажите, что если события А и В независимы, то события A и B также независимы.
6. Определите понятие сочетание.
7. Что называется размещением?
8. Как вычислить число перестановок?
9. Запишите формулу произведения и приведите пример ее применения.
10. Дайте определение противоположного события и выведите формулу для его вероятности.
11. Укажите границы применения классической вероятности.
12. В каких пределах изменяется вероятность случайного события?
13. Дайте определение статистической вероятности и приведите примеры.
14. Дайте определение геометрической вероятности и укажите границы её применения.
15. Вероятность какого события равна нулю?
16. Как связаны числа сочетаний, размещений и перестановок?
17. Дайте определение и приведите пример событий, образующих полную группу.
18. Вероятность какого события равна единице?
19. В каких пределах изменяется вероятность случайного события?
20. Какие события называются совместными?
21. Что называется полной группой событий?
22. Чем отличаются противоположные события?
23. Как определить, являются ли данные события зависимыми?
2. Теоремы умножения и сложения вероятностей
Вероятность события B, определённая в предположении, что событие A произошло, называется условной вероятностью события B и обозначается P (B / A) (или PA (B)).
Условие независимости события B от события A определяется равенством
P( B / A) = P( B).
Если событие B зависит от события A, то P(B / A) Ф P(A).
Произведением двух событий называется событие, заключающееся в наступлении и события А, и события В.
Пример. Девочка взяла спелое жёлтое яблоко.
Событие спелое жёлтое является произведением событий спелое и жёлтое.
Теорема (умножения вероятностей). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло:
P( AB ) = P( A) P( B / A).
Следствие 1. Если событие B не зависит от события A, то и событие A не зависит от события B.
Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:
P( AB) = P (A) P( B).
Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причём вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие наступили:
P( A1A2 A3 k Ak-i Ak ) = P( Aj )P(A2 / Ai )P( A3 / Ai A2 ) X ...
X ... - P( Ak / Ai A2 - к - Ak-i) .
Сумма A + B событий A и B - событие, состоящее в том, что или событие A, или событие B имеет место.
Пример. Девочка взяла или жёлтое, или красное яблоко.
Событие яблоко или жёлтое, или красное является суммой событий жёлтое яблоко и красное яблоко.
Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:
P( A + B) = P( A) + P (B) - P( AB).
Следствие 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей:
P (A + B) = P (A) + P( B).
Следствие 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу несовместных событий, равна единице.
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
P (A) + P( A ) = 1.
Задачи
1. В команде из 16 спортсменов 6 являются мастерами спорта. Для выступления на Олимпиаде выбирают 4 спортсменов.
Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены являются мастерами спорта?
2. Экзаменационный билет содержит четыре вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос, равна 0,9; на второй - 0,85; на третий - 0,8; на четвёртый - 0,75.
Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить на три вопроса.
3. Первый стрелок попадает в мишень с вероятностью р, а второй с вероятностью 0,9. Известно, что вероятность одного попадания при одновременном выстреле обоих стрелков равна 0,48. Найти р.
4. Доля костюмов высшего качества в партии составляет 85 %. Какова вероятность того, что из двух наугад взятых костюмов хотя бы один будет высшего качества? А из трёх?
Из четырёх?
5. Каждая из букв Д, Д, Д, М, О, О, О, Л, Л, Е, Я, А написана на одной из 12 карточек. Карточки раскладываются в произвольном порядке.
Найти вероятность того, что при этом образуются слова дело, доля, мода,аллея.
6. Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,9, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1.
Найти вероятность того, что охотник попал в цель.
7. Шкаф состоит из 5 крупных деталей. Вероятности брака при изготовлении каждой детали равны 0,1; 0,05; 0,03; 0,02; 0,04 соответственно.
Какова вероятность того, что изделие будет бракованным, если для этого достаточно наличие в сборке одной бракованной детали.
8. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 150. Какова вероятность того, что выбранное число при делении на 9 даёт в остатке два?
9. Заготовки деталей поступают из двух цехов предприятия: 60 % из первого и 40 % из второго. Заготовки первого цеха содержат 5 % брака, а второго - 3 % . Найти вероятность того, что наугад взятая заготовка будет без дефекта.
10. Два игрока бросают по очереди 3 кости.
Если сумма оказывается равной 9, то выигрывает первый игрок, а если сумма равняется 12, то выигрывает второй игрок. У кого из игроков больше шансов на выигрыш?
