Классическое определение вероятности
РЕШЕНИЕ. A П (A U B) = {по правилу де Моргана} = A П (A П B) = {по свойству ассоциативности пересечения} = (A П A) П B = П B = , значит, события A и A U B являются несовместными. ?
35. Проверить, образуют ли события A, A П B, A U B полную группу (A и B произвольные события).
§1.3. Классическое определение вероятности
Вероятность наступления события характеризует меру возможности наступления этого события при проведении опыта. Если множество элементарных событий О = {ш^,,...,ш} конечно, и
все элементарные события одинаково возможны, то такая вероятностная схема носит название классической. В этом случае вероятность P{A} наступления события A, состоящего из M элементарных событий, входящих в О, определяется как отношение числа M элементарных событий, благоприятствующих наступлению события A, к общему числу N элементарных событий. Эта формула носит название классического определения вероятности:
P{A} = M - (1-27)
В частности, согласно классическому определению вероятности,
(1.28)
(1.29)
(1.30)
Р{ш,} = N, i = 1,2,...,N,
N
Р{О} = = 1,
N
Р{0} = В = 0 .
N
Частным случаем классической вероятностной схемы является урновая схема: в урне содержится (K + L) шаров, среди которых K белых и L чёрных; из урны наугад без возвращения извлекаются (k + l) шаров, тогда вероятность Рк l (k, l) того, что в выборке содержится ровно k белых шаров и l чёрных, вычисляется по формуле гипергеометрической вероятности:
PK ,L(k,1)
(1.31)
CK CL
z~ik+l
CK+L
В случае, когда множество элементарных событий бесконечно и даже несчётно (но эти события являются одинаково возможными), вероятность наступления события можно рассчитать, пользуясь геометрическим определением вероятности, которое состоит в следующем. Пусть множество элементарных событий О представляет собой некоторую область в d -мерном пространстве, имеющую ненулевой объём V(О): О С Md, 0 V(О) то . При этом каждому элементарному событию соответствует точка ш еОС Md, а каждое событие A представляет собой область, вложенную в О и имеющую объём V(A): A СОС Rd, 0 ^ V(A) то . Тогда, согласно геометрическому
определению вероятности, вероятность P{A} наступления события A можно рассчитать как отношение объёма V(A) области A к объёму V(О) области О:
V (A)
V (О)
P{A} =
(1.32)
Если элементарные события не являются одинаково возможными, для приближённого вычисления вероятностей можно использовать относительные частоты. Пусть в результате n -кратного проведения опыта S событие A наступило mn раз. Назовём относительной частотой €(A) появления события A в серии из n опытов S отношение числа mn наступлений события A к общему числу n проведённых опытов:
€(A) = . (1.33)
n
При этом вероятность P{A} наступления события A будет равна пределу относительной частоты наступления этого события в серии из n опытов при неограниченном увеличении числа опытов:
mn
n ,P{A}
(1.34)
(здесь - означает сходится по вероятности, см. §4.2).
На практике в этом случае вероятность рассчитывают при помощи приближённого равенства
P{A} и 0(A) = . (1.35)
n
Следует помнить, что данной формулой можно пользоваться лишь при выполнении трёх условий:
- рассматриваемые события должны быть исходами только таких опытов, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий;
- события должны обладать устойчивостью относительных частот (см. теорему Бернулли в §4.3);
- число испытаний, по результатам которых вычисляется вероятность, должно быть достаточно велико.
36. В корзине три красных и семь зелёных яблок. Из корзины вынимают одно яблоко.
Найти вероятность того, что оно будет красным.
РЕШЕНИЕ. Пусть опытом будет извлечение яблока из корзины, а событие A состоит в том, что извлечённое из корзины яблоко окажется красным. Тогда общее число элементарных событий n = 10, из которых m = 3 элементарных события благоприятствуют наступлению события A.
Согласно классическому определению вероятности P{A} = m ^ = 0,3. ?
37. В корзине три красных и семь зелёных яблок.
Из корзины вынули одно яблоко и отложили в сторону. Это яблоко оказалось зелёным. После этого из корзины берут ещё одно яблоко.
Найти вероятность того, что оно будет красным.
38. Трое играют в карты. Каждому игроку сдано по десять карт и две оставлены в прикупе.
