Модель и методика для фазы 1

Предполагаем, что все бумаги или тенденции, участвующие в формировании того или иного индекса, выпущены или имеют место на географической территории региона -держателя индекса. Выделяем следующие регионы, представляющие интерес для исследований:
В зависимости от типа индекса, варьируются применяемые модели и методики прогнозирования. Изложим эти модели и методики последовательно, от фазы к фазе процесса прогнозирования, как они перечислены в разделе 7.5 настоящей книги.
В процессе изложения математических соотношений будем применять следующие обозначения. Точка после символа (А) означает, что рассматривается треугольное нечеткое число или нечеткая функция (последовательность).

Во всех прочих случаях по умолчанию предполагаются действительные числа, функции, параметры. Для треугольного числа A' A_min, A_av, A_max - минимальное, среднее и максимальное значения числа.
Также мы обозначаем:
- t - дискретное прогнозное время (где каждый отсчет соответствует временному интервалу - кванту дискретизации), t_Ha4 - начальный отсчет прогноза, t_K0H - конечный отсчет прогноза, АТ - размер кванта дискретизации (по умолчанию 1 квартал);
- x_AB,n - доли активов акций облигаций и нефондовых активов в обобщенном инвестиционном портфеле соответственно; Ах - размер ребалансирования доли соответствующего актива при переходе к следующему временному отсчету прогноза; К/, К₂’- нечеткие параметры в модели инвестиционной динамики, при оценке прогноза по Ах;
- г', а’ - финальная (конечная) доходность по индексу и риск (среднеквадратическое отклонение) - треугольные нечеткие числа; г' , а' - то же, но то же, но в пересчете индекса с национальной валюты на рубли;
- R'(t)- расчетный коридор доходности по индексу - треугольная нечеткая последовательность;
- а_ь by - параметры модели рациональной динамики инвестиций (таблицы 7.5 и 7.6);
- Аг'у - матрица расчетных премий за риск по всем перечисленным видам долговых обязательств - матрица треугольных нечетких чисел;
- P'(t + l) - прогнозное значение индекса - треугольная нечеткая
функция; Р* (t + l) - то же, но в пересчете индекса с национальной валюты на рубли;
- E’(t +1) - прогнозное значение темпов роста объемов корпоративной прибыли из расчета на одну среднюю акцию, участвующую в формировании индекса акций первого эшелона (для США - SP500, для России - RTS) - треугольная нечеткая функция;
- GDP'(t + l) - прогнозный размер темпа прироста валового внутреннего продукта - треугольная нечеткая функция;
- Г (t + l) - прогнозный размер темпа инфляции - треугольная нечеткая функция;
- Г (t + l) - прогнозный размер кросс-курса национальной валюты относительно рубля - треугольная нечеткая функция;
- PE’(t + l) - прогноз по индексу РЕ Ratio - треугольная нечеткая функция; Л'(t + l) - прогнозный множитель для фактора РЕ Ratio;РЕ_уст-
уставочное (рациональное) значение для индекса, определяемое по таблице 4.10;
- а', Р'- нечеткие параметры в уравнении линейной регрессии
f*(t) = a*xt + p*;
- у’ ,8' - нечеткие факторы эластичности одного параметра относительно другого;
- Z*- коэффициент приведения расчетной доходности инедса акций первого эшелона к тому же для второго эшелона - треугольное нечеткое число;
- Sh'(t + 1) - прогнозное значение модифицированного показателя Шарпа по обобщенному инвестиционному портфелю из акций и облигаций -треугольная нечеткая функция.

Модель и методика для фазы 1 (старт)

Для этой фазы мы устанавливаем начальное и конечное прогнозное время (t_Ha4 и t_K0H соответственно), фиксируются известные действительные значения I(t_Ha4), GE)P(t_Ha4), PE(t_нач) , - и по таблице 7.5 принимается решение о стартовом размещении капитала:
ХдО-нач) Хдо, X_B(t_Ha4) Хвсь X]\f(t_Ha4) Xnq. (Ell. 1)
В ходе моделирования обнаружилось, что когда на рынке доминируют отзывные тенденции, стартовое размещение активов вырождено, и невозможно отследить динамику портфеля, чувствительность его долей к колебаниям экзогенных факторов. Поэтому в модели нагляднее в любом случае стартовать с контрольной портфельной точки (по 50% акций и облигаций в портфеле).

