d9e5a92d

Эффективный и неманипулируемый механизм обмена

АЭ можно записать
r е Q';
(47) X2(r)
rmax
max
4r3 r3
(48) x (r) =-, r eW;
6r
2
max
3 1
~ = min{(r Y2)1/2,(-r2 F + -r- )1/3}.
v V max 2 / ? ^ 2 max - 4 min ^ ^


Ожидаемая прибыль центра будет иметь более сложный вид
(49) ЩП) =
[2r (r2 + rr . + r2. ) (r + r . )(r2 + r2. ) + r3. 1
l max v mm mm s v mm ^ v min ^ min J
6r2 (r r . )
max max min
Задача 4. Построить эффективный и неманипулируемый механизм обмена для ОС с линейными функциями полезности Ц - f1(x1,x2) = rx1 x2,
и АЭ - f1( x15 x2, r) = rx1 x2. Задача центра - максимизация гарантированной относительной прибыли от обмена
min , „ s max f0e(s)
/c(p( s))
Множество возможных значений типа АЭ -отрезок [rmin,rmax].
Распределение ресурса в схеме такое же, как в рассмотренном выше примере - весь ресурс первого типа Y1 сосредоточен у центра, весь ресурс второго типа Y 2 - у АЭ. Причем существенным будем считать ограничение на ресурс первого типа.
Легко видеть, что функция полезности АЭ удовлетворяет требованиям (F1) и (F2):
re Q,
X e х = * 0,
dr
т.е. выполнено F1. Также,
d/1( X1, x 2, r )
re Q, X еХ
dx2dr
что соответствует F2 b . Также очевидно,
d/1(x-, x2 , r)
re Q, X e Х,
’ dx1dr
что соответствует F2a.
В соответствии с (39) получаем
г
x2 (г) = rx1 (r) + J x1 (t)dT.
Для построения механизма ОУ необходимо решить следующее уравнение:
d ( f0(p( s У) ) = 0
7 ( WeW х)
ds max f0 е (s)
Очевидно, что max /0det(s) = (s - c)Y1. Поэтому получаем, что
J x1(f)dT = 0.
(50) ^xxn - xjrn+L_
dr r - c (r - c)2
(51) 0 xj(r) Yi.
Механизм имеет следующий вид:
)-1.
X2(r) = MO^r-c(1--У), Xi(r) = Yi, m(r) = (1 + In
d(r) m(r) rmin- c
= u(r ).-
г V max /
Относительная гарантированная прибыль центра f0(p(r ))
и3 (35). Для непРеРывного случая, m = Х1( Х2 е [ ^ГшпХ И
определяется из (45) и (46). Очевидно, что (х/, х2*) е m, оптимальные для АЭ, будут совпадать с p(r) = (xx(r),x2(r)), определяемым по все тем же (34) и (35) (или (45) и (46)). На левой части рисунка 8 представлено множество вариантов обмена, получаемое в задаче 3. На правой - для задачи 4. 2.3. Решение задачи обмена для двухэлементных обменных схем безиерархииРассмотрим обменную схему из двух агентов, в которой отсутствует
иерархия, т.е. нет отношений подчиненности типа Ц - АЭ. Т.к. понятие ОСподразумевает, что у агентов имеется возможность увеличить своюполезность путем обмена, то возникает вопрос поиска равновесия -обмена (множество обменов), устраивающего каждого из участниковобмена. В качестве критерия, определяющего равновесие, например, могут выступать некие внешние цены на товары, которые присутствуют в ОС. Данный критерий, как было показано в разделе 1.4, использовался в модели обменной экономики Эджворта, а само равновесие называлось равновесием Вальраса [81].

Но как быть, если применение подобного затруднительно. В данном разделе рассматривается модель, в которой агенты не полностью осведомлены о параметрах друг друга. В такой ситуации задача поиска равновесия осложняется возможностью агентов манипулировать информацией при обмене.