Один из игроков видит, что у него на руках шесть карт бубновой масти, а четыре других мастей. Он сбрасывает две карты из этих четырёх и берёт себе прикуп.
Найти вероятность того, что в прикупе окажутся две бубновые карты.
РЕШЕНИЕ. Пусть событие A состоит в том, что в прикупе окажутся две бубновые карты. Из 32 карт игроку известны десять, а остальные 22 неизвестны.
Взять две карты из прикупа это то же самое, что взять их из 22 неизвестных карт, среди которых две бубновые. Поэтому общее число
2
элементарных событий n = , из которых лишь m = 1 элементарное событие благоприятствует
наступлению события A. Согласно классическому определению вероятности,
= . ?
231
P{A} = m = с n C22
39. В партии, состоящей из 1 000 изделий, четыре изделия имеют дефекты. Для контроля отбираются 100 изделий.
Найти вероятность того, что среди отобранных изделий не окажется бракованных.
C0C100
Решение. По формуле гипергеометрической вероятности (1.31) P10004 (100,0) = 4юо96 =
1000
4! 996!
0! 4!' 100! 896!
1000!
4! 996!
1-4!' 100! 896!
10009999989979961"
996 !-1001-900-899-898-897-896!
899-449-897
0,656. ?
100 !-8961-1000-999-998-997-996! 10-111-499-997
100! 900!
100!-900-899-898-897-896!
40. Доказать формулу гипергеометрической вероятности (1.31).
41. В 80-е гг. XX в. в СССР была популярна игра Спортлото. Играющий отмечал на карточке пять чисел от 1 до 36 и получал призы различного достоинства, если он угадал одно, два, три, четыре и пять чисел, объявленных тиражной комиссией.
Найти вероятности следующих событий: не угадать ни одного числа из 36, угадать одно, два, три, четыре и пять чисел из 36.
42. На малом предприятии работают десять семейных пар. Чтобы никому не было обидно, на ежегодном собрании акционеров совет директоров, состоящий из восьми человек, выбирается случайным образом.
Найти вероятности следующих событий: а) в совете директоров отсутствуют семейные пары; б) в совете директоров есть ровно одна семейная пара; в) в совете директоров есть ровно две семейных пары?
43. Найти вероятность того, что при раздаче колоды в 52 карты четырём игрокам первый из них получит ровно n пар туз и король одной масти (n = 0,1,2,3,4).
44. Двери лифта закрылись на первом этаже прямо перед Петей, который успел только заметить, что в лифт вошли шесть человек.
В общежитии семь этажей, и лифт, если откроет на каком-либо из них двери, стоит там целую минуту. Петя живёт на седьмом этаже и очень не хочет идти по лестнице.
Он размышляет, каковы вероятности следующих событий: а) все шестеро выйдут на одном этаже; б) все шестеро выйдут на разных этажах. Найти эти вероятности.
РЕШЕНИЕ. а) Опыт, за которым наблюдает Петя, состоит в том, что люди выходят из лифта произвольным образом: каждый из шести человек может выйти на любом из шести этажей (со
второго по седьмой). Общее число исходов этого опыта n = A6 = 66 (первый человек может выйти на любом из шести этажей, второй также на любом из шести этажей и так до шестого человека; все эти шесть шестёрок перемножаются по правилу произведения).
Пусть событие A состоит в том, что все шесть человек выйдут на одном и том же этаже, тогда число исходов описанного опыта, благоприятствующих наступлению события A, равно mA = 6 (всего есть шесть этажей).
0,00013 . б) Рас
Поэтому, согласно классическому определению вероятности, P{A} = = -5
смотрим тот же опыт, что и в п. а). Пусть событие B состоит в том, что все шесть человек выйдут на разных этажах, тогда число исходов опыта, благоприятствующих наступлению события B,
равно mв = 6! (число перестановок шести людей по шести этажам). По классической формуле
1 /11 6! 0 5/4321
вероятности р{В} = ^ = Г0Т¦ j¦ j¦ 0
5
324
1 3/3
45. Петя и Маша приглашены на день рождения в компанию из десяти человек, включая их, но приходят на него порознь, причём, как и остальные гости, в случайное время.
