d9e5a92d

Теорема

Теорема 1.2.3 [26,65]. Если множество значений механизма
[(S( A)) ]
g : (S(A)) ® A
3.
состоит не менее чем из трех альтернатив, g
механизм g неманипулируем и удовлетворяет УМВП, то он является
диктаторским.
Последний результат показывает, что, если множество возможных предпочтений достаточно широко, в частности является множеством всех возможных порядков над множеством альтернатив A , не существует недиктаторского механизма планирования g , в котором
сообщение достоверной информации является доминантной стратегией. Таким образом, для того, чтобы в некоторой активной системе существовал недиктаторский неманипулируемый механизм планирования, множество возможных предпочтений должно быть достаточно узким.

В дальнейшем мы приведем основные результаты по неманипулируемости механизмов планирования в активных системах, в которых множество возможных предпочтений ограничены однопиковыми функциями полезности и результаты о возможном расширении множества возможных предпочтений.
Наиболее глубоко исследована неманипулируемость механизмов планирования [80,82,84,85,86,106,112] и их частных случаев - механизмов экспертизы и/или голосования [7,32,33,53,66]. В таких механизмах множество возможных альтернатив представляет собой подмножество конечномерного Евклидова пространства. При этом, предпочтения АЭ задаются функциями полезности ji, i е I, которые ставят в соответствие
каждой альтернативе действительное число, характеризующее полезность данной альтернативы для элемента. Предпочтения, выраженные функцией полезности можно считать частным случаем предпочтений, заданных бинарными отношениями в силу того, что любая функция полезности порождает бинарное отношение [109].
Работы зарубежных авторов посвящены в основном изучению неманипулируемости механизмов функционирования систем с сообщением информации, которые являются моделями систем голосования [7,32,33,53,66], экспертиз и т.п. В таких механизмах компоненты вектора Евклидова пространства, которым является альтернатива, в явном виде присутствуют в функциях полезности всех АЭ.

Такие системы с сообщением информации называются экономиками с общественными товарами (Economies with common (public) goods) [32,33,54]. Круг вопросов, возникающих при исследовании механизмов функционирования таких систем, не ограничивается только неманипулируемостью и включает в себя проблемы устойчивости равновесий, соответствия теории активных систем с теорией информации и др. [105,114], обсуждение которых выходит за рамки настоящей работы.
Наиболее простыми механизмами функционирования АС являются механизмы голосования, исследуемые в работе [53]. Множество возможных альтернатив в таких механизмах является подмножеством множества действительных чисел.
Пусть множество возможных альтернатив A = [0, 1] с R1 . Обозначим через B, множество непустых, замкнутых подынтервалов [0, 1].
Функция полезности и : A ® R1 называется однопиковой, если существует точка r е A , называемая точкой пика функции полезности и , такая, что и( х) строго возрастает при х r и строго убывает при x r , то есть
х е A , таких, что х Ф r и для любых 1, таких, что 0 1 1 выполняется
и (х) и (1х + (1 -1 )r) и (r) .
Множество всех однопиковых функций полезности обозначим через SP. Поскольку функция полезности задает на A некоторое отношение предпочтения, в дальнейшем под профилем предпочтений будем понимать совокупность функций полезности всех элементов.
Введем следующие ограничения на класс допустимых механизмов функционирования. Пусть задано множество активных элементов I = {1, ..., п}, однопиковой функцией выбора (в обзоре мы будем
в основном придерживаться оригинальных названий и обозначений, введенных авторами в соответствующих работах, в наших определениях функция выбора соответствует механизму функционирования) назовем
отображение S: SPn х B ® A , ставящее в соответствие каждому профилю предпочтений и = (щ,...,un) е SPn и любому подынтервалу B с B альтернативу S(и, B) из B . В настоящем разделе будем предполагать, что выполнены следующие условия:
i) анонимность: S симметрична по отношению к переменным
ui,..., Un;
ii) эффективность: для всех и , B и для всех у е B таких, что
х = S(и, B) и i е I, ui(х) ui(у), выполняется
i е I, ut (х) = ui (у);
iii) непрерывность по отношению к подынтервалам:
S(u, B) непрерывна по отношению к B е B.
Однопиковая функция выбора S, определенная для множества элементов I , обладает свойством независимости от посторонних альтернатив по Нэшу (NIIA) [53], если для всех u е SPn и для всех B, B' е Bn выполняется:
если B' с B и S(u, B) е B' то S(u, B') = S(u, B).


