Примечания и литература
'Логика стоя. Логика, разработанная представителями стоической школы: Зенон (ок. 336-264 до н.э.), Хрисипп (ок. 281208 до н.э.), Аристон из Хиоса, Посидон (ок.
135-50 до н.э.), поздние представители стоя: Сенека (ок. 4-65 н.э.), Эпиктет (ок. 50-138 н.э.), Марк Аврелий Антоний (121-180 н.э.). Именно они впервые ввели понятие логика.
Логика рассматривалась ими как первая часть философии, после которой шли физика и этика. Целью логики стоики прописали ограждение ума от заблуждений, поиск путей и критериев истины. Предметом логики, по мнению стоиков, являются не только суждение и умозаключение, но и грамматика (слова и предложения).
Стоическая логика состояла из двух разделов: диалектики и риторики. Диалектику делили еще на две части: грамматику и теорию познания. Отсюда вытекало и их определение логики как науки о знаках и о том, что они обозначают.
По мнению стоиков, знак - это правильное условие, которое содержится в первой части условного суждения. Так, в формуле если А, то В А есть знак для В. Стоики полагали, что отношение знаков к обозначаемым ими предметам является сущностью всякого рассуждения.
2Логика Пор-Рояля (франц. Port-Royal). Это название вышедшей в Париже в 1662 г. книги Логика, или Искусство мыслить, авторами которой были члены янсенской религиозной корпорации, существующей в монастыре Пор-Рояль, картезианцы П. Николь (1625-1695) и А. Арно (1612-1694).
Они попытались соединить дедуктивный метод Декарта с методологическими требованиями Б. Паскаля (1623-1662).
Монастырь Пор-Рояль был основан в 1204 г., после перенесен в пригород Парижа, Сент-Жан. Центром янсенизма он стал после 1640 г. Отсюда Белз Паскаль выступил против иезуитского пробабилизма, согласно которому знание является только вероятным, так как истина недостижима. В 1709 г. по приказанию короля монастырь был сожжен.
В указанной книге авторы обращают особое внимание на прикладное значение логики. Она является методологическим пособием для других наук, отсюда определяют ее как искусство правильно прилагать разум к познанию предметов. Цель логики -анализировать деятельность ума, которая состоит в образовании понятий и суждений, в способности умозаключать и руководить рассуждением.
Логика делится на четыре части. В первой излагается учение о понятиях, которые делятся на простые и сложные, общие частные и единичные.
Авторы критикуют аристотелевское учение о десяти категориях за произвольность отбора и за то, что оно подменяет идеи словами. В этом они видят причину и источник логических ошибок: ложные выводы в умозаключениях - это следствие неоднозначного употребления слов в естественном языке. Представители поррояльской логики мечтали о языке, в котором за каждым словом закреплен один смысл.
Вторая часть логики посвящена анализу суждения. Это действие ума, когда связываются различные идеи. Суждение толкуется как сравнение идей о вещах. Все суждения подразделяются на простые и сложные, утвердительные и отрицательные, общие, частные и единичные, истинные, ложные и вероятностные.
Логика поррояля недостатком прежних логических систем считает исследования очень узкого круга суждений, неразработанность выделяющих и исключающих суждений.
Третья часть логики посвящена изложению учения об умозаключениях. Задачу умозаключения они видели в установлении их истинности или ложности.
В четвертой части рассматриваются метод и правила доказательства. Метод определяется как способ расположения мыслей, с помощью которого открывается новая истина. Метод бывает аналитическим и синтетическим.
Аналитический метод (метод решения) авторы поррояльской логики называют методом изобретения. Его назначение - открытие истины. Метод представляют не как правила или законы, а как проницательность и способность ума правильно оценивать предметы окружающего мира. Синтетический метод (метод композиции), который они обозначают еще как теоретический метод, имеет своим назначением передачу уже открытых истин.
Процесс исследования должен строиться от более общего к частному, от рода к виду. Успех доказательства зависит от двух условии: содержание аргументов должно быть верным и форма доказательства не должна иметь погрешностей.
3Дж. Буль (1815-1864). Англ. математик и логик. Основоположник математической логики. Буль предпринимал попытки математической обработки дедуктивной части аристотелевской логики.
Исходной точкой его алгебры выступает аналогия между алгеброй и логикой. Его современная алгебра занималась решением уравнений. Скорее исходя из этого Буль решил, что центральной проблемой логики также должна стать проблема о решении логических уравнений относительно неизвестных терминов.
