Интуиционистская логика
Решетка М называется булевой алгеброй, если она дистрибутивна и каждый элемент а М имеет дополнение не-а, так что (а П^а) U (в=в),
(а U1а) П (в=в).
Интуиционизм - это направление логики, которое в интуиции усматривает основание математики и формальной логики. Оно возникло в начале ХХ в., когда теория множеств оказалась в полосе кризиса в связи с обнаружением парадоксов, и, следовательно, формировалось на базе отрицания принципа двузначности логики. Оно утверждает, что помимо истины и лжи суждения могут иметь и другие значения.
Интуиционистская логика оформляется в 1930 г. в работах А. Гейтинга в виде исчисления, однако основанием для нее послужила суровая критика классической логики Л. Брауэром (1881-1961), который и был систематизатором интуиционистской логики. Своим идейным предшественником интуиционисты считают Анри Пуанкаре (1854-1912).
Изначально интуиция (как созерцание пристальное и внимательное) и разум с ее помощью строят натуральные числа и все множества натуральных и действительных чисел. Никаких других математических объектов, кроме построенных человеком интуитивно, чистым мышлением, не существует. Причем все эти объекты постоянно пребывают в процессе роста и практически не предполагают существование совершенного объекта.
Интуиционизм отказался от канторовсого понимания бесконечности как актуальной бесконечности и заменил ее понятием потенциальной, становящейся бесконечности, причем один из первых парадоксов - парадокс, возникший в связи с определением понятия мощности.
Голландский математик Л. Брауэр подвергает критике неограниченную приложимость в математических рассуждениях классических законов исключенного третьего, снятие двойного отрицания ("если неверно, что не-а, то а") и косвенного доказательства (сведение к абсурду: математический объект существует, если предположение о его несуществовании приводит к противоречию).
В 1930 г. ученик Брауэра А. Гейтинг публикует работу, в которой излагается систематизированная теория интуиционистской логики. В ней отрицаются все законы классической логики, которые используются для доказательства существования не вы-
числяемых и не предъявляемых предметов. В этой связи в интуиционистской логике не работают не только законы исключенного третьего, сведение к абсурду, снятие двойного отрицания, но и отрицание этих законов также не может иметь место.
Причину появления парадоксов интуиционисты увидели в том, что существующая теория множеств исходит из понятия актуальной (т. е. завершенной) бесконечности, а адепты этой теории переносят принцип конечных множеств на область бесконечных множеств.
Интуиционисты предложили исходить из абстракции потенциальной, или становящейся, бесконечности. В прежней теории множеств (канторовской) объект считался существующим в том случае, когда он не содержал логического противоречия. Интуи-ционисты предложили объект считать существующим, если известен метод его конструирования, построения.
Однако это возможно за счет отказа от универсальности закона исключенного третьего. Как показала практика, это не решило проблему парадокса.
Если в аксиоматической теории множеств Кантора объект считается существующим в том случае, когда он не содержит формально-логического противоречия и его введение в теорию не приводит к противоречию, то в интуиционистской математике существующим признается только такой объект, который дан непосредственно или который можно сконструировать. Отсюда существовать - значит быть построенным (А. Гейтинг).
Если математический объект не построен с помощью умственного процесса, можно считать, что он не существует. Следовательно, существование - это мир мыслительных процессов, которые можно построить в неограниченную последовательность шагов неопределенного повторения элементарных математических актов. Вся математика - это математические конструкции, а не устное или письменное изложение. Интуиция не зависит от языка. Язык нужен лишь для того, чтобы сообщить результаты интуитивной мыслительной деятельности.
Исходя из всего этого, интуициони-сты утверждают, что в математике и логике невозможно применение понятия актуальной бесконечности9.
Любое бесконечное множество лишь потенциально, его нельзя рассматривать как что-то готовое и законченное. Оно бесконечно лишь в том смысле, что его элементы можно продолжать неограниченно конструировать. А поскольку в операциях, включающих в себя бесконечные совокупности, которые находятся в процесс роста, нельзя решить, какова будет последующая альтернатива, то в таких операциях невозможно использовать закон исключенного третьего.
Таким образом, интуиционисты не отрицают применение данного закона к конечным множествам. Отсюда в качестве основы интуиционистской логики выступает признание неправомерности переноса некоторых фундаментальных логических принципов, применимых в рассуждениях о конечных множествах, на область бесконечных множеств. Брауэр считает, что если математика как наука берет начало не из рациональных рассуждений, а из интуиции, то с точки зрения фундаментальной математической интуиции некоторые принципы логики ошибочны. К примеру, закон исключенного третьего утверждает, что истинным является либо утверждение, либо его отрицание. В таком категорическом виде закон может находить свое полное применение и оправдание лишь в конечных множествах, так как допускает возможность проверки включенных в нем элементов, тогда как в бесконечных множествах принципиально отсутствует возможность проверки всех входящих объектов.
Несмотря на это, действие закона распространяется и на них. В этом случае доказательство существования становится фиктивным, утверждается существующее нечто, но оно не предъявляется.
