d9e5a92d

Рассмотрим прямой механизм

Из теоремы 5.3 следует, что для любого механизма распределения ресурса, удовлетворяющего введенным предположениям, существует эквивалентный прямой механизм, то есть неманипулируемый механизм не меньшей эффективности. Этот результат будет использован в доказательстве оптимальности неманипулируемого механизма обмена в ОС с веерной структурой взаимодействия агентов.
Неманипулируемость прямых механизмов и диктаторства [53,55,63].множества
Рассмотрим прямой механизм h : Rn ® Rn. Пусть для некоторогосообщения r е Rn выбирается вектор планов х = h(r). Так как полезность каждого АЭ определяется однопиковой функцией полезности, то каждый АЭ может находиться в одном и только одном из трех возможных состояний: (а) либо hi (r) и тогда АЭ будет получать план, строго больший желаемого, (б) либо hi (r) = и АЭ будет назначаться оптимальный для него план, (в) либо hi(г) ~ и план будет недостаточным. Для каждого активного элемента i е I введем индекс состояния, принимающий значения из набора {a, c, m}=p, где a соответствует состоянию (а), с - состоянию (б), а m - (в), и обозначим его через r (символы индекса являются первыми буквами фр. слов manque -нехватка, contentement - удовлетворенность, abondance - избыток).

Вектор индексов состояния всех АЭ обозначим через ре рп.
Введем соответствия M:pn®21, C:pn®21, Л:рп®21, значениями которых для каждого вектора состояний ре рп будет подмножество АЭ из I, таких, что индексы состояний этих элементов равны, соответственно, m, c и a: M(p)={jeI: p=m}, C(p)={jeI: p=c}, A(p)={jeI: p=a}, pepn. Очевидно, для каждого p подмножества C(p), Л(р), M(p) в совокупности являются разбиением множества всех элементов I .
Определение 2.1.1. [53] Разбиением D пространства Rn назовем совокупность множеств DpzRn, таких, что
ri если i е C(р)
{r е Rn hi (r) ~ если i е M(р), hi (r)
и hi (r) ri, если i е Л(р)}, р ерп. Сокращенно неравенства h(г) r, при iеM(p) будем записывать
hM(р)(~) ~M(р), а неравенства hi(r) Гі, при іеЛ(р) как hл(p)(r) ~Л(р).
Как видно из определения, для каждого множества Dp разбиения D заданомножество элементов C (р), называемых диктаторами, которые получаютоптимальные планы, остальные элементы при этом получают некоторые 26неоптимальные для себя планы. Разбиение в назовем разбиением на множества диктаторства, а сами множества Dр - множествамидиктаторства.
Далее будем предполагать, что в каждом из множеств Dp разбиения D планы, назначаемые всем активным элементам зависят только от сообщений диктаторов C (p) в этом множестве и не зависит от сообщений остальных элементов, если вектор сообщений ~ находится в этом множестве. То есть, существует функция xp(~c(p)), определенная на для всех ~с(p) е Projc(p) Dp, такая, что для всех ~ е Dp выполняется
h(~) = x p (~с (p)) и выполнено предположение


А.2.1.1. [53] Для всех pe рп существует функция
xp : Projc(p)Dp ® Rn, такая, что V~ e Dp выполнено h(r) = xp (~Cp).
Содержательно предположение А.2.1.1 означает, что планы, назначаемые для всех векторов сообщений из одного и того же множества диктаторства, не зависят от сообщений АЭ, не являющихся диктаторами. Определение 2.1.2. [53] Определим совокупность множествDp={reRn:. rM(p)xM(p)(rC(p)), гс(p) = Proj C(p) Dp rA(p)xA(p)(rC(p))},pepn.
Из определения 2.1.2 очевидно, что для любого pepn выполнено включение Dp с D(p. Также очевидно, что если для любого вектора сообщений ~ е D(p выполняется h(~) = xp(~C(p)), то для любого вектора истинных точек пика r е D(p сообщение достоверной информации являетсянаилучшим сообщением из D(p для всех АЭ.
Теорема 2.1.1. [53] Пусть I - множество активных элементов, функции полезности которых обобщенно однопиковые. Пусть механизмh : Rn ® Rn удолетворяет А.2.1.1 и D=D0 , тогда он неманипулируем.^ Теорема 2.1.1. - это достаточные условия неманипулируемости прямых механизмов планирования, которые будут использованы в разделе
3.1 для доказательства неманипулируемости механизма обмена в ОС с веерной структурой взаимодействия агентов.
Стандартная модель теории контрактов [59,64,65,67-70,73-77,7982,85-89,91,95].
Рассматривается система из центра (principal) и одного АЭ (agent). Центр продает агенту некий товар в количестве q по цене t. Функция полезности центра p0(t, q) = t - C (q).