Предлагаемый метод решения подобных задач основан на рассмотренном выше механизме ОУ - каждый из агентов предлагает в качестве вариантов обмена свой механизм ОУ, где он выступает в роли центра. Выбранная модель ОС является модификацией модели ОС, рассматриваемой в разделе 1.1.
Агенты имеют следующие функции полезности: j( У V У 02, Г0) = Г0 у 02 + у 0У j(У ’,у'2,г) = у\ - (Y - у2)2/2г\
Начальное распределение ресурсов остается прежним:
Также, как и ограничения индивидуальной рациональности:
IR(y0) = (V/ = 0,1 j (y.) j (y.0)}.
Информационное состояние схемы выглядит следующим образом. Каждый из агентов знает все параметры схемы за исключением точного значения типа оппонента - ему известно множество возможных значений типа и вероятностное распределение типа - Q'1 = [flmin,flmax], р.г(г4),
r-і
' max
Jp г (r-i )dr = 1. Для простоты дальнейших вычислений будем
Г min рассматривать именно непрерывный случай с равномерным распределением p t (r-г) = 1- =const. Каждый агент знает точное
Г max Г min
значение собственного типа.
Функции полезности агентов от обмена в данной модели записываются следующим образом (17), (18):
f0( *1, x2 r 0) = r 0 *2 - Xi;
fl(X1 X 2 , О = X1 - X22 /2r '-
Процесс обмена (игра) происходит следующим образом:
1. Каждый из агентов сообщает свое меню или множество предлагаемых вариантов обмена, соответствующее механизму ОУ, в котором он выступает в роли центра.
2. Каждый из агентов сравнивает прибыль от наилучшего варианта обмена из предложенных оппонентом с ожидаемой прибылью от своего механизма обмена.
3. Каждый из агентов сообщает оппоненту свою заявку - по какому из предложенных механизмов он готов обмениваться (кем готов быть -центром или АЭ).
4. Если позиции агентов не противоречивы (Ц - АЭ или АЭ - Ц), то тот из них, кто выбрал роль АЭ, сообщает вариант обмена из меню оппонента, который его устраивает (или просто свой тип в случае прямого механизма). Если позиции элементов противоречивы (Ц - Ц или АЭ - АЭ), то возникает конфликтная ситуация, варианты решения которой будут рассмотрены позже.
5. Элементы совершают обмен в соответствии с выбранным планом в случае непротиворечивости выбранных ими ролей.
Предполагается, что при одинаковой выгодности роли Ц и АЭ, любой из агентов предпочтет роль АЭ.
Данный вариант игры является квазиинтеллектуальным, т.к. агенты не используют предлагаемый оппонентом план для вычисления типа оппонента.
Оба агента строят механизмы ОУ, основываясь на максимизации собственной ожидаемой прибыли Efc (r1 ,p(s-1)) max
1 p(s-1)
Механизм ОУ, предлагаемый агентом 0. Данная задача имеет вид, аналогичный задаче из примера 4, за исключением вида функции полезности от обмена для центра. Т.е. задача динамического
программирования, которую необходимо решить для построения механизма ОУ, имеет следующий вид (41):
r x (r0 r')2 у x (r0 t)2
ty)(r\Q1) = 1[r0x2(r0,r4-~xl~2Ti--1 - 1 1 drr(r‘)dr ®max’
21
r min
r min
при условиях 0 X2(r, /) Y'2, 0 xj(r, rl) ? Yi.
Решение данной задачи для равномерного распределения типа АЭ будет иметь следующий вид (43), (44):
r0rl2 '
(52) x2 (r0, r) = -{, r0 eQ0, r1 eQ1 ;
r max
. l3 i3
,2 4r - r mm
(53) Xi(r0, r v) = r
r0 eQ0, r 1 eQ1
12
6r

Q1 = [r ^min , r 1], ^ = min{( rmaxY2/^ Г',(^3 rLYJ ^ + 4

Для простоты анализа, но без потери общности, примем, что ресурсные ограничения выполняются для всех значений типов агентов. При данных предположениях ожидаемая прибыль агента 0 в качестве центра будет иметь следующий вид:
12
12
(54) Ef,(r0, Q1) =
(r
max + r max r min + r‘min ) .
6r1
Прибыль АЭ
13 13
r - r min
(55) f(r0,r1) = r0 (
).
12
6r
Механизм ОУ, предлагаемый агентом 1.
Задача центра - E/1(Q0, r') ^max. Проверим, удовлетворяет ли модель свойствам, позволяющим построить механизм ОУ. Функция полезности АЭ
f0( xn X2 , r 0) = r 0 X2 - X1-
Соответственно,
Л Q0, л еХ д^Хі’Х2’Г ) = x2 0,
dr0 2
т.е. выполнено F1. Также,
Л Q0, х ^Х ддГ(Хі’Х^r ) = 1 0,
dx2dr
что соответствует F2a. Также очевидно,
Л Q0, X еХ Х2 Г ) = 0,
dx1dr0
что соответствует F2b.
Приступим к построению механизма ОУ. Из (9) получаем x1(r0,r') = r0x2(r0,r’)- Jx2(r,rl)dt.
r min
Необходимо решить следующую задачу
x2(r,rl)2 2r1
' max
Е/1(П,r1) = J [/XJr,r1)-
t
- Jx2(t,r 1)dr]p0(r0)dr0®max,
J x~
0
r min
0
r min
при условиях
0 X2(r^, rl) Y2, 0 x1(r, rl) Yi.
Выше мы приняли, что ресурсные ограничения выполняются для любых типов агентов, поэтому решение поставленной задачи будет иметь следующий вид:
(56) x2(r0, rl) = r\2r0 - r0max), r0 eQ= [r0, r V], r1 eQ1 ; x2(r0,r) = 0, r0 eQ0/Q', r1 eQ1 ;
(57) x1(r0, r ) = r1 (r02 - (r 0max - r 0)r0), r0 eQ0 = [r0, r V], r1 eQ1 ;
x1(r0,rl) = 0, r0 eQ0/Q0 , r1 eQ1 где
(58) r 0 = max[r "min, r max/2].
Ожидаемая прибыль агента 1 в роли центра
2 U О О
r r r
(59) Ь/1(ІГ,Г) = -r---+ ry
Прибыль АЭ
(60) fo(r0,r) = r'[(r! - r0)p0 - (rmax - r0)r0]
На рисунке 9 приводится вид меню - множества вариантов обмена, предлагаемых агентом 1.


