Общая схема процесса моделирования
Вторая теорема подобия гласит: всякое полное уравнение, описывающее связь между параметрами процесса и параметрами элементов системы, в которой протекает процесс, и записанное в определенной системе единиц, может быть представлено в виде зависимости между критериями подобия, т.е. безразмерными соотношениями, составленными из входящих в уравнение параметров. Необходимо отметить, что уравнение называется полным, если оно учитывает все связи между входящими в него величинами. Две приведенные теоремы указывают на соотношения между параметрами подобных явлений.
Третья теорема определяет необходимые и достаточные условия для создания подобия: пропорциональность (для линейного случая) или нелинейное соответствие (для нелинейных систем) сходственных параметров, входящих в условия однозначности, и равенство критериев подобия изучаемого явления. Условиями однозначности называются условия, характеризующие индивидуальные особенности процесса или явления и выделяющие из общего класса конкретный процесс или явление.
Эти теоремы не исчерпывают, но являются основой теории подобия.
Общая схема процесса моделирования
Рассмотрим схему процесса создания и использования модели, т.е. моделирования (рис. 3.2). На ней сам процесс изображен затемненными стрелками, а информация, используемая на тех или иных этапах моделирования или действия на них, выносками.
Процесс моделирования начинается с определения цели исследования, изучения реального объекта и анализа данных о нем. Исследователь на основе этой информации создает мысленный образ реального объекта.
Затем осуществляется содержательное описание объекта моделирования. Описание его функционирования на обычном языке можно рассматривать как вербальную модель, представляющую собой первую попытку изложить закономерности, свойственные объекту моделирования. Такое описание осуществляют, исходя из
Рис. 3.2. Общая схема процесса моделирования
Теоретических схем формализации много (например, теория автоматов, теория систем массового обслуживания и т.п.), и правильный выбор требуемой конкретной схемы скорее искусство, чем наука. Общие вопросы, решаемые при таком выборе, как необходимо отображать в модели время (в виде непрерывной или меняющейся дискретно величины), каков шаг изменения времени, требуется ли учитывать в модели случайности и т.д. Таких вопросов может быть много, но ответы уже на два первых из них существенно сужают допустимое множество возможных схем формализации, осуществляется построение самой формализованной схемы описания объекта моделирования.
Она представляет собой описание его работы в терминах и с помощью абстрактных элементов выбранной теоретической схемы. Формализованная схема функционирования отличается от модели отсутствием в ней реальных числовых данных, алгоритмов моделирования случайностей и т. п. Уточнение этих вопросов, а также выбор, если это необходимо, языка программирования или моделирования приводят к построению модели в виде либо системы математических уравнений, либо программы для ЭВМ.
Полученная модель подвергается оценке. Этот процесс состоит из верификации и оценки адекватности. Верификация оценка того, что модель ведет себя так, как было задумано ее разработчиком.
Адекватность определение степени соответствия модельных результатов и реальности. В случае, если модель не удовлетворяет условиям оценки, разработчик либо возвращается к выбору схемы формализации и заново строит модель в терминах другой схемы, либо корректирует модель или ее программную реализацию.
Далее процесс моделирования связан с получением результатов. Когда модель является системой математических уравнений, речь идет о получении точного или приближенного решения аналитическими методами. Если модель представлена программой для ЭВМ, то результаты получают с помощью экспериментирования с ней, предварительно спланировав эти эксперименты.
Под планированием эксперимента имеется в виду разработка процедуры варьирования значениями входных переменных с целью оценки значений выходных переменных с нужной точностью и наименьшими затратами. Полученные результаты обрабатывают и с учетом допущений, сделанных при построении модели и экспериментах с нею, пытаются использовать для прогнозирования поведения объекта моделирования и решения конкретных задач управления.
Моделирование является циклическим процессом. Это означает, что осуществив один цикл построения модели, можно, а иногда и нужно, сделать второй, затем третий и т.д.
При этом знания об исследуемом объекте будут расширяться и уточняться, а модель объекта постепенно совершенствоваться.
КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
Существуют различные классификации моделей реальных объектов экономики. Используемые при изучении реальных объектов модели при всем своем разнообразии обладают некоторыми общими свойствами, позволяющими классифицировать их следующим образом.