Функция C(q) - стоимость производства товара для центра - дважды дифференцируемая выпуклая функция, C'(0)=0, С'(ю)=х. Функция полезности АЭ p1 (t,q,0) = и(?,q) -1.
?е? = [?,?] - положительный параметр, тип АЭ, характеризующий его вкус. Функция является монотонно возрастающей функцией своих аргументов.
Центру известно множество Q и вероятностное распределение типа АЭ на этом множестве F(?).
Задача центра - максимизировать свою полезность.
На основании принципа выявления (revelation principle) строится неманипулируемый механизм - меню контрактов {q(.), t (.)}, зависящий от сообщаемой АЭ оценки своего типа.механизма имеют
Необходимые условия неманипулируемости следующий вид:
(С (С)
??е?,
d- (?)=F (?(?),?) dL (?)
а? о? а?
(q(?),?)(?) 0 dqd? сІ?
При выполнении условий Спенса-Мирлиса [91] -
О2 и
Vq, ??,-(q,F) 0, доказано, что функция q(O) является неубывающейфункцией своего аргумента.
Предполагается, что q, ?, (q,q) 0. Вводится функция прибылиагента при использовании оптимального неманипулируемого механизма в зависимости от его типа - ?(?) = и(д(?),?) -1(?). Причем, при выполненииусловия IC1, ?е?, (?) = (q(?),?) 0. Поэтому, выполнениеусловий индивидуальной рациональности агента (? е?,?(?) 0) может быть обеспечено следующим образом - п(?) = 0, из чего следует, что ? ди
п(?) = )д?и ? д?
? ди
t(q) = u(q(q),q) -\(q(r),T)dT.
? д?
Задача центра (построение механизма, максимизирующего его прибыль) сводится к решению следующего уравнения:
^(q*(?),?) = 0 при условии dq-(?) 0. Здесь H(q(q),q) = j(q(q),t(?)). дq dq
Данный принцип построения неманипулируемых механизмов для решения задач теории контрактов является частным случаем общего принципа построения неманипулируемых механизмов обмена, который будет введен в разделе 1.5.
Обменная экономика Эджворта. [81,85,94,95] Данная модель экономики известна также как экономика чистого обмена (pure exchange economy). Рассматривается система из двух агентов.