Рис. 9. Вид множества вариантов обмена, предлагаемых агентом 1.
Построив механизмы ОУ (52), (53) и (58), (59), можно
проанализировать, какая из возможных позиций в иерархии выгодна для каждого из агентов, в зависимости от следующих параметров модели -качество типа каждого из агентов, определяемое как отношение истинного типа агента к лучшему и его информированность - отношение худшего из возможных типов оппонента к лучшему. Для этого необходимо сравнить (54) и (60) для агента 0 и (59) и (55) для агента 1.
Для анализа выгодности позиций для агентов, введем следующие замены: r0 = ar0 , r0 = br0 , r1 = yrl , r1. = ml . Причем очевидно, что
(61) 0 h? 1,
и из (58) -
70
(62) 1/2 b a 1.
Множество всех значений переменных а, в, у, п, удовлетворяющих (61) и (62) обозначим ? Введенные переменны можно трактовать следующим образом:
П - осведомленность агента 0, чем больше ее значение, тем лучше информирован данный агент; у - тип агента 1;
в - осведомленность агента 1, чем больше ее значение, тем лучше информирован данный агент; а - тип агента 0;
С учетом данной замены переменных, получаем
а2
(63) в/о( I ah) = i^t (1 + h + h);
6
а2
(64) f1(iagh =1(r3 -h);
6
2 1 b
(65) E/j( I ,b,g) = 13 Y{- - 2 + b2);
(66) /о (I a, b, g) = Ig[(1 - b)b - (1 - a)a].
Здесь I = rm0ax2rmax - константа, определяемая параметрами обменной схемы.
Проанализируем зависимость выражений (63) - (66) от новых переменных.
растет с улучшением его информированности.
df
-^-(I,a,b,g) = Iy[2a -1] - с учетом (62), прибыль агента 0 в роли АЭ da
растет с улучшение его типа (собственно на этом принципе и строился механизм ОУ) df
(I,а,b,g) = Ig[ 1 - 2b] - с учетом (62), прибыль агента 0 в роли АЭ db
убывает с улучшение информированности агента 1.
(I,а, b,g) = I[(1 - b)b (1 - a)a] - прибыль агента 0 в роли АЭ
dfo
dg улучшение его типа.
улучшением типа агента 0.
Можно сформулировать следующее качественное утверждение - для любого из агентов позиция АЭ может быть более предпочтительна, если он плохо информирован, но и его оппонент плохо информирован также, и, если тип оппонента высокий. Кроме того, учитывая, что прибыль агента с худшим типом при использовании механизма ОУ нулевая, а прибыль в роли центра очевидным образом положительна, можно предположить, что позиция АЭ предпочтительна, когда тип агента достаточно высокий.
Предпочтительность позиции АЭ можно сформулировать следующим образом.
Для того, что бы агент 0 предпочел роль АЭ роли центра необходимо выполнение следующего неравенства
a
(67) Fo(a,b,g,h) = g[( 1 -b)b-(1 -a)a]- (1 + h + h2) ^ 0.
6
Для того, что бы агент 1 предпочел роль АЭ роли центра, необходимо, что бы
(68) F!(a,(igh) = ^6 (g3 - h3) - 2 g(4 - В + b2) ^ 0
6 3 4 2
В следующей лемме определяются условия необходимости, которые накладываются на тип агента 1 и область его значений, при которых возможна ситуация, когда агент 0 предпочтет позицию АЭ.
1 + h + h2
3
неравенство (67) не выполняется для V a
Лемма 5. При g
и b.
Доказательство. Функция F0(a,b,g,h) достигает своего глобального
* 1 + h + h\ -1
экстремума по а при a = (2--) т.к
3g
1 + h + h2
3
OF W1 0
Oa
(69)
(a,b,g,h) = 2ag - g - a
Данный экстремум является минимумом, если
(70) OaFr(a,b,g,h) = 2g - 1 + h3+ h 0. da2 3
Кроме того, очевидно, что
В2
(71) F0(b, B,g,h) = -^(1 + h + h2) 0.
6
Следовательно, для b, g, h, удовлетворяющих (61), (62), и (70), при
ae\fi,(2 -1 + h + h )-1] неравенство (67) не выполняется. Если 3g
1 + h + h2 1 + h + h\ /О 1 + h+h 4-1 л ~ r-
g?\--,--], то (2---) 1, т.е на всей области
6 3 3g
возможных значений а неравенство (67) не выполняется.
1 + h + h2
Если (70) является равенством - g =--, то (65) отрицательно
6
для а иb. С учетом (71) получаем, что на всей области возможных значений а неравенство (67) не выполняется.
, то функция F0(a, b,g,h) достигает при
Если g
1 + h + h
* 1 + h + h\ -і * _
а = (2--) своего максимума, причем очевидно, что а 0.
3g
Следовательно, с учетом (71) получаем, что на всей области возможных значений а неравенство (67) не выполняется. ¦
Общее условие предпочтительности позиции АЭ для квазиинтеллектуального агента 0 можно записать в следующем виде.
Утверждение 2. Существует область значений параметров а, в, Y, П, qоае =Qaae х?0™ х?"е х?0ae, в которой роль АЭ предпочтительнее для
квазиинтеллектуального агента с номером ноль. Область
?0ae = ?0аае х Q0bae х ?0ае х ?0ae задается следующим образом:
(72)a ? ?Г = \(1 + 7 2(1 - b)bC +1 - 4(1 - b)b)(2 - C)M];
11
(73) b?Q7 = Ьт(1 Wi-TC)];
22
(74)g ? ?ж = [2(1 + h + h ,1];
(75)h ??," = (0,2(73 -1)].
1 + h + h2
Здесь используется замена с =-'.
ЗГ
Доказательство. Из леммы 5 следует, что с 1- Также очевидно, что С 0.
Решив (67) как квадратичное неравенство относительно а, получим, что а е (-?, а~ ] u [а+, ?), где
а* = (1 ±42(1 - Р)РС +1 - 4(1 - b)b)(2 - с)-1 -
Покажем, что а 1/2. Очевидно, что данное утверждение эквивалентно неравенству (76К/2(1 - Р)Рх +1 -4(1 -b)b С.
Неравенство (76) выполнено для се (8(1 - b)b- 2,2). Учитывая (62) получаем, что данное неравенство выполнено всегда.

Т.е а 1/2 для любых параметров модели. Следовательно, с учетом (62), (67) выполнено
для а е ?Г = [(1 + 42(1 - b)bc +1 - 4(1 - b)b)(2 - С)- ,1].
Для того, что бы множество ?0аае было не пусто, необходимо, что бы
(77К/2(1 - Р)РХ +1 - 4(1 - b)b ? 1 - С.
Неравенство (77) можно переписать следующим образом (78) с2 - 2с(1 + (1 - b)b) + 4(1 - b)b 0.
Решив данное неравенство относительно в, получаем
b е 4(1 ~41 - 2с );1(1 + 41 - 2Х)] и Х ?1
учетом
Очевидно, что 1 (1 -1 - 2с) ? . Следовательно, с
ограничений на х и (62), получаем Ье?Ь* = [2;1-(1 + ^ 1 - 2с)],
Ге?0ае = [2(1 + h + h ),1]. Множество ?0ае не пусто при
Пе?п а = (0,|(?3 -1)].
На качественном уровне - если информированность обоих агентов достаточно плоха, а качество типов агентов достаточно высоко, то квазиинтеллектуальный агент 0 может добровольно согласиться на роль АЭ.
Утверждение 3. (a, P,g,h) ?? роль АЭ не выгодна для
квазиинтеллектуального первого агента.
Доказательство. Утверждение трактуется следующим образом - для (a, b, Y,h) Е ? неравенство (68) не выполнено.
Введем следующие замены
(і9)е = 1 - b + b;
81 h - 768--)
(80) L = (108^3 +12
Решив (68) как кубическое неравенство относительно у, получим, что
L e
6 La2
Очевидно, что у* 0. Следовательно, с учетом (61), получаем, что для
ge[g*, ?), где у* =- + 8
L e
у е?1ав = [+ 8-2,1] неравенство (68) выполняется. Множество ?1ж не
6 L a пусто, если у * 1.
Минимальное значение е, для в, удовлетворяющих (62) достигается
b 1 1 при b = 2 - е = 4.
Следовательно у * L + .
6L
L2
Очевидно, что I 1 при любых неотрицательных L. Поэтому 6L
множество ? 'уае пусто для любых а, в, ц, удовлетворяющих (61) и (62). Т.е.
не существует таких а, в, Y, П, удовлетворяющих (61) и (62), для которых выполняется неравенство (68). ¦
Итак, было доказано, что для агента 1 всегда предпочтительнее позиция Центра, в то время, как для агента 0 существует область значений параметров а, в, у, п, - ?0ae = ?0аае х?0™ х?0ае х 0ж, в которой для него предпочтительнее позиция АЭ. Т.е в обменной схеме возможны следующие варианты распределения позиций агентов: Ц-Ц и АЭ-Ц.
Ситуация, когда оба элемента претендуют на роль центра - является конфликтной. Рассматривается метод разрешения данного конфликта, основанный на компенсации за роль АЭ - элемент, претендующий на роль центра, предлагает своему оппоненту некоторую компенсацию за то, что тот откажется от роли центра. Очевидно, что размер компенсации, которую необходимо выплатить агенту определяется абсолютным значением функций F0(a, bf,h) для агента 0 и F1(a, bf,h) для агента 1. А определить агента, который займет позицию центра можно исходя из разницы данных функций:
1 5b2 а2
(81) F (a,b,g,h) = g[- - + 4b- - (1 - а)а] (1 + h + h + h - f).
6 3 6
Если данное выражение отрицательно, то позиция центра доступна агенту 0, если положительна, то агенту 1. Выше было показано, что позиция центра всегда предпочтительнее позиции АЭ для агента 1. Поэтому нас будет интересовать - возможно ли ситуация, когда агент 0 в состоянии компенсировать агенту 1 отказ от позиции центра.
Теорема 3. (a, b, f,h) ?? только агент 1 может выступать в роли центра. Т.е (а,b, f,h) ?? F(a,b,g,h) 0.
Доказательство. Произведем анализ функции F(a,b,g,h). Для
этого будет достаточно исследовать частные производные данной функции по параметрам а и в: (82) (а^ЛЛ) = г(2а-1) -- (1 + h + h2 + h - f);
(83) = f(4-ъ ). dF
Можно показать, что при выполнении (61) производная (a,p,g,h)
да
всегда положительна , т.е с улучшением типа агента 0 его шансы стать центром уменьшаются. Неотрицательность (82) легко показать, приняв во внимание результаты утверждения 3 - агенту 0 не выгодно быть АЭ, если
g
dF а а
(a,P,g,h) g(1 - -) + - -да 2 3
2(1 + h + h2)
dF_

dp

(a, p,r,h)
Также не трудно показать, что производная
положительна, т.е с улучшением информированности агента 1 шансы
агента 0 стать центром уменьшаются. Из (62) следует, что
dF p . 2 можно показать, что значение функции F (a,p,g,h)
если g
С учетом результатов утверждения 3 - агенту 0 не выгодно быть АЭ, 2(1 + h + h2)
при а = p = 2 положительно: f (,,g,h) = g(1 + h + h + h - g3) - g + 0. для g,h, удовлетворяющих (61). Следовательно, в рамках
рассматриваемой модели функция F (a,p,g,h) всегда положительна. ¦
Теорема 3 может быть проинтерпретирована следующим образом. Агент 1 всегда может назначить такую компенсацию агенту 0, при которой тот согласится выбрать позицию АЭ.

Агент 0 не имеет возможности компенсировать агенту 1 отказ от позиции центра. Можно в явном виде записать прибыль каждого из агентов в данной обменной схеме. Агент 0 выступает в роли АЭ:
Г О
+ r min)]
f0(r0,r\Q1) = max[r'((rl - r)r - (rl - r)r0),-^(rU + r^r'min
6r max
Агент 1 выступает в роли Ц, его ожидаемая прибыль :
rmax r__+ ^ 02)
2
0 2 max
2 r
Ef1(Q0, r0, r1) = 3 r 1( г 4
(85)
max[0?6^(r 'max + r 'max r 'min + r - r '((rl - r )r - (rl - r ")]
6r max
Следует отметить, что у предложенного выше метода анализа агентами выгодности позиций центра и активного агента есть недостаток -агенты не производят анализ предлагаемого оппонентом механизма и не пытаются восстановить истинные тип оппонента. Поэтому данный метод может быть назван методом для квазиинтеллектуальных.

