d9e5a92d

Последовательности испытаний

- из условия несовместности не следует условие независимости;
- из условия независимости не следует условие несовместности;
- из условия независимости в совокупности следует попарная независимость, но из попарной независимости не следует независимость в совокупности.
Если события Ap A2 ,¦¦¦, An независимы в совокупности, то из обобщённой теоремы сложения
вероятностей следует, что (2.7)
п
= 1 _ (1 _ P{A1 })(1 _ P{A })-(1 _ P{An}) = 1 _ п (1 _ P{A}).
г=1
Если события Яр А ,¦¦¦, Нп образуют полную группу, то для вычисления вероятности произвольного события A можно использовать формулу полной вероятности:
P{A} = P{A | Hx}P{Hx} + P{A | H2}P{H2} + - - - + P{A | Hn}P{Hn} = ? P{A | H}Р{Иг},
(2.8)
i=1
в соответствии с которой вероятность наступления события A может быть представлена как сумма произведений условных вероятностей события A при условии наступления событий H на
безусловные вероятности этих событий H. Поскольку среди событий H^ Hj,...,Hn, образующих полную группу, в результате опыта должно наступить одно и только одно, эти события H% называют гипотезами (i = 1,2,..., n).
Формула полной вероятности (2.8) остаётся справедливой и в случае, если условие, состоящее в том, что события Hi,Hj,...,Hn образуют полную группу, заменить более слабым: гипотезы
Hi,Hj,...,Hn попарно несовместны (H П Hj = 0 при i ^ j), а их объединение содержит событие
A (A С H1 U H2 U - - - U Hn).
Из формулы полной вероятности следует формула Байеса:
P{H | A} = P{A l Hk }PH} = P{A | Hk }PH}
(к = 1,2,...,n ).
(2.9)
P{A}
? P{A | H }P{Hi}
i=1
Вероятности P{Hi} гипотез H называют априорными вероятностями (вероятностями гипотез H до проведения опыта) в отличие от апостериорных вероятностей P{Hi | A} (вероятностей гипотез Hi , уточнённых в результате опыта, исходом которого стало событие A ).
76. На автомобиле Мерседес-600, принадлежащем президенту банка и представляющем огромнейший интерес для угонщиков, установлены электронная сигнализация и механическая блокировка рычага переключения передач. Вероятность того, что угонщик справится с сигнализацией, составляет 0,2, а вероятность того, что он сломает блокиратор, равна 0,1. Сегодня президент, рискнув, отправился в гости без водителя и охраны.

Найти вероятности следующих событий: а) автомобиль будет угнан; б) угонщик справится только с одной системой защиты.
77. Известно, что P{A} 0,8, P{B} = 0,6, P{A U B} = 0,9. Найти P{A П B},
P{A | B}, P{B | A} и выяснить, зависимы ли события A и B.
Решение. По теореме сложения вероятностей P{A и B}=P{A} + P{B} - P{A n B}, откуда
P{A П B} = P{A} + P{B} P{A U B} = 0,8 + 0,6 0,9 = 0,5. По определению условной вероятности
P{A | B} = P{AnB} = 05 = 5, p{b | A} = P{AnB} = 05 = 5 . Для того, чтобы события A и B были 1 1 J P{B} 0,6 6 11 J P{A} 0,8 8
независимыми, необходимо выполнение теоремы умножения вероятностей: P{AnB}= = P{A}P{B}. В нашем случае P{A П B} = 0,5, P{A}P{B} = 0,8 - 0,6 = 0,48 ^ 0,5, т. е. теорема умножения вероятностей не выполняется, значит, события A и B являются зависимыми. ?
78. Из корзины, содержащей три красных яблока и семь зелёных, вынимают сразу два яблока.

Найти вероятность того, что оба они будут красными.
79. Игральная кость бросается два раза.

Найти вероятность того, что оба раза появится одно и то же число очков.
80. В группе из 1 000 человек 452 имеют текущие счета, 336 депозитные счета, а 302 и текущие, и депозитные.