В системе имеются товары (ресурсы) двух типов в ограниченном количестве, распределенные между агентами. Используя терминологию, введенную в разделе 1.1,и ресурсные У1 =(Уь У ^2),заданы начальное распределение ресурсов yи У 2 + У 2 = Y,
ограничения Yj и Y2 (у і + y і = Y1 У2 = (У 21, У 22)).
Каждый из агентов обладает собственными отношениями предпочтения на множестве возможных распределений товаров, заданными неприрывными функциями предпочтения j(У1) и j2(У2), которые также строго монотонны и квазивыпуклы (множество значений у для которых j(у) j(х) выпукло для х) [28,56,60,81,85,95].
Кроме того, задана рыночная стоимость каждого вида товаров p = (p1,p2), в соответствии с которой определяется рыночная ценность набора товаров каждого из агентов - p - уг, i = 1,2.
Агенты могут перераспределять между собой ресурс с целью увеличит рыночную стоимость своего набора товаров (с учетом своих предпочтений). Задача заключается в определении оптимальных по Парето распределений ресурсов (распределение ресурсов Парето оптимально, если не существует другого распределения ресурсов, которое не менее предпочтительное для каждого из агентов и более предпочтительное для одного из них) с учетом заданных рыночных цен.
Для исследования описанной выше модели применяется ящик Эджворта - графическое отображение на множестве возможныхраспределений ресурсов
Длины сторон ящика равны общему количеству каждого из видов ресурсов в системе (Y и У2). Левый нижний угол - агент 1, верхний правый
- агент 2. Точка y0 - начальное распределение ресурсов в системе, (учитывая, что y1: + y2і = Y и /2 + у22 = У2, берется y = y = (y1:,y12)). Кривые Р: и Р2 - кривые равных предпочтений агентов(Vy Е P j (y.) = j (y0), / = 1,2).

Заштрихованная область между ними -множество распределенй ресурсов, предпочтительных с точки зрения каждого из агентов. Линия Bl - бюджетная линия - множество распределений ресурсов, чьи рыночные стоимости эквивалентны (Vy е BL p - y = p - y0). Кривая Ps - множество оптимальных по Парето распределений ресурсов между агентами. Кривая Сс - контактная кривая (contact curve) - часть кривой Ps, принадлежащая области предпочтительных распределений ресурсов с точки зрения каждого из агентов. Точка y* - точка пересечения кривой Сс и линии Bl - точка равновесного по Вальрасу перераспределения ресурсов между агентами, которая и является искомым рыночным равновесием.

Само же равновесие по Вальрасу определяется равновесными ценами p* и равновесным перераспределением ресурсов y*.
Ящик Эджворта может быть широко использован для рассмотрения задач обмена в активных системах, состоящих из двух агентов, и в которых имеется два вида ресурсов. Подобные ОС будут рассмотрены в главе 2 данной работы, а данный графический метод будет использован в дискретном подходе к построению неманипулируемых механизмов обмена.
Механизмы Маскина и МакКельви. Данные механизмы известны, как механизмы, реализующие заданное соответствие группового выбора (СГВ).
Теория реализуемости представляет собой раздел теории управления социально-экономическими системами с сообщением информации. Наиболее полный обзор существующих результатов теории реализуемости можно найти в [27,53,60,83,84,92,93].