Решение данной задачи равносильно требованию сводить их к наивозможно более простому виду. По мнению Буля, наиболее общая проблема логики задается следующим образом: дано некоторое уравнение, которое содержит символы x, y, z, w; требуется найти логическое отношение класса, обозначенного через w, к классам, обозначенным через x, y, z. Исходное уравнение Буль сначала решает по правилам элементарной алгебры, а затем полученный результат толкует с помощью вводимых им специальных правил интерпретации.
4Аксиоматический метод. Аксиоматика - это способ построения какой-либо науки или ее раздела, когда из всех истинных утверждений избирается некоторое конечное их подмножество и кладется в основу в качестве исходных аксиом, из которых после, путем логических умозаключений, выводятся все остальные истинные утверждения взятого раздела или в целом данной науки.
Таким образом, первым шагом аксиоматического метода выступает принятие некоторой совокупности первичных терминов, которые не определяются. После на их основе формулируются некоторые аксиомы, которые описывают свойства первичных операций и отношений. А из них логическим путем выводятся теоремы аксиоматической теории.
В рамках математики аксиоматико-дедуктивный метод приобретает известность и популярность, начиная с Евклида, приблизительно в 330-320 гг. до н.э. Евклид в своих Началах в качестве первичных неопределенных терминов взял понятия точка, прямая и плоскость. Это позволило систематизировать совокупность геометрического знания.
После евклидову аксиоматику осовременил Д. Гильберт и исходными сделал термины точка, прямая, плоскость, инцидентно, между и конгруэнтно.
Логическим аналогом применения аксиоматического метода может послужить, к примеру, следующее построение исчисления высказывания. В качестве исходных терминов, символов-связок берутся такие знаки, как: А,В,С..., . Это означает,
что какое бы значение ни вкладывалось в формулы А, В, С, следующие формулы являются аксиомами:
(А^(В^А)
((А^(В^С))^((А^В)^(А^С)))
(1В^ 1А) ^(((1В^ АНВ))
В них в качестве правила вывода взято modus ponens.
После с помощью известных преобразований вводятся все следующие определения:
-(А- -В)= (ААВ)
(-А) ^В)= (А?В)
(А^В) А(В^А) =(А=В)
Считается, что аксиоматический метод облегчает организацию и систематизацию научного знания. Кроме того, он используется в качестве средства отыскивания новых математических закономерностей. Существенными качествами аксиоматического метода являются его непротиворечивость, независимость и часто полнота создаваемой системы аксиом.
5Теория типов Б. Рассела. Данная теория должна была устранить возможность появления парадоксов в теории множеств. В книге Принципы математики, которая вышла в соавторстве с Уайтхедом, Рассел предложил разработанную им теорию типов.
Суть теории: в иерархии типов Рассел установил строго соблюдающееся правило подставки (в классическом виде правило подставки: вместо любой буквы в формуле можно подставить любую формулу всюду, где это буква встречается в данной формуле. К примеру, А^-(В?А) вместо А можно подставить (А?В) и получить: (А?В) ^-[В?(А?В)]. Если формула, в которой производится подставка, истинна, то и полученная формула также будет истинной). С расселовской поправкой же в запись следующей функции А - студент вместо А разрешается подставлять только имена индивидуальных объектов из нулевого типа.
Если подставить объект из более высокого типа, то получится бессмыслица: общество - студент.
6Аксиомы арифметики.
Это те аксиомы, которые лежат в основе теории чисел: аксиомы равенства, Пиано и определяющие функцию сумма х+у.
Аксиомы равенства:
(х=у) ^ (х=^у=^;
Рефлексивность ?х(х=х) (для всех х имеет место, что х равно х);
Симметричность ?х, ?у(х=у ^ у=х) (для всякого х и для всякого у имеет место, что если х равно у, то у равно х);
Транзитивность Vx,VyVz (х=уЛ у=х) ^(х=е).
Аксиомы Пиано:
1 (Sx=0) (неверно, что следующий за х равно нулю).
(Sx=Sy) ^(x=y) (если следующий за х равно следующему за у, то х равно у).
(x=y) ^ (Sx=Sy) (если х равно у, то следующий за х равно следующему за у).
Аксиомы, определяющие функцию сумма х+у.
х+0=х
х+= Sy = S (x+у)
из них выводят:
0+0=0
0+ Sx= S^+х)
?х ^ (х+1=1) (для всех х не имеет место, что х плюс единица равно единице).
