d9e5a92d

Процедура Гровса-Кларка

При этом і-й участник платит налог в размере фрф1. Здесь 6, 0 доля участника в финансировании общего блага, причем Ха $і = !- Участники высказывают свои заявки Zj Е Zi на общее благо (выбираемые из некоторого допустимого множества Z,,, например Zj = Ш+, естественно считать, что z, := х\, но возможно и несовпадение) и действует какая-то схема обобщения общественного мнения G(zi,..., zm) (схема голосования), так что объем производство общественного блага выбирается равным У1 = G(z).
Например, возможны такие схемы голосования:
VI) усреднение: G = J2i V2) минимум: G = тіщ д ,
?З) максимум: G = max,; z,,
?4) медиана: G = med(zi,..., zm), где функция med(.) принимает значение среднего из упорядоченных по возрастанию чисел z1,...,zm, если же т четно то среднего арифметического из двух средних. Это правило, как известно (Теорема о среднем избирателе см.Долан), практически тождественно в данном случае голосованию простым большинством.
При использовании правил (V2) (?4) существует обычно (т.е. если участники неодинаковы) только один ключевой участник, то есть такой, что небольшие изменения его выбора как-то влияют на результат общего голосования в смысле
dG(z)/dzi 0, Zi Е int(Zi),
остальные же z:j локально не влияют на исход! Это приводит к неопределенному (множественному) решению Zj в голосовании прочих участников, если не предположить их осторожного или доминирующего поведения; мы эти варианты не рассматриваем.
Будем предполагать, что каждый участник ведет себя нэшевским образом, считая высказанные пожелания z_, прочих участников заданными при выборе своего д-(повторяющаяся игра). Тогда задачи индивидуальной рациональности потребителей (для производителей сохраняется (56) ) принимают вид
щ (х}, х2,..., х1) max, (67)
{Zi,Xi)
где Хі 0 , Zi Е Zi (68)
/А-'-,1 + J2pkxi А
к=2
A G(^l, Зш) -
Определение 4.4.1 Равновесие с долевым финансированием и голосованием с правилом голосования G(.) и с фиксированными долями финансирования общественного блага 5 есть набор (z,x,y.p), такой, что выполнены (і) условия индивидуальной рациональности (56), (68) производителей и потребителей, (іі) полубалансы, включая х\ = у1 (г G I), и (ііі) условия дополняющей нежесткости (закон Вальраса), (і?) выполнено правило голосования: у1 = G(z).
Утверждение 4.4.1 Если в равновесии (z, х, у.р) с долевым финансированием и голосованием каждый участник і является ключевым (то есть в некоторой окрестности U Э z равновесия верно OG(z,. z _,)/dz, Д 0) и выполнены предположения Утверждения (4.2.1), то (.x,y,p,q) с q, = 1 есть псевдоравновесие Линдала, и следовательно,
достигнут Парето - оптимум.
Доказательство основано на том, что все условия первого порядка совпадают.
¦
Таким образом, консенсус, в смысле х] = у1 (і Е I) признак оптимальности.
С другой стороны, если какой-то участник хотел бы изменить объем производства общественного блага, но не может повлиять на исход голосования, то это не всегда признак того, что равновесие не оптимально. Для правил голосования VI, ?2 и ?З неоптимальность обычно имеет место (в задачах мы ее докажем). Однако при медианном голосовании может быть, что ключевой (медианный) участник выберет такой объем производства общественного блага, который соответствует Парето-оптимуму (см.

Пример (4.1) ниже).
Итак утверждение (4.4.1) показывает, что если благие и мудрые законодатели априорно установят правильные (пропорциональные полезностям) индивидуальные ставки налога (правильно распределят бремя финансирования общего блага между его потребителями) то результатом голосования и рынка будет Парето-эффективное состояние экономики. Для правильного установления достаточно знать всего лишь предельные нормы замещения (соотношения предельных полезностей) в том равновесии Линдала, которое соответствует данному распределению собственности (предполагается единственность равновесия).