В теории реализуемости исследуется реализуемость соответствий группового выбора, свойства реализующих механизмов [78,80,83,92], модели поведения АЭ в детерминированном случае, и в случае наличия вероятностной неопределенности [87,88] и их влияние на реализуемость СГВ.
Приведем известные условия реализуемости соответствий группового выбора [66,83,90].
Говорят, что механизм G (полностью) реализует СГВ f [66], если для всех R е ^:
1) Eg (R) не пусто;
2) g(Eg (R)) с (=) f (R).
Другими словами, при всех R е ^ равновесие существует и в любом из возможных при данном R равновесии s * (R) е Eg (R) принимаемое решение g (s * (R)) лежит в f (R) .
Говорят, что прямой механизм H = (^, h) реализует СГВ f : ^ ® A достоверно, если VR е ^ выполнены:
1) R е Ed(R);
2) h(R) е f(R) .
Достоверная реализуемость означает, что сообщение достоверной информации в механизме H является доминантной стратегией, и при сообщении достоверной информации выбирается допустимая для центра альтернатива.
Рассмотрим некоторые свойства соответствий группового выбора, необходимые для исследования реализуемости СГВ.
Рассмотрим бинарное отношение R A над множеством A и
некоторую альтернативу а е A. Нижним срезом L(a, Ra ) отношения Ra по а называется множество X с A, определяемое следующим образом: X = {b е A : aRAb}. Верхним срезом H(a, Ra ) отношения Ra по а называется множество X с A, определяемое следующим образом: X = {b е A : bRAa}.
Говорят, что СГВ f : ^ ® A удовлетворяет условию монотонности Маскина (ММ) если V{R, R'} с a е f (R) таких, что a е f (R) иVi е I, L(a, Rj) с L(a, Rj) выполняется a е f (R').
Содержательно, ММ означает, что, если при некотором профиле предпочтений R е ^ одной из альтернатив, выбираемых по СГВ будет альтернатива a е f (R), и профиль предпочтений элементов изменятся на R' е Ш таким образом, что в новом профиле позиция альтернативы а по отношению к другим альтернативам для всех элементов не ухудшается, т. е. i е I, L(a, Ri) с L(a, Rj), то альтернатива а будет выбираться и при новом профиле предпочтений а е f (R').
Для однозначных соответствий группового выбора (ОСГВ), то есть таких, что R е Ш ® | f (R)| = 1, определяется следующее свойство
ОСГВ f : Ш ® A удовлетворяет независимой слабой монотонности (НСМ) тогда и только тогда, когда i е I, R е Ш
f (R) е n H(f (R, R-i), Ri ).
R'еШ
Содержательно, НСМ означает, что при сообщении достоверной информации, для всех элементов назначается наилучшая альтернатива, что является аналогом УСС.
Говорят, что СГВ удовлетворяет свойству отсутствия права вето (ОПВ), если а е A, i е I, $R еШ : i ф j, b е A, aRjb выполнено
а е f (R). То есть, если есть альтернатива a наилучшая с точки зрения всех активных элементов кроме некоторого j, то а е f (R).
СГВ f : R ® A называется диктаторской, если $i е I такой, что R еШ, а е A, а е f (R) тогда и только тогда, когда b е A, aRjb. Это означает, что среди элементов I найдется элемент j такой, что альтернатива а выбирается по СГВ тогда и только тогда, когда для j - го элемента нет никакой другой альтернативы, строго лучшей её.
СГВ f: Ш ® A называется Парето - оптимальной, если R е Ш, {a, b} с Aесли i е I, aPib, то b € f (R). Парето - оптимальность означает, что если какая - то альтернатива b для всех элементов строго хуже альтернативы a , то альтернатива b не может быть выбрана по этой СГВ.
Еще одним важным свойством СГВ является существенная монотонность [66].
Альтернатива a е X с A называется существенной для активного элемента i е I во множестве X если существует профиль предпочтений R е Ш такой, что а е f (R) и L(a, Ri) с X.
Множество всех существенных для элемента i е I во множестве X с A обозначим Ess (i, X).
СГВ f: Ш ® A называется существенно монотонным если VR, R 'еШ и а е f (R) таких, что Vi е I выполняется Ess (i, L(x, Ri)) с L(x, R'j) ® а е f (R