Определить, являются ли события обладание текущим счётом и обладание депозитным счётом независимыми?
81. Талантливый сантехник Миша обязательно раз в неделю напивается до чёртиков (только раз, но обязательно). Найти вероятности следующих событий: а) Миша напьётся во вторник, если он был трезв в понедельник; б) Миша будет
трезв в среду и в четверг, если он не пил в понедельник и во вторник; в) Миша будет пьян в один день с электриком Колей, который ведёт себя так же, но независимо от Миши.
82. Жюри состоит из трёх судей, выносящих решение независимо друг от друга: двое из них, каждый с вероятностью 0,8, принимают правильное решение, а третий для вынесения решения подбрасывает монету.

Окончательное решение принимается большинством голосов. Найти вероятность вынесения правильного решения.
83. Нефтедобывающая компания проводит буровые работы в трёх различных местах A, B и C. Вероятности успешного бурения в A, B и C равны соответственно 0,5, 0,4 и 0,1.

Предположив, что события, заключающиеся в успешности бурения в местах A, B и C, независимы, вычислить вероятности следующих событий: а) хотя бы одно бурение окажется успешным; б) ровно одно бурение окажется успешным.


84. Из корзины, содержащей три красных яблока и семь зелёных, вынимают по очереди все яблоки.

Найти вероятность того, что вторым по счёту будет вынуто красное яблоко.
85. Из корзины, содержащей три красных яблока и семь зелёных, вынимают одно за другим все яблоки, кроме одного.

Найти вероятность того, что последнее оставшееся в корзине яблоко будет зелёным.
86. Петя знает не все вопросы программы.

В каком случае вероятность вытащить неизвестный билет будет меньше: когда он тянет билет первым или последним?
87. Студенты считают, что из 50 экзаменационных билетов 10 являются хорошими. Петя и Маша по очереди тянут по одному билету.

Найти вероятности следующих событий: а) Пете достался хороший билет; б) Маше достался хороший билет; в) им обоим достались хорошие билеты.
88. Маша пришла на экзамен, зная ответы на 20 вопросов программы из 25.

Профессор задаёт три вопроса. Найти вероятности следующих событий: а) Маша ответит на все три вопроса; б) Маша ответит на два вопроса; в) Маша ответит на один вопрос; г) Маша ответит хотя бы на один вопрос; д) Маша не ответит ни на один вопрос.
89. Вероятность того, что кредитная карта находится в письменном столе, равна p, причём с равной вероятностью карта может находиться в любом из восьми ящиков стола. Её владелец осмотрел семь ящиков и пока не нашёл свою кредитную карту.

Найти вероятность того, что она находится в восьмом ящике.
90. Доказать формулу (2.5).
91. Доказать, что из независимости событий A и B следует независимость событий: а) A и B; б) A и B; в) A и B.
92. Привести пример событий, являющихся независимыми и при этом совместными.
93. Привести пример событий, являющихся несовместными, но не являющихся при этом независимыми.
94. Доказать формулу P{A | B} + P{A | B} = 1.
95. Доказать, что равенства P{A|B} + P{A|B} = 1 и P{A|B} + P{A|B} = 1 неверны.
96. Пусть события A, B и С попарно независимы, причём каждое из них имеет вероятность, отличную от нуля и единицы.

Проверить, могут ли события A П B, B П C и A П C быть: а) попарно независимыми; б) независимыми в совокупности.
РЕШЕНИЕ. а) Рассмотрим следующие события в условиях задачи 47: событие A, заключающееся в том, что утечка газа происходит ближе к станции A, чем к B, событие B, заключающееся в том, что утечка расположена между 50-м и 150-м километрами, и событие C, состоящее в том, что утечка расположена между отметками 12,5 км и 62,5 км либо между 112,5 км и 162,5 км. Тогда, со-
1
гласно геометрическому определению вероятности, P{A} = P{B} = P{C} = , P{A П B} = P{B ПС} = =P{A ПС}=4, значит, события A, B и С попарно независимы. При этом, очевидно, P{AПBПС} =
= -6, P{(A П B) П (B П С)} = P{A П B П С} = -6 = P{A}[P{B}]2P{C} = P{A П B}P{B П С} . Аналогично получаем равенства P{(AПB) П ^ПС)} = P{AПB}P{AПC} и P{BПС) П ^ПС)} = P{BПС}Р^ПС}, т. е. события A, B и С являются независимыми в совокупности. б) Независимость в совокупности означает, во-первых, что P{A П B П С} = P{(A П B) П (B П С)} = P{A}[P{B}]2P^} и, во-вторых, что P^B ПС }=P{(AПB)П(B ПС^^С)}^^}]2 [P{B}]2 [P^}]2. Поэтому P{A}[P{B}]2 P{^= =[P{A}]2 [P{B}]2 р{С}]2, но это равенство невозможно, так как вероятности событий A, B и С отличны от нуля и единицы. Поэтому события A П B, B П С и A П С не могут быть независимыми в совокупности. ?
97. Пусть события A, B и С независимы в совокупности, причём каждое из них имеет вероятность, отличную от нуля и единицы.

