Некоторые специальные типы нечетких отношений
Пусть п2 - отношение, заданное ( 2.5). Это отношение транзитивно, т.к.
| п22 с п2 | |||||||||||||||||||||||||
|
| о |
|
| 0,7 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0,8 | 1 | 0,6 | 0,6 | 1 |
| 0 | 0 | 0,5 | 0,5 | 0 |
| 0 | 0 | 0,2 | 0,4 | 0 |
| 0,8 | 1 | 0,6 | 0,6 | 1 |
| Теперь подсчитаем, R2 ?R1 ( 2.6): | |||||||||||||||||||||||||
|
| 0,7 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0,8 | 1 | 0,6 | 0,6 | 1 |
| 0 | 0 | 0,5 | 0,5 | 0 |
| 0 | 0 | 0,2 | 0,4 | 0 |
| 0,8 | 1 | 0,6 | 0,6 | 1 |
| 0,8 | 0,9 | 0,6 | 0,6 | 0,9 |
| 0,7 | 0,7 | 0,6 | 0,6 | 0,7 |
| 0,8 | 1 | 0,6 | 0,6 | 1 |
| 0,8 | 1 | 0,8 | 0,6 | 1 |
| 0,8 | 0,9 | 0,6 | 0,6 | 0,9 |
| и (R Ri)2 (2.7): | |||||||||||||||||||||||||
|
| 0,8 | 0,9 | 0,6 | 0,6 | 0,9 |
| 0,7 | 0,7 | 0,6 | 0,6 | 0,7 |
| 0,8 | 1 | 0,6 | 0,6 | 1 |
| 0,8 | 1 | 0,6 | 0,6 | 1 |
| 0,8 | 0,9 | 0,6 | 0,6 | 0,9 |
| 0,8 | 0,9 | 0,6 | 0,6 | 0,9 |
| 0,7 | 0,7 | 0,6 | 0,6 | 0,7 |
| 0,8 | 0,9 | 0,6 | 0,6 | 0,8 |
| 0,8 | 0,9 | 0,6 | 0,6 | 0,9 |
| 0,8 | 0,9 | 0,6 | 0,6 | 0,9 |
| 0,7 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0,8 | 1 | 0,6 | 0,6 | 1 |
| 0 | 0 | 0,5 | 0,5 | 0 |
| 0 | 0 | 0,2 | 0,4 | 0 |
| 0,8 | 1 | 0,6 | 0,6 | 1 |
| Сравнивая ( 2.6) и ( 2.7), получаем, что (R2 о R1)2 Z R2 о R1. Это доказывает транзитивность R2 о R1 Теперь подсчитаем, R1 oR2 ( 2.8): |
|||||||||||||||||||||||||
|
| 0,5 | 0,7 | 0 | 0 | 0,5 |
| 0,7 | 0,9 | 0,4 | 0,6 | 0,5 |
| 0 | 0,5 | 0,4 | 0,5 | 0 |
| 0 | 0,4 | 0,4 | 0,4 | 0 |
| 0,7 | 0,9 | о,4 | 0,6 | 0,5 |
| u (Ri 0K2)2 ('2.9;.- | |||||||||||||||||||||||||
|
| 0,5 | 0,7 | 0 | 0 | 0,5 |
| 0,7 | 0,9 | 0,4 | 0,6 | 0.5 |
| 0 | 0,5 | 0,4 | 0,5 | 0 |
| 0 | 0,4 | 0,4 | 0,4 | 0 |
| 0,7 | 0,9 | о,4 | 0,6 | 0,5 |
| 0,7 | 0,7 | 0,4 | 0,6 | 0,5 |
| 0,7 | 0,9 | 0,4 | 0,6 | 0,5 |
| 0,5 | 0,5 | 0,4 | 0,5 | 0,5 |
| 0,4 | 0,4 | о,4 | 0,4 | 0,4 |
| 0,7 | 0,9 | о,4 | 0,6 | 0,5 |
Таким образом,, ком,позиция, двух транзитивных отношений не всегда, дает транзитивное отношение.