Если отзывные тенденции перетока капитала сохранятся, то портфель быстро выродится, и это можно будет наблюдать в динамике.
Для всех индексов, отвечающих данному экономическому региону, устанавливается их стартовое значение P(t_Ha4).
Привязка дискретного времени к непрерывному осушествляется таким образом, что значения индексов и параметров для дискретного времени соответствуют значениям последнего торгового дня соответствующего квартала.

По обобщенному инвестиционному портфелю устанавливаются текущие значения доходностей и рисков модельных классов акций и облигаций r(t_Ha4) и a(t_Ha4), а также значение модифицированного показателя Шарпа Sh(t_Ha4) на основании анализа недавних исторических данных (достаточно последнего квартала истории перед прогнозом; оценка Sh(t_Ha4) берется тогда как среднее по трем месяцам предшествующей истории обобщенного инвестиционного портфеля).
Устанавливается текущее прогнозное время t = t_Ha4 , и процесс переходит на фазу 2 - анализ макроэкономических тенденций.

Модель и методика для фазы 2

В силу существенной нестационарности макроэкономических процессов (допущение экспертной модели) мы не беремся прогнозировать их с помощью известных методов авторегрессионного анализа, как, скажем, в моделях ALM [Lattice Financial], Взамен мы предлагаем искать их в форме полосы с прямолинейными границами вида.
f*(t) = а* х (t -t_Ha4)/4 + р*, t е [W-Ukoh] (П1.2)
При этом а'и p* выбираются на основе дополнительных соображений экспертной модели. В частности, ожидаемый рост инфляции в США на среднесрочную перспективу означает, что р* (0, 0, 0).

В России, наоборот, Р'= (0, 0, 0), т.к. не ожидается роста темпов инфляции, но диапазон колебаний этих темпов достаточно широк.
По завершении этой фазы прогнозирования мы имеем оценки GDP’(t) (ВВП), l'(t) (инфляция), J'(t) (валюта), t е [t_Ha4, Сон]- Также мы прогнозируем E'(t) (корпоративный доход) по известной формуле Фишера для связи процентных ставок:
1+ E*(t) = (1 + GDP’(t) )(1+ l*(t) ), (П1.3)
и процесс переходит на фазу 3 - анализ ожидаемой инвестиционной динамики.

Модель и методика для фазы 3

Для шага прогнозирования (t+І) мы должны на шаге (t) оценить инвестиционные тенденции по таблице 7.6, чтобы правильно определить направления перетока капитала за время [t, t+І]. При этом входом в таблицу служат значения I_av(t) и PE_av(t).

Таким образом, мы формируем упреждающее воздействие на инвестиционный портфель с упреждением на один шаг относительно плановой макроэкономической динамики.
Так, для входной ситуации 4, которую мы распознаем как призывнопромежуточная при стартовом инвестировании и как призывную при перетоке капиталов, мы прогнозируем увеличение размера капиталов, инвестированных в акции и облигации, и соответствующий рост уровня кумулятивных индексов. Сразу же отметим, что уровень индекса облигаций является низкоэластичным фактором в отношении объемов операций, а уровень индекса акций - высокоэластичным фактором.

Это обусловлено тем, что процентные ставки по облигациям колеблются в достаточно узких пределах; снизу они ограничены уровнем инфляции (или предельно приближены к ней), а сверху - уровнем прибыльности корпораций, позволяющим надежно обслуживать накопленную кредиторскую задолженность без существенного ухудшения своего финансового состояния (при минимальном уровне риска банкротства). Хотя для справедливости отметим, что резкое падение курсов акций вызвало настолько мощный переток денег в облигации США, что столь низкого уровня процентных ставок не отмечалось с 1960 года.

Но эту тендженцию здесь мы рассматриваем как временную. Рано или поздно ставки выровняются, потому что большая часть капиталов, сейчас осевших в облигациях США, перетечет за рубеж.
Далее процесс прогнозирования переходит на фазу 4 - прогноз расчетного коридора доходности по индексу.