Если для всех u, u' е SPn и для всех B е B выполняется:
для всех i е I и всех х, у е B таких, что
ut (х) ui (у) U (х) U (у) верно
S (u, B) = S (U, B),
то однопиковая функция выбора обладает свойством независимости от посторонних альтернатив по Эрроу (AIIA) [3,53].
Свяжем с каждым профилем предпочтений (р = (ji, ..., jn) е SPn профиль пиков (г - профиль) r = (i ..., rn), где ri - пик ui. Далее мы будем рассматривать только такие функции выбора, которые зависят только от профиля r .
Пусть aj, a.2n-\ - (2n-1) альтернативы из A (не обязательно различные). Их медианой называется единственная альтернатива a* = med (aj, ..., a2n-i), такая, что
:е I
1 i 2n -1, a* a ( n .
Пусть задано множество активных элементов I = {1, ..., n} и (n -1) фиксированные альтернативы (не обязательно различные)
1, ..., an-1 e A . Определим для произвольных u, B функцию выбора обобщенного победителя по Кондорсе (CW - функцию) a S (u, B) = projB med (r1, ..., rn, a1, ..., an-1) =
= med (rf, ..., , aB, ..., a^),
где Г ..., rn) - r - профиль u и pB (aB) обозначает проекцию ri, соответственно a* на B . Здесь, под проекцией некоторого элемента на множество понимается ближайший к этому элементу элемент множества. Множество всех CW - функций {aS}a „-1 обозначим через CW.
Определенная таким образом функция выбора удовлетворяет анонимности, эффективности и непрерывности по отношению к подынтервалам.
Известны следующие свойства CW - функций.
Теорема 1.2.4 [53]. S e CW :
i) S неманипулируема;
ii) S определяется (n -1) альтернативами ak = S (uk, A), 1 к n -1, где uk - профиль, такой, что r* = 1, i = 1, к и r* = 0, i = к +1, n .
iii) S - бескомпромиссные, то есть u e SPn , x = S(u, A), если $i e I такой, что x r\ (rt x), то u\e SP: x r/ (r/ x) выполняется x = S(u', u-t).
Теорема 1.2.5 [53]. Для любой однопиковой функции выбора S в рамках рассматриваемой модели следующие утверждения эквивалентны:
i) S неманипулируема и удовлетворяет NIIA;
ii) S бескомпромиссна и NIIA;
iii) существует a = (a1, ..., an) e An такой, что S=aS .
Класс CW - функций характеризуется следующими свойствами.
Теорема 1.2.6 [53]. Однопиковая функция выбора удовлетворяет NIIA и AIIA тогда и только тогда, когда она является CW - функцией.
Как оказалось, класс допустимых функций полезности, на которых функции из CW неманипулируемы, можно расширить.
Через FP обозначим класс одноплатовых функций, v е FP , если
существует пара fp = (r-, r+), называемая плато функции v, такая, что
0 r r + 1 и v (x)
строго возрастает при x p постоянна на x е [p~, p+]; строго убывает при x p+.
В то время, как предпочтения элементов допускают несколько максимальных элементов, будем исследовать однозначные функции выбора, которые отображают профиль плато (fp - профиль) в единственную альтернативу p (fp). Выбор на интервале будет определяться выражением S(j, B) = projs p (fp).
Обобщенная CW - функция для одноплатовых функций п(п-1) ^
полезности определяется ^--+1 параметрами. Эти параметры для
I = {1, ..., п} выбираются следующим образом: а = (о:^), где
0 Я, m п и Я + m п ; при этом 0 ая, m 1 и аяо = 1 при 1 Я п ,
Оот = 0 при 1 m п . Предположим так же, что для аяц выполнено
следующее свойство монотонности:
аяц ая+1, m, когда Я + m п -1 и Я п -1;
аяц ая, m+1, когда Я + m п -1 и m п -1.
Для заданного множества активных элементов и набора (Ояц ), удовлетворяющего введенным выше условиям, поставим каждому профилю j из FPп две конечные цепочки в [0, 1]:
сигнатура и - строго возрастающая последовательность 0 = 40 41 ... 4t ... 4t 4t+1 = ^
составленная из альтернатив 0, 1, r-, r+, i е I, где fpi = (r-, r+) -плато ui. Таким образом T 2п с равенством только тогда, когда все r~, r+ различны и не равны 0, 1.
a - спектр профиля j последовательность
это не возрастающая
р0 = ai0m0 ^¦¦¦ ^ pt = ax,rn, ^ рт = aiTmT
где T то же, что и в определении сигнатуры и
?t+1 Pi
Pi q, ¦
m, = I i n
, где fP есть fP - профиль j ¦
Наконец a - обобщенную CW функцию aS определим на FPn как a S (j, B) = proj5 ap (fp) 1
p (fp) = med (qi, ¦¦¦, P0, ¦¦¦, Pt )J
Параметры aim интерпретируются так же, как и для однопиковых функций полезности:
ap(fp) = aim , если 1 элементов имеют предпочтения
fPr = (1, 1),
m элементов - fp = (0, 0), n - (1 + m) элементов - fp = (0, 1) ¦
Для обобщенных CW - функций верны следующие утверждения, эквивалентные бескомпромиссности для однопикового случая^
Лемма 1.2.1 [53] Зафиксируем r+, fp2,..., fpn и для всех x таких, что
0 x r+ обозначим p(x)=ap(f^x), fp2,¦ ¦¦, fPn), где fp\(x) = (x, r+ )¦ Тогда могут возникнуть лишь два следующих случая: случай i) r+ p (0) и p (x) = p (0) для всех x: 0 x г+ ;
случай ii) p (0) p (r+) r+ и p (x) = p (0), если 0 x p (0),
p (x) = x, если p (0) x p (r1+), p (x) = p (r+), если p (r+) x r+ ¦
Если меняется y = p+ при постоянных r\ , fp2, ¦¦¦, fpn, то возможны лишь следующие случаи
случай i') p'(1) r- и p'(y) = p'(1) для всех y: r- y 1;
случай ii') r- p'(rf) p'(1) и p' (x) = p'(0), если r- y p'(rf),
p'(x) = x, если p'(p-) y p'(1), p'(x) = p'(r+), если p'(1) y 1.
Следствие 1 из Л.1.2.1 [53]. Для всех наборов a, удовлетворяющих ограничениям (1.6.1), (1.6.2), отображение ap непрерывно по fp, не убывает и липшицево по каждой из переменных p+, p-, i = 1, ..., n . Кроме этого ap бескомпромиссно в следующем смысле. Возьмем произвольный fp - профиль и положим ap (fp) = z . Для всех i и всех плато fpi в каждом из следующих случаев имеем ap(fp)=ap (fpi, fp-i):
i) { z r7 и z p- }
ii) {p+ z и p+ z}
iii) {p- z p+ и p- z ^+}
iv) {z = pf = pf для некоторого e e {+, -}.
Характеристические свойства обобщенных CW функций на множестве одноплатовых функций полезности определяет следующая
Теорема 1.2.7 [53]. Пусть задано множество I = {1, ..., n} . Функция выбора
на множестве одноплатовых профилей FPn удовлетворяет NIIA и AIIA тогда и только тогда, когда она является обобщенной CW функцией. Следствие 1 из Т.1.2.7 [53].