Метод анализа выгодности позиций Ц и АЭ для интеллектуальных агентов может основываться на сравнении прибыли агента в роли АЭ с прибылью в роли центра, куда подставляется тип оппонента, восстановленный из предлагаемого им механизма обмена. Проиллюстрируем данное предположение. Агент 0 предлагает агенту 1 некий план обмена:
(86) x2(r') = Ar '2, r1 eQ1 ;
(87) x1(r') = Br13 - C, r1 eQ1 .
Предполагая, что данный план обмена должен являться механизмом ОУ, и зная вид функции прибыли агента 0 от обмена (17), агент 1 может решить следующую систему уравнений, получив тип агента 0 r0:
r0 = Ar1
Причем, если данная система совместна, то агент 0 действительно предлагает механизм обмена ОУ. Полученное значение типа агента 0 позволяет посчитать уже не ожидаемую прибыль агента 1 в роли центра, а фактическую:
(89) fC (r0, r') = r\r02 - (r(
(2r0 r0 )2 f
- r0)r0 _ (r 2 max) ), r0 eQ0 = [r0,rV],
r1 e Q1 ;
fC(r0,r1) = 0, r0 eQ7Qof, r1 eQ1 .
Аналогичная ситуация и для агента 0 - для него показателем использования агентом 1 механизма обмена ОУ служит совместность следующей системы
max
(90) ^
(r"max _ r)Я0
Константы M,N,O,P определяются из предлагаемым агентом 1 механизма обмена:
(91) x2(r0) = Mr0 _ N, r0 e Q0 = [r0,rmax]; x2(r0) = 0, r0 eQ0/Q0f;
(92) x (r0) = Or02 _ P, r0 e Q^ = [r0, r V ]; x,(r0) = 0, r0 eQ0/Q0f.
Полученное значение типа агента 1 может быть использовано для вычисления фактической прибыли агента 0 в роли центра:
12 - 13 i3 .
2 r 4r r f
6r l2
max
(93) f0C(r0,r1) = r2(----r^-), r0 eQ0, r1 eQ1;
Используя введенную ранее замену переменных - r0 = arm0ax, r0 = /b0ax, r1 = gix, Гпт = , перепишем фактические прибыли обоих агентов в
удобном для анализа виде:
a
(94) f0с(I,a,g,h) = I^-(6g2 - 4g3 +h3);
6
(95) /с(I,a,b,g) = Ig(2 - (1 - a)2 - (1 - P)P).
Для того, что бы интеллектуальный агент 0 предпочел роль АЭ роли центра необходимо выполнение следующего неравенства
a2
(96) Lo(a,b,g,h) = g[(1 - b)b- (1 - a)a] - (6g - 4g + h) 0.
6
Для того, что бы интеллектуальный агент 1 предпочел роль АЭ роли центра, необходимо, что бы
a2 1
(97) L (a,b, g,h) = a^(g3 - h) - g(2 - (1 - a)2 - (1 - b)b) 0.
6 2
Утверждение 4. Существует область значений параметров а, в, Y, П, ?0Iae = ?Г х Q0Jae х ?0Iae x QhIae в которой позиция АЭ предпочтительнее для интеллектуального агента с нулевым номером. Область ?0Iae = ?- х Q0Jae х QgIae x ?0ае имеет следующий вид:
(98) a е ?г = [(3 + 4 9 - 6(6 - m)(1 - b)b)(6 - m)-,1];
(99) b е?0Т = 4; 2(1 + 6^9 - 6m)];
2 2 6
(100) g е ?0'a* = [h,?j(43 -1)];
(101) heQIae = (0,i(32g3 - 48g2 + 12g)1/3].
_ 6g2 - 4g3 + h
Здесь используется замена m = ---.
g
Доказательство. Очевидно, что m 0.
Решив (96) как квадратичное неравенство относительно а, получим, что а е (-?,a~ ] u [а+, ?), где а± = (3 ± д/9 - 6(6 - m)(1 - Р)Р)(6 - m)-1, при условии, что m 6.
Покажем, что а' 1/2. Очевидно, что данное утверждение эквивалентно неравенству (102К/9 - 6(6 - m)(i - Р)Р m.
Неравенство (102) выполнено для me (-6(1 - 2Р)2,6). Учитывая (62) получаем, что данное неравенство выполнено всегда.
Если m 6, то а е [а~,а+], где
а* = (3 + 4 9 - 6(6 - m)(1 - Р)Р )(6 - m)-1.
Легко показать, что при m 6, а+ 1.
Следовательно, с учетом (62), (102) выполнено для
а е ?Г = [(3 + 4 9 - 6(6 - m)(1 - Р)Р)(6 - m) Ч].
Для того, что бы множество ?0^ было не пусто, необходимо, что бы
(103К/9 - 6(6 - m)(1 - Р)Р ? 3 - m.
Неравенство (103) можно переписать следующим образом
(104) m2 - 6m(1 + (1 - Р)Р) + 36(1 - рр 0.
в, получаем
Решив данное неравенство относительно
3
Р e [1(1 - - 6m);^(1 + - 6m)] и m?
Очевидно, что ^(1 - ^д/9 - 6m) ? 1 Следовательно, с учетом
2 6 2
ограничений на ц и (62), получаем Ре?ра = [2; 2(1 + 6 л/9 - 6m)],
0Iae = (0,2(32g3 - 48g2 + 12g)1/3]. Множество ?0ІЖ не пусто при
Ге?І= [hJ4-(-Jb -1)].^
На качественном уровне - интеллектуальный агента 0 добровольно согласится на роль АЭ, если качество его типа будет достаточно высоким, качество типа оппонента достаточно низким, и оба агента будут плохо информированы.
Утверждение 5. ?0ae п ?0Iae =0.
(Л -1) 2(1+h+h)
4 3
Очевидно, что для h
Доказательство.
Следовательно Q0ae п QgIae =0.и
Т.е. стратегии интеллектуального и квазиинтеллектуального агентов 0 различны в вопросе выбора роли АЭ.
Утверждение 6. ? / ?0ae п ? / Q0yIae ^ 0.
Доказательство. Рассмотрим h = 0,9.