Модель и методика оценки расчетного коридора доходности по индексу облигаций (фаза 4)

В силу низкой эластичности индекса облигаций к рыночным объемам торгов мы решаем пренебречь этой эластичностью в нашей модели и построить прогноз доходности по облигациям на базе матрицы премий за риск (таблица П1.1). Значения в матрице определяются нами на основе дополнительных макроэкономических сооброжений экспертной модели.

Таблица П1.1. Премии за инвестиционный риск по облигациям

Экономический регион Валюта региона Размер премии за риск к уровню инфляции (измененный на базе национальной валюты) govt muni bank согр mortgage USA USD Аг' п Аг* 12 Аг- 13 Аг- 14 Аг* 15 RU RUR Аг’ 21 Аг' 22 Аг' 23 Аг' 24 Аг' 25 EC E Аг’ 31 Аг' 32 Аг' зз Аг* 34 Аг' 35 GB GBP Аг- 41 Аг' 42 Аг- 43 Аг' 44 Аг* 45 JAP JPY Аг- 51 Аг' 52 Аг' 53 Аг* 54 Аг* 55 EMM USD Аг* 61 Аг' 62 Аг' 63 Аг' 64 Аг' 65

Приведенная модель премий за риск является стационарной и действует на всем интервале прогнозирования.
И расчетный коридор доходности по j-му типу обязательств, эмиттированных в і-ом экономическом регионе, определяется формулой:
К_в*ч (t) = Гц (t) + Ar’ij . (П1.4)

Модель и методика оценки расчетного коридора доходности по индексу акций первого эшелона (фаза 4)

Высокая эластичность фактора текущей доходности по акциям (на уровне торгового дня, недели итд) по фактору роста или спада объема торгов вызывает существенные ценовые колебания индекса. Однако при рассмотрении модели рационального поведения инвестора мы отмечаем, что бурная динамика котировок на уровне среднесрочной перспективе элиминируется тем, что вступает в действие фактор переоцененности/недооцененности акций. И, таки образом, индекс акций в среднесрочной перспективе формирует циклический тренд вокруг своих средних значений, обусловленных рациональным уровнем РЕ Ratio.

Поэтому мы принимаем решение не моделировать объемную эластичность доходности индекса акций, а учесть ее в модели косвенно на уровне эластичности по фактору РЕ Ratio.
Упомянутая модель эластичности имеет вид:
(ПЕ5)
j(PE_ycT - PE_av (t)) х у /, при РЕ_уст РЕ_av (t) |(РЕ_уст - РЕ _av (t)) х у ₂ ’, при РЕ _уст РЕ _av (t) ’
где

(Ьп + Ь12 )/2, для	ситуаций	1,2,3
(b 21 + b 22 )/2, для	ситуаций	4, 5,6 таблиц 7.5 и 7.6,
(Ь31 + Ь32 )/2, для	ситуаций	7, 8,9

(ПЕ6)
Yu’ = Yu к* для к-ой ситуации таблиц 7.5 и 7.6, (ПЕ7) и эти параметры определяются на основе дополнительных соображений экспертной модели.
В том, что коэффициент эластичности скачкообразно изменяется при переходе РЕ через уставочное значение, мы отражаем ассиметричность инвестиционного выбора в преломлении на тип инвестора. Так, консервативный инвестор, почувствовав неладное и минимизируя риски, выводит активы быстрее, чем если бы он вводил их при улучшении инвестиционного климата.

Наоборот, агресиивный инвестор будет быстрее покупать, чем продавать, т.е. не минимизировать риски, а максимизировать прибыль. В глазах же инвестора промежуточного типа рациональные темпы прилива-отлива капитала совпадают; из контрольной портфельной точки он побежит влево или вправо по линии эффективной границы с одной и той же скоростью, если текущее значение РЕ Ratio будет симметрично ложиться справа или слева от уставки, соответственно.
Линейный вид модели (П1.5) по умолчанию предполагает отсутствие глубоких колебаний текущего РЕ Ratio от своего уставочного значения, т.к. при наличии эффективных средств распознавания рыночной ситуации (а у нас все эти средства описаны) инвестор будет оперативно корректировать свою инвестиционную стратегию, и колебания индекса РЕ Ratio не будут сильноволатильными.
То есть модель предполагает детальную настройку на инвестиционную ситуацию (инвестиционную тенденцию). Еіотому что в реальности рациональный инвестор очень пристально следит за макроэкономической ситуацией, и его решения по управлению фондовым капиталом являются точными (дифференцированными) и оперативными (алертными), что и отражено в модели.
Модель (Ш.5) предполагает механизм саморегуляции рынка в режиме отрицательной обратной связи. Согласно соотношениям, переоценка индекса влечет отрицательную доходность и спад уровня, что, в свою очередь, приводит к недооценке и возникновению положительной доходности.

