Непрерывные случайные величины
Нанести точки (Q-; ?-) на единый рисунок. Определить операции, оптимальные по Парето1.
165. Инвестор рассматривает четыре операции со случайными эффективностями, описываемыми случайными величинами Qi, Q^, Q3 и Q4 с рядами распределения
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Найти ожидаемые эффективности и риски операций. Нанести точки (Q-; ?-) на |
166. Инвестор рассматривает три операции со случайными эффективностями, описываемыми случайными величинами Qi, Q2, и Q3 с рядами распределения
| Q3 | 5 | 0 | 5 | 10 |
| p | 0,1 | 0,2 | 0,6 | 0,1 |
| Q1 | 5 | 0 | 5 | 10 q2 | 5 | 0 | 5 | 10 |
| p | 0,1 | 0,2 | 0,5 | 0,2, p | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0,4 |
единый рисунок. Определить операции, оптимальные по Парето. С помощью взвешивающей формулы E(Q, ?) = 7Q ?, в которой положить коэффициент
склонности инвестора к риску 7 = 2, определить лучшую и худшую операции2. Предложить какое-нибудь значение 7, при котором лучшая и худшая операции будут другими.
167. Независимые случайные величины X и Y имеют распределения
| X | 1 | 0 1 Y | 2 2 |
| p | 0,1 | 0,1 ?, p | ? 0,7, |
Qi Qj,
или
Qi Qj
1 Операция Qi доминирует операцию Q ¦, если
Qi Qj,
_ _ Операция Q называет-
Qi Qj ¦ -
ся оптимальной по Парето, если не существует операций, которые бы её доминировали. 2 Операция Qi лучше операцииQ^, если E(Qi, г) E(Qj, ?-).
Найти MX, M Y, DX, D Y . Составить ряд распределения случайной величины
Z = X + Y, найти MZ и DZ, убедиться в справедливости (3.14) и (3.22). Составить ряд распределения случайной величины V = XY, найти M V и D V, убедиться в справедливости (3.15).
Составить ряд распределения случайной величины W = min{0, X}, найти MW и DW.
168. Случайная величина X принимает значения 7; 9; 10; 11 и 13 (каждое с ве-1
роятностью 5), а случайная величина Y принимает значения 22; 24; 25; 26; 28
(также каждое с вероятностью 5). Найти DX и D Y, проверить, выполняется ли равенство D Y = DX.
169. Привести пример зависимых случайных величин, для которых формула (3.15) несправедлива.
170. Выразить D(XY) для независимых случайных величин X и Y через MX, MY, MX2, MY2.
171. Доказать, что для независимых случайных величин X и Y D(XY) ^ DX - D Y.
172. Случайные величины X и Y распределены одинаково:
| X, Y | 5 | 0 | 5 | 10 |
| Р | 0,1 | 0,2 | 0,5 | 0,2 |
173. Начальный капитал торговца-челнока составляет 10 000 руб. Опытные
увели-
коллеги сказали ему, что после каждой поездки капитал с вероятностью
остаётся без изменений и с вероятно-
чивается в полтора раза, с вероятностью
стью
уменьшается в полтора раза. Составить ряд распределения капитала тор
говца после двух поездок и найти его математическое ожидание.
174. Проект состоит из трёх этапов.
Первый и второй этапы можно выполнять параллельно, а третий этап можно начинать только по завершении первых двух. Длительности этапов (в рабочих днях) описываются дискретными случайными величинами T- (i = 1,2,3) с рядами распределения
| T1 | 2 | 3 | 4 | Т2 | 2 | 3 | 4 | Т3 | 2 | 3 | 4 |
| Р | 0,1 | 0,8 | 0,Г | Р | 0,4 | 0,4 | 0,2, | Р | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
175. Доказать свойства математического ожидания (3.13) - (3.15) и свойства дисперсии (3.20) - (3.22) дискретной случайной величины.
176. Доказать формулы (3.18) - (3.19).