Некоторые специальные типы нечетких отношений
Нечеткие отношения порядка
Транзитивное и рефлексивное нечеткое бинарное отношение называется нечетким отношением предпорядка.
Для нечетких отношений предпорядка справедлива следующая Теорема 1 Если R - предпорядок, то Rk = R, Vk (k = 1,2, 3,...).
Доказательство. Согласно определению (max-min) - композиции
Pr(x,z) = max[min(pn(x,y), pn(y,z))]. (2.10)
y
При y = x и у = z правая часть ( 2.10) содержит два равных члена min(pR(x, x), pR(x, z)) и min(pR(x,z), pR(z, z)), которые равны pR(x,z), поскольку в силу рефлексивности
R
pn(x,x) = Hn(z,z) = 1.
Таким образом,
Pr?(x,z) pn(x,z). (2.11)
С другой стороны, по определению рефлексивности
In(x,z) max[min(in(x,y), уn(y,z))]. (2.12)
y
Сравнивая ( 2.10),( 2.11) и ( 2.12) и обозначая через т(x,y) выражение maxy[min(iR(x,y), yR(y,z))], мы можем написать:
Т(x, y) = /1r2 (x, z) цп(х, z) т(x, y).
Данное соотношение возможно только при замене и на =. Таким образом, получаем, что R2 = R. Согласно шіределению, Rk = RoRk-1. Поэтому из равенства R2 = R получаем утверждение теоремы.
Теорема доказана.
Как следствие из данной теоремы, получаем, что, если R - предпорядок, то R = R
Нечеткое бинарное отношение называется антисимметричным, если W(x,y) G U х U : x = y
in(x,y) = Hn(y,x) или Hn(x,y) = Hn(y,x) = 0.
Нечеткое бинарное отношение называется совершенно антисимметричным, если y(x,y) G U х U : x = y fin(x,y) 0 ^ Hn(y,x) = 0.
Из определений непосредственно следует, что любое совершенное антисимметричное отношение будет и антисимметричным отношением.
Антисимметричное нечеткое отношение предпорядка называется нечетким отношением порядка.
В различных работах по нечетким отношениям вводятся понятия нечеткого отношения полного порядка, частичного порядка, совершенного порядка и т.п. Оказывается, что эти отношения индуцируют соответствующие порядки в универсуме U. В рамках этих работ изучаются классические для отношений порядка понятия: наибольший и наименьший элементы, верхний и нижний пределы, максимальная цепь и
т.п. Это довольно большой и очень интересный раздел теории нечетких отношений.
Однако, даже для ознакомления с ним необходимо достаточно подробное ознакомление с обычными отношениями порядка. Объем курса, к сожалению, не позволяет провести такой экскурс, поэтому остановимся на других свойствах нечетких бинарных отношений.
Мы рассмотрим более подробно отношение подобия и связанные с ним отношения различия, сходства и их свойства. Эти отношения интересны для нас тем, что они имеют интересные приложения в задачах обработки информации, демонстрирующие новые возможности такой обработки, предоставляемые введением и учетом нечеткости.
Отношение подобия
Нечетким отношением подобия называется транзитивное рефлексивное симметричное нечеткое бинарное отношение.
Очевидно, что отношение подобия является предпорядком.