В частности, если участники одинаковы, то доли должны быть равными.
Попыткой приблизиться к описанному теоретическому идеалу (налогам, пропорциональным предельным полезностям от общего блага) является, например, финансирование строительства и ремонта дорог с помощью налога на бензин или налога на транспортные средства.
Однако хотелось бы иметь процедуру выявления потребностей в общем благе, чтобы не опираться на априорные концепции законодателей. Вот одна из возможных процедур:
Процедура нащупывания 2.
1) Аукционер сообщает участникам текущие цены p(t) (будем подразумевать дискретное время t) и текущие доли финансирования 8, (1).
2) Участники отвечают спросом на частные блага хк (к = 2,1), спросом Z{ на общее благо при текущих ценах и долях. Совокупный спрос на общее благо х1 = G(z) формируется по схеме голосования усреднением: х1 = J2izi/'m- Производители объявляют предложение у у


3) Аукционер изменяет цены pk(t) товаров, спрос или предложение которых избыточно: pk(t + 1) := pk(t) +sJ2i(xi ~ wi) ~ Ху Uj (к = 1, - - - , I, ? 0) (в том числе общественного блага) а также повышает доли финансирования пропорционально соотношению объявленной полезности (заявке) общего блага со средней: Затем переходит опять к 1) и т.д.
Это по сути дела еще одна процедура нахождения равновесия Линдала, и, так же как предложенная выше, является манипулируемой. Различными исследователями предпринимались попытки создать работоспособную неманипулируемую процедуру, и оказалось, что в общем случае это невозможно.

Одна из таких процедур описывается в следующем подразделе, но годится только для экономики определенного вида.
Пример 4.1 (продолжение) Предположим, что соседи голосуют по схеме VI. т.е. у1 = (зі + ^2 + -з)/3. Каждый максимизирует функцию щ = г1п((гі + г2 + г3)/3)+гу? 5i(zi + z2 + z3)/3 при ограничении z, 0. В максимуме і/у1 6г, причем выполняется условие дополняющей нежесткости (8г i/y1)zi = 0. Поскольку нет верхнего ограничения на заявку, то тот из соседей, кто хочет, чтобы приобреталось большее количество общественного блага, может навязать свои предпочтения другим. Пусть, например, взносы берутся поровну: 8і = 1/3.

Тогда третий проголосует так, чтобы у1 = 9, что больше оптимального количества. Остальные вынуждены будут не голосовать: z, = 0.
Предельные нормы замещения первого блага на второе равны й) /іі'( = і/у1. Пропорции между ними в любой точке (и в том числе в Парето -оптимуме) одинаковы.

Поэтому, чтобы получить консенсус и оптимум, необходимо взять 5 = (1/6,1/3,1/2).
Равновесие при использовании правила VI с ограничением Zj 0, окажется тем же, что при использовании ?З.
Заметим, что в этом примере при равных долях и медианном голосовании оптимальность или избыточность (или недостаточность) общего блага зависит от положения медианного коэффициента полезности атед. Оптимум будет достигнут, если медианный коэффициент равен среднему: amed = п ,/іп, что в данном случае выполнено.

Процедура Гровса-Кларка

В самом общем случае построить процедуру, справедливо (в смысле равенства прав участников) и корректно (неманипулируемо) выявляющую предпочтения на общее благо и приводящую всегда к Парето -оптимуму нельзя. Это было выяснено парой очень близких по смыслу теорем: теоремой Эрроу о диктаторе и теоремой Жиббар-да и Сатертуэйта (Gibbard, Saterthwait) о невозможности неманипулируемого выбора.
В нашем конкретном примере с общественным благом и тремя участниками, казалось бы, можно воспользоваться однопиковостью функций щ по аргументу у1 и применить процедуру голосования простым большинством. Однако по всей совокупности аргументов однопиковости нет, поэтому голосование за конкретные варианты состояния экономики в целом (у1, Д, t2, t3) ничем не кончится: налицо парадокс Кондорсе (бесконечность процедуры переголосования).
Все же, оказывается, в частном случае, когда целевые функции, квазилинейны по единственному частному благу (деньгам), тогда можно построить процедуру, корректную выявляющую предпочтения и гарантированно приводящую к наилучшему выбору уровня общественного блага у1 из допустимого множества Y (неважно, дискретного Y или непрерывного, типа М+). Это процедура Гровса-Кларка.
Определение 4.5.1 Будем называть целевые функции потребителей квазилинейными по благу I, если они имеют вид и, = Д(?Д xj,..., ж--1) + х\, и переменные х\ входят в единственное ограничение вида ?\ х\ = х1 31.
Если в экономике существует такое благо, то экономика обладает следующим удобным для ее исследования свойством:
Утверждение 4.5.1 Пусть целевые функции квазилинейны по благу I, тогда Парето-граница совпадает с множеством решений задачи максимизации суммы полезностей J2i і на множестве физически допустимых состояний. Если, кроме того, I = 2 (частное благо одно) и функции 0, строго вогнуты, то существует единственный оптимальный уровень общественного блага у1 (одинаковый во всех точках Парето -границы).
Докажем это утверждения для экономики (52) с дифференцируемыми и вогнутыми (или приводимыми к вогнутым) функциями и, и д. Подставим в лагранжиан (49) выражение для и,. Производные по х\ для всех і должны быть равны нулю: dL/dx\ = А, а1 = 0. Отсюда получаем, что все А; равны; можно считать, что Аі = 1 (і G I). Таким образом, задача нахождения Парето -оптимума сводится к нахождению седловой точки следующей концентрированной функции Лагранжа:
а это то же самое, что нахождение максимума суммы функций полезности при соответствующих ограничениях.
Уравнение Самуэльсона в случае квазилинейности по / примет вид Доказательство единственности оптимального уровня общественного блага тривиально.
Процедура Гровса-Кларка.
1) Координатор априори назначает функции сфу1) финансирования каждым участником общих издержек с(у1) производства общественного блага, в сумме равные
J2ic(y1)i = с(у1) например, задав (априорные, по своему усмотрению) доли финансирования 5j.
2) Участники сообщают свои чистые полезности при данной схеме финансирования от каждого уровня блага г,:(у1) = і)г(у1) с,(у]).
3) Выбирается уровень блага, максимизирующий суммарную чистую объявленную полезность:
У1 := G(v) := argmaх^?фу1), (72)
yL
у г
а также уровни, которые были бы выбраны без учета мнения г-го участника;
У\і) '¦= := argmaх^гДу1), і Е I.
?1/
зфг
4) Определяется налог Кларка на каждого участника за изменение общественного выбора, равный убытку прочих участников:
Ті = Y,(Vj(yb)) ~ е G
Іфі
он, очевидно, неотрицательный и нулевой при (у^ = у1).
5) Каждый участник в результате будет иметь полезность ?,(у1) т\ = \)г(у]) сфу1) тг. Налог Кларка не перераспределяется, а должен быть выброшен из системы (сообщества) данных участников.
Утверждение 4.5.2 Если все участники правдиво сообщили ?и то (I) уровень определенный в этой процедуре Парето -оптимален (у1 = (у1) , а если все налоги Кларка равны нулю (Tj = 0, і Е I), mo и состояние в целом, включая платежи, Парето -оптимально. (II) Если к тому же финансирование долевое: сфу1) = 5гр1 у1 и доли соответствуют отношению предельных полезностей в оптимуме (5j = і),(у1) j Y.,r і ФФ')), целевые функции строго вогнуты и у1 0, то налоги Кларка равны нулю.
Доказательство. Часть I данного утверждения непосредственно следует из Утверждения 4.5.1.
Для доказательства II заметим, что для внутреннего в смысле (у1, w t)^ 0 равновесия по долевому финансированию мы выше доказали единогласие при правильно выбранных долях (то есть то что любая і Е I задача максимизации индивидуальной чистой полезности ?,(у1) дает одинаковое решение у1). Решение в данном случае единственно по строгой вогнутости ?,.

Поэтому и максимизация суммы любого набора / С / таких целевых функций имеет то же решение у1, откуда следует отсутствие ключевого участника и равенство нулю налога. U
Утверждение 4.5.3 Стратегия каждого участника сообщать правдиво чистую полезность ?, доминирующая стратегия.
Доказательство. Предположим, участник і = 1 сообщил неверную целевую функцию ?\ щ и добился этим решения по общественному благу у1 вместо у1.

Выиграл ли он? Сопоставим его полезности, учитывающие налог Кларка, в оптимальной у1 и в ложной точках, доказывая что:
Му) = Му) ~ ХХМуіі)) ~ ?з(у1)) МЮ - ^2(МуЬ)) ~ Му1))-
зФ1 зфі
Сокращая Vj(y^) справа и слева приходим к эквивалентному неравенству
J2jei vj(y1) J2jei vj(y1)' очевидно верному по условиям максимизации (72). и
Итак, по переменной у1 общественному благу эта процедура всегда дает хороший результат, но возможны потери в деньгах. Эта процедура, в сущности, реализуется, когда несколько по-разному заинтересованных в чем-то сторон подкупают государственного чиновника, от которого зависит решение вопроса.

Проблема выбора блага решится в пользу тех, кому больше надо, будет заплачена сумма равная налогу Кларка. Альтернатива договоренность (из ядра) заинтересованных сторон, если они способны достичь ее.
Об убывании (относительном и абсолютном) потерь денег в процедуре с возрастанием числа участников говорит следующее. Рассмотрим ряд t = 2,3,... ситуаций, являющихся репликами исходной; то есть для каждой следующей ситуации t + 1 в экономике присутствует ровно в t раз больше таких же участников каждого типа по сравнению с предыдущей. Соответственно, доли 6, на каждом шаге все делятся на t.
Утверждение 4.5.4 В ситуации с дискретным общественным благом регулируемым по Гровсу -Кларку, каковы бы ни были доли 5І: найдется номер реплики і такой, что для всех последующих t налоги Кларка нулевые. (Без доказательства)
Пример 4.1 (продолжение) Поскольку в рассматриваемом примере целевые функции квазилинейны по деньгам, то Парето -оптимум можно найти из решения задачи 1п(у1) + 2 1п(у1) + 3Ьфу1) у1 max .
Отсюда получим, что в оптимуме у1 = 6.
Применим к рассматриваемому примеру процедуру Гровса-Кларка. Пусть, например, издержки приобретения общественного блага покрываются за счет равных налогов на соседей: Г, = 1/3(?г).

Если каждый сообщит истинную функцию чистой полезности, то п, = г In (у1) у1 /3. В результате будет выбран Парето -оптимальный уровень производства общественного блага: у1 = arg тахУ1 (щ + ?2 + г3) = arg maxyi (6 1п(у1) у1) = 6.
Аналогично установим объем общественного блага, который был бы выбран без і-го участника (і = 1, 2, 3):
у1 = argmaxyi(51n(y1) 2у1/3) = 7.5, у1 = arg тахУі (4 ln(y1) 2yl/3) = 6, у1 = argmax2/1(31n(y1) 2yl/3) = 4.5.
Отсюда вычислим налоги Кларка: г, = (51п(7.5) 7.52/3) (51п(6) 62/3) и 0.12. Аналогично г2 = 0 и т3 рь 0.14.

Блага коллективного пользования - рыночное решение

Как уже отмечалось, не всегда неисключаемость, свойственная общественным благам, носит абсолютный характер (физически невозможно не допустить к потреблению). С одной стороны, это вопрос издержек недопущения к потреблению и издержек обеспечения прав собственности, с другой стороны, это вопрос существующих в обществе институтов.

Пример трагедии общин является иллюстрацией этого последнего случая и показывает направление, в котором может получить разрешение проблема общественных благ установление собственности на блага коллективного пользования, чтобы собственник имел право не допускать других субъектов к потреблению принадлежащего ему блага.
Рассмотрим два вида рыночных решений этой проблемы, которые отличаются распределением прав собственности.
Назначение индивидуальной цены р) для каждого потребителя обеспечивает Парето -оптимальность равновесия Линдала. Близкий аналог индивидуализированной платы за общее благо ценовая дискриминация (англ, discrimination неодинаковое отношение) при продаже монопольных продуктов.

Если фирма изготовитель идеально умеет различать полезность, получаемую потребителями от блага (и предотвращать воровство несанкционированное копирование), то монопольное равновесие с индивидуальными ценами окажется Парето -эффективным. При этом цены должны различаться не только в зависимости от потребителя, но и в зависимости от количества, купленного потребителем (индивидуальная цена на каждую единицу блага).
Для благ коллективного потребления характерно наличие больших капитальных затрат (англ, lump-sum costs затраты крупным куском) и небольших затрат на обеспечение потребления их дополнительным субъектом (например, издержки копирования информации), что означает, что предельные издержки постоянные. Обычное для конкурентных рынков установление цены по предельным издержкам здесь не подходит, поскольку не будут окупаться капитальные затраты. Таким образом, рынок благ коллективного потребления имеет тенденцию к монополизации уменьшается количество фирм и увеличиваются их размеры, так что каждая отдельная фирма получает возможность влиять на цену.

Это позволяет проводить ценовую дискриминацию назначать разные цены для разных потребителей.
Другое решение той же проблемы кооператив (или клуб) потребителей. Кооператив собирает деньги на приобретение блага от своих членов, а затем распределяет благо между ними, не допуская к потреблению не членов.
По сути дела, и коммерческая фирма, и кооператив в случае благ коллективного пользования решают ту же задачу, что и государство в случае общественных благ задачу дискриминации: распределить финансирование общих затрат между потребителями в зависимости от их потребностей. Грубо говоря, платить должен тот, кому благо нужно в большей степени и кто готов больше заплатить.

Вопрос состоит в том, какой из этих институтов может лучше справится с задачей.

Элементы теории монополии, олигополии и монополистической конкуренции

Основной материал этой темы содержится в учебнике ЭДолан, Д.Линдсей Рынок: микроэкономическая модель главы 8 9. В качестве дополнительного материала может быть рекомендована глава 6 учебника Маленво.

Простая монополия

Монополией называют фирму, которая является единственным производителем некоторого товара. С теоретической точки зрения важно, что цену на этот товар монополия будет рассматривать не как фиксированную, а как зависящую от объема производства в соответствии с некоторой убывающей функцией: р = р(у) (индексы фирмы и блага для упрощения опускаем).
Пусть издержки заданы функцией с(у). Тогда поведение монополии можно описать задачей:
тг = р(у)у - с(у) -¦ таХу .
Предположим, что р(у) и с(у) дифференцируемы. Дифференциальная характеристика равновесия монополии имеет следующий вид:
р'(у)у + р = с'(у)
ЛИ р(1-1/\е\) = с'(у), (73)
где f = фу - эластичность спроса по цене.
Как и в случае фирмы на конкурентном рынке, предельная выручка должна быть равна предельным издержкам. Отличие состоит в том, что предельная выручка монополии равна не цене, а цене с добавкой, учитывающей, что эластичность цены спроса по объему производства не нулевая, или, другими словами, эластичность спроса на продукцию фирмы не бесконечная.
В рамках концепции общего равновесия затруднительно получить функцию р(у), поэтому в дальнейшем мы будем считать, что меняется цена только монопольного товара, а цены всех остальных остаются без изменения (частичное равновесие). В такой ситуации естественно считать, что монополия ориентируется на функцию общего спроса на данный товар, а р(у) есть обратная функция к функции спроса: р(у) = D~l{y), где D(p) сумма индивидуальных функций спроса ДД.), в которых все цены кроме одной фиксированы.