177. Петя поехал на каникулы на n дней и решил, что будет ежедневно тратить
11
соответствующую часть денег: в первый день , во второй день - от ос-
n n1
татка и т. д. Пусть X¦ часть от остатка денег, которая отделяется на расходы в i -й день (i = 1,2,..., n). Здраво понимая, что траты каждый день будут различными,
Петя решил, что их можно описать независимыми случайными величинами X¦ с
. Найти математическое ожидание
1
математическими ожиданиями MX- =-
1 ni+1
случайной величины Y = (1 Xi )(1 X2)---(1 Xn), равной остатку денег к последнему дню.
178. Случайная величина X принимает только целые неотрицательные значения. Доказать, что MX = ? P{X ^ к} .
к=1
_ XMX ^
179. Пусть X дискретная случайная величина, X =-. Доказать, что
aX
M X = 0, D X = 1.
180. Вывести формулы для математического ожидания и дисперсии альтернативной случайной величины (см. табл.
3.1).
Биномиальное распределение
181. Случайная величина X ~ BiIn = 5;p
). Составить ряд распределения
этой случайной величины, найти её функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию. Построить график её функции распределения.
182. Построить ожидаемое распределение результатов испытаний, которое было бы получено для 256 абсолютно невежественных экзаменующихся, случайно угадывающих ответы на четыре вопроса с четырьмя возможными вариантами ответа на каждый вопрос (из которых один и только один верен).
РЕШЕНИЕ. Угадывание каждым экзаменующимся ответов на четыре вопроса можно интерпретировать как n = 4 испытания Бернулли. При этом, поскольку экзаменующийся невежествен, для него равновероятны все четыре ответа на каждый вопрос, т. е. вероятность успеха (правиль-
ного ответа на вопрос) равна p = 4. Тогда число X угаданных одним экзаменующимся ответов на четыре вопроса представляет собой биномиальную случайную величину X ^ Bi (n = 4; p = 4.)
| и P{X = x} = Cxnpx(1 p)n x = C4 I 41 141 , x = 0,1,2,3,4, а ожидаемое распределение результатов для 256 экзаменующихся, учитывая их независимость друг от друга, будет иметь следующий вид: | ||||||
|
184. В группе из 16 человек 12 поддерживают некоторую правительственную программу. Из этой группы наудачу отбирают троих человек. Составить ряд распределения числа людей в выборке, поддерживающих программу, найти среднее число таких людей и дисперсию числа таких людей.
185. В банк поступило 30 авизо, среди которых пять фальшивых. Тщательной проверке (которая гарантированно выявляет фальшивые документы) подвергаются десять случайно выбранных авизо. Найти ожидаемое количество выявленных фальшивых авизо.
186. Финансовая операция форвард состоит в заключении сделки на продажу (или покупку) в будущем некоторого товара по цене, определяемой сторонами в настоящий момент времени. Фермер предполагает, что через месяц, когда он соберёт урожай, цена пшеницы в каждом из десяти регионов, куда он обычно её продаёт, может с вероятностью 0,9 понизиться и с вероятностью 0,1 повыситься. Поэтому он заключает с десятью мельниками в этих регионах десять форвардов на поставку им пшеницы через месяц по сегодняшней цене. Цены в регионах изменяются независимо. Найти математическое ожидание числа форвардов, которые окажутся выгодными для фермера и вероятность того, что все десять проданных форвардов окажутся для него выгодными (форвард окажется выгодным, если в данном регионе за месяц цена понизится).
187. Европейским опционом колл называется ценная бумага, дающая её владельцу право (но не обязанность) купить некоторую акцию в заранее определённый момент времени по заранее определённой цене, называемой терминальной стоимостью. Европейским опционом пут называется ценная бумага, дающая её владельцу право, но не обязанность продать некоторую акцию в заранее определённый момент времени по заранее определённой цене, называемой терминальной стоимостью. Определить рациональную стоимость годовых европейских опционов колл и пут, если текущая цена акции, на которую выписаны опционы, равна 35, терминальные стоимости опционов совпадают и равны 40, годовая безрисковая процентная ставка составляет 10%, а годовая изменчивость доходности акции равна а = 20% . Расчёты провести по биномиальной модели ценообразования активов, разделяя срок жизни опциона на четыре периода. Составить ряд распределения дохода от исполнения опциона колл.
