ЗАДАЧА ВЫБОРА УПРАВЛЯЮЩЕЙ КОМПАНИИ
Утверждение 5. Оптимальное предложение управляющей компании имеет вид (31), (33), (35).
Отметим, что, если выражение (29) отражает ограничения взаимовыгодности привлечения управляющей компании, то оптимальный вариант реализации корпоративной программы, вычисляемый в соответствии с выражением (35) соответствует максимизации суммы целевых функций всех подразделений корпорации и управляющей компании. Этот важный качественный вывод свидетельствует о том, что в исследуемых в настоящей работе Х-структурах оптимальный режим взаимодействия управляющих органов и управляемых субъектов позволяет добиться согласования интересов всех участников активной системы и нацелен на максимизацию суммарной прибыли системы в целом (см. аналогичные свойства веерных структур в [38, 41, 43, 45], ромбовидных структур - в [23, 25, 27, 46] и сетевых структур - в [40]).
Максимум суммарной прибыли участников активной системы может достигаться при различных значениях индивидуальных полезностей. В частности, выражения (31)-(35) и утверждение 5 соответствуют такому порядку функционирования (иерархической игре [22, 26]), при котором первый ход - предложение относительно варианта и стоимости - делает управляющая компания.
При этом, в силу выражения (33), выигрыш корпорации равен тому выигрышу, который она могла бы получить, реализуя корпоративную программу самостоятельно - без привлечения УК. Другой крайний случай соответствует тому, что первый ход делает корпорация, предлагая УК некоторый вариант реализации корпоративной программы и некоторую компенсацию стоимости ее услуг.
При этом, как и в задаче стимулирования [39, 43, 44], значение целевой функции УК в равновесии равно нулю, а всю прибыль от взаимодействия забирает себе агент, делающий первый ход -корпорация. Возможны и промежуточные случаи, когда суммарная
прибыль fyK(D(x ), x*) + W0mm от взаимодействия (см. выражения
(34) и (35)) делится между корпорацией и УК в соответствии с некоторым механизмом компромисса. Останавливаться подробно на рассмотрении механизмов компромисса мы не будем, так как в Х-структрах могут быть использованы результаты анализа и синтеза этого класса механизмов, полученные в других типах организационных структур [23, 31, 38, 46, 55].
Таким образом, в настоящем подразделе рассмотрены механизмы согласования интересов в Х-структурах при управлении реализацией корпоративной программой УК, и получены условия выгодности привлечения УК. При этом считалось, что имеется единственная УК - претендент на управление реализацией корпоративной программы. На практике, зачастую, имеются несколько вариантов реализации корпоративных проектов под руководством различных управляющих компаний.
Задачи планирования (выбора вариантов реализации корпоративных проектов) рассматриваются ниже во втором разделе. В следующем (заключительном) подразделе настоящего раздела формулируется и рассматривается задача выбора управляющей компании.
ЗАДАЧА ВЫБОРА УПРАВЛЯЮЩЕЙ КОМПАНИИ
Предположим, что условия реализации корпоративных проектов (функции затрат АЭ) фиксированы и известны корпорации и УК - претендентам. Пусть всего имеются т претендентов на роль УК, которые различаются между собой функциями затрат Ci(y), l е L = {1, 2, т} - множеству претендентов. Допустим, что привлечение любого из претендентов в качестве УК выгодно для корпорации по сравнению с самостоятельным управлением реализацией корпоративной программы (то есть, все претенденты удовлетворяют условиям утверждения 4).
Тогда задача заключается в выборе УК из заданного набора претендентов.
Результаты предыдущего подраздела позволяют сравнивать между собой различные процедуры принятия решений относительно выбора УК. Определим для каждой из управляющих компаний величины минимальных затрат по достижению агрегированного результата z е S (см. выражение (24)):
(36) О)
[ E С (yt) + Q(y)l l e L,
iel
min
yeY(z)
и стратегии типа (31):
(37) Ri(z)
l e L.
+ ?, Z Z*
Целевая функция l-ой УК имеет вид
(38) fym(Di, z*) = Di( z*) - min* [Ec, (y,) + C(y)], l e L.
yeY(zi) iel
Из выражения (27) получаем, что (см. также выражение (33)) оптимальное предложение стоимости реализации корпоративной программы, которое обеспечивает максимум целевой функции l-ой УК и выгодно для корпорации (по сравнению с самостоятельным управлением корпоративными проектами) не зависит от характеристик УК-претендента и определяется следующим образом:
(39) D(z*) = E Hj (z*) - W™, l e L.
jeK
Тогда оптимальный для l-ой УК план должен максимизировать разность (38) между вознаграждением Dl( zt ), получаемым от корпорации, и минимальными фактическими затратами Rml in (z) (см. также выражение (35)):
jeK yeY(z ) iel
(40) x* = arg max [ E H (z*) - ^ІП„ [E С (У,) + Cl(y)]], l e L.
ie
Вычислим максимальную прибыль, которую может получить l-ая УК, подставляя (39) и (40) в (38):
(41) f; = E Hj(x*) - W - min [ Ec, (y,) + ОД], l e L.
jeK yeY(Xl ) iel
Выражение (41) определяет максимальные прибыли претендентов при условии, что именно они назначены УК в отсутствии других претендентов. Прибыль корпорации при этом равна W0m .
Рассмотрим случай, когда УК назначается по результатам конкурса (тендера), проводимого среди претендентов. Упорядочим претендентов в порядке убывания f , l e L. Равновесные предложения претендентов и результаты тендера определяются следующим утверждением.
Утверждение 6. Победителем тендера является претендент, характеризуемый максимальной величиной f , l е L. При этом его
прибыль будет равна f - f2 - e, а прибыль корпорации -wr + f2 + e, где e - сколь угодно малая строго положительная величина.
Доказательство утверждения 6. Рассмотрим игру претендентов, в которой они одновременно и независимо сообщают центру свои варианты реализации корпоративных проектов и соответствующие стоимости, а затем центр выбирает в качестве УК претендента, пообещавшего корпорации максимальную прибыль. Тогда имеет место аукционное решение (равновесие Бертрана [10, 66, 67]), в соответствии с которым победителем станет первый
(в упорядочении в порядке убывания ft, l е L), причем сообщит
он такую заявку, чтобы обеспечиваемая при этом корпорации прибыль на сколь угодно малую величину превышала максимальную прибыль, которую мог бы обеспечить любой другой претендент (последняя равна W0mm + f2 ). Утверждение 6 доказано.
Отметим, что в рамках иерархических игр задача распределения равновесных выигрышей является игрой с нулевой суммой. Так, при взаимодействии одного центра и одного АЭ в задаче стимулирования [43], между ними распределяется полезность, равная максимуму разности между доходом центра и затратами АЭ.
В рассматриваемых в настоящей работе Х-структурах максимизируется разность между доходами корпорации и затратами на реализацию корпоративных проектов (см. выражения (35) и (41)). В случае, когда имеется единственный АЭ, делая первый ход, он забирает всю прибыль себе. Если претендентов на участие в системе несколько, то наиболее эффективный претендент (первый
в упорядочении f , l е L, в порядке убывания) вынужден предложить корпоративному центру прибыль, превышающую (на коль угодно малую величину e) максимальное из предложений других участников тендера, которое равно f2 . При этом сумма целевых функции корпорации W0imn + f2 + e и победителя f - f2 - e, по-прежнему, равна f + W0imn (см. подраздел 1.2). Поэтому в
силу утверждения 6 корпорации выгодно участие в тендере сильных претендентов, причем претендентов примерно равной силы.
Итак, в настоящем разделе рассмотрены теоретико-игровые модели Х-структур, сформулированы условия согласования интересов их участников, определены критерии выгодности привлечения управляющей компании для руководства реализацией корпоративной программы, сформулирована и решена задача выбора управляющей компании. Последняя задача решалась в предположении, что набор корпоративных проектов фиксирован, а претенденты на роль УК различались затратами на управление. Такая ситуация встречается на практике, однако распространены и случаи, когда различные УК предлагают свои варианты реализации корпоративных проектов.
Следовательно, возникает задача планирования - выбора вариантов реализации (подрядчиков) корпоративных проектов, которая формулируется и решается в следующем разделе.
Механизмы планирования (выбора подрядчиков по корпоративным проектам)
В настоящем разделе формулируется и решается задача выбора вариантов реализации (подрядчиков, исполнителей работ и т.д.) корпоративных проектов. Для этого рассматриваются характеристики проектов, и задача формулируется в общем виде (подразделы 2.1 и 2.2), описываются ограничения (подразделы 2.3 и 2.4), предлагается метод решения, заключающийся в декомпозиции задачи на два уровня (подраздел 2.5) и приводятся алгоритмы решения задач верхнего (подраздел 2.6) и нижнего (подраздел 2.7) уровней.
2.1. Постановка задачи.
Рассмотрим корпоративную программу, состоящую из m проектов с номерами i = 1, M. Для каждого проекта проводится тендер с участием нескольких подрядчиков - аэ (претендентов на роль исполнителей работ по проектам), каждый из которых предлагает свой вариант реализации данного проекта.
Вариант характеризуется следующими параметрами:
- последовательность затрат ct0, t = 0, T;
- последовательность возвратов (доходов) rt0, t = 0, T,
где T - срок реализации проекта. Содержательно, в проект инвестируются денежные средства в соответствии с графиком затрат ct, отдача от инвестиций происходит в соответствии с графиком возвратов rt.
Заказчик (корпоративный центр и УК) рассматривают задачу оптимального инвестирования заемных средств, предоставляемых в соответствии с кредитным потоком gt, t = 0, T. При gt 0 в момент t сумма gt предоставляется на счет заказчика кредитором (банком), а при gt 0 сумма gt должна быть возвращена кредитору. Предположим, что последовательность gt имеет ровно одну перемену знака с плюса на минус (с некоторого момента времени заказчик начинает погашать свои обязательства перед кредитором).
Задача оптимизации (формирования корпоративной программы) заключается в выборе набора проектов и определении исполнителей (подрядчиков) для реализуемых проектов. Кроме того, при выборе реализуемых проектов необходимо обеспечить неотрицательность баланса счета заказчика и погашение займа кредитору.
Пусть ij - процентная ставка по банковским кредитам (кредитная ставка). Тогда долг заказчика на момент t составляет
G, = І gt ¦ (1 + i,)'-‘.
к=0
Условие GT = 0 означает выполнение обязательств заказчика перед кредитором на момент окончания всех проектов. Таким образом, последний платеж заказчика кредитору составляет
T-1
gT =-Хgk - (1 + i,)T-k .
к=0
Для удобства учета финансовых потоков определим следующие понятия:
счет заказчика:
- на данный счет поступают суммы займа gt,
- с него происходит выделение необходимых денежных средств для реализации проектов (затраты по соответствующим вариантам проектов),
- на него возвращаются суммы со счетов реализуемых проектов в счет погашения долга (возвраты по соответствующим вариантам проектов).
счет проекта:
- на данный счет поступают кредитные средства со счета заказчика на покрытие затрат по проекту;
- на данный счет поступают возвраты по соответствующему проекту и перечисляются средства на счет заказчика для погашения долга.
Пусть i - средняя процентная ставка по депозитным вкладам
(рыночная ставка доходности). Тогда v = -^ - коэффициент
1 + i
дисконтирования. Обозначим PVG - приведенная величина кре-
T
дитного потока: PVG = tgkv .
k = 0
Определим PVG+ - приведенную величину кредита (приведенная величина денежных средств, которые заказчик инвестирует в проекты): PVG+ = tgkvk .
k:gk 0
2.2. Характеристики проекта. Обозначим PVR - приведенная
Tk
величина возвратов по проекту: PVR = trkv , где rk - последова-
k=0
тельность возвратов. Обозначим PVC - приведенная величина
T
затрат по проекту: PVC = t ckvk .
k=0
Тогда PV - приведенная стоимость инвестиционного проекта:
PV = tr„vk -tCkVk.
k=0 k=0
Если PV 0, то инвестировать денежные средства в проект выгоднее, чем наращивать их в банке.
Обозначим PVBt - приведенный баланс проекта на момент
времени t: PVBt = trkvk - t ckvk .
k=0 k=0
Определим минимальную величину денежных средств, необходимых для реализации проекта: xmin =- min PVBt (если на
счете проекта в момент t = 0 имеется сумма xmin, то баланс проекта с учетом этой суммы будет неотрицательным).
Обозначим N(i)- количество вариантов реализации (количество потенциальных подрядчиков) для проекта i. По каждому варианту можно вычислить минимальную величину средств, необходимых для его реализации.
Для каждого варианта реализации j по проекту i определены вектора rj и cj, t = 0, T, компонентами которых являются
величины возвратов и затрат, предложенные соответствующим подрядчиком.
Для каждого проекта i определен вектор xij- (j = 1, N(i)), компонентами которого являются значения минимальных величин средств, необходимых для реализации варианта j по проекту i.
Будем считать, что xij xij+1 (варианты проекта i пронумерованы в порядке возрастания минимальных величин средств, необходимых для их реализации)
Для каждого проекта i определен вектор PVij (j = 1 ,.., N(i)), компонентами которого являются значения приведенной стоимости проекта i в случае выбора варианта реализации j.
Ограничения на объем инвестиций.
Введем следующие обозначения:
- xi - величина инвестиций в проект i.
- Xi - множество, включающее нуль и значения величин минимальных средств, отвечающих всем вариантам проекта i, X- = {0, xj, j = 1, N(i)};
- K = PVG+ - приведенная величина кредита (приведенная величина денежных средств, которые заказчик инвестирует в проекты).
Обозначим fi(x) - кусочно-постоянную функцию приведенной стоимости проекта i в зависимости от величины вложенных в него
0, 0 х хл
, N(i) -1. Точки разрыва
средетв f (х) = \ Р?г.., х. х хр+1, j = 1,
PViN(i), х хМ(i)
функции ?(х) соответствуют различным вариантам проекта.
Предположим, что при выборе варианта реализации проекта i заказчик (инвестор) производит предварительный отбор вариантов, предложенных соответствующими участниками тендера: если на интервале (х. 1з х.+ ) приведенная стоимость проекта i уменьшается, то вариант с номером j1 должен быть отброшен (реализация варианта ji по проекту i не имеет смысла, так как можно выбрать вариант j1 - 1, прибыль от которого будет выше).
В этом случае необходимо переопределить характеристики задачи хj, PVj, N(i), при которых?(х) будет неубывающей функцией. Тогда задача оптимизации формулируется следующим образом:
Ё f ( х ) ® max
i = 1
m
Ё х K ,
i=1 0 хi max хн
z 0 j N (i) j
m
где Ё хі K - ограничение на финансовые ресурсы,
i =1
0 х. max х¦¦ - ограничение на объем инвестиций в проект i.
. 0 j N(і) ?
Отметим, что всегда существует оптимальное решение задачи х* Е X., i = 1, N(i). Если при этом х*. = 0, то проект i не реализуется.
Ограничение на баланс счета заказчика.
Оптимальное решение задачи х . определяет выбор соответствующего варианта реализации по проекту i.
Обозначим J = {j*,..., j*m} - множество, состоящее из номеров вариантов, реализуемых по проекту i (i = 1, m), при этом jt =0, в случае, если проект i не реализуется. Для обеспечения неотрицательности баланса счета заказчика, решение x i должно удовлетворять следующему условию:
i=1 k=0
t
где Lgkvk - приведенная величина кредитного потока на момент
к=0
m t
времени t, LL (к, с‘., )vk - суммарный баланс по всем проек-
- 1 Уі Vi
i = 1 k=0
там на момент времени t.
Декомпозиция задачи.
С учетом всех ограничений оптимизационная задача распределения инвестиций формулируется следующим образом:
m
Lf(xi) ® max
i=i
m
Lx, k
j ,=i
0 x. max x.., i = 1,m
‘ 0 j N (i) j
c‘,)vk 0, t = 0, T
‘Ji
LgV + LL(j
k =0
Для решения этой задачи используется метод декомпозиции оптимизационной задачи на два уровня:
- на верхнем уровне вычисляется текущее решение задачи при ограничении на объем инвестиций;
- на нижнем уровне осуществляется проверка неотрицательности баланса счета заказчика для текущего решения задачи верхнего уровня.
Алгоритм решения задачи верхнего уровня.
Задача верхнего уровня решается следующим образом [8]:
Определим при i = 1, m на отрезке 0 x max xi. мини-
0 j N (i) j
мальную вогнутую функцию f (x), для которой f (x) f (x) при
x: 0 x max xij, и рассмотрим задачу максимизации функ-
0 jN(i) 1
m ~ jn
ции X fi (Xj) при ограничениях X xi K , 0 xi max xij,
i=i i=i 0 jN(i)
i = 1, m.
Заметим, что функции f (x) вогнуты и кусочно-линейны.
Выбираем проект с номером i1, для которого функция f\ (x) имеет наибольший наклон первого звена ломаной графика.
Вкладываем в проект i1 величину средств a1 = min[xt K], где
xii - первая точка излома функции ft (x) .
Если a1 K, то оптимальное распределение средств найдено. Если a1 K, то рассмотрим новую задачу с K = K - a1, где
ft (x) = ft (a1 + x) , а остальные функции остаются прежними.
Выбор проекта и величины вложения в него осуществляются аналогично и т.д.
Алгоритм завершает свою работу либо после исчерпания капитала K, либо после того, как вложение по каждому проекту i достигнет максимальной величины max xij .
0 jN(i) У
Если найденное решение x0,i = 1,...,m удовлетворяет условию f(x) = f(x), i = 1,...,m, то решение x0,i = 1,...,m будет
являться текущим решением исходной задачи, для которого рассчитывается значение целевой функции.
Для данного решения необходимо проверить условие неотрицательности баланса счета заказчика - решить задачу нижнего уровня (алгоритм решения задачи нижнего уровня приведен ниже в подразделе 2.7).
Предположим, что при некотором i1 выполнено строгое нера-
ЛЮ ЛЮ, и x0
принадлежит минимальному от-
венство
резку [x1, x2 ], где x1, x2 е Xi . Тогда исходная задача разбивается на две подзадачи с измененными ограничениями по проекту i1:
0 x, x] в первой подзадаче и xf x, max x, . во второй.
i] h 1] 1] 0 j N (i]) 1] 1
Каждая из подзадач решается указанным выше способом и так далее. Если текущее решение подзадачи удовлетворяет условию
f (x0) = f (x0), i = l,..., m, то оценка снизу для максимума целевой функции возрастает.
Для реализации данного алгоритма введем следующие обозначения.
тг D f,.t^ _ nmxmax(N(i))xn+1
= {Cj} g R , где m - количество инвестиционных
проектов, N(i) - количество вариантов реализации для каждого проекта, T - срок реализации каждого варианта.
Матрицы R = {rj} е Rm xmax( N (i ))x n+1 и C = {cj } g Rm xmax( N (i ))xn+1
определяют элементы матриц X = {x. }е Rm xmax( N (l)) и
77 ( X ^ _ rm xmax(N(i))
F = {j.} g R , где xij - минимальная величина средств,
необходимых для реализации варианта j по проекту i, fj - значение приведенной стоимости проекта i в случае выбора варианта j. Матрицы X и F определяют значения кусочно-постоянной
0, 0 x xi1
функции ji(x): f ( x) =
f4, x4 x x4+i, j = ],...,N(i) - ].
fiN(i), x xiN(i)
Определим характеристики минимальной вогнутой функции f (x), для которой f (x) f (x) при x : 0 x max xu.
0 jN (i) J
Обозначим S = {Sj} - матрица, элементы которой определяют точки излома функции f. (х) . Элементы матрицы S = {si}.} вычисляются следующим образом.
mxmax( N (i))
Обозначим
T = {tj } е R
где
тангенсы угла наклона прямой,
проходящей через начало координат и точку с координатами (хц, fij) - точку разрыва функции(х).
Обозначим j1 - позиция максимального элемента строки i матрицы T. Зафиксируем первый столбец матрицы S: si1 = j],
i = 1, m. Переместим начало координат в точку (х.л, fj1) и
iji iji
осуществим перерасчет элементов матрицы T:
f,- ¦
х„. - х.,1
j j
- 2
ij j
Обозначим ji2 - позиция максимального элемента строки i матрицы T. Зафиксируем второй столбец матрицы S: si2 = jf, i = 1, m, и т.д. Результатом вычислений является матрица S = {sij}.
Обозначим N’(i) - число итераций для строки i матрицы S = {s. } - число элементов в строке i матрицы S. Обозначим
X1 = {х',. } е Rmxmax(N'(i)) и р' = {f у }е Rmxmax(N'(i))
f \j = f. , i = 1 m и j = 1 N’(i).
Таким образом, матрицы X' = {х?. } е Rmxmax(N (i))
F' = {f} е Rm xmax(N (i)) определяют функции f. (х) :
,1
f'N(i), x ^ x'
характеризую-
Определим матрицу Г' = {t. } e Rmxmax(N (i)), щую углы наклона звеньев графика функции f, (x) :
f,+1 ~f*,i = 1,..., m; j = 1,...,N'(i) -1 x j+1- x v
f' - f'
J ij+1 J ij
, N' (i) -1
~T~~ - x + f'j,x V x x' ij-+i j = 1
xv+1- xJ
f
- x,0 x x '
f (x) =
t'.. = \
v л
0,i = 1,...,m; j = N'(i),...,max(N '(i)) -1;N '(i) max(N '(i)) -1
Матрица T' = {t '. } e Rmxmax(N (i)) определяет тангенсы углов
наклона для графиков функций f (x) . При этом в строке i элемент j матрицы T’ определяет тангенс угла наклона для звена j графика функции f . (x) .
Определим векторы X0 = {x,0} и F0 = {f0}, i = 1, m, где x0 определяет общую величину инвестиций в проект i после каж-
~ г0
дой итерации алгоритма решения задачи верхнего уровня, f -определяет отдачу от проекта i при инвестициях в размере xi0 .
Начальные условия: x0 = 0 , f0 = 0, i = 1, ... , m.
На первой итерации алгоритма определяем позицию максимального элемента в первом столбце матрицы T' = {tV. } . Обозначим i1 - номер строки, в которой находится максимальный элемент, i1 - номер проекта, для которого функция f. (x) имеет наибольший наклон первого звена ломаной графика, xVj - первая точка излома функции f. (x) .
Обозначим C = {ci},i = 1,...,m - вектор, элементом которого
является номер рассматриваемого варианта для проекта i (номер варианта определяется в терминах матрицы X’ - не совпадает с номерами вариантов для матрицы X: для перехода к номерам вариантов в исходных терминах задачи необходимо использовать матрицу S = {st]}).
На каждой итерации алгоритма индексируется номер варианта для соответствующего проекта ii. На первой итерации cii = 1, c. = 0, i Ф i1. Вкладываем в проект ii величину средств
a1 = min[x\i, K], x = x + a1 - инвестиции в проект ii увеличены на ai.
Если a1 K , то fi0 = f 'гд - фиксируем увеличение отдачи от
инвестиций и производим новую итерацию алгоритма с измененными начальными условиями: K = K a1 (уменьшаем размер свободного капитала), t\ = t\ +1, j = 1,..., N' (ii) 1,
x'u = x'1 j+1a1, j =1’.’N '(i1) 1, f' 1 j = f\j+1,
j = 1,..., N' ( i1) 1, (сдвигаем график функции f (x) : f 1 (x) = f 1 (a1 + x)), N' (i ) = N' (i1) 1 (уменьшаем количество рассматриваемых вариантов по проекту i).
Если a1 = K, то определено текущее распределение средств
X0 = {x0}; отдача от инвестиций F0 = {f0}; вектор
C = {Ci},i = 1,...,m .
Необходимо проверить, удовлетворяет ли распределение следующему условию: f (x0) = f (x0)при всех i = i, m.
Из определения функций f(x) и f (x) следует, что равенство выполняется тогда и только тогда, когда элементы вектора
X0 = {х0} совпадают с точками разрыва функции ^(х) - элементами строк матрицы X' = {х?. } е Rmxmax(N(l)). Таким образом,
f (х0) = f (х0) х0 = x\ct i = I,-,m-
Проверим выполнение данного условия:
1) Если х0 = х\с i = 1,...,m , то найдено текущее решение задачи нижнего уровня:
X0 = {х0}, i = 1, m - распределение инвестиций;
F0 = {f0}, i = 1, m - отдача от инвестиций;
m
S = ^ f - суммарная отдача от инвестиций - целевая функ-
i=1
ция задачи;
J = {/Г,..., /*}
номера вариантов, реализуемых по проекту
i, где ji = stCi.
Для найденного решения необходимо осуществить проверку неотрицательности баланса счета заказчика - проверку существования решения задачи нижнего уровня.
2) Если х0 Ф х\с при i = i2, то распределение X0 = {х0} не является текущим решением задачи нижнего уровня.