Рынок такого товара изображен на Рис.З а).
Утверждение 5.1.1 Если с'{у) р(у) возрастает, то при прочих равных условиях на монопольном рынке объем продаж меньше, а цена товара выше, чем на конкурентном.
Доказательство. Обозначим равновесный объем производства на монопольном рынке ум, а на конкурентном ус. Должны выполняться следующие соотношения:
с\ум) р(ум) = р\ум)ум О
с'(уС) - р(ус) = 0.
Отсюда ум ус и при убывающей функции спроса рм рс.
Утверждение 5.1.2 Если предельные издержки положительны (с'(у) 0), то в равновесии монополии эластичность спроса по цене по модулю больше единицы: |с| 1.
Утверждение следует из (73).
Пример 5.1 Пусть спрос задан функцией р(у) = а by, а издержки функцией с(у) = dy (a, b, d константы). При совершенной конкуренции цена будет равна предельным издержкам: рс = d, а объем производства составит ус = ДД Прибыль монополии тогда равна тт = у {а by) dy = (а d)y by2. Максимум прибыли будет достигнут при ум = Др и рм =
В предыдущих разделах мы рассматривали эффективность экономики с точки зрения принципа, предложенного Парето. При этом индивидуальные полезности считаются несравнимыми.

Другая распространенная концепция оптимальности основана на квазилинейности полезности по деньгам так что общественный оптимум находится как сумма денежных полезностей отдельных индивидуумов.
На основе денежной полезности вводится понятие излишка потребителя, который равен изменению полезности при переходе от текущей цены к цене, при которой спрос равен нулю. Потребительский излишек представляют как площадь под кривой спроса потребителя. Можно находить его и как площадь под кривой обратного спроса, но от полученного валового излишка потребителя следует отнять расходы, то есть произведение количества товара на цену. Суммарный излишек потребителей на рынке одного товара есть площадь под кривой общего спроса.

Парное понятие излишек производителя есть просто превышение выручки над издержками, т. е. прибыль.
Когда вся потенциальная выгода, т.е. разница между максимальной (резервной) ценой, которую еще согласны платить потребители и минимальной ценой, за которую готов отдать товар продавец (издержками), распределяется между потребителями и производителями, это означает, что данное состояние рынка Парето -оптимально. Это может быть только в случае, если объем производства рассматриваемого блага такой же, как в ситуации совершенной конкуренции. Можно назвать этот объем производства оптимальным.

В частности, очевидно, что при совершенной конкуренции равновесие Парето-оптимально.
На монопольном рынке это не так существуют потенциально выгодные сделки, которые не реализуются, и объем производства меньше оптимального, т. е. имеет место чистая потеря благосостояния (англ, deadweight loss) и фиаско рынка. Чтобы осуществить эти сделки, нужно продавать дополнительные единицы блага по цене меньшей, чем цена тех, которые уже продаются.

Если же цена по каким-то причинам может быть только единой, то ее снижение с целью осуществления дополнительных сделок приведет к падению прибыли. Таким образом, проблема заключается в том, что отсутствует ценовая дискриминация.

Дискриминирующая монополия

С другой стороны, если дискриминация возможна, издержки дискриминации равны нулю и монополия обладает полной информацией, то монополия выберет объем производства, равный объему производства при совершенной конкуренции и при этом чистая потеря благосостояния (как впрочем и излишек потребителя) будет равна нулю.
Для того, чтобы осуществить такую идеальную дискриминацию, необходимо установить отдельную цену на каждую дифференциально малую единицу блага, а именно, наибольшую цену, за которую потребитель еще согласен ее купить. На практике монополия не обладает полной информацией и издержки дискриминации не равны нулю.
Перечислим основные способы дискриминации:
1) по принадлежности потребителя к определенной группе (например, дети, пенсионеры и прочие);
2) по количеству покупаемого товара;
3) по качеству товара (например, книги в твердом и мягком переплете).
Пример 5.2 Пусть монополия разделила потребителей своей продукции на 2 группы с независимым спросом: ра(уа) и РьІУь)¦ При этом издержки производства для обеих групп общие с{уа + уь). Продифференцировав прибыль тг = ра{уа)уа + Ръ{уъ)Уъ ~ с{уа + Уь) по уа и уь, получим диф. характеристику равновесия монополии: ра( 1 1 /1д, |) = с' и Рь( 1 - 1/Ы) = с'.
В равновесии выполнено следующее условие для отношения цен :
Ра _ ^ ра I 1
- 1 + HFT
Цена для той группы потребителей будет выше, эластичность спроса которой (по модулю) ниже, то есть той группы, которая в меньшей степени сокращает свой спрос в ответ на повышение цены.



Содержание раздела