11. Загадано число от 1 до 90. Какова вероятность того, что это число не делится ни на 2, ни на 3, ни на 4, ни на 5?
12. Слово радость, составленное из карточек с буквами, рассыпали на отдельные буквы, которые сложили произвольно в коробку. Из коробки берут по одной подряд четыре карточки.
Какова вероятность того, что при этом появится слово а) рост; б) сода; в) оса?
13. В банкомат заложено 100 купюр, номера которых идут подряд. Какова вероятность получить купюру, номер которой оканчивается на 7?
14. Два шахматиста играют в турнире. Один из них выигрывает в среднем три партии из четырёх, а второй - семь партий из восьми.
Какова вероятность у каждого из них выиграть в турнире из 5 партий?
15. Три стрелка производят по одному выстрелу.
Вероятности попадания в цель каждого стрелка равны 0,9; 0,8; 0,85 соответственно. Найти вероятность того, что в цель попадут только два стрелка.
16. Оператор обслуживает 4 агрегата.
Вероятность того, что в течение часа первый агрегат потребует внимания рабочего, равна 0,6; для второго агрегата эта вероятность равна 0,5; для третьего - 0,8; а для четвёртого - 0,65. Найти вероятность того, что в течение часа, по крайней мере, один станок потребует к себе внимания оператора.
17. Гардеробщица выдала номерки 5 лицам, сдавшим в гардероб свои шляпы. После этого она перепутала все шляпы и повесила их наугад.
Найти вероятность того, что каждому из 5 лиц гардеробщица выдаст его собственную шляпу.
18. В комиссии из 5 человек 4 члена принимают независимо друг от друга правильное решение с вероятностью 0,9, а пятый для принятия решения бросает монету.
Окончательное решение принимается большинством голосов. Кто с большей вероятностью принимает правильное решение: комиссия или один человек из комиссии?
19. Из множества 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 наудачу выбрали три числа. Какова вероятность того, что их сумма будет кратна 5?
20. На гранях кубиков написаны числа от 1 до 6. Бросают три кубика.
Какова вероятность того, что: а) сумма на трех кубиках будет чётной; б) выпадет число из одинаковых цифр; в) сумма на кубиках не превысит числа 12?
21. Вероятность попадания в кольцо первого игрока - 0,7, а второго игрока - 0,8. Игроки бросают мяч по два раза независимо друг от друга.
Какова вероятность того, что мяч попадет в кольцо два раза?
22. В одном ящике 6 синих и 11 зелёных шаров, а в другом - 7 синих и 9 зелёных шаров. Из каждого ящика взяли по одному шару.
Какова вероятность того, что один из двух шаров синий?
23. Вероятность безотказной работы блока питания равна 0,9.
Для повышения надёжности устанавливают такой же резервный блок. Определить вероятность безотказной работы устройства, с учётом резервного блока.
24. На 25 одинаковых жетонах нанесены двузначные числа от 25 до 49.
Наугад берут один жетон. Какова вероятность вытащить жетон с номером, кратным 3 или 5?
25. Произведён залп из трёх орудий по мишени. Вероятность поражения мишени первым орудием равна 0,98; вторым - 0,95; третьим - 0,9.
Найти вероятность поражения мишени.
26. Ребёнок играет с четырьмя буквами разрезной азбуки -А, А, К, Ш. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он составит слово каша?
27. Найти вероятность того, что наугад взятое число окажется кратным либо 3, либо 5, либо 15?
28. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наугад, помня только, что эти цифры нечётные и разные.
Найти вероятность того, что номер набран правильно.
29. Из колоды из 32 карт наугад одна за другой вынимают четыре карты.
Найти вероятность того, что в руках окажутся валет, дама, король и туз.
30. На первом этаже девятиэтажного дома в лифт зашли три человека.
Вероятность выхода каждого из лифта на любом этаже одинакова. Найти вероятность того, что все трое вышли на 5 этаже.
Контрольные вопросы
1. Докажите теорему о вероятности суммы двух несовместных событий.
2. Докажите теорему о вероятности суммы двух совместных событий.
3. Докажите теорему о вероятности произведения двух независимых событий.
4. Докажите, что если P(A / B) = P(A / B), то события А и В независимы.
5. Выведите теорему сложения вероятностей для трёх совместных событий.
6. Докажите, что независимые события А и В, имеющие положительные вероятности, совместны.