Все вместе это порождает цикличное поведение, цикличный тренд.

Модель и методика оценки расчетного коридора доходности по индексу акций второго эшелона (фаза 4)

На фондовых рынках наблюдается тенденция, когда акции с низкой капитализацией ориентируются на тенденции акций с высокой капитализацией. Особенно это справедливо для технически слабых фондовых рынков, когда обращающиеся на нем акции не имеют собственного слова, то есть отвязаны от своих фундаментальных характеристик, и не существует на рынке игроков, которые могли бы привести в соответствие фундаментальные параметры акции и ее цену.

Так, российский фондовый рынок живет и еще некоторое время будет жить с оглядкой на рынок американский, следуя в фарватере американской динамики, а акции, эмиттированные в российской глубинке, долго еще будут оглядываться на динамику акций гигантов отечественной индустрии.
Парадоксально, но в краткосрочной перспективе корреляция индексов акций первого и второго эшелона близка к нулю. Связано это с тем, что акции второго эшелона обращаются быстрее акций первого эшелона и также быстро изменяются в цене.

Если рассмотреть корреляцию этих акций на долгосрочной основе, элиминировав низкопериодические колебания индексов, то такая корреляция будет стремиться к единице по тенденции.
Поэтому справедливо будет считать, что на уровне монотонного фондового портфеля в среднесрочной перспективе существует линейная зависимость между расчетной доходностью акций первого и второго эшелона:
R_A2-(t) = R_A1'(t)xZ*. (П1.8)
Косвенно наш вывод подтверждают и результаты моделирования при помощи программы SBS Portfolio Optimization System (рис. П1.1).

Видно, что кривизна параболы эффективной границы невилика (даже при нулевой корреляции), а по мере роста корреляции эта парабола будет только спрямляться.
Итак мы получили прогноз расчетного коридора доходности для всех типов фондовых индексов, и теперь процесс переходит на фазу 5 - оценка доходности и риска индексов и ребалансинг портфеля.

Модели и методики для фазы 5

Мы ищем симметричные квазистатистические оценки для доходности и риска фондовых индексов, потому что в условиях существенной неопределенности и рационального инвестиционного выбора эти оценки являются наиболее правдоподобными (равновесными). Такие оценки говорят о том, что при инвестиционно равновесном выборе в оценках доходности и риска отсутствуют смещения, в противном случае (например, при несимметричном риске предполагается возможность переоценки (недооценки) индекса).
Расчетный коридор доходности в нашей модели связан с нечеткими оценками доходности и риска следующим простым соотношением
упреждения: R-(t) = r-(t + l)+*(t₂+1). (П1.9)
Упреждение здесь в том, что мы на базе расчетного коридора, полученного на текущем интервале прогнозирования, формируем оценки уже для последующего интервала прогнозирования. Диапазон половинного среднеквадратического отклонения в (П1.9) - это диапазон рационального доверия к тем оценкам, которые попадают в соответствующий расчетный коридор (в предположении нормального распределения разброса с
нечеткими параметрами распределения). Если уровень доверия ниже, то коридор шире, и им захватываются фактически неправдоподобные сценарии развития событий.