?с, ?у (х+у= у+х)
?х, VyVz [(х+у)+ z=x+(у+z)]
Аксиомы, определяющие функции произведения ху:
х-0=0 (х раз нуль равно нулю)
х-Бу=(х-у)+х (х раз следующий за у равно х раз у плюс х).
7Примером может послужить система топологической логики, предложенная Х.А. Весселем:
0, если х=п
Iх =
п, если х п
0, если хп
х ^у =
у, если х у
x, если ху
х?у =
y, если х у
x, если х у
хЛу =
y, если ху
0, если х =у х=у = у, если ух
х, если ух
8Некоторые из 26 наиболее основных правил логического следования, принятых в топологической логике:
- правила следствия для отрицания
x G у f -^х G -^у, что читается так: если отношение между х и у равноистинно, то равноистинно и отношение между не-х и не-у.
х1 Wх2 f ш]('^х1 W^х-), т. е. если х1 менее истинно, чем х2, то не верно, что не-х1 менее истинно, чем не-х2.
- правила следования для дизъюнкции
xi W х2 f (хі ?х]) GX2 хі G х2 f (хі ?х]) Gх2
- правила следования для конъюнкции х1 W х2 f (х1 Ах-) Gх1
хі G х2 f (хі Лх]) Gхl
- правила следования для импликации хі G уі , х- G у- f хі ^ уі Gх2 у-
Xi G Уі, Х2 WУ2 h Хі ^ уі 0X2^ У2 Хі WУі, Х2 G у2 h Хі ^ У2 0X2 ^ У2 - правила следования для равнозначности Хі W Х2 h Хі = Х2 0X2 Хі G Уі, Х2 G У2 h Хі = Уі GX2= У2
9Актуальная бесконечность - это понятие о бесконечной совокупности предметов определенного класса, задание которой завершено и предметы которой представлены одновременно в виде готового, актуально существующего множества. Таковым, к примерУ, является множество действительныХ чисел, которое входит между 0 и і. Оно является бесконечным, несмотря на то, что имеет начало в виде 0 и конец в виде і. Его бесконечность обусловлена тем фактом, что нет конца пересчету его элементов, но оно актУально, так как все числа, вХодящие в него, мыслятся данными одновременно.
і0Необходимо отметить, что интуиционисты принимают несколько отличные от общепринятых записи логических операций: отрицание n (а), конъюнкция К (а, в), импликация j (а, в), дизъюнкция n (а, в) и т. д.
ііРаботы С.А. Крипке: Теорема полноты в модальной логике (І959), Нормальные модальные исчисления высказываний (І963), Ненормальные модальные исчисления высказываний (І965).
1. Асмус В.Ф. Иммануил Кант. М., І973.
2. Аналитическая философия. Избранные тексты. М., І993.
3. Аристотель. Риторика //Античные риторики. М., І978.
4. Бочвар Д.А. К вопросу о парадоксах математической логики и теории множеств // Матем. сб. М., І944. Т. І5.
Вып. 3.
5. Войшвилло Е.К. Релевантная логика.
6. Вригт Г.Х. фон. Логико-философские исследования. М.,і986.
7. Гегель Г. Наука логики // Энциклопедия философских наук. М., І975. Т. і.
8. Гейтинг А. Интуиционизм. М., І965.
9. Гильберт Д, Аккерман В. Основы теоретической логики. М., І947.
10. Гудмен Н. Способы создания миров // Факт, фантазия и предсказание. М., 200і.
С. ІІ6-256.
11. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений.
М., І976.
12. Зиновьев А. Очерки комплексной логики. М., 2000.
13. Ивин А.А. Теория аргументации.
М., 2000.
14. Ивин А.А. Логика.
М., І999.
15. Ивин А.А. Логика норм.
М., І973.
16. Клини С.К. Математическая логика.
М., І973.
17. КондаковН.И. Логический словарь-справочник.
М., І975.
18. Поварнин С.И. Спор. О теории и практике спора.
Пг., І9І8.
19. Рамсей Ф. Философские работы. Томск, 2003.
20. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктич-ных наук. М., І948.
21. Тондл Л. Проблемы семантики. М., і975.
22. ФейсР. Модальная логика.
М., І974.
23. Фреге Г. Мысль: Логическое исследование // Избр. работы. М., І975.
С. 50-75.
24. Черч А. Математика и логика // Математическая логика и ее применение. М., І965.
25. Шрамко Я. Очерки истории возникновения и развития аналитической философии // Логос. 2005. № 2. С. 40-І2.