Найти вероятность того, что они будут сидеть за праздничным столом рядом, если хозяин рассаживает гостей случайным образом, а стол, имеющий прямоугольную форму: а) стоит в середине комнаты; б) придвинут к стене.
46. Во время грозы на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошёл обрыв провода.
Считая, что обрыв одинаково возможен в любой точке, найти вероятность того, что обрыв расположен между 40-м и 45-м километрами.
47. На 200-километровом участке газопровода между компрессорными станциями A и B происходит утечка газа, которая одинаково возможна в любой точке газопровода. Найти вероятности следующих событий: а) утечка расположена не далее 20 км от A или B; б) утечка расположена ближе к A, чем к B.
48. Радар автоинспектора имеет точность 10 и округляет свои показания в ближайшую сторону.
Определить, что происходит чаще радар округляет скорость в пользу водителя или в пользу ГИБДД?
49. При проведении инвентаризации для определения имеющегося на складе количества жидкого химического реактива используется измерительный прибор с ценой деления шкалы 0,2 л. Показания прибора округляются до ближайшего деления шкалы. Найти вероятность того, что ошибка округления не превысит 0,04 л.
50. Ёмкость цистерны для хранения бензина на автозаправочной станции равна 50 т. Найти вероятности событий, состоящих в том, что при случайной проверке в цистерне будет обнаружено: а) менее 5 т бензина; б) более 20 т бензина; в) хотя бы 1 т бензина.
51. Маша тратит на дорогу в институт от 40 до 50 мин, причём любое время в этом промежутке является равновероятным.
Найти вероятность того, что в день экзамена она потратит на дорогу от 45 до 50 мин.
52. Чтобы добраться в институт, Петя может воспользоваться автобусом одного из двух маршрутов. Автобусы первого маршрута следуют с интервалом в 18 мин, второго маршрута с интервалом в 15 мин.
Найти вероятность того, что Петя будет ждать автобуса не более 10 мин.
РЕШЕНИЕ. Выберем в качестве множества элементарных событий О прямоугольник со сторонами T1 = 18 мин и Т2 = 15 мин (рис.
1.3). Событие A состоит в том, что время, которое Петя
будет ждать автобуса, меньше t = 10 мин. Элементарные события, благоприятствующие наступлению события A, заштрихованы на рис.
1.3. Поэтому, согласно геометрическому определению
V (A) = T1T2 (T1 t )(T2 t)
Ш =
вероятности, P{A} =
= 1-
T1T2
10\
10 23
При T = 18, T2 = 15, t = 10 P{A} = 1 - (1 - ^)1 - 15j = ±7. ?
53. Петя и Маша договорились встретиться с 12 до 13 ч на станции метро Выхино у последнего вагона по- Рис.
1.3. Множество элемен-езда, идущего в центр города, однако ни один из них не тарных событий в задаче 52
смог точно указать время своего прихода. Они договорились ждать друг друга в течение 15 мин.
Найти вероятность их встречи.
54. В условиях предыдущей задачи найти вероятность встречи Пети и Маши, если Петя ждёт уже 10 мин, а Маши всё ещё нет.
55. Петя, Маша и Вася договорились встретиться в большой перерыв, который длится час, около библиотеки.
Никто из них не смог точно указать время своего прихода, поэтому они договорились ждать друг друга не более 10 мин. Найти вероятности следующих событий: а) они все встретятся; б) по крайней мере, двое из них встретятся.
56. Рыбаки поймали в пруду 100 рыб, окольцевали их и выпустили назад в воду.
На следующий день они поймали 120 рыб, из которых 10 оказались окольцованными. Найти: а) вероятность того, что выловленная рыба окольцована; б) количество рыб в пруду.
РЕШЕНИЕ. Пусть n число рыб в пруду, mn = 100 число окольцованных рыб в пруду, событие A состоит в том, что выловленная рыба окольцована. Тогда вероятность события A равна,
100
согласно классическому определению, P{A}
. С другой стороны, поскольку из 120 вылов-
ленных рыб m120 = 10 оказались окольцованы, вероятность события A приближённо равна его
т-120 10 1 100 1
относительной частоте: P{A} ж fL оп(A) = = = . Отсюда ж или n ж 1 200. ?
L J 120 v 7 120 120 12 n 12
57. Известно, что в среднем из 1 000 выданных кредитов примерно 12 не возвращаются в срок.