Очевидно, что h ?0Ж и h ?0Iae. Т.е. для a,b,g, удовлетворяющих (61) и (62) (a, b, g, V) е? / ?^ и (а, р,у,т)) е? / ?^. ¦
Иными словами, возможны ситуации, когда и интеллектуальный и квазиинтеллектуальный агент 0 выберут роль центра.
Проведем аналогичное исследование для интеллектуального агента
1.
Утверждение 7. Существует область значений параметров а, в, Y, П, Iae = ? a/ae x ?'Ь* x ?uga *?^, в которой роль АЭ предпочтительнее для
интеллектуального агента 1. Область ?Ше = ?1^ x ?1^ x ?и7с,е x ?1^е имеет следующий вид:
(105) a е ?аae = [b,(1
1 - (2+(1 - b)b)(1 + X))(1 + X)'];
(106) /Зе;- = [2;2(1 -];
2 2 X
g,h, удовлетворяющие (61) и (62).
3 3
g -h
Здесь используется замена X =
6g
Очевидно, что X? 0 для g,h,
6
Доказательство.
удовлетворяющие (61) и (62). Перепишем (97) с учетом данной замены:
(107) L (a, b,g,X) = g(a-(X +1) - 2a + 2 + (1 - b)b)) ? 0.
Решение (107) как квадратичного неравенства относительно а имеет вид a е (-?,a" ] u [a+, ?), где a* = (1 ± ^ 1 - (2+(1 - b)b)(1+X))/(1 + X).
Легко видеть, что a+ 1 при b,X, для которых выполняются (61) и (62): g - (2 + (1 - b)b)(1 + X) ^ 1 - 3(1 + X) ^ 2 2,
Также, очевидно, что a~ 1 при b,X, для которых выполняются (61) и (62): для X 1 - 44 1 - 2Х.
По аналогии, b
Следовательно, множество ?ира не пусто для g,i, удовлетворяющие (61) и (62). ¦
На качественном уровне - интеллектуальный агента 1 добровольно согласится на роль АЭ, если качество типа оппонента достаточно низкое и информированность самого агента достаточно плохая.
Следует отметить некоторую схожесть множеств ?0Іае и ?1Іае - оба интеллектуальных агента предпочитают позицию АЭ, если их информированность невелика, а тип оппонента достаточно плохой. В тоже время, очевидны и различия данных множеств - агент 1 может предпочесть позицию АЭ для любого значения собственного типа и любой информированности оппонента, в то время как агенту 0 для этого потребуется плохая информированность оппонента и хороший свой тип.
Проанализируем, какие из ситуаций возможны в игре
интеллектуальных агентов.
Утверждение 8. В игре интеллектуальных агентов ситуация, когда оба элемента предпочтут роль АЭ, невозможна.
Доказательство. Очевидно, что оба агента выберут позиции АЭ, если множества ?0Іае и ?иа пересекаются.

Если же данные множества не пересекаются хотя бы по одной из переменных, то данной ситуации не возникнет. Можно показать, что Q0Jae п ?иаае = 0. Из (98) и (105) видно, что пересечение пусто если следующая функция положительна
1 -j 1 - (2 + (1 - b)b)(1 + X)
1+X
3 + 7 9 - 6(6 - m)(1 - b)b 6 - m
(109) t (b,mX)
для b e ?Г п ?Ьае, g e ?Іае п ?1^, ?^е ?Іае п ?'1ае. Здесь
g -h 6g -4g3 +1
сохраняются замены X =-, m =-.
6g g
Можно установить связь между ц и X- m = 6g - 3g2 - 6X.
Учитывая, что для b е QJae n 0ubae ge 0gIae n 0gIae, h е n 0^
дт (b,m,X) б б
производная -- положительна, достаточно будет потребовать
дЬ
выполнения следующего неравенства:
з + Лт 1 - Уі - 3Х
[3~
1 - ?2' 2
т (-, m,X) = -2 6 - m
Данное неравенство можно представить иначе:

(по)?Г-зХ + J 3 т-1 о.