Проверить, могут ли события A П B, B П С и A П С быть: а) попарно независимыми; б) независимыми в совокупности.
98. Подбрасываются три игральные кости.

Событие A состоит в том, что на первой и второй костях выпало одинаковое число очков, событие B в том, что на второй и третьей костях выпало одинаковое число очков, событие С в том, что на первой и третьей костях выпало одинаковое число очков. Проверить, являются ли события A, B и С: а) попарно независимыми; б) независимыми в совокупности.
99. Привести пример попарно независимых событий, не являющихся при этом независимыми в совокупности.
100. Доказать, что из равенства P{A П B П С} = } не следует по
парная независимость событий A , B и С .
101. Доказать формулу (2.7).
102. Пусть A, B произвольные события. Проверить, образуют ли события A,
A П B, A U B полную группу.
103. Доказать формулу полной вероятности (2.8).
104. Доказать формулу Байеса (2.9).
105. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% государственные органы, 20% другие банки, остальные физические лица. Вероятности того, что взятый кредит не будет возвращён, составляют 0,01, 0,05 и 0,2 соответственно.

Определить, какая доля кредитов в среднем не возвращается.
РЕШЕНИЕ. Пусть событие A состоит в том, что взятый кредит не возвращается, гипотеза
в том, что запрос на этот кредит поступил от государственного органа, гипотеза в том, что запрос на кредит поступил от другого банка, гипотеза Н3 в том, что запрос на кредит поступил от физического лица. По условию вероятности гипотез составляют P{H^ = 0,1, P{H 2 } = 0,2, P{Hз } = 1 P{H i} P{H2 } = 0,7.

Апостериорные вероятности, в свою очередь, по условию равны Р{A | Hi} = 0,01, Р{A | H2 } = 0,05, Р{A | H3 } = 0,2. По формуле полной вероятности P{A} = P{A | H1 }P{H1} + P{A | H2 }P{H2 } + P{A | H3 }P{H3 } = 0,01 - 0,1 + 0,05 - 0,2 + 0,2 - 0,7 = 0,151. ?
106. Вероятность того, что недельный оборот торговца мороженым превысит 2 000 руб., при солнечной погоде равна 80%, при переменной облачности 50%, а при дождливой погоде 10%.

Найти вероятность того, что на следующей неделе оборот превысит 2 000 руб., если вероятность солнечной погоды в данное время года составляет 20%, вероятность переменной облачности и вероятность дождливой погоды по 40%.
107. В условиях задачи 105 начальнику кредитного отдела доложили, что получено факсимильное сообщение о неисполнении обязательств по возврату кредита, в котором очень плохо пропечаталось имя клиента.

Найти вероятность того, что кредит не возвращает какой-либо банк.
РЕШЕНИЕ. Пусть событие A состоит в том, что взятый кредит не возвращается, гипотеза H1 в том, что запрос на этот кредит поступил от государственного органа, гипотеза Hj в том, что запрос на кредит поступил от другого банка, гипотеза H 3 в том, что запрос на кредит поступил от физического лица. По условию вероятности гипотез составляют P{H^ = 0,1,
P{H2 } = 0,2, P{Hз } = 1 P{H 1} P{H2 } = 0,7 . Апостериорные вероятности, в свою очередь, равны
по условию P{A | H1} = 0,01, P{A | H2 } = 0,05, P{A | H3 } = 0,2. По формуле Байеса
P{A|H2 }P{H2 } P{A}
10
151
P{H2 | A}
0,066, где вероятность P{A} = 0,151 была рассчитана по формуле
полной вероятности в задаче 105. ?
108. В корзине три красных и семь зелёных яблок. Из корзины вынули одно яблоко и не глядя отложили в сторону. После этого из корзины достали ещё одно яблоко, которое оказалось зелёным.