Немецкий математик Г. Вейл пояснял, если рассматривать конечный набор чисел и доказывать, что не все они четные, то по закону исключенного третьего следует: по крайней мере одно из них нечетное и существование в данном множестве такого числа подтверждается его предъявлением. Если же рассматриваемое множество бесконечно, то сделать заключение о существовании хотя бы одного нечетного среди них нельзя в связи с отсутствием возможности проверить это. Вейл утверждает, что в таком случае закон исключенного третьего остается вне сферы применения человеческой логики, им могло бы воспользоваться только всемогущее и всезнающее существо, которое способно единым взглядом обозреть бесконечную последовательность натуральных чисел.
Кроме потенциальной бесконечности интуиционистская логика использует абстракцию отождествления, когда мысленно отвлекаются от несходных свойств предметов и вычленяют только их общие свойства.
Далее интуиционисты по-другому толкуют смысл пропозициональных связок.
А Импликация считается истинной, если существует метод, посредством которого из доказательства для А можно выводить доказательство для В. К примеру, в случае -Эх -А(х) ?А (х) не существует такой метод, который при наличии доказательства истинности -Эх -А(х) позволил бы нам получить интуиционистское доказательство истинности ?А (х), т. е. построить соответствующее число п, так как математик с позиции классической логики часто получает доказательство экзистенциального утверждения ?А (х), обосновывая сначала предположение -Эх -А(х). Далее он использует тавтологию -Эх -А(х) ?А (х). Применяя modus ponens, он получает ?А (х).
Интуиционист не принимает такого метода, так как в нем не содержится метода для построения такого числа п, что имеет место А (п).
В интерпретации А.А. Маркова импликацию можно утверждать тогда и только тогда, когда мы располагаем таким построением, которое, будучи объединенным с любым построением, требуемым высказыванием А, дает построение, требуемое высказыванием В.
А Дизъюнкция является истинной, если истинно хотя бы одно из предложений и при этом существует способ, позволяющий распознать среди них истинное суждений. Однако если встречается дизъюнкция (А?^А) , которая в классической логике является тавтологией (т. е. тождественно-истинной формулой), принимающей значение истины при всех значениях истинности входящих в нее переменных, то интуитивист в результате своего понимания истинности дизъюнкции не принимает эту тавтологию, так как нет общего метода распознавания по данному суждению А, истинно А или -А. Другими словами, отвергается применимость закона исключенного третьего для бесконечных множеств.
Интуиционист здесь рассуждает так. Допустим, что некоторому элементу бесконечного множества присуще свойство А.
Доказать, что истинное суждение "всем элементам данного множества присуще свойства А" или "ни одному элементу данного множества не присуще свойства А" невозможно, так как ряд этих элементов потенциально бесконечен, отсюда проверить все альтернативы не представляется возможным.
А Конъюнкция (АЛВ) истинна только тогда, когда можно утверждать, что как А, так и В истинны. Отрицание -А высказывания А можно утверждать лишь в том случае, если имеется построение, приводящее к противоречию из предположения о том, что построение, требуемое высказыванием А, выполнено.
Интуиционистская логика не принимает закона двойного отрицания, или снятия отрицания: -^^А^А. Однако правило так называемого навешивания двойного отрицания (правила, по которому от формулы А можно переходить к формуле цА) интуи-ционисты признают.
Что касается законов тождества и противоречия, интуиционисты признают их в неограниченном смысле.
Таким образом, интуиционисты исследуют конструктивные объекты, т. е. те, существование которых считается доказанным только тогда, когда указывается способ их построения, конструи-рования10.
Аксиомы интуитивистской логики:
А(В-А) А(А?В)
[А-(В-С)]-[(А-В)-(А В(А?В)
-С)] (А-С)-[(В-С)-((А ?В)
А(В-(АЛВ)) С)]
(АЛВ) -А (а-В)-[(А--В)-(-А)]
(АЛВ) В (-А) (А-В)
Аі-а
Такие формулы ими не принимаются:
АЛ -А
--АА
((А-В)- -АЛВ))
- (АЛВ) -(-А ?-В)
(-А-В) -(-В-А)
Против принципа двузначности логики выступает еще одно направление логики ХХ в., утверждающее необходимость многозначных систем, которые допускают утверждения неопределенного типа. Многозначным называют совокупность логических систем, которые базируются на принципе многозначности и применяют такие значения, как "неопределенно", "бессмысленно", "возможно" и т. д. Кроме того, в зависимости от множества истинностных значений различают конечнозначные и бесконечнозначные логики.
(-,А^-,В) -(В^А)
(((А^В)^А) ^ А)
Советский логик А.Н. Колмогоров высоко оценивал позитивную сторону интуиционистской логики и говорил, что она упорядочивает и обобщает те приемы, которые употребляют математики любого направления, когда сводят решения одних конструктивных проблем к решению других. Кроме А. Колмогорова, с выводами интуиционистской логики соглашались В. А Гливенко и А.А.
Марков. В результате переосмысления интуиционистской логики формируется конструктивная логика.
Многозначная логика - это совокупность логических исчислений (исчислений высказывания и предикатов), в которых высказываниям может приписываться более двух истинных значений.
Данное направление логики наряду с "А" и "не-А" допускает "неизвестно А или не-А" и соответственно три логических значения: истина, ложно, неизвестно. Отсюда закон исключенного третьего исключается и появляется закон исключенного четвертого: А? - А V А.
Первая система трехзначной логики разрабатывается в 1920 г. польским логиком Яном Лукасевичем (1878-1956). В качестве третьего значения он вводит значение, выражаемое термином "возможно", или "нейтрально". В дальнейшем появляются трехзначные системы Д.А.
Бочвара, который обозначил третье значение как "бессмыслицу", и система С. Клини, который в качестве обозначения третьего значения истинности предлагает слова: "неизвестно", "несущественно", "неизвестно, истинно или ложно".
Исчисления Клини-Бочвара советский логик В. А. Шестаков расширил до функционально полного трехзначного исчисления высказываний с помощью функции Вебба. Оно определяется сложной таблицей и особой символикой. В трехзначном исчислении Шестакова слабая дизъюнкция имеет следующие значения: она верна, когда верна Р, каково бы ни было Q, или когда верна Q, каково бы ни было значение Р. Она ложна, если ложно Р и ложно Q. Она определена только в указанных случаях и не определена в остальных.
Сильная дизъюнкция верна, когда верно Р и верно Q. Она ложна, когда ложно по крайней мере одно из них, каково бы ни
было в это время значение другого из них, и она определена в этих случаях и не определена в остальных.
Сильная импликация имеет следующее значение истинности: она верна, если Q верно (каково бы ни было значение Р) или Р ложно (каково бы ни было значение Q). Она ложна, если Р верно, а Q ложно. Она определена только в этих случаях.
Сильная эквивалентность верна, тогда высказывания Р и Q имеют одинаковые логические значения, и ложна, когда имеют различные логические значения.
Операции, которые Шестаков рассматривает как слабые, читаются следующим образом:
(Р) - Р, если только Р
РШ - ни Р, ни Q (нужно поставить точку под стрелочкой)
Р U Q - Р или Q Р П Q - Р и Q
Р ^ Q - если Р, то Q.
Двойная арифметическая интерпретация трехзначного исчисления Шестакова используется для моделирования этого исчисления посредством релейно-контактных схем.
На основе трехзначной логики Лукасевич построил систему модальной логики. В ней исследуются операции с высказываниями, которые выражают значения "возможности", "невозможности", "неопределенно" и т. д. Через 34 года Лукасевич разрабатывает систему четырехзначной логики, а следом - бесконечнозначную. Сегодня логики строят множества n-значных систем, в которых высказываниям приписывают любое конечное и даже бесконечное множество значений истинности.
Итак, первые системы многозначной логики появляются в 1921 г., их авторами стали польский логик Я. Лукасевич и американец Э. Пост. С тех пор появилось огромное множество таких логик. Я. Лукасевич предложил трехзначную логику, добавляя уже к известным значениям (истина, ложь) значение "неопределенности", "неизвестности" или "возможности".
Таким образом, по мнению Лукасевича, суждения должны делиться на истинные, ложные и парадоксальные. Последний термин используется в качестве логического значения таких высказываний, из допущения истинности которых вытекает их ложность, а из допущения ложности - истинность, к примеру, "данное утверждение ложно", "данное утверждение истинно".
Как уже было отмечено, промежуточное значение можно толковать и как понятие "бессмысленно". К таковым относятся суждения: "луна умножает четырехугольно", "Наполеон - наибольшее натуральное число" и т. д. Принимая в основном принципы и законы классической логики, трехзначная логика отрицала ряд принципиальных положений. По мнению же Э. Поста, если допустить, что 1 означает истину, а 0 - ложь, то можно допустить значение между ними. Число между ними явно обозначает какую-то уменьшающуюся к нулю и увеличивающуюся к единице степень истины. Справедливость рассуждений очевидна.
Однако если от формальной и механистической конструкции перейти на смысловую и логически определенную, то чтойность суждения, которое оказывается между ложью и истиной, практически не определяется. Кроме того, терминологическая игра часто выглядит как интерпретация известных логических значений. Получается много шума из ничего. Доказать, что трехзначная логика сообщает человеку нечто принципиально новое о мышлении, не удается.
Проблема содержательно ясной интерпретации многозначной системы является открытой. Отсюда статус интеллектуального упражнения - самый подходящий для трехзначных логических систем.
Такая многозначная интерпретация многозначных систем исключает возможность четко определенного отношения к ним и рождает сомнения в их исключительной ценности. Можно построить многозначную логическую систему, в которой не работают любые заранее заданные законы двузначной логики. Логику, как способ организации мысли, нельзя сводить к какой-либо единственной системе значений.
Число допустимых значений зависит от построений отдельных логических систем, которые формируются в соответствии с логической проблемой.
Сегодня многозначная логика находит применение при решении парадоксов классической математической логики, в квантовой механике, в теории релейно-контактных схем. Однако применение многозначной логики, введение таких истинностных значений, как возможно, необходимо, вероятно и т. д., не избавляет от установления истинности или ложности проблемы. Это всего лишь движение по направлению к истине.
