d9e5a92d

Парето-оптимальные состояния экономики и теоремы благосостояния

ифіх + (1 t)y) tui(x) + (1 фифу) для Уі е [0,1],Ух,у), либо может быть превращена в вогнутую каким-либо монотонным (строго возрастающим) преобразованием.
Поясним; поскольку монотонное преобразование целевой функции не влияет на выбор оптимальных точек (не изменяет форму линий уровня), то, например, функция и(х,у) = ху и ее логорифм ?(х,у) = Іп(и(х,у)) = Іп(х) +1п(у) эквивалентны в оптимизации, хотя первая не вогнута, а вторая вогнута и допускает поэтому применение теоремы К-Т. Следовательно, допускает его и первая, приводимая к вогнутой.

Чтобы исключить у функции свойство приводимости к вогнутой достаточно проверить отсутствие ее квазивогнутости. Квазивогнутость связана только с линиями уровня ф-ции и(.), и означает, ЧТО ДЛЯ любой ТОЧКИ .?'¦МНОЖЕСТВО ЛуЧШИХ чем .?