Приведем далее результаты, дающие необходимые и достаточные условия реализуемости СГВ при использовании понятий равновесия Нэша и равновесия в доминантных стратегиях. Теоремы 1.3.1-1.3.4 представляют условия реализуемости при использовании определения равновесия в доминантных стратегиях, теоремы 1.3.5-1.3.7 являются условиями реализуемости при использовании определения равновесия Нэша.
Теорема 1.3.1. [53,66]. Для того, чтобы ОСГВ f: Ш® A было достоверно реализуемо в доминантных стратегиях, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло НСМ.
Теорема 1.3.2 [53,66]. СГВ f: Ш® A достоверно реализуема в доминантных стратегиях тогда и только тогда, когда существует ОСГВ f *, удовлетворяющая НСМ, такая, что для всех R еШ, f * (R) с f (R).
Теорема 1.3.3 [53,66]. Пусть Ш содержит только строгие порядки, СГВ f : Ш ® A достоверно реализуема в доминантных стратегиях тогда и только тогда, когда f является ОСГВ и удовлетворяет НСМ.
Теорема 1.3.4. [53,66]. Предположим, что Ш включает все возможные строгие предпочтения над A. Тогда не существует ОСГВ f, множество значений которой содержит не менее трех различных альтернатив, которая достоверно реализуема в доминантных стратегиях.
Вместе с теоремой 1.3.2, последний результат утверждает, что ни одно достаточно сложное СГВ не может быть реализовано в доминантных стратегиях, если на множество возможных профилей предпочтений не наложены дополнительные ограничения.
Гораздо более обширен класс СГВ, реализуемых по Нэшу. Необходимое условие реализуемости СГВ по Нэшу устанавливает следующая
Теорема 1.3.5. [53,66]. Если СГВ f: Ш® A реализуема по Нэшу, то она удовлетворяет монотонности Маскина.
Для получения достаточных условий реализуемости используют следующий подход. Для исследуемой СГВ определяют в явном виде механизм и доказывают, что он реализует данную СГВ, поэтому одни и те же условия будут фигурировать в различных теоремах, доказывающих реализуемость различными механизмами.
Следующий механизм, реализующий СГВ, удовлетворяющую условиям ММ и ОПВ, был получен Е. Маскиным (E.Maskin). Пусть I -множество активных элементов, профили предпочтений которых принимают значения из множества Ш. Задано СГВ f : Ш ® A. Каждый активный элемент сообщает в центр профиль предпочтений всех элементов из Ш, альтернативу из A и натуральное число. Таким образом для каждого элемента Sj = AхШхN и множество возможных сообщений
S = П Sj . Назовем множеством согласованных сообщений множество
іеі
Sa = {s е S| $j е I, $R* е Ш, $a* е f (R*): Vi * j, s, = (a*, R*, 0)}.
Множество несогласованных сообщений определим как дополнение к множеству Sa :
Sd = {s e S| s * Sa }.
Таким образом определенные множества Sa и Sd являются разбиением S .
Процедура принятия решения g: S ® A определяется двумя правилами.
Правило 1.3.1. Если s е Sa, то по определению существуют
j е I, R * еШ, a * е f (R *) такие, что Vi * j, sj = (a *, R *, 0). Пусть j - ый активный элемент сообщает альтернативу a j . В этом случае выбираемая альтернатива
* 7~v * *
a , при ajPj-a ; **
aj, при a Rjaj.
Правило 1.3.2. Если s e Sj, то g(s) = ak(s), где
k(s) = max{i e l| zi zj, j e I}.
Введенный таким образом механизм назовем механизмом Маскина. Первое правило определяет действие механизма в случае, когда все активные элементы, кроме быть может одного, сообщают одинаковые
профили предпочтений R *, одинаковые альтернативы a *e f (R *) и не желают принять участие в лотерее, то есть i ф j, zt = 0. В этом случае считается, что все кроме j-го элемента сообщают достоверный профиль предпочтений R*, соответствующий действительному профилю предпочтений всех элементов, и большинство голосует за альтернативу
a *. При этом из согласованных сообщений остальных АЭ делается однозначное предположение R* о предпочтениях j -го элемента и выбирается альтернатива, наихудшая для j -го АЭ. Второе правило определяет так называемую целочисленную игру.