Найти вероятность того, что первое яблоко, отложенное в сторону, также было зелёным.
109. Для принятия решений о покупке ценных бумаг была разработана система анализа рынка.

Из данных за прошлые периоды известно, что 5% всех ценных бумаг являются тплохими не подходящими для инвестирования. Предложенная система определяет 98% плохих ценных бумаг как потенциально плохие, но при этом 15% ценных бумаг, пригодных для инвестиций, также определяет как потенциально плохие. Найти вероятность того, что ценная бумага подходит для инвестирования, при условии, что данной системой анализа рынка она была определена как потенциально плохая.

На основе полученного результата прокомментировать пригодность системы для принятия инвестиционных решений.
110. Чтобы поддержать позиции фирмы при заключении правительственного контракта, необходимы значительные инвестиции в определение стоимости первоначальных исследований и разработок. Если фирма A сделает эти инвестиции, а её основной конкурент этого не сделает, то вероятность заключения договора с фирмой A составит 0,8.

Однако если конкурент также проведёт предварительные исследования и разработки, то вероятность заключения договора с фирмой A уменьшается до 0,4. Аналитическая служба фирмы A оценивает вероятность проведения конкурентом изысканий по предстоящему проекту в 0,3.

Вычислить вероятности следующих событий: а) правительство устроит цена, предложенная фирмой A (т. е. контракт будет заключен), при отсутствии информации о решении конкурента; б) правительство не устроит цена, предложенная фирмой A (т. е. контракт не будет заключен), при условии, что конкурент предложит свою цену; в) конкурент представит свою цену при условии, что цена, предложенная фирмой A, принимается правительством; г) конкурент представит свою цену при условии, что цена, предложенная фирмой A, не принимается правительством.
111. Если предприниматель планирует существенное изменение в образце товара, то с вероятностью 0,7 он начнёт вносить изменения в технологию производства до 1 сентября, если же он не планирует существенной переделки, то вероятность изменения технологии составит 0,2.

На основании предыдущего опыта вероятность существенной переделки образца составляет 0,2. Вычислить вероятности следующих событий: а) в технологию будут внесены изменения до 1 сентября;
б) образец товара претерпит существенные изменения, если изменения в технологию начинают вноситься до 1 сентября; в) образец товара претерпит существенные изменения, если 1 сентября уже прошло, а изменений в технологии не произошло.
112. Магазин получает товар от трёх поставщиков: 55% товара поступает от первого поставщика, 20% от второго и 25% от третьего.

Продукция, поступающая от первого поставщика, содержит 5% брака, поступающая от второго поставщика 6% брака, а поступающая от третьего поставщика 8% брака. Покупатель оставил в книге пожеланий покупателя жалобу о низком качестве приобретённого товара.

Найти вероятность того, что плохой товар, вызвавший нарекания покупателя, поступил от второго поставщика.
113. При расследовании преступления, совершённого на автозаправочной станции (АЗС), было установлено, что поток автомобилей, проезжающих мимо АЗС, состоит на 60% из грузовых и на 40% из легковых автомобилей.

По показаниям свидетелей, во время совершения преступления на АЗС находился автомобиль. Известно, что вероятность заправки грузового автомобиля равна 0,1, легкового автомобиля 0,3.

Найти вероятность того, что во время совершения преступления на АЗС находился: а) грузовой автомобиль; б) легковой автомобиль.
114. В каждой из трёх корзин находится по семь красных яблок и три зелёных. Из первой корзины наудачу достали одно яблоко и переложили во вторую, затем из второй корзины наудачу достали яблоко и переложили в третью.

Найти вероятность того, что яблоко, наудачу извлечённое после этих манипуляций из третьей корзины, окажется красным.
115. Задача о разорении1. Петя с папой играют в следующую игру. Петя бросает монету, предварительно сообщив папе, какая сторона, по его мнению, выпадет: герб или решётка.