Неравенство (110) выполнено для g е 0gIae n0gae, h е QhIae n 0lhIae.
Следовательно, функция (109) положительна. ¦
Из доказанного выше утверждения следует, что при взаимодействии интеллектуальных агентов возможна конфликтная ситуация, когда оба агента настаивают на позиции центра. Предполагается, что разрешение данной ситуации также основывается на компенсациях за отказ от позиции центра, которые агенты могут предлагать друг другу.

Определить, кто из агентов может стать центром, можно, проанализировав разность выражений (96) и (97): (111)L(a,b,g,h) = g(a - 2) - ag(1 - g).
Если функция L(a,b,g,h) 0, то позиция центра доступна интеллектуальному агент 1. Если функция L(a, b,g,h) 0, то интеллектуальному агент 0. Случай L(a, b,g,h) = 0 можно назвать критическим, т.к. возможности обоих агентов равны.
Достаточно очевидно, что функция L(a,b,g,h) 0, если
dL dL
Доказательство. Очевидно, что (a,b,g,h) = 0 и (a,b,g,h) = 0.^
dfi dh
Функция L(a, b,y,h) 0, если ae (1,). С учетом ограничений
2 - g g
(112)a
(61) и (62) получаем, что центром станет агент 0, если 1
2-g
Можно записать данное условие в терминах абсолютных значений типов агентов:
(113)r0 ^
0 r r1
0 ^ max max 2r - rr
max
Можно записать прибыль агента 0 в роли центра:
C 2 r1 4r1 r1
/0C (r , r') = r 2(----2^ )¦
' 1 /- 12
r max 6 r max
Г A 1 / 02 /0 ^V0 (2r r max) \ 02/r r mm 4-1
max[0, r (r (r max r )r --) r (-2-)]
(114)
6r 12
max
Соответственно прибыль агента 1 в роли АЭ:
6r 12
max
(115)fae(r0,r0 = max[r(r2 (r0max r0)r0 (2r J ),r2(^-^)].
. , 1 0 r0 r1
Агент 1 станет центром, если a--, т.е. r max max1 . Его
2r1 r1
max
2g
прибыль:
(2r0 r max) 2
fC (r 0, r 0 = r 4r 02 (r 0max r 0)r 0
)
(116)
12 - 13 13
max[0, r o2( ---r-rmn-) r '((r^ r 0)r0 (rl r 0)r0)]
r max 6r max
Прибыль агента 0 в роли АЭ:
12 . 13 13
(117) /0ae (r0, r') = max[r 2( ---Г--^ ), r '((rl r 0)r0 (rl r 0)r0)].
r max 6r max
о r0 r1
Ги _ max max
в данной работе не
Ситуация
или
2r1 - r1
рассматривается.
На качественном уровне, полученные выше результаты для игры интеллектуальных агентов можно трактовать следующим образом: в обменной схеме, состоящей из двух равноправных агентов, роль центра возьмет на себя тот агент, чей тип является достаточно плохим, в то время, как тип оппонента является достаточно хорошим. Соотношение типов определяется выражениями (112) или (113).
Следует отметить, что в игре интеллектуальных агентов не рассматривалась возможность искажения предлагаемых планов. Т.е. агент предлагал оппоненту план (механизм обмена ОУ), соответствующий его истинному типу.

Возможность искажения собственного плана можно расценивать как следующий уровень интеллектуальности агентов.
Еще одним направлением дальнейших исследований можно считать изучение обменных схем, агенты которых обладают различным уровнем интеллекта.
Результаты раздела 2.3 представлены в таблице 2. Используется
обозначение a (g) _ 1.
2 - g
Зависимость распределения ролей между агентами от параметров ОСо второй главе были получены следующие результаты. В разделе
2.1 показана эквивалентность задачи обмена и задачи стимулирования в условиях неполной информированности центра.
В разделе 2.2 построены эффективные неманипулируемые механизмы обмена для двухэлементных иерархических обменных схем с неполной информированностью центра;
В разделе 2.3 построены эффективные неманипулируемые механизмы обмена для двухэлементной обменной схемы без иерархии в условиях неполной информированности участников



Содержание раздела