Наоборот, если доверие выше, то коридор уже, и в него не попадают уже вполне правдоподобные оценки.
При переходе от (П1.9) к записи в действительных числах возникает система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными (временно, для удобства представления, снимем в формулах зависимость от времени):
Гтах +max/2=Rr Cm -max/2=R_r Cax + Imm =2Ra (П1.10)
Система (П1.10) является вырожденной и требует дополнительного условия для решения. Таким условием могут служить уравнения оценочной балансировки:
г г
max mm max
(HI. 11)
R____-R.
ДЛЯ R_max 6, Rmin ^ 6,
Г t* R
Amax Amin min (П1.12)
^min ^max ^max ^min
R,
Г Г
max mm max
(П1.13)
max min max min
для смешанного случая R_max 0, R_mm 0.
Соотношения (П1.11) - (П1.13) выражают ту суть, что соотношение доходности и риска по индексам в максимальном и минимальном варианте зависит только от соотношения максимума и минимума доходности в расчетном коридоре. Тогда все параметры модели находятся по формулам:
ДЛЯ R_max ^ 0 И R_min ' 0
2R
R
min max
1 max v av 1 min
Fv =Rav
(П1.14)
R R
a = r x
max mm
max min
a = r x ¦
min max
Для R_max ^ 0 И R_mln 0
2R„
r =
max
2JR _ ID
max min
Y of? _t*
Amin vav Amax
Га? = Rav
(П1.15)
R R
a = r x -
max max
max v min
a = r x
mm mm
а для смешанного случая (R_max 0 и R_mm 0)
2R„
2m _ I)
max min
Y OR _r
Amin vav Amax
Га? = Rav
(П1.16)
R R
a = r x -
max max
max min
a = r x ¦
mm min
Таким образом, оценки r*(t +1) и a’(t + l) по всем фондовым индексам экономического региона нами получены. Фактически это означает, что можно ежеквартально решать оптимизационную задачу для обобщенного инвестиционного портфеля из акций и облигаций и определять рациональную траекторию скольжения своей портфельной точки от границы к границе по ходу прогнозирования (фаза 6 прогнозирования).

Модели и методики для фазы 6

Рассмотрим вариант скольжения эффективной границы обобщенного инвестиционного портфеля (отрисовывается только средняя линия границы) от шага к шагу прогноза в условиях ухудшения инвестиционной обстановки (рис. П1.2)
Рис. П1.2. Управление фондовым портфелем во времени
Если действовать, как посоветовала в 2001 г. Эбби Коэн, то ничего делать не нужно, только поддерживать фиксированный баланс активов. Такая тактика на падающем рынке вызывает только дополнительные убытки, рост риска портфеля, и больше ничего. Наоборот: следует освобождаться от акций в несколько раз быстрее, чем они падают, переливаясь в облигации или вообще уходя с рынка.

Тем самым достигается опережающее снижение портфельного риска и реализуется консервативный инвестиционный выбор. Выбор Эбби Коэн в этом случае оказывается незаконно-агрессивным, анти-оптимальным; градиент ее выбора (приращение доходности к приращению риска) во всех точках ее инвестиционной траектории отрицателен.

Наш градиент во всех точках положителен, и более того: он растет.
Эти соображения оперативного порядка зафиксированы нами в модели с помощью модифицированного показателя Шарпа:

Sh*(t + 1) Выражение (П1.17) - это не классический показатель Шарпа, потому что в числителе вычитается осредненная доходность по всему классу облигаций, а не доходность одних гособлигаций. Но смысл этого показателя очень значим: он выражает экономическую эффективность инвестиций в обобщенный инвестиционный портфель из всех акций и всех облигаций в
пределах данного экономического региона. Мы говорим, что по мере снижения экономической эффективности портфеля (преимущественно за счет падения доходности акций) доля акций в портфеле должна снижаться опережающими темпами. То есть условие сохранения оптимальности при движении справа налево по границе - это условие положительного градиента (при движении слева направо градиент может быть любым):
Ut)-r-(t + l)
av(t)-‘(t + l)
(П1.18)
(0Д0),
где
(П1.19)
г* (t) = Sh * (t) x о* (t) + r_B* (t) = (r_A* (t) - r_B* (t)) x x_A (t) + r_B'(t) G*(t) = x_A(t)xO_A*(t)
Из (П1.18) и (П1.19) прямиком следует:
ga (t) (r_Aav(t) - r_Bav (t)) X X _A (t) + (r_Bav (t) - r_Bmax (t))
x_A(t + l)min(x_A(t)
ха(1)-Ах_ш)₅
rAmax(t+1)-rB_mIn(t + l)
GAmax(t+1)' (П1.20)
для сценариев вывода капитала из акции по отзывным тенденциям, и
G a (t) (r_Aav (t) - r_Bav (t)) x x _A (t) + (r_Bav (t) ^Bmin (t))
x_A(t + 1) max(x_A(t)
X л Ct) + Ax „л ) ,
r_Amm(t + 1)-rBmax(t+1)
GAmm(t+1) (П1.21)
для сценариев инвестирования капитала в акции по призывным тенденциям. По выжидательным тенденциям для акций изменения доли их в портфеле не происходит.