РЕШЕНИЕ. Пусть на некоторую акцию, текущая цена которой S = 35, выписаны опцион колл и опцион пут, терминальные стоимости опционов совпадают и равны X = 40, годовая безрисковая процентная ставка составляет ггОд = 10% = 0,1, а годовая изменчивость доходности акции
а = 20% = 0,2.
Проведем расчёты по биномиальной модели ценообразования опционов, разделяя год на n = 4 периода, в каждый из которых цена акции, на которую выписан опцион, может повыситься в и раз, либо понизиться в d раз.
Известно, что и = eаУІТ7П, d = e~a^T ! n (докажите!), где T = 1 г. срок действия опциона, n = 4 количество периодов в биномиальной модели, а годовая изменчивость акции. В слу
чае четырёх периодов и = и^ = e0,2114 = e0,1 ^ 1,105, d = d(4 ^ ^ 0,905.
(4)
(4)
Скорректируем годовую безрисковую процентную ставку в соответствии с более короткими периодами времени. Очевидно, ставка безрисковых вложений под сложные проценты на один из
1
n периодов выражается через годовую ставку, как Г(п) = (1 + ггОд )n 1. Поэтому
r(4)= (1 + Ггод) 4 1 = (1 + 0,1)0,25 11,024 1 = 0,024.
Пусть Л(4) = 1 + Г(4) = 1,024. Рассмотрим какой-либо из периодов. Если в его начале цена ак-
US, -N 0)
ции составляла
с вероятностью
, то к концу периода акция может подорожать до
(i)
R/ \ d p( , = (так как математическое ожидание увеличения цены акции
ском счёте 1 + R w откуда p *. + up , + 1 p *. + d dp *. = 1 + R *. или (u d)p , = R , d) вероятностью (1 P(n)). Для четырёх периодов
dS,
подешеветь до
или
(i)
R(4) d
1,0240,905
0,595.
(4) ud 1,1050,905
Процесс изменения цены акции можно представить как последовательность n независимых испытаний, считая успехом повышение цены акции в u раз, а неудачей её понижение в d раз. Если в течение n периодов цена акции поднималась к раз и опускалась (n к) раз, то её цена к
концу последнего периода составит S(n) = Sukdnк. Вероятность наступления к повышений и
| (n к) понижений цены акции составит по формуле Бернулли Pn (к) = cknPk(1 P)n к - Составим ряд распределения цены акции к концу четвёртого периода: |
||||||||||||
|
срока действия опциона, т. е. к концу последнего периода, будет больше X. Если рыночная цена акции S(n) окажется больше X, держатель опциона, исполнив его, получит доход S(n) X. Если
же рыночная цена акции S(n) окажется меньше X, держатель опциона просто не будет его исполнять и получит нулевой доход. Таким образом, если цена акции в момент исполнения опциона колл известна и равна S( ), то доход от исполнения такого опциона составит
C(n) = max{S(n) X; 0}. Поскольку цена акции S(n) является случайной величиной, доход от исполнения опциона колл также является случайной величиной, которая принимает значения
ктк
к „к і
n-k
C(n) = max{Sukdn X; 0} (к = 0,1,2,..., n) с вероятностями Pn(к) = Cp (1 p)
Ряд
| распределения дохода от исполнения опциона при расчётах по четырехпериодной биномиальной модели имеет следующий вид: | ||||||||
|
к к.
MC(4) = Е max{SuJtdnJtX; 0}^'(1 p)nк= 0-0,027+
n-k
составляет
чайной величины
(4)'
'(4)
к=0
+0-0,158+2,737-0,341+12,182-0,126 = 2,468.
Поскольку оценка опциона происходит перед началом первого периода, для получения его рациональной стоимости достаточно дисконтировать ожидаемый доход от исполнения оп
циона на n периодов:
СТ = -L- MC(n) = RL Е max{Sukdnк X; 0}^ (1 p)
2,468 и 2,245.
nк
К \ (n) R \, п
(n) (n) к=0
Для четырёхпериодной модели получаем €-т =
(1,024)
Рациональную стоимость Рт опциона пут можно вычислить, воспользовавшись теоремой о паритете европейских опционов колл и пут. Согласно этой теореме, Рт = X S (докажите!), поэтому Рт = X S + Ст = 40 35 + 2,245 = 7,245. ?
188. Вывести формулы для математического ожидания и дисперсии биномиального распределения (см. табл. 3.1).
РЕШЕНИЕ. Биномиальную случайную величину X ~ Bi(n; p) можно представить в виде суммы n независимых одинаково распределённых альтернативных случайных величин Х_ . ^ A(p):
X = ^ Хг . При этом MX% = p, DX? = p(1 p) (см. задачу 180). По свойству математического
г=1
ожидания (3.14) MX = ^ MXг = np, по свойству дисперсии (3.22) DX = ^ DXi = np(1 p). ?
г=1 г=1
Геометрическое распределение
189. В среднем левши составляют 1% всего населения. Сколько в среднем нужно опросить людей, чтобы набрать десятерых левшей?
РЕШЕНИЕ. При интерпретации опроса как последовательности независимых испытаний с вероятностью успеха p = 1% = 0,01 число X опрошенных до появления левши в первый раз (так же, как и число опрошенных после появления левши в г -й раз до появления левши в (г + 1) -й раз) это геометрическая случайная величина X ^ G(p = 0,01), и её среднее значение оценивается
1 1
математическим ожиданием MX = = = 100 . Для того, чтобы отобрать десять левшей, учитывая свойство аддитивности математических ожиданий (3.15), в среднем нужно опросить в 10 раз больше людей, т. е. 1 000 людей. ?
190. Среди выпускаемых заводом автомобилей 80% некомплектны. Определить, сколько автомобилей должен в среднем осмотреть покупатель, чтобы выбрать комплектный автомобиль.
191. Петя захотел найти человека, день рождения которого совпадает с Петиным. Составить ряд распределения числа N незнакомцев, которых придётся опросить Пете, и найти среднее число опрошенных незнакомцев.
192. Заместитель председателя правления банка Аполлон Митрофанович очень любит ходить в казино, и если он туда зашёл, то не выходит, пока на рулетке не выпадет зеро (то есть число ноль). Каждый раз Аполлон Митрофанович ставит пять рублей на зеро и по одному рублю на двадцать девять и на тридцать два. После этого крупье вращает колесо рулетки, и шарик указывает на одно из чисел от 0 до 36. В случае, когда шарик указывает на число, соответствующее некоторой ставке Аполлона Митрофановича, последний получает выигрыш, в 35 раз больший, чем эта ставка, а те ставки Аполлона Митрофановича, которые не соответствуют выпавшему числу, теряются. Сколько раз играет в среднем Аполлон Митрофанович? Каков его средний выигрыш?
193. Вывести формулы для математического ожидания и дисперсии геометрического распределения (см. табл. 3.1).
Распределение Пуассона
194. Случайная величина X ~ П(А = 2). Определить вероятности P{X = 2}, P{X 1}, P{0 X 3} и P{X = 1 | X 0}. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, построить график её функции распределения.
195. Пивной завод отправил в магазин 400 ящиков пива. Вероятность того, что ящик будет разбит при транспортировке в данных условиях, равна 0,005. По приезде в магазин экспедитор, перевозивший груз, заявил, что семь ящиков с пивом были разбиты при транспортировке. Размышляя, можно ли доверять экспедитору, директор магазина хочет найти вероятность разбить семь ящиков, вероятность разбить не менее семи ящиков, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение количества ящиков, разбитых при транспортировке, чтобы оценить возможность потерь, заявленных экспедитором. Найти указанные величины.
196. В банк поступило 4 000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное количество денежных знаков, равна 0,0001. Найти: а) вероятность того, что при проверке будет обнаружен хотя бы один ошибочно укомплектованный пакет; б) вероятность того, что при проверке будет обнаружено не более трёх ошибочно укомплектованных пакетов;
в) математическое ожидание и дисперсию числа ошибочно укомплектованных пакетов.
197. Для продвижения своей продукции на рынок фирма раскладывает по почтовым ящикам рекламные листки. Прежний опыт работы фирмы показывает, что примерно в одном случае из 2 000 следует заказ. Найти вероятность того, что при размещении 10 000 рекламных листков поступит хотя бы один заказ, среднее число поступивших заказов и дисперсию числа поступивших заказов.
198. Вывести формулы для математического ожидания и дисперсии распределения Пуассона (см. табл. 3.1).
199. Доказать, что число событий простейшего потока с интенсивностью д, наступивших за время t, представляет собой случайную величину X, распределённую по закону Пуассона с параметром Л = /it.
200. В диспетчерскую таксопарка поступает простейший поток заказов такси с
интенсивностью д = 1,2-. Найти вероятности следующих событий: а) за две
мин
минуты не поступит ни одного заказа; б) за две минуты поступит ровно один заказ; в) за две минуты поступит хотя бы один заказ.
201. Магазин имеет два входа, потоки покупателей на этих входах независимы
и являются простейшими. Через первый вход проходит в среднем д = 1,5 , а
1 мин
через второй вход д2 = 0,5 . Определить вероятность того, что в наугад вы-
2 мин
бранную минуту хотя бы один человек посетит магазин.
202. Найти функцию распределения интервала времени T между двумя последовательными наступлениями события в простейшем потоке с интенсивностью д.
§3.3. Непрерывные случайные величины И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Случайная величина X называется непрерывной, если она принимает более, чем счётное число значений.
Случайная величина X называется абсолютно непрерывной, если её функция распределения может быть представлена в виде
X
FX (x) = f fX (z')dz . (3.24)
^
При этом функция fX (x) называется плотностью распределения вероятностей (или, короче,
плотностью распределения) случайной величины X. График плотности распределения случайной величины X называется кривой распределения вероятностей (или, короче, кривой распределения) случайной величины X. Всюду ниже в данном параграфе будут рассматриваться абсолютно непрерывные случайные величины, при этом слово абсолютно будет опускаться.
Как и раньше, если известно, о какой случайной величине идёт речь, то индекс, обозначающий эту случайную величину, опускается: f (x) = X (x).
Плотность распределения обладает следующими свойствами:
для всех x е Ж: f (x) ^ 0; (3.25)
+ra
f f(z)dz = 1; (3.26)
-ГО
(3.27)
для всех точек x е Ж, в которых существует производная F'(x): f (x) = F' (x)
Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет конкретное числовое значение, равна нулю:
для всех x е Ж: P{X = x} = 0. (3.28)
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в числовой промежуток можно рассчитать по формуле
для всех c, d е Ж, таких, что c d: (3.29)
d
P{c ^ X ^ d} = P{c X ^ d} = P{c ^ X d} = P{c X d} = F(d) - F(c) = f f(x)dx .
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется число
+га
(3.30)
MX = f xf (x)dx .
ra
Математическое ожидание непрерывной случайной величины обладает теми же свойствами (3.12) - (3.15), что и математическое ожидание дискретной случайной величины.
Формулы (3.16) и (3.17) для вычисления дисперсии непрерывных случайных величин принимают вид
| DX DX |
|
Дисперсия непрерывной случайной величины обладает теми же свойствами (3.20) - (3.22), что и дисперсия дискретной случайной величины.
Наиболее часто встречающиеся законы распределения непрерывных случайных величин приведены в табл. 3.2.
Способы задания и числовые характеристики непрерывных случайных величин
203. Распределение Парето. Годовой доход случайно выбранного налогоплательщика описывается случайной величиной X с плотностью распределения
0, x 1,
f (x)
_ x 1
x3,5 , x
Найти значение параметра c, функцию распределения годового дохода, средний годовой доход и среднее квадратичное отклонение годового дохода. Определить размер годового дохода xm^n, не ниже которого с вероятностью 0,5 окажется
годовой доход случайно выбранного налогоплательщика.
Основные законы распределения непрерывных случайных величин
| Таблица 3.2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