Обобщенная CW - функция коалиционно неманипулируема.
Следующая теорема 1.2.8. показывает, что невозможно расширить определение класса обобщенных CW - функций на класс квазивогнутых функций полезности QC, то есть таких j, что
x, y, l e [0, 1] выполняется j(lx + (1 -1)y) inf {j(x), j(y)}. Другими
словами, существует альтернатива r , не обязательно единственная, такая, что u не убывает на [0, r] и не возрастает на [г, 1].
Теорема 1.2.9. [53] Для всех целых n не существует функций выбора на QCn , удовлетворяющих NIIA и AIIA одновременно.
Итак, мы рассмотрели неманипулируемые механизмы в случае, когда функции полезности элементов являются однопиковыми либо одноплатовыми при множестве возможных альтернатив, состоящем из отрезка [0,1] действительной оси. Далее мы рассмотрим обобщения этих результатов на случай, когда множество возможных альтернатив представляет собой m - мерное пространство векторов. В частности,
следующая модель является обобщением предыдущей и допускает, что
альтернатива является вектором в Rm [7].
Пусть множество альтернатив является m -мерным евклидовым
пространством Rm. Предпочтения на Rm задаются полными, рефлексивными, транзитивными бинарными отношениями.
Антисимметричная часть отношения предпочтения G обозначается G и симметричная часть - G . Отношение предпочтения называется звездным (аналог однопиковой функции полезности над m -мерным евклидовым
пространством Rm), если существует точка r е Rm, называемая идеальной точкой отношения предпочтения, такая, что для всякой точки
Г е Rm : r' Ф r и для всех 0 Я 1 выполняется rG[Яг' + (1 -Я)r]Gr’. Такая точка единственна. I (G) обозначает идеальную точку отношения предпочтения G .
Отношение предпочтения G называется сепарабельным, если для каждого j е{0, 1, ..., m} и xj, x’j, k Ф j, X?, Х? выполняется
(Xi, ..., xj-i, Xj , Xj+i,..., Xm )G(Xi,..., Xj-i, xj, Xj+i,..., Xm)
(~i, ..., ~j-i, Xj , ~j+i, ..., ~m )G(~i, ..., ~j-i, x’j, ~j +i, ..., ~m ) .
Обозначим множество всех звездных сепарабельных отношений предпочтения на Rm через Sm. Отношение предпочтения называется квадратичным, если оно может быть представлено функцией полезности вида
- Z aj(xi- Pi)(xj- Pj), i, j=i
где ||a;j| - симметричная положительно определенная матрица.
Квадратичное отношение предпочтения является звездным, с точкой пика r = (r\, ..., rn). Квадратичное отношение предпочтения является сепарабельным тогда и только тогда, когда aij = 0 для всех i Ф j . В этом случае функция полезности принимает вид
-Z an(xi- ri)2.
i=i
Обозначим множество всех сепарабельных квадратичных предпочтений над Rm через Qm. Очевидно, множество Qm параметризуется парой параметров (a, r) е R++ х Rm .
Профиль предпочтений АЭ будем обозначать G1 . Для любого D с Sm функция выбора будет отображением C : Dn ® Rm .
Функция выбора C : Dn ® Rm называется единогласной (respects unanimity) если для любого профиля предпочтений такого, что i, I(G1) = r выполняется C( Gi ) = r .
Пусть функция выбора C задана на множестве профилей предпочтений Qn и является отображением C: Qn ® R . Если можно
определить функцию c: Rn ® R (поскольку разным профилям предпочтений может соответствовать одна точка пика) так, что c( ri ) = C( Gi ), где для всех i и Gi е Q, ri = I(Gi), то такую функцию назовем механизмом голосования, соответствующим C .
Механизм голосования c: Rn ® R называется бескомпромисным если r е Rn , x = c(r), если $i е I такой, что x ri (ri x), то
ri е R1 : x ri (ri x) выполняется x = S(ri, r_t).
Результаты работы [7] по неманипулируемости механизмов голосования вида c:(Rm)n ® Rm базируются на свойствах механизмов
c: Rn ® R1, поэтому рассмотрим некоторые их свойства.
Лемма 1.2.2 [7]. Пусть СГВ C: Qn ®Rl соответствует механизм
голосования c: Rn ® R1. Если механизм голосования c является бескомпромиссным, то СГВ C неманипулируема.
Лемма 1.2.3 [7]. Предположим, что СГВ C: Qn ® R1 неманипулируемо и допускает единогласие.

Тогда соответствующий C механизм голосования бескомпромиссный.
Пусть задан механизм голосования c . Точка r е R1 называется фантомным голосом, если существует профиль идеальных точек p
такой, что c( p1 ) = p и p Ф p1 для всех i. Обозначим через P множество фантомных голосов. Если множество P конечно, то p будет так же обозначать мощность P . Будем считать, что множество элементов I = {1, n}, а множество фантомных голосов P = {n +1,..., n + r}.
Определим соответствие голосования e: Rn ® I - P
e( r1 ) = {к е I: c( r1 ) = rk} - {n + j е P: c( r1 ) = rn+j}.
Таким образом, e ставит в соответствие каждому профилю множество элементов и фантомных голосов, идеальные точки которых выбираются при этом профиле. Говорят, что график e замкнут, если для каждого к е I - P , множество профилей предпочтений, соответствующих этому
к - { Г е Rn :k е e( rl )} замкнуто.
Лемма 1.2.4 [7]. Механизм голосования бескомпромиссен тогда и только тогда, когда
(i) число фантомных голосов не больше 2п и
(ii) график e замкнут.
Лемма 1.2.5 [7]. Механизм голосования c бескомпромиссен тогда и только тогда, когда для каждого подмножества S с I существуют константы Cs , удовлетворяющие ? Cs ? для всех S и С0 ?, Ci ? и для всех S, T с I, S с T ^ Cs Ст такие, что
c(p ) = maxsсi{minims{rl} л Cs }.
Для многомерного случая верны следующие теоремы.
Теорема 1.2.10 [7]. Функция выбора С: (Qm )п ® Rm неманипулируема и единогласна тогда и только тогда, когда существуют механизмы
голосования cj, ..., cm : Rn ® R , которые неманипулируемы и допускают единогласие и такие, что
С( Gl ) = (cj ( Ij(Gl) ), ..., cm ( Im (Gl) )) , где Ij (Gl) обозначает j - ю координату идеальной точки l - го активного элемента.
Теорема 1.2.11 [7]. Функция выбора С : (Sm)п ® Rm неманипулируема и единогласна тогда и только тогда, когда существуют механизмы
голосования c*, ..., ^ :Rn ® R , которые неманипулируемы и допускают единогласие и такие, что
С( Gl ) = (c*( Ij(Gl) ), ..., c*m ( Im (Gl) )) ,
для всех Gl е (Sm)n .
Попытка распространить этот результат на более широкий класс квадратичных предпочтений, не обязательно сепарабельных, приводит к следующему результату.
Обозначим через Qm множество всех квадратичных
предпочтений. Для каждого e 0 обозначим
Qe = {(A, P) 6 Qm : |j I e|гг |, если І Ф j} ,
где (A, p) соответствует функции полезности - (x - r)T A(x - r).
Теорема 1.2.12 [7]. Пусть e 0 и предположим, что C:Q? ® Rm , m 2 неманипулируема и единогласна.

Тогда C диктаторская.
Таким образом, мы рассмотрели механизмы планирования для случая, когда выбираемая альтернатива является вектором Евклидова пространства и привели достаточные условия (Т.1.2.10-1.2.12) для неманипулируемости таких механизмов.
Теорема 1.2.11 дает результат о невозможности построения неманипулируемого механизма для предпочтений для более широкого класса предпочтений, чем сепарабельные предпочтения.
В отечественных работах авторы сосредоточили внимание на способах организации деятельности отдельных элементов системы. В [10,11,83-92] исследуются механизмы функционирования систем, в которых альтернатива представляет собой вектор Евклидова пространства, причем в функции полезности каждого активного элемента явно участвует только одна компонента этого вектора, обычно содержательно интерпретируемая как план, назначаемый данному элементу.

Такие системы в зарубежных работах получили название экономик с частными товарами (Economies with private goods) [4,35,37,53,55,110].
1)
Следует отметить, что механизмы экспертизы, обсуждавшиеся выше, являются частными случаями механизмов планирования. Действительно, в механизмах экспертизы можно считать, что всем АЭ назначаются одинаковые планы.
Рассмотрим систему, состоящую из центра и n активных элементов. Интересы элементов и центра выражаются их целевыми функциями fi (x,, у,, r), i = 1, n и Ф(x, y) где r, e W, - параметр, параметризующий класс допустимых целевых функций i - го элемента, x = (xi, ..., xn) - вектор планов, назначаемых элементам, а у = (уі, ..., yn) -вектор действий, выбираемых элементами. Порядок функционирования системы следующий:
1. Этап сбора информации. Элементы сообщают центру оценки (.si, ..., sn) параметров (гь ..., rn);
2. Этап планирования. На основе полученных оценок центр, используя процедуру планирования p : S ® X, где S = nw,, X = ПXi -
ieI ieI
множество допустимых планов, назначает планы xi = p i (s)
элементам, i = 1, n .
3. Этап выбора состояния. Получив плановые задания, элементы выбирают свои состояния уi eAi - множества допустимых состояний.
В предположении рационального поведения элементов, при фиксированных планах выбираемые действия у* будут максимизировать соответствующие целевые функции, то есть:
У* e Pi( x, , г, ) = Argmax f (x, , у, , r). yieAi
Как и ранее, при сообщении оценок на этапе 2, будет иметь место эффект манипулирования информацией. Задачей центра является выбор такой процедуры планирования, чтобы в точке равновесия значение его целевой функции было максимально. Введем эффективность механизма
S = (Ж, p)
K (S) = min min Y(p (s*), r),
геЖ s* eEpl (r)
где Y(x, r) = Ф(x, у* (x, r)).
При заданных значениях параметра r, e W, и плане xi e Xi
элемент выбирает действие у* (x, , r,) e p (xi, r.¦) = Argmax fi (x, , уi, r.¦).
уі eAi
Таким образом, можно говорить о функции предпочтения (полезности) элемента j,(X,, r) = fi(X,, y*(X,, r), r).
Зададим для каждого элемента множества X^s-) с X, и рассмотрим следующую процедуру планирования:
(1.2.1)
(1.2.2)
Y(x, s) ® max
xeX
j, (X,, s,) = max j, (z, s,).
zeXi (s_,)
Условие (1.2.2) обеспечивает назначение элементу плана, максимизирующего его функцию полезности и называется условием совершенного согласования (УСС). Как оказалось, условие совершенного согласования эквивалентно условию независимой субъективной монотонности для транзитивных бинарных отношений предпочтения.

Условие (1.2.1) в неявном виде задает процедуру планирования максимизирующую целевую функцию центра. Механизм,
удовлетворяющий (1.2.1), (1.2.2) называется механизмом открытого управления (ОУ).
Теорема 1.2.13 [82]. Необходимым и достаточным условием сообщения достоверной информации как доминантной стратегии при любых r е W является существование множеств Xi(s_i), для которых выполнено условие совершенного согласования.
Рассмотрим механизм с сильными штрафами за отклонение от плана [80, 82]. Для такого механизма выполнено
г, е W,, Vi е I, V л, е A, (r,), f ¦ (p,, p,) = j, (p,, r,). Пусть множество
допустимых планов представимо в виде:
Xt (s_i) = A (s,) - D,(s_i) *0 . (1.2.3)
Условие (1.2.3) является утверждением того факта, что план, назначаемый элементу при данном s_,, выполним, то есть принадлежит A, (s,). Для механизмов с сильными штрафами верна следующая Теорема 1.2.14 [82]. Для того, чтобы механизм с сильными штрафами обеспечивал сообщение достоверной информации как доминантной стратегии при любых r е W, необходимо и достаточно, чтобы:
1) Vi е I существовали множества D, (s_,), удовлетворяющие (1.7.3);
2) выполнялось условие совершенного согласования (1.7.2), где множества допустимых планов имеют вид (1.7.3).
Рассмотрим механизм, в котором часть компонент плана 1 является общей для всех элементов, то есть план имеет вид (1, х). В системах с большим числом элементов влияние оценки отдельного элемента на общее управление мало.

Если при сообщении своей оценки st каждый активный элемент не учитывает ее влияния на l(s), то считается выполненной гипотеза слабого влияния. При выполнении гипотезы слабого влияния справедлива следующая
Теорема 1.2.15 [82]. Если выполнена гипотеза слабого влияния и компоненты x(s) плана удовлетворяют условию совершенного
согласования, то сообщение достоверной информации является доминантной стратегией.
В работе [107,112] получены более конструктивные условия неманипулируемости механизмов планирования.
Будем считать, что функции полезности элементов однопиковые. Вектор точек пиков обозначим через r = (і\,...,rn) [111].
Через SP' обозначим класс действительных функций q(x),
определенных на R1 и удовлетворяющих следующим свойствам:
1. q( x) - полунепрерывна сверху;
2. Существуют точки r-, r +е R1 (возможно r~= r + = r , r~=-ж или r + = +?), такие, что q(x) не убывает при x r-, постоянна при x e [r_, r+] и не возрастает при x r +.
3. q(p±) +?.
Функции, принадлежащие классу SP' назовем
квазиоднопиковыми. Для функций полезности из класса SP', множество
P = П[г" , r+ ] назовем идеальным множеством.
ieI
Введем следующие предположения (утверждения для квазиоднопиковых функций будут обозначаться ' , а результаты для них - приводиться в круглых скобках).
Теорема 1.2.16. [111,112] Пусть множество АЭ системы I, функции полезности АЭ однопиковые и для прямого механизма h: Rn ® Rn выполнены следующие условия:



Содержание раздела