Если сообщения элементов не согласованны, то любой элемент выбором соответствующего натурального числа может добиться выбора наилучшей для себя альтернативы. Имеет место следующая
Теорема 1.3.6 [53,66]. Если |і| 3 и f: A монотонная по
Маскину СГВ, удовлетворяющая ОПВ, то механизм Маскина реализует эту СГВ по Нэшу.
Как видно из определения, в механизме Маскина каждый активный элемент сообщает профиль предпочтений всех элементов, точное знание которого не всегда возможно. Множество возможных сообщений было значительно сужено в работах Сайжо (Saijo) [90] и МакКельви (McCelvey) [83].

Перейдем к описанию введенного ими механизма.
Определим механизм МакКельви следующим образом. Обозначим множество элементов через I = {1, ..., n}.

Будем считать, что элементы нумеруются по mod n, то есть номер k e Z соответствует элементу с номером к (mod n). Каждый элемент i е I = {1, n} посылает в центр сообщение следующей структуры:
si = (ai, Ai, Bi, ni), где ai е A, и $R ей такое, что либо Ai = L(a Ri) и Bi = L(a, Ri+1), либо At = L(a, R) и Bi = 0. Таким образом
Si = A x 2A x 2A x G и S = П Si -
іеі
Для любых s е S и j е I, обстановка s_ j называется f -
согласованной, если $a е A и 3R* е й такие, что 1) a* е f (R*);
2) ai = a*, i е I \ {j};
3) i * j , Ai = L(a*, R*) и В- = L(a*, R*^).
Процедура принятия решения механизма МакКельви определяется следующими правилами.
Правило 1.3.3. Пусть число элементов |і| 3, тогда для любого s е S если $j е I такой, что a j * a j _i и обстановка s_ j является f -согласованной, то
aj, aj E Bj_i;
aj_i, aj € Bj_i.
Правило 1.3.4.
В противном случае, g (s) = ak (s), где
k (s) = Z ni (mod n)
іеі
Как оказалось, для любой СГВ с количеством активных элементов больше трех верна следующая
Лемма 1.3.1. [53,83]. Пусть |і| 3, тогда для любой СГВ f : й ® A и определенного для неё механизма МакКельви верно R ей, f (R) с g (EG (R)).
Таким образом, любая СГВ, удовлетворяющая условиям леммы
1.3.1, может оказаться нереализуемой лишь в том случае, когда имеются
дополнительные равновесия s* такие, что g(s*) € f (R).
Теорема 1.3.7. [53,83]. Пусть / 3 и пусть f : ^ ® A монотонное по Маскину СГВ, удовлетворяющее ОПВ, тогда механизм МакКельви реализует по Нэшу СГВ f.
Принципы построения механизмов Маскина и МакКельви, используются при простроении консолидированных механизмы обмена для ОС типа цепочка, рассматриваемых в разделе 3.2.
Завершив обзор основных результатов ТАС и микроэкономической теории, применимых для построения неманипулируемых механизмов обмена в активных системах, перейдем к формулировке общего метода построения неманипулируемых механизмов обмена для ОС
1.5. Общий метод построения неманипулируемых механизмов обмена
в активных системах
Обменная схема состоит из n+1 агентов (Центр и n активных элементов) и m видов ресурсов. Заданы функции полезности АЭ, зависящие от вектора трансфертов ресурсов f(x,r): Rm+l ® R, r eQг, i = 1,..., n. Параметр rt - тип элемента, характеризующий некоторым образом его функцию полезности.
Агенты ОС информированы ассиметрично - центр знает все параметры схемы, кроме значений типов АЭ - ему известны лишь множества возможных значений и, быть может, вероятностное
распределение типа на множестве возможных значений. Информированность АЭ не существенна для общего метода построения неманипулируемых механизмов обмена.
Данный прием является стандартным для введения внутренней неопределенности в систему [10-12,18,22,29,45,53,57,59,64,65,81,82,86,91], и достаточно легко трактуется на качественном уровне - в большинстве задач ТАС тип активного элемента отражает его ценность с точки зрения центра - чем выше тип, тем лучше этот элемент для центра (тем большую полезность центр может получить от взаимодействия с таким элементом).
Задача центра - построить механизм обмена x=p( s), максимизирующий некий функционал (целевую функцию центра) Ф( s ,x) : K(s) = minФ(s,p(s)) ® max,
s gQ p( s)
где s = (sl,...,sn) - вектор заявок АЭ. АЭ сообщают центру оценки своих
типов, то st gQг,i = 1,n - т.е ищется прямой механизм обмена.
Порядок функционирования механизма обмена стандартен для механизмов планирования:
Центр объявляет механизм обмена p( s);
АЭ сообщают центру свои заявки s* = (у sn *);
Центр назначает обмен x = p( s*).
Механизм обмена ищется в классе прямых неманипулируемых механизмов - т.е. механизмов, для которых доминантной стратегией
каждого АЭ будет сообщение истинной заявки - s* = (r,..., rn).
Введем ограничения, необходимые для общего решения поставленной задачи. Прежде всего это ограничения на вид функции полезности АЭ.

Нам необходима непрерывность функции полезности, существование и непрерывность ее частных производных вплоть до второго порядка по всем переменным. Кроме того частная производная функции полезности по типу АЭ должна быть монотонна, например
(FI) f (xi, ті) 0, i = l, n r gQ i. or
Кроме того, решение поставленной задачи сильно упрощается, если мы используем условия Спенса-Мирлиса - постоянство знака смешанной производной 02 ft / dxjOr [91], например такое: i, $l(i), такое, что
- 02 f -
(F2^ r eQ.,x, ог0-(xi,Г)^
ox,or
l 1
и
02 f. -
(F2b) y j ф l(i), r eQi , xj, Or(xi, ri)
dxldr
li
Также, необходимо записать условия индивидуальной рациональности (ИР) для всех АЭ. Без потери общности, можно предложить простейшие условия - прибыль любого АЭ (значение функции полезности) должна быть неотрицательна.
Ограничения на ресурсы и возможность взаимодействия между агентами схемы не уточняются, хотя они безусловно отразятся на конечном решении задачи для конкретных моделей. Кроме того, множество возможных вариантов обмена непусто (это следует из постановки задачи - мы сразу рассматриваем обменную схему).
Прямой неманипулируемый механизм должен отвечать условию совершенного согласования (УСС)[52]: f (X, si) = -mах f (z, s)
zeX i ( s- )
Хг (s-г) - Множество возможных трансфертов для i-го АЭ при фиксированном векторе сообщений остальных АЭ s...
Введем функцию зависимости прибыли i-го АЭ от значения собственного параметра ту своей заявки Si, и заявки остальных участников обменной схемы sy
Кг (Г , si , s-г ) = f г (Xi (s, , s-г X Г )-
УСС можно проинтерпретировать следующим образом:
д?г ds.
г
д 2К.
(r , r , s-г ) = О
(1) Vr eQ ., Vs-г e Q-г,
2 (Гг , Гг , s-г ) ? 0
ds
Из первого условия (1а) очевидным образом следует, что
m df dx ‘' ,
(2) Z (X i (гг , s-г ), Г ) (ri , s-г ) = 0-
Лемма 1. Условие (1b) Vr e Q. , Vs-t e Q-t эквивалентно неравенству (3) ^д^дГ (Xi (ri , s-г ), ri ) ~T (ri , s-г ) - 0' Доказательство. В развернутом виде, условие (1b) записывается следующим образом: ZEdf (X (r, s-t), r) -s- (r, s-) dL (r, s_i) +
(4)
+ -X(X (r, s_,), r) (r,s-)] 0. Продифференцировав выражение (2) по гь получаем:
d2 f dX dx'
ds dr
EEdTTdT(x' (r , ^ X r )Z^(k, s-, )XL (r,, s) +
j=i 1=1 dx1. dx] (5) + dr (x (r,s-,), r) -s (r, s-t) + + (x (r, s .), r)-- (r, s .)] = 0.
Очевидно, что Вычитая из равенства (5) неравенство (4) получим выражение (3).^
Теорема 1. В рамках введенных предположений следующие условия: 1 Zd^T(x (r, s-l), r) ~rL (r\, s -.) = 0- j. 2. Id-dL- (x,(r,, s-.), r) (r, s-.) 0. З.Все компоненты планов, назначаемых центром каждому АЭ изменяются монотонно в зависимости от заявки данного АЭ:
dx .
z, j, s . gQ ., s . eQ ., x1., j (s ., s .) 0.
. ds
z
достаточны для неманипулируемости механизма обмена. Т.е глобальный максимум любого из f (p(s t, s-.), r) достигается при s. * = r .
Доказательство. Требования 1 и 2 данной теоремы - это необходимые и достаточные условия существования локального максимума функции V (r, у, s_t) при у. * = r .
Рассмотрим следующее выражение: (r., S., s ) = У ду (x, (у, s -,), r) (у, s ).
Учитывая (1), можно записать
dx..
j
ds
д V т
~дГ У, s„ s,) У
ds, .і
df df
J(x,(s,, s -, X Г ) -it- (xt (s,, sX s,)
dx
dx
jj
Знак левой части данного выражения определяется (6) (r, - К )У у(x(r' , s-, ^ r' ) dT(s,, s-,).
где r.* лежит между r. и s. .
Анализируя (6), видно, что при выполненных условиях Спенса-Мирлиса ^2а) и (F2b) и при
dx.
_I
ds
(s, s-.) 0
j,s. gQ. , s . eQ ., x1. . . -. -.
функция V- (r, st, s-.) не
убывает при r. s., и не возрастает при r s.. Т.е глобальный максимум любого из ft (p(st, s-1), r) достигается при st * = r. . ¦
Условия 1 и 2 теоремы 1 можно классифицировать как необходимые условия неманипулируемости механизма обмена. Условие 3 является достаточным для неманипулируемости механизма обмена при выполеных условиях 1 и 2.
При выполнении данных условий, обозначим прибылькаждого АЭ
П (r, s-.) /г (p(r, s-.X r) -
Очевидно, что, с учетом (2):
dvt
dr
(ri,s-i)
(у (ri,s-i X ri) - or
(7)
В соответствии с (F1) выражение (7) положительно. В литературе функция n (r, s_t) называется информационной рентой АЭ [91].