Если Петя угадал, то папа платит Пете 1 руб., в противном случае Петя платит папе 1 руб. Начальный капитал Пети составляет x = 100
1 Практическая интерпретация задач 115 - 118 состоит в следующем. Инвестиционная компания играет с рынком. Возможности рынка безграничны (чего нельзя сказать о возможностях компании). Компания пытается угадать, какие финансовые инструменты окажутся в будущем доходными, если угадывает получает прибыль, иначе несёт расходы.

Если расходов становится много, то рано или поздно компания разоряется. Можно рассмотреть и случай, когда у противника финансовые возможности также ограничены, решение будет не сложнее.

Предоставляем читателю самостоятельно поставить и решить соответствующие задачи.
руб. Игра продолжается до тех пор, пока Петя не наберёт заранее определённую сумму s, либо пока он не разорится, проиграв весь имеющийся капитал x . Найти вероятность того, что Петя разорится, так и не набрав желаемую сумму, если эта сумма s составляет: а) 110 руб; б) 1 000 руб.
РЕШЕНИЕ. Пусть p(x) вероятность того, что, имея x руб., Петя всё-таки разорится, событие A состоит в Петином разорении, гипотеза Hi в том, что Петя выиграл на первом шаге игры, гипотеза H в том, что Петя проиграл на первом шаге игры.

При этом, очевидно, вероятность разорения при условии выигрыша на первом шаге составит P{A | Hi} = p(x + 1), а вероятность разорения при условии проигрыша на первом шаге составит P{A | H} = p(x 1). Согласно класси- ческому определению вероятности P{H1}=P{H }=. По формуле полной вероятности p(x)=P{A}=P{A|H1 }P{H1} + P{A|H}P{H } = p(x+1)-1 +p(x1)-1 = -1- [p(x+1)+p(x1)]. При этом, оче- видно, p(0) = 1, а p(s) = 0 . Решением уравнения p(x) = - [p(x + 1) + p(x 1)] является линейная функция p(x) = C1X + C, коэффициенты которой и C найдём из условий p(0) = C = 1 и p(s) = C1S + C = 0: C1 = -, C = 1. Таким образом, p(x) = 1 . В случае а) x = 100, s = 110, поэтому p(100) = ^ 0,091, а в случае б) x = 100, s = 1 000, поэтому p(100) = 0,9. ?
116. В условиях предыдущей задачи папа играет нечестно: он дал Пете монету со смещённым центром тяжести, так что Петя (считая монету правильной и выбирая в среднем в половине случаев герб и в половине случаев решётку) вы-
. Начальный капитал 5
и проигрывает с вероятностью
игрывает с вероятностью
Пети составляет, как и в предыдущей задаче, x = 100 руб. Игра продолжается до тех пор, пока Петя не наберёт заранее определённую сумму s , либо пока он не разорится, проиграв весь имеющийся капитал x . Найти вероятность разорения Пети в общем случае (для произвольной суммы s ) и в конкретных случаях s = 110 руб. и s = 1 000 руб.
117. Что произойдёт с вероятностью разорения Пети в условиях двух предыдущих задач, если ставка на каждом ходе будет равна не 1 руб., как раньше, а руб.?
118. Найти среднюю продолжительность m(x) игры , описанной в задаче 115.
119. Задача о разборчивой невесте1. У одной из Машиных подруг есть достаточно большое число женихов.

Заранее она ничего о своих женихах не знает, кроме их числа n. Расположившись в очередь в случайном порядке, женихи представляются разборчивой невесте один за другим, так что встречая очередного жениха, она знает всех предшествующих. Представленный и отвергнутый жених больше не возвращается. Невеста решила избрать следующую стратегию выбора:
1 Приведём и финансовую формулировку данной задачи. Пусть инвестор владеет некоторым активом, причём в течение определённого срока цена актива может изменяться, а по окончании срока станет фиксированной (таким активом может быть облигация, рыночная котировка которой может изменяться до момента погашения, или какой-либо инвестиционный проект, пока он ещё не завершён). Стоимости актива в предыдущие дни известны, а в последующие неизвестны.