Пример 10 Для любого a : 0 a 1 нечеткое бинарное отношение ( 2.13) является отношением подобия
| 1 | а | а | а | а |
| а | 1 | а | а | а |
| а | а | 1 | а | а |
| а | а | а | 1 | а |
| а | а | а | а | 1 |
Итак, пусть R - отношение подобия, определенное на И х U. Теперь рассмотрим его дополнение в U х U, т.е. отношение R, определяемое функцией принадлежности бпія, У) = 1 6n(x, У) y(x, У) G U х и-
Достаточно очевидно, что отношение R является симметричным и антирефлек-сивным (т.е. щц(x, у) = 0 y(x, y) G Uх U ). Из (max min) -транзитивности R следует, что
1 6n(x,z) maxmin[(1 ^R(x,y)),(1 6n(y,z))} (2-14)
y
Из теоремы Де-Моргана RH L = RU L непосредственно следует, что
min[(1 Уп(х,У)),(1 6n(y,z))} = 1 max\PR(x,y),yR(y,z)}-Таким образом, ( 2.14) можно переписать следующим образом:
1 6n(x,z) max[1 max(6n(x,y),yn(y,z))] y
или, что то же самое,
6n(x,z) min max(p-R(x,y), PR(y,z)). (2.15)
y
Последнее выражение определяет (min-max) - транзитивность.
Нечеткое бинарное отношение, обладающее свойствами антирефлексивности, симметричности и (min-max) - транзитивности называется отношением различия. Справедливо следующее
Утверждение 15 Отношение различия R определяет метрику в U следующим образом,:
d(x, y) = hk(x, у), x G U, y G U. (2.16)
Доказательство. Проверим аксиомы расстояния для ( 2.16).
1. d(x, y) 0 ^x, y G U - очевидно.
2. d(x,x) = 0 yx G U - следствие антирефлексивности отношения различия R.
3. d(x,y) = d(y, x) - следствие симметричности отношения различия R.
4. d(x,y) * d(y,z) d(x, z) - следствие ( 2.15) при определении операции * как (тіи-тах)-транзитивности.
Утверждение доказано.
Будем называть расстояние ( 2.16) (min-max) - расстоянием в U.
Если R - отношение подобия, то, очевидно, (min-max) - расстоянием будет
d(x,y) = 1 - yn{x,y).
Итак, имея (построив) отношение подобия, мы можем ввести функцию расстояния на элементах универсального множества. Однако, требование транзитивности часто является слишком ’’жестким": реальные результаты экспертных опросов часто не транзитивны [25]. В этой ситуации мы должны либо ’’заставлять" экспертов давать транзитивные ответы, либо предложить процедуру вычисления расстояния для отношений без транзитивности.
Последнее возможно, и базовую роль в такой процедуре играет понятие транзитивного замыкания.
Рефлексивное и симметричное отношение называется отношением сходства. Достаточно очевидно, что, если R - отношение сходства, то RoR, где "о" - (тах-тіп) - композиция, также является отношением сходства, т.е. (max-min) - композиция сохраняет рефлексивность и симметричность.
В таком случае, если R - отношение сходства, то R - отношение подобия. В таком случае (min-max) - расстояние, порожденное R, можно определить следующим образом:
dn(x,y) = 1 - Уп(x,y)-
Итак, теперь мы можем, имея минимальные ограничения на ответы экспертов, вводить достаточно корректно и естественно расстояние между различными порой довольно экзотическими понятиями. Например, имея оценки сходства людей различных национальностей, ’’вычислять" расстояния между национальностями.
Для большого класса задач анализа информации, в частности, проблем распознавания образов и кластер-анализа, большое значение имеет следующая теорема.
Теорема 2 Пусть R - отношение подо бия в U х U. Тогда
R = max а х Ra, 0 а 1,
а
где Ra - отношения эквивалентности в смысле обычной теории множеств.
Доказательство. Докажем, что Ra есть отношение эквивалентности, т.е. является рефлексивным, симметричным и транзитивным.
1. Так как R - отношение подобия, то yR(x,x) = 1, и, следовательно, (x,x) ? Ra Vx ? U, У а ? [0,1]. Таким образом, Ra рефлексив но У а ? [0,1].
2. Пусть (x,y) ? Ra, а ? [0,1]. Докажем, что (y,x) ? Ra. Если (x,y) ? Ra, то
(x,y) а и, в силу симметричности R, yR(y,x) а. Из последнего неравенства
непосредственно следует, что (y,x) ? Ra. Таким образом, Ra симметрич но У а ? [0,1].