Из (7) видно, что данная рента является возрастающей функцией от типа АЭ. Т.е., чем лучше тип АЭ, тем большую прибыль он получает от неполной информированности центра о своем типе.
Так как в нашей модели условия индивидуальной рациональности (ИР) не зависят от типа АЭ, можно нормализовать минимальную прибыль для каждого АЭ , и записать ИР следующим образом:
(8) ?д r е Wi,s_i eQ_., n(r,s_.) 0.
Механизм ОУ следует создавать таким образом, что бы прибыль любого АЭ, в случае, если его тип окажется наихудшим из возможных для него, была минимальна, т. е. не нарушала требования ИР:
Vi, Vs-. е W_i, v.(rt, s_i) = 0.
Следовательно, с учетом (7):
(9) П (rt, s_t) = }0-(х (т, s_tX т)dt.
r dr
'l 7
Выражение (9), вместе с теоремой 1 являются основными результатами данного раздела. Они позволяют определить семейство механизмов, в которых доминантой стратегией АЭ является сообщение истинных заявок. Данные результаты получены из анализа УСС для АЭ. Задача центра - выбрать из полученного семейства механизмов оптимальный по заданному критерию.

Конечное решение для каждой задачи будет зависеть от вида критерия оптимальности, вида функций полезности агентов, ограничений на ресурсы в системе, ограничений на взаимодействия между агентами и т.д.
Кратко сформулируем результаты первой главы. В разделе 1.1 разработана теоретико-игровая модель обменной схемы, в рамках которой обмен определен как процесс перераспределения ресурсов между участниками активной системы, а обменная схема (множество вариантов
обмена) - как совокупность всех индивидуально рациональных
распределений ресурсов, достижимых в рамках заданных ограничений на ресурс взаимодействие между агентами.
В разделе 1.2 задача обмена сформулирована как задача управления в активной системе. В разделе 1.3 обоснована актуальность рассмотрения задач теории активных систем (ТАС) как задач обмена.

Приведен сравнительный анализ классификации активных система (АС) и классификации ОС. В раздел 1.4 рассмотрены основные математические модели и методоы, которые могут быть использованы для построения неманипулируемых механизмов для ОС.

В разделе 1.5 дана общая постановка задачи построения неманипулируемых механизмов обмена для АС с неполной информированностью центра. Сформулирован общий метод построения неманипулируемых механизмов обмена в активных системах с неполной информированностью центра; получены необходимые и достаточные условия неманипулируемости механизмов обмена.



Содержание раздела