В (П1.20) и (П1.21) Ах_ш- это плановый приток или отток капитала, который вступает в действие, если остальные расчетные значения в формулах приобретают неоптимальные или недопустимые по граничным условиям значения.
Таким образом, мы получили целевое значение доли акций в портфеле на прогнозный период времени, определяемое по (П1.20) - (П1.21).
Рациональные размеры долей облигаций (В) и выводимого капитала (N) определяются на основании данных таблицы П1.2 о рациональных перетоках капитала (обозначения: |Ax_A(t)| = |x_A(t+l)- x_A(t)|, |Ax_B(t)| = |x_B(t+l)-x_B(t)| ). Из таблицы П1.2 видно, что когда перетока по акциям нет, то за основу при выборе очередного перетока берутся значения перетока по облигациям на предыдущем шаге моделирования. И, во избежание расходимости процесса формирования портфеля, всякий новый переток в таких случаях в два раза меньше предыдущего (поскольку доходность по облигациям низка, существенного изменения характеристик обобщенного инвестиционного портфеля ожидать не приходится). Такой способ организации перетоков обусловлен нестабильностью тенденций, связанных с выжидательным выбором по акциям, неустойчивым равновесием выжидательных состояний.

А там, где нестабильность, там резкие движения недопустимы, потому что можно получить неожиданные чувствительные убытки.

Таблица П1.2. Схема инвестиционных переходов

Номер входной ситуации по табл. 7.5 Рациональные перетоки капитала: + приток, - отток, 0 - нет движения А В N 1 + AxA(t) - AxA(t) 0 2 0 0 0 3 - AxA(t) 0 + AxA(t) 4 + AxA(t) + AxB(t-l)/2 - AxA(t) /2- AxB(t-1) /2 5 0 + AxB(t-l)/2 - AxB(t-l)/2 6 - AxA(t) + AxA(t) 0 7 0 + AxB(t-l)/2 - AxB(t-l)/2 8 - AxA(t) 0 + AxA(t) 9 - AxA(t) - AxB(t-l)/2 + AxA(t)+ AxB(t-l)/2

Итак, фаза 5 процесса завершена, и начинается фаза 6 -
прогнозирование индексов и фактора РЕ Ratio.

Модель и методика для фазы 7

Прогноз индекса проводится по формуле Р* (t +1) = P_av (t) X (1 + R* (t) X AT), (П1.22)
а прогноз фактора PE Ratio - по формуле, в соответствии с (П1.3):
РЕ* (t +1) = PE_av (t) x A* (t), (П1.23)
где
(l + R_A*(t)x AT)
(l + GDP*(t))x(l + I*(t))’
(П1.24)
A*(t)
R_A'(t) - расчетный коридор доходности по индексу акций.
Особенностью формул (П1.22) - (П1.24) является элиминирование промежуточной неопределенности при построении прогнозной оценки, так как мы считаем, что на прогнозные величины влияют в первую очередь ожидаемые средние значения индексов, полученные на предыдущих временных интервалах прогнозирования. То есть в нашей экспертной модели прогнозная неопределенность имеет период действия (и влияния на оценки) ровно один прогнозный квартал.

Если бы принцип элиминирования в оценках не соблюдался, то тогда наш прогноз оказался бы зашумленным накопленными размытыми оценками.
Также (Ш.24) выражает самую суть наших модельных допущений о рациональном выборе. Рациональное значение Л* (t) = 1, при совпадении текущего значения РЕ Ratio с уставочным, говорит нам о том, что система инвестиционного выбора находится в равновесии, и весь рост доходов по акциям обеспечен соответствующим ростом валового внутреннего регионального продукта.

Если обеспечение прироста акций реальными ценностями (прибылью корпораций) не происходит в полном объеме, то акции начинают переоцениваться, перегреваться, и запускается механизм снижения текущей доходности по индексу (через эластичность вида (Ш.5)).
После реализации фазы 7 процесс переходит на техническую фазу 8 (ветвление процедуры прогнозирования).

Содержание раздела

---