К предыдущему дню вернуться уже нельзя. Требуется определить момент продажи актива с наибольшей выгодой.
она просматривает первых m женихов, никого из них не выбирая, а затем останавливает свой выбор на первом из оставшихся (п m) женихов, который окажется лучше, чем любой из первых m женихов. Найти вероятность Pm(Л) сделать наилучший выбор при такой стратегии. Определить такое число mn, чтобы вероятность Pmn(Л) была максимальной среди всех Pm(Л), m = 0,1,2,п .
120. Шейх разгневался на звездочёта и приказал казнить его, но в последний момент передумал и решил дать звездочёту возможность спастись. Он взял два чёрных и два белых шара, отличающихся только цветом, и предложил звездочёту распределить их произвольным образом по двум одинаковым сундукам.

Палач должен с завязанными глазами выбрать сундук и достать из него один шар. Если он достанет белый шар, шейх помилует звездочёта, в противном случае казнит.

Как звездочёт должен распределить шары по сундукам, чтобы иметь наибольшие шансы спастись?

§2.2. Последовательности испытаний


Пусть проводится конечное число п последовательных испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может либо наступить (такую ситуацию назовём успехом) либо не наступить (такую ситуацию назовём неудачей), причём эти испытания удовлетворяют следующим условиям:
- каждое испытание случайно относительно события А, т. е. до проведения испытания нельзя сказать, появится А или нет;
- испытания проводятся в одинаковых, с вероятностной точки зрения, условиях, т. е. вероятность успеха в каждом отдельно взятом испытании равна р и не меняется от испытания к испытанию;
- испытания независимы, т. е. события Ар А2,..., А, где Аг состоит в успехе на i-м испытании (i = 1,2,..., п), независимы в совокупности.
Такая последовательность испытаний называются схемой Бернулли или биномиальной схемой, а сами испытания испытаниями Бернулли.
Вероятность Pn (k) того, что в серии из п испытаний Бернулли окажется ровно k успешных, рассчитывается по формуле Бернулли:
Рп(k) = СкпРк(1 Р)пк (к = 0,1,2,...,п). (2.10)
Наивероятнейшее число к * успехов в серии из п испытаний Бернулли удовлетворяет неравенствам
пр (1 р) ^ к * ^ пр + p. (2.11)
В случае, когда число п испытаний Бернулли велико, расчёты по формуле Бернулли становятся затруднительными. Если при этом вероятность р успеха в каждом испытании мала, так что можно считать, что п ^ х, пр ^ А = const, для расчёта Рп (к) можно пользоваться приближённой формулой Пуассона:
к
Рп (к) Р(к) = ea (к = 0,1,2,...), (2.12)
к!
где a = пр .
На практике формулой Пуассона пользуются в случае, когда число п испытаний Бернулли несколько десятков или более, а произведение a = пр 10. В случае, когда п велико, а a = пр ^ 10, формула Пуассона даёт очень грубое приближение, и для расчёта Рп (к) используют локальную и интегральную теоремы Муавра - Лапласа (см. §4.4).
От схемы последовательных независимых испытаний с двумя исходами (биномиальной схемы) можно перейти к полиномиальной схеме, т. е. схеме последовательных независимых испытаний, в каждом из которых возможно m 2 исходов с вероятностями Р1, Р2,.., pm соответственно
i=1
что в серии из n испытаний первый исход появится ровно ^ раз, второй исход появится ровно ^2 раз и так до m -го исхода, который появится ровно кт раз, рассчитывается по формуле
k ko km n! k1 k2 k
p 1 p 2 - - - p'm
(2.13)
Pn (k1, k2, ', km ) = Pn (k1, k2, '¦', km )p 1p 2 pmi =
^1! k2 ! - - - km ! 1 2
(0 ^ k% ^ n (г = 1 2,...,m), ^ k. = n ).
i=1
121. Известно, что из числа зрителей определённой телепрограммы 70% смотрят и рекламные блоки. Группы, состоящие из трёх наугад выбранных телезрителей, опрашивают относительно содержания рекламного блока.

Рассчитать вероятности числа лиц в группе, которые смотрят рекламные блоки.
РЕШЕНИЕ. Вероятность того, что наугад выбранный зритель данной телепрограммы смотрит и рекламные блоки, согласно статистическому определению вероятности, равна p = 0,7. Интерпретируя опрос трёх телезрителей как три испытания Бернулли и считая успехом ситуацию, когда телезритель смотрит рекламные блоки, найдём искомые вероятности по формуле Бернулли



Содержание раздела