3. Пусть (x,y) ? Ra, (y,z) ? Ra, а ? [0,1]. Докажем, что (x,z) ? Ra. Если
(x,y) ? Ra, то yR(x,y) а аналогично yR(y,z) а. В силу транзитивности R,
(x,z) а. Из последнего неравенства непосредственно следует, что (x,z) ? Ra. Таким образом, Ra транзитив но У а ? [0,1].
Поскольку Ra рефлексивно, симметрично и транзитивно, то Ra - отношение эквивалентности.
Т?Ор?МсІ Доказана.
Данная теорема имеет интересные приложения в распознавании образов и кластеризации нечетко определенной информации. Проиллюстрируем это на следующем примере.
Пример 11 Пусть U = {A,B,C,D,E} R - отношение сходства, заданное ( 2.17).
| А | В | С | D | Е | |
| А | 1 | 0,8 | 0,7 | 1 | 0,9 |
| В | 0,8 | 1 | 0,7 | 0,8 | 0,8 |
| С | 0,7 | 0,7 | 1 | 0,7 | 0,7 |
| D | 1 | 0,8 | 0,7 | 1 | 0,9 |
| Е | 0,9 | 0,8 | 0,7 | 0,9 | 1 |
| 0, 7 х |
|
| 0, 8 х |
|
| ; 0, 9 х |
|
| , 1, 0 х |
|
|
maxn |
|
|||||||||||||||
| Таким образом, мы можем использовать данный аппарат для решения различных задач ’’вскрытия" внутренней структуры довольно сложных объектов. Например, мы можем построить отношение сходства между политиками (причем, на довольно объективных основаниях - например, по результатам голосования по различным вопросам). После этого мы можем построить систему классов для возможных а - уровней. Эти классы будут описывать возможные коалиции и блоки, которые могут возникнуть при том или ином развитии политического процесса. |
Теорема 3 Пусть Rai (1 i n) - обычные отношения эквивалентности; 0 ... ап 1; Rai С Rai-1. Тогда отношение
R = max а х Ra, 0 а 1,
а
есть отношение подобия.
Доказательство. Докажем, что при выполнении условий теоремы отношение R будет действительно отношением подобия, т.е. обладать свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
1. Так как R1 = 0, то (x,x) G R1, и, следовательно,
Hn(x, х) = 1 Ух G U.
2. Симметричность R вытекает из симметричности каждого Ra.
3. Пусть yR(x,y) = a, yR(y,z) = b. Обозначим через с min(a,b). Тогда
(x,y) Е Rc, (y,z) G Rc-
В силу транзитивности ^получаем, что (x,z) G Rc.
Следовательно,
Hn(x,z) max[min{yn(x,y), yn(y,z)}} Vx,y,z G U. y
Теорема доказана.
Элементы теории приближенных рассуждений
Системы нечеткого логического вывода играют важную роль в многочисленных приложениях теории нечетких множеств, таких как нечеткие экспертные системы, нечеткие контроллеры и многие другие [51], [29]. В основе таких систем лежат логические правила вида ’’Если ..то ..в которых посылки и выводы являются нечеткими понятиями.
Такого рода приближенные рассуждения лежат в основе способности человека понимать естественный язык, распознавать сложные образы (например, почерк), принимать решения в сложной и не полностью определенной среде.
Теория приближенных рассуждений базируется на теории возможностей и для ее полного описания необходимо введение большого числа дополнительных понятий, поэтому мы проведем лишь краткий анализ методов приближенных рассуждений.
Приближенные рассуждения на основе modus ponens
Напомним правило вывода modus ponens в обычной логике. Это правило можно записать следующим образом:
Посылка 1: если х есть А, то у есть B Посылка, 2: х есть А Следствие: у есть B,
где хи у - имена объектов, А, B - обозначения понятий областей рассуждения U и V соответственно. Можно привести следующий пример такого типа вывода.
Пример 12 правила вы,вода modus ponens в обычной логике.
Посылка 1: если слива красная, то слива, спелая Посылка, 2: эта слива красная,
Следствие: эта, слива, спелая
Обобщение данного правила на случай, когда посылки являются нечеткими понятиями было предложено в работе [116] и развито в работах [113], [114], [82], [79], [74]. Общую схему этого вывода можно записать следующим образом:
Посылка 1: если х есть А, то у есть B
Посылка, 2: х есть А (3.1)
Следствие: у есть B
где хи у - имена объектов, А, А, B, B - обозначения нечетких подмножеств областей рассуждения U,U,V и V соответственно. Можно привести следующий пример такого типа вывода.
Пример 13 правила вы,вода modus ponens в нечеткой логике.
Посылка 1: если слива красная, то слива, спелая Посылка, 2: эта слива очень красная,
Следствие: эта, слива, очень спелая
Данная форма нечеткого вывода может быть рассмотрена как обобщение modus ponens. Действительно, мы получаем обычный modus ponens при А = А и B' = B.
Посылка 1 в виде если х есть А, то у есть B представляет некоторое соответствие между А и B. В литературе приводится много отношений, которые могут быть формализацией такого рода соответствия. Приведем некоторые из них.
Пусть А и B - нечеткие множества в универсальных множествах U и V с функциями принадлежности ул(и) и ув (v) соответствен но; декартово произ
ведение, объединение, пересечение, дополнение и ограниченная сумма для нечетких множеств.
В [116] предлагаются следующие нечеткие отношения, которые могут служить формализацией нечеткого условного высказывания ’’Если х есть А, то у есть B ".
Rm = (А x B) U (А x V) = (3-2)
= max [min (у л (и), у в (v)), 1 - ул(и)] ,
Ra = (А x V) 0 (U x B)= (3.3)
= min [ул(и),ув(v)].
Позже в были предложены и проанализированы следующие такие отношения:
(3.4)
Rs = а x V U x B = ул(и) ув(v),
гд?
1 при ул(и) ув(v), О при ул(и) ув(v);
ул(и)
ув (v)
(3.5)
(3.6)
Rg = А x V =^ U x B = у л (и) -U ув (v),
AxV U х -пБ
гд?
1 при yA(u) уБ(?),
уБ (?) при у а (и) уБ (?);
Уб (?)
^a(u)
(3.7)
sg
(3.8)
Уа(п) Уб(?), (і - ^a(u)) (1 - Уб(?))
min
gg
Ax V =к U хБ\п[^Ах? =к U х -.Б
(3.9)
Уа(u) Уб(?), (і - Уа(п)) (1 - Уб(?))
min
А X V U х Б) П{А х V =^ U хБ) = g
gs
УА(и) Уб(?), (і - Уа(п)) (1 - Уб(?)) ; (3.10)
min
TZs
AxV =^ U х Б) П (-Ах V =^ U х -.Б
min
У а (и) Уб (?), (і - Уа (u)) (1 - Уб (?)) . (3.11)
Следствие Б' в обобщенном modus ponens ( 3.1) получается получается из посылки 1 и посылки 2 как max - min - композиция (раздел 2.2) нечеткого множества А' и нечеткого отношения, полученного в одном из правил ( 3.2) - ( 3.11). Таким образом, применяя разные формализации нечеткого условного высказывания ’’Если х есть А, то у есть Б" мы получаем из одной посылки А, вообще говоря, разные
Бі
- А [(А х Б) U (А х V)],
А' [(А х V) ф (U х Б)],
А' Rm
А' Па -
А Rs
А! Rg
(3.12)
(3.13)
(3.14)
(3.15)
А'о
Б'
AxV
А'о
AxV
Ax V A U x BWl^AxV A U x -iB
A'o
(3-17)
(3.18)
(3.19)
B'gg A' oRgg
V A UxB)n(^AxV A U x -.В
B^s A o Rgs
A'о
V A U x B)C\(^AxV ^ U x -iB
BSs A' oRss
A' о AxV A UxBlnHAxV ^ Ux^B
Какой из этих выводов ’’лучше"? Как часто бывает в теории нечетких множеств, мы имеем целый спектр вполне корректных обобщений конкретного математического факта или теории.