В текущем году банк выдал 3 000 кредитов. Найти количество кредитов, которые не будут возвращены в срок.
58. Привести примеры событий, для вычисления вероятностей которых неприменим способ расчёта с помощью относительных частот.
§1.4. Аксиоматическое построение теории вероятностей
Класс S подмножеств множества элементарных событий О называется полем событий (алгеброй событий), если он содержит достоверное событие (О е S), а также замкнут относительно операций объединения (если A, B е S, то A U B е S), пересечения (если A, B е S, то A П B е S) и дополнения (если A е S, то A е S). Поле событий S называется о -полем (а -алгеброй), если объединение и пересечение бесконечной (счётной) последовательности событий A^, A2, A3,... е S также
ж ж
принадлежат полю S: |^| At е S, П A е S -
г=1 г=1
При аксиоматическом построении теории вероятностей в каждом конкретном пространстве элементарных событий О выделяется о -поле событий S, и для каждого события A е S задаётся вероятность числовая функция, определённая на о -поле событий S и удовлетворяющая следующим аксиомам.
Аксиома неотрицательности вероятности:
для всех A е S : P{A} ^ 0 . (1.36)
Аксиома нормированности вероятности:
Р{О} = 1. (1.37)
Аксиома аддитивности вероятности:
для всех A, B е S, таких, что A П B = 0: P{A U B} = P{A} + P{B}. (1.38)
Во многих случаях вместо аксиомы аддитивности вероятности требуется её расширенный вариант, называемый аксиомой счётной аддитивности вероятности.
Аксиома счётной аддитивности вероятности:
Г то 1 то
для всех Ai, Л,... е S, таких, что при i ^ j Лг П Aq = 0: P jU ЛЛ = Е Р{ЛІ}. (1.39)
Ь=i i J i=1
Каждая определённая теоретико-вероятностная схема задаётся тройкой {О, S, Р}, где О конкретное пространство элементарных событий, S о -поле событий, выделенное на О, Р вероятность, заданная на о -поле S. Тройка {О, S, Р} называется вероятностным пространством.
Из аксиом (1.36) - (1.38) следуют следующие свойства вероятности:
(1.40)
(1.41)
(1.42)
(1.43)
(1.44)
(1.45)
ограниченность вероятности: для всех Л е S: 0 ^ Р{Л} ^ 1;
Р{0} = 0;
для всех Л е S : Р{Л} = 1 Р{Л}; для всех Л, B е S, таких, что Л с B : Р{Л} ^ Р{В};
теорема сложения вероятностей: для всех Л, B е S: Р{Л U B} = Р{Л} + Р{В} Р{Л П B};
неравенство треугольника: для всех Л, B е S: Р{Л U B} ^ Р{Л} + P{B};
обобщённая теорема сложения вероятностей: для всех Л^,Л2,...,An е S: Р j Ц| A J = Р{Л1 U Л U - - - U An} = (1.46)
п Г п
=Е Р{Л,} Е Р{Лі П Aj} + Е Р{Л, П Aj П Ак } - - - + (1)n+1 Р j П A
i=1 Щі j^n 1^ij'k^n [*=1
В случае n = 3 обобщённая теорема сложения вероятностей имеет следующий вид:
для всех A, B,C е S:
P{AUBUC} =Р{Л}+ Р^}+ Р{С}P{AПB}P{BПС} Р{ЛПС}+P{AПBПС} . (1.47)
59. Известно, что курс евро к рублю может возрасти с вероятностью 0,55, а курс доллара к рублю может возрасти с вероятностью 0,35. Вероятность того, что возрастут оба курса, составляет 0,3.
Найти вероятность того, что курс евро или доллара по отношению к рублю возрастёт.
РЕШЕНИЕ. Пусть событие Л^ состоит в том, курс евро к рублю возрастёт, а событие Л$ в том,
что курс доллара к рублю возрастёт. Тогда по условию Р{Л^)| = 0,55, Р{Л$} = 0,35, Р{Л^ПЛ$} = 0,3.
Вероятность того, что курс евро или доллара по отношению к рублю возрастёт, по теореме сложения вероятностей составляет Р^.рД Л$} = Р{Л^)| + Р{Л$} Р{Л^)П Л$} = 0,55 + 0,35 0,3 = 0,6 . ?