Абстрактные (математические, мысленные) и материальные (макеты, моделирование и экспериментирование на реальном объекте и т.д.).
Нормативные и дескриптивные. Нормативные модели строят исходя из некоторой теории, привносимой в объект моделирования. Эти модели содержат норму функционирования реального объекта, отображают его поведение по принципу как это должно быть. Обычно они используются для поиска наилучших вариантов функционирования объекта моделирования в каком-либо смысле (например, задача линейного программирования).
Дескриптивные модели отображают функционирование объекта моделирования по принципу как это есть в реальности, их используют для объяснения наблюдаемых факторов прогноза поведения. Это описательные модели.
Процесс создания и использования таких моделей получил название имитационного моделирования (см. подробнее [11]). Имитационное моделирование процесс конструирования модели реальной системы и постановки экспериментов на этой модели с целью либо понять поведение системы, либо оценить (в рамках ограничений, накладываемых некоторым критерием или совокупностью критериев) различные стратегии, обеспечивающие функционирование данной системы (см. подробнее [11]).
Когда говорят о нормативной или дескриптивной модели, речь идет не о свойствах самой модели, а об ее соотношении с реальностью, о способе ее использования, так как одна и та же модель в разных случаях может играть нормативную или дескриптивную роль. Например, решается транспортная задача о доставке с наименьшими затратами с нефтебазы бензина на автозаправочные станции, расположенные в разных концах города, методом линейного программирования.
Если в реальности бензовозы ездят по маршрутам, определенным в рамках такой задачи, то данная модель линейного программирования дескриптивна. В противном случае она описывает норму функционирования для данной организации и является нормативной.
Структурные и функциональные по способу отображения реального объекта. Функциональные модели воспроизводят реальные объекты на уровне их реакции на внешнее возмущение (модели входвыход), а структурные внутреннее строение объекта моделирования и за счет этого его функционирование.
Динамические и статические, в зависимости от того, учитывается или нет в них фактор времени.
Детерминированные и стохастические. Этот признак классификации моделей указывает на отсутствие или наличие в них описания случайностей.
Дискретные и непрерывные. В непрерывных моделях время изменяется непрерывно, а в дискретных с некоторым постоянным или переменным шагом.
Таким образом, мы перечислили наиболее существенные классификационные признаки моделей способ учета времени (дискретные и непрерывные модели), характер описания стохастических явлений (стохастические и детерминированные модели), соотношение объект моделированиямодель.
ФОРМАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДЕЛИ. ТРИ СПОСОБА ОПИСАНИЯ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ
Опираясь на приведенное определение модели и признаки классификации моделей, зададим в общем случае модель как отображение множеств внешних воздействий X(t), X(f) = (X1(t), X2(t).., Xn(t)), внутренних состояний параметров H(t), H(t) = (h1(t), h2 (t), hk(t)) во множество выходных характеристик Y(t), Y(t) = ( y1(t), y2(t).., ym(t)):
Y(t) = F{X, H, t} (динамическая модель); (1)
Y= F{X, H} (статическая модель),
где F оператор, отображающий в виде математических соотношений связи между внутренними элементами объекта моделирования, входными возмущениями и выходными характеристиками. Этот оператор может быть реализован в виде системы уравнений или алгоритма для ЭВМ.
Данное выше определение модели является достаточно общим, поскольку с его помощью можно построить модель любого типа из приведенной выше классификации.
Как уже отмечалось, кроме свойств объекта моделирования, связанных с дискретностью, стохастичностью, динамикой и соотношением модели и объекта, в модели можно использовать различные способы отображения реального объекта. Чаще всего выделяют три таких способа: через его структуру (структурная модель), через его состояния и через его оператор (функциональная модель).
Задав структуру объекта моделирования, т. е. составляющие его элементы и связи между ними, мы можем записать уравнение вида (1) для каждого такого элемента. В таком случае некоторые входные характеристики будут выходными для других элементов объекта, а в целом модель будет представлять собой систему из уравнений вида (1). Здесь мы применяем знания о структуре объекта моделирования, но при написании уравнений используем операторный способ задания элементов объекта моделирования.
Для экономических объектов структура одна из характеристик их организации и способ описания. Как для всякой модели, задание структуры можно осуществить с различной степенью полноты.
Наиболее простое выражение структуры этих объектов их представление в виде двух взаимодействующих элементов: управляющей и управляемой частей (субъекта и объекта управления). В зависимости от того, какие свойства и отношения между элементами объекта моделирования интересны, выделяют различные его структуры (производственную, организационную, информационно-логическую и т.д.).
Из отдельных частных структур объекта моделирования складывается интегральная структура, в процессе познания которой можно определить три основных уровня, на которых:
раскрываются зависимости между устойчивыми свойствами элементов;
обнаруживаются зависимости между инвариантными свойствами объекта моделирования и свойствами его элементов;
выделяются зависимости инвариантных свойств объекта моделирования между собой.
Другой способ описания объекта моделирования через его состояния. Под состоянием понимается набор значений величин, характеризующих существенные свойства объекта моделирования: в общем случае состояние
n-мерный вектор Z(t), содержащий Zi (t) переменных состояния. В модели необходимо связать уравнениями переменные состояния и время. Если Z0(t) начальное состояние, а Ф оператор перехода из одного состояния в другое, то уравнения (1) трансформируются в следующие уравнения [9]:
Z(t)=Ф (Z0(t),Х(t),t);
Y(t) = F(Z(t),t).
Элементы множества H(t) являются частью множества Z(t). Определенные выходные характеристики (выходной сигнал) формируются при достижении моделью соответствующих состояний, находясь в которых модель осуществляет формирование выходного сигнала.
Модель, выражающая третий, операторный, способ описания объекта моделирования, собственно была задана уравнениями (1). Обычно их преобразуют к виду, когда в итоговом уравнении присутствуют только входные воздействия и выходные характеристики объекта моделирования.
Такое уравнение является уравнением вида входвыход, или уравнением динамики для данного объекта.
При любом способе отображения реального объекта математические соотношения модели могут основываться на различных теоретических схемах формализации (схема формализованного описания объектов моделирования). Обычно основную часть схем формализации сводят к пяти подходам: дискретно-детерминированному, непрерывно-детерминированному, непрерывно-стохастическому, дискретно-стохастическому и обобщенному (см., например, [9]).
СХЕМЫ ФОРМАЛИЗОВАННОГО ОПИСАНИЯ ОБЪЕКТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
3.5.1. Дискретно-детерминированные модели
Дискретно-детерминированные модели используются для описания объектов, среди свойств которых доминирующее значение имеют два:
отсутствие случайностей (их либо нет в реальности, либо ими пренебрегают из-за их несущественности с позиции цели исследования);
явления в объектах моделирования рассматривают как изменяющиеся во времени процессы, которые представительно описываются временными рядами.
Шаг изменения времени принимается постоянным, равным единице, при этом сколько реального времени работы объекта подразумевается в одном шаге изменения времени в модели (секунда, 2 дня, месяц и т.п.), решает разработчик модели. Примерами подобных объектов моделирования могут служить производственно-складские системы, финансово-хозяйственные механизмы функционирования экономических систем и т.п.
Для построения дискретно-детерминированных моделей в качестве теоретических схем формализации обычно используют два математических аппарата: конечно-разностные уравнения и теорию конечных автоматов.
Пример построения и использования дискретно-детерминированных моделей. Этот пример показывает, как используется аппарат конечно-разностных уравнений для построения дискретно-детерминированной модели.
Причем эта модель строится в виде математических уравнений, для которых возможно нахождение аналитического решения.
Пусть имеется следующая ситуация: есть некоторый товар, цена Pt на который формируется на основе спроса на него и предложения товара на рынке. Допустим, что спрос D, на товар обратно пропорционален цене:
Dt= K1-k1P1
где K1 коэффициент; k1 коэффициент пропорциональности. Предложение товара St (его производство, так как полагаем здесь, что все что произведено, сразу предлагается к продаже) также ориентировано на цену с запаздыванием на один временной шаг (т. е. ориентируется на вчерашнюю цену):
St = K2 + k2Pt-1
где K2 коэффициент; k2 коэффициент пропорциональности. Условие локального равновесия на рынке товара определяется равенством спроса и предложения:
Dt=St, т.е.
K1-k1P1= K2 + k2Pt-1
или
k1P1+ k2Pt-1= K1 - K2 (2)
Решим уравнение (2), для чего сначала найдем решение однородного уравнения:
k1Pt + k2Pt-1= 0; (3)
Pt =µ t
k1µt+ k2µt-1= 0;
µt-1(k1µ+ k2)=0, µt-1≠0
µ = - k2 / k1
Общее решение однородного уравнения (3):P t = R(- k2 / k1) t
где R произвольная константа.
Найдем частное решение уравнения (2). Правая его часть константа
К1-К2, поэтому и частное решение мы будем искать в виде константы y.
k1 y+ k2 y= K1 - K2
K1 - K2
y= ---------------
k1+ k2
Общее решение уравнения (2):
Pt=R(-k2 / k1) t + K1 - K2
--------------- .
k1+ k2
Положив Pt =P0, при t=0, найдем значение для R:
P0 = R(- k2 / k1) 0 + K1 - K2
_______________________ _________
k1+ k2
Окончательная формула для общего решения уравнения (2):
K1 - K2
_____________________ Pt =__ P0 - _________ (- k2 / k1) t K1 - K2 (4)
k1+ k2 k1+ k2
Это решение показывает динамику цены. Например, для случая К1 = 200, k1 = 0,4, К2 = 100, k2 = 0,3 график ее изменения показан на рис. 3.3.
Частное решение Pt = 143 соответствует равновесному состоянию.
Рис. 3.3. Динамика цены
Свойства решения уравнения (4) определяются соотношением между коэффициентами k2и k1. При k2 k1 колебания цены вокруг равновесного значения имеют затухающую амплитуду (рис. 3.4) и значение цены сходится к значению равновесной цены; при k2 = k1 колебания цены происходят с постоянной амплитудой (рис.
3.5), а при k2 k1 с увеличивающейся, т. е. мы имеем дело с расходящимися колебаниями (рис. 3.6).
Усложним условия только что рассмотренной ситуации. Пусть локальное равновесие рынка пытаются поддержать не только за счет производства, но и за счет запасов продукции Zt.
Рис. 3.5. Колебания цены с постоянной амплитудой колебания цены
Рис.3.6.Расходящиеся колебания цены
Уравнения, описывающие ситуацию:
Dt=K1-k1Pt;
St=K2+DP t-1
ДZ t =Z t Z t-1= S t-D t ;
Pt =Pt-1 лДZt-1, л ∩(0,1) (5)
Здесь цена ориентируется на уровень запасов товара в системе. Если этот уровень растет, то цена уменьшается, и наоборот.
Коэффициент Я показывает долю величины изменения запасов, на которую будет скорректирована цена. Приведенные уравнения позволяют исключить все переменные и построить обобщенное уравнение для описания динамики цены:
Pt =Pt-1 лДZt-1 =Pt-1- л(S t-1-D t-1)
Pt =Pt-1 л(К2+DP t-2 - K1 + k1Pt-1)
Pt(1- л k1) Pt-1+ лDP t-2= л(K1 - K2)
(6)
Полученное уравнение (6) можно решить так, как это показано выше. Мы не будем этого делать.
Обсудим характер данного уравнения. По своей сути это модель описанной выше ситуации. Но и система уравнений (5) также есть модель.
Разница между ними состоит в степени детализации описания ситуации. Модель (6) относится к типу входвыход, т.е. мы стремились все соотношения в модели свести к уравнению динамики вида (4), когда слева от знака равенства находятся значения переменной или переменных, описывающих выходные характеристики системы, а справа входные.
Непрерывно-детерминированные модели
Непрерывно-детерминированные модели используются при описании и исследовании объектов, среди свойств которых, с точки зрения исследователя, доминируют две характеристики: 1) случайности при работе и управлении объектом отсутствуют или ими можно пренебречь; 2) явления в объектах моделирования рассматривают как непрерывные процессы. Речь идет как о непрерывных производственных процессах, так и о непрерывном управлении.
Примерами подобных объектов моделирования могут служить технологические процессы и складские системы в нефтехимическом производстве, системы автоматического управления технологическими объектами, макроэкономические процессы и т. п. При реализации моделей таких систем основным инструментом является аппарат дифференциальных уравнений. Обычно в качестве независимой переменной в таких уравнениях выступает время, от которого зависят неизвестные искомые функции и их производные различных порядков.
Если неизвестные функции зависят не от одной переменной, а от многих, то мы имеем дело с уравнениями в частных производных, когда независимая переменная одна с обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Моделирование случайностей
При построении моделей систем значительная часть усилий тратится на попытки отображения в них случайностей, возникающих при функционировании систем, а также случайных воздействий на системы извне. И это вполне оправдано, поскольку большинство встречающихся в реальности систем относятся к стохастическим объектам, т. е. в рамках этих объектов действуют случайные явления (например, выходит из строя оборудование в заранее не предусмотренные моменты времени, появляется брак в случайном количестве, изменяются погодные условия, что приводит к случайным изменениям параметров технологических процессов, и т.п.).
Модели, которые включают в себя отображение случайностей, получили название стохастических. Для создания таких моделей нужно уметь строить специфические алгоритмы, моделирующие случайности. При этом имеют дело со случайностями следующего рода:
случайные события, т. е. явления, которые могут произойти или не произойти при совокупности условий; в процессе моделирования событий задаются вероятности их осуществления;
дискретные случайные величины, т.е. величины, принимающие отдельные изолированные возможные значения с определенными вероятностями; эти величины задаются с помощью закона распределения;
векторы случайных величин (непрерывных и дискретных), заданные соответствующими вероятностными характеристиками (совместным законом распределения);
случайные функций (процессы), т.е. функции, которые в результате опыта принимают тот или иной вид зависимости от аргументов, неизвестно заранее какой; они заданы соответствующими вероятностными характеристиками (математическим ожиданием, корреляционной функцией).
Любая из перечисленных случайностей в модели может быть отображена либо аналитически (если она поддается точному описанию на основе формул и теоретических положений теории вероятностей и математической статистики), либо алгоритмически (точно или приближенно), т.е. с помощью построения программы для ЭВМ. Для любых случайных объектов процесс их воспроизведения на ЭВМ сводится к генерации и преобразованию последовательности случайных чисел (обычно к реализации независимых равномерно распределенных случайных чисел на отрезке (0,1)). Это означает, что сначала получают случайные числа, равномерно распределенные на отрезке (О, 1), а затем на их основе с помощью различных формул и алгоритмов моделируют нужные случайности.
Программы, позволяющие генерировать последовательности случайных чисел (в том числе и равномерно распределенные), называют датчиками, и они содержатся в математическом обеспечении любой ЭВМ.
Пример моделирования случайности. Предположим, что мы должны построить модель и с ее помощью оценить время транспортировки какого-то изделия на достаточно большое расстояние. Для оценки этого времени, а оно зависит от многих случайностей, которые могут произойти в процессе транспортировки, мы воспользуемся мнением эксперта. Но попросим его оценить не усредненное время транспортировки, а сообщить нам три оценки времени: оптимистическую оценку (А), пессимистическую (С) и наиболее вероятную (В).
Далее нам необходимо построить модель, которая имитировала бы время транспортировки (рис. 3.7). По сути это будет датчик случайных чисел, выдающий числа, соответствующие оценкам эксперта А, В, Си закону распределения случайных чисел, которому подчиняются указанные оценки.
В данном случае это будет треугольный закон распределения. Дифференциальная и интегральная функции распределения для данного случая изображены на рис.
3.7. Обозначим неизвестный датчик (и выдаваемые им числа) через X.
Решить задачу построения данной модели можно различными способами. Воспользуемся следующими соображениями.
Практически в любой системе моделирования или программирования имеется датчик случайных чисел, равномерно распределенный на интервале (0,1). Розыгрыш случайного числа с помощью такого датчика мы обозначили буквой R (для объяснения выделили два отдельных числа из такого розыгрыша R1 и R2).
Из графиков функций видно, что R вероятность того, что X примет значение, меньшее чем некоторое число х (на рисунке нарисованы два случая для х = x1 и х =x2).
-
Рис. 3.7. Функции распределения оценки времени транспортировки
Отметим, что для данного треугольного распределения имеется особая точка, определяющая, где будет находиться X левее или правее В. Вероятность того, что X примет меньшее или равное В значение, составляет (ВА)/(СА} это площадь треугольника АВН. Из этого следует, что если R ≤ (С-А)/(ВА), то мы должны Х считать по одной формуле, а если R (ВА)/(СА), то по другой.
Определим необходимые формулы.