Выбор конкретного такого обобщения для решения конкретной прикладной задачи зависит от свойств предметной области, математической интуиции и инженерного опыта разработчика системы.
Примером такого неформального рассуждения может быть следующий. В [85] для сравнения различных методов нечетких рассуждений формулируются интуитивно разумные требования к связи между A' и B' в ( 3.1). В качестве A берутся высказывания A = очень A,
A = более или менее A,
A = не A.
Каким может быть B' для так их A‘l Если существует сильная причинная связь между высказываниями "х есть A At "у есть B " в высказывании Если x есть A, то у есть B" то для A = очень A мы должны требовать B' = очень B. Если причинная связь не является жесткой, для указанного A можно требовать выполнения и B' == B. Если, например, утверждение ’Если х есть A, то у есть B" неявно подразумевает утверждение ’Если х есть A, то у есть B, иначе у не есть B, то для A = не A мы должны требовать выполнения B' = не B.
Можно составить набор такого рода требований к B' для различных A и проверить их выполнение различными отношениями по формулам ( 3.12) - ( 3.19).
Приближенные рассуждения на основе modus tollens
Напомним правило вывода modus tollens в обычной логике. Это правило можно записать следующим образом:
Посылка 1: если х есть А, то у есть B Посылка, 2: у есть не B Следствие: x есть не А,
где хи у - имена объектов, А, B - обозначения понятий областей рассуждения U и V соответственно. Можно привести следующий пример такого типа вывода.
Пример 14 правила modus tollens в обычной логике.
Посылка 1: если слива красная, то слива спелая Посылка 2: эта слива не спелая Следствие: эта слива не красная
Обобщение данного правила на случай, когда посылки являются нечеткими понятиями было предложено в также в [116] и развито в работах [113], [114],
[82], [79], [74]. Общую схему этого вывода можно записать следующим образом:
Посылка, 1: если х есть А, то у есть B
Посылка, 2: у есть не B' (3.20)
Следствие: х есть не А,
где хи у - имена объектов, А, А', B, B' - обозначения нечетких подмножеств областей рассуждения U,U,V и V соответственно. Можно привести следующий пример такого типа вывода.
Пример 15 правила, modus tollens в нечеткой логике.
Посылка, 1: если слива, красная, то слива, спелая Посылка, 2: эта, слива, слегка, спелая Следствие: эта слива, более или менее красная,
Данная форма нечеткого вывода может быть рассмотрена как обобщение modus tollens. Действительно, мы получаем обычный modus tollens при А' = А и B' = B.
Так же как и при анализе правил нечеткого вывода на основе modus ponens (раздел 3.1), мы можем представить Посылку 1 как некоторое соответствие между А и
B.
Аналогично обобщенному modus ponens, следствие А получается в результате max min композиции соответствующего отношения ( 3.2) - ( 3.11) и нечеткого множества B':
Ат = Пт о B' = [(А х B) U (-А х V)] о B',
Аа = Ra о B' = [(А х V) ф (U х B)] о B',
(3.21)
(3.22)
а:
oB',
Rs о B'
AxV
(3.23)
(3.25)
Asg = Rsg BB
V =^ UxB)u(^AxV =B U x^B
OB',
(3.26)
Ar
Rgg B =
AxV =B U x B)n(^AxV =B U x -iB
gg
(3.27)
(3.28)
Ags = Rgs B
AxV U x B П -A x V U x -iB
ASs = Rsso B
V =^ ^^NxV =^ ^-.Ж OB'.
Проблема выбора наиболее адекватного конкретной задаче метода нечетких рассуждений на основе modus tollens решается так же, как и в случае modus ponens (раздел 3.1).
Формализация логических связок
Выше мы говорили о том, что операции пересечения и объединения и дополнения в множестве P(U) всех нечетких множеств, заданных на одном универсальном множестве U могут быть определены различными способами. Эти способы являются различными обобщениями соответствующих операций для обычных множеств и берут свое начало в работах по многозначным логикам, где возникают аналогичные проблемы.
При использовании различных операций, мы получаем также различные интерпретации логических связок "И", ’’ИЛИ", "НЕ", соответствующих операциям пересечения, объединения и дополнения.
Наиболее общим представлением операторов пересечения и объединения является их определение в классе треугольных норм (t - норм) и конорм (t - конорм).
Треугольные нормы
Треугольной нормой называется действительная двухместная функция Т : [0,1] х [0,1] ^ [0,1], удовлетворяющая следующим условиям:
1. Т(0, 0) = 0, Т(цa, 1) = Т(1, ца) = Ца (ограниченность);
2. Т(ил,ИВ) Т(иС,Ио), если ил И и и цо (монотонность);
3. Т(ил,ИВ) = Т(ив,Ил) (коммутативность);
4. Т(ил, Т(ив, Ис)) = Т(Т(ил, ИВ),Ис) (ассоциативность).
Пара ([0,1], Т) образует коммутативную полугруппу с единицей.
Пример 16 Можно привести следующие примеры t - норм:
1. шіп(ил ,Ив);
2. Тр(Ил,Ив) = Цл х Ив!
3. Тт(ил, Ив) = max(0, Ил + Ив - 1);
I
Не трудно видеть, что Tw(ил, ИВ) Тт(ил, ИВ) Тр(ил,ИВ) шіп(ил,ИВ)-
Треугольной конормой называется действительная двухместная функция ! : [0,1] х [0,1] ^ [0,1], удовлетворяющая следующим условиям:
1. !(1,1) = 1, Т(ил, 0) = Т(0,ил) = Ил (ограниченность);
2. Т(ил,ИВ) ^ !(ис,И0) если Ил иС ж ИВ ^ И0 (монотонность);
3. Т(ил,ИВ) = !(ив,Ил) (коммутативность);
4. Т(ил, Т(иВ, ИС)) = Т(Т(ил, ИВ),Ис) (ассоциативность).
Не трудно видеть, что операторы Hi! являются сопряженными в том смысле, что !(ил,Ив) = 1 - Т(1 - ил, 1 - Ив)-
Пример 17 Можно привести следующие примеры t - конорм:
1. шах(ил, Ив);
2. !р(ил,Ив) = Ил + Ив - Ил х ив;
3. !т(ил, Ив) = шіп(1, ил + Ив);
I
Не трудно видеть, что !w(ил, ИВ) ^ !т(ил, ИВ) ^ !Р(ил,ИВ) ^ шах(ил, ИВ)-
Отрицания
Наиболее общее определение функции отрицания в теории нечетких множеств может быть сформулировано следующим образом.
Отрицанием называется функция c : [0,1] ^ [0,1], удовлетворяющая следующим условиям:
1. c(0) = 1, c(1) = 0;
2. c - те возрастающая функция, т.е. если ил ИВ- то с(ил) с(иВ)¦
Пример 18 Можно привести следующие примеры отрицаний.
1. с(у) = 1 у;
2. cr (у) = yjl у2;
3- с\(у) = , 1 А то;
I
са (у )
1 при у а О при у а
Приближенные рассуждения в прикладных задачах
Проиллюстрируем применение аппарата приближенных рассуждений на примере нечетких контроллеров. Под нечеткими контроллерами понимается программноаппаратные системы, управляющие некоторыми процессами (от английского слова control - управление).
Такого рода системы имеют огромное число приложений - от бытовой техники до управления сложными технологическими процессами [29], [51]. Рынок нечетких контроллеров оценивается в миллиарды долларов.
Для описания нечетких управляющих систем сформулируем основные понятия теории управляющих систем в классическом понимании.