60. В партии 100 изделий, из которых шесть имеют дефекты. Партия произвольно разделена на две равные части, которые отправлены двум потребителям.
Найти вероятности следующих событий: а) все бракованные изделия достанутся одному потребителю; б) бракованные изделия достанутся обоим потребителям поровну.
61. Петя ищет работу.
Он побывал на собеседованиях в банке и страховой компании. Вероятность своего успеха в банке он оценивает в 0,5, а в страховой компании в 0,6.
Кроме того, он рассчитывает, что с вероятностью 0,3 ему поступят предложения от двух организаций сразу. Найти вероятность того, что Петя получит хотя бы одно предложение работы.
62. Менеджер по кадрам разместил в сети Internet объявление о том, что банку требуется начальник отдела долговых обязательств, и получил 300 резюме. Из про
прошлого опыта известно, что вероятность того, что претендент имеет высшее экономическое образование, равна 0,3, вероятность того, что претендент имеет опыт руководящей работы в банке, 0,7, а вероятность того, что претендент имеет и высшее экономическое образование, и опыт руководящей работы, 0,2. Оценить количество претендентов, имеющих опыт руководящей работы или высшее экономическое образование.
Построить соответствующую диаграмму Вьенна - Эйлера.
63. Событие A состоит в том, что потенциальный покупатель увидел рекламу товара по телевизору, а событие B в том, что он увидел рекламу в газете. Известно, что P{A} 0,8, P{B} 0,4, Проверить справедливость следующих утверждений: а) A и B несовместны; б) A и B противоположны; в) P{A П B} 0,2 .
64. Известны вероятности дополнительной потребности фирмы в инженерах на предстоящие два года:
| Число инженеров | 100 | 100 - 199 200 - 299 | 300 - 399 | 400 - 499 | ^ 500 |
| Вероятность | 0,10 | 0,15 0,30 | 0,30 | 0,10 | 0,05 |
65. Результаты опроса 1 000 случайно отобранных молодых людей таковы:
| работают | 811 чел., |
| учатся | 518 чел., |
| работают и учатся одновременно | 356 чел., |
| проживают в Москве | 752 чел., |
| из москвичей: | |
| работают | 570 чел., |
| учатся | 348 чел., |
| работают и учатся одновременно | 297 чел. |
РЕШЕНИЕ. Пусть событие A состоит в том, что случайно выбранный молодой человек работает, событие B в том, что случайно выбранный молодой человек проживает в Москве, событие C в том, что случайно выбранный молодой человек учится. Так как n = 1000 достаточно велико, можно воспользоваться статистическим определением вероятности: P{A} и 0,811, P{B}^0,752, P{C}и0,518, P{AnB}^0,570, P{BПС}и0,348, P{AnC}^0,356, P{AnBПС}и0,297 . По формуле (1.46) P{AUBUC} = P{A}+P{B}+P{C} - P{AnB} - P{BПС} - P{AnC} - P{AnBПС} и 1,104 1.
Но вероятность не может быть больше единицы, следовательно, в данной информации содержится ошибка. ?
66. Петя староста группы. Когда деканат попросил его подать сведения о студентах своей группы, Петя по памяти составил следующую записку: В группе 45 студентов, в том числе 25 юношей; 30 студентов учатся на хорошо и отлично, в том числе 16 юношей; 28 студентов занимаются спортом, в их числе 18 юношей и 17 студентов, успевающих на хорошо и отлично; 15 юношей учатся на хорошо и отлично и занимаются спортом.
Сотрудники деканата сразу определили, что Петя ошибся, и попросили его более аккуратно подойти к выполнению поручения. Как сотрудникам деканата удалось поймать Петю?
67. Пусть A, B, C произвольные события.
Расположить следующие события в порядке возрастания их вероятностей: AUC, 0, A\B, A\(B\C), Q, AUBUC, A\B\C.
68. Пусть A C B U C и B П C = 0 . Проверить справедливость утверждений: а) P{A U B}=P{B}; б) P{AUBUC}=P{B} + P{C}; в) P{ A}^P{B}; г) P{A}^P{B} + P{C}.
69. В условиях задачи 41 найти вероятности следующих событий: а) угадать не менее трёх чисел; б) угадать хотя бы одно число.
70. Известно, что пять из сорока пассажиров самолёта замешаны в похищении крупной денежной суммы. В аэропорту к трапу самолёта подошёл инспектор уголовного розыска и заявил, что для обнаружения хотя бы одного преступника ему достаточно произвести обыск у шести наугад выбранных пассажиров.
Что руководило инспектором: трезвый расчёт или риск?
РЕШЕНИЕ. Пусть событие A состоит в том, что среди шести случайно выбранных пассажиров есть хотя бы один преступник, событие A в том, что среди шести случайно выбранных пассажиров нет ни одного преступника. Тогда, используя формулу гипергеометрической вероятности
ck c,6k
(6; к) = 5 635 , к = 0,1,2,3,4,5, поэтому
(1.31), в которой n = 40, m = 5, l = 6, получим: Pz
40;5
0'-39?38-37-6' '
4 19 yf
1 1 5 -35!-6- -34!
C0C6 JLJ5!_
C5C35 _ 01-5! 61-29! _
35!-34!
P{A}=p40.5(6; 0) =
;0,4229, откуда P{A} =
П0Т
6!-34!
О-5 -6 -29!-40! 29!-40!'
111
40
= 1 P{A} ^ 1 0,4229 = 0,5771 0,5. Видимо, это и побудило инспектора назвать число шесть, хотя, на взгляд авторов, инспектор, скорее, рискует пятьдесят на пятьдесят. ?
71. Доказать, что если класс S подмножеств множества элементарных событий Q, замкнутый относительно операции дополнения, замкнут относительно операции объединения, то он замкнут и относительно операции пересечения.
Решение. По условию, если A, B е S, то A, B е S (так как S замкнут относительно операции
дополнения). Так как A, B е S, A U B е S (так как S замкнут относительно операции объединения).
Так как A U B е S, A U B е S (так как S замкнут относительно операции дополнения). Но
согласно правилу де Моргана A П B = A U B, поэтому A П B = A U B е S, т. е. класс S замкнут относительно операции пересечения. ?
72. Записать обобщённую теорему сложения вероятностей для случая четырёх событий.
73. Проверить выполнение аксиом вероятности (1.36) - (1.38) для классической вероятностной схемы.
74. Проверить выполнение аксиом вероятности (1.36) - (1.38) для геометрической вероятностной схемы.
75. Вывести из аксиом вероятности (1.36) - (1.38) свойства (1.40) - (1.47).
Глава 2. Условные вероятности. Последовательности испытаний
§2.1. Условные вероятности
Как уже было отмечено, говорить о вероятности наступления какого-либо события как о мере возможности наступления этого события можно лишь при выполнении определённого комплекса условий опыта. Так, если к комплексу условий, при которых изучалась вероятность наступления события A, добавить условие наступления события B, получим другое значение вероятности P{A | B} вероятность наступления события A при условии, что событие B произошло1 (или условная вероятность события A при условии B), которая равна по определению
P{A | B} =
(2.1)
P{A П B}
P{B}
Иногда вместо обозначения P{A | B} используют обозначение Pb {A} = P{A | B}.
Вероятность P{A}, в отличие от условной вероятности P{A | B}, называется безусловной.
Из определения условной вероятности (2.1) следует формула умножения вероятностей
остающаяся справедливой и в случае, когда P{A} = 0 или P{B} = 0.
Говорят, что события A и B являются независимыми, если
Формулу (2.3) для независимых событий A и B называют теоремой умножения вероятностей. Очевидно, при P{B} 0 теорема умножения вероятностей (2.3) означает, что условная вероятность события A при условии B совпадает с безусловной вероятностью события A:
Формулу умножения вероятностей легко обобщить на случай произвольного конечного числа событий:
События Ap A2,¦¦¦, An называются независимыми в совокупности, если для любого их подмножества A¦ ,A¦ A% вероятность одновременного наступления событий A¦ ,A¦ A% равна про-
12 k 12 k изведению безусловных вероятностей этих событий:
P{\ П \ П ¦¦¦ П Ak } = P{Ah }pA2 } - - - PAk } (k = 12_ n ). ( .6)
Если условие (2.6) выполняется только при k = 2, то события Ap A2,¦¦¦, An называются попарно независимыми.
Следует обратить внимание на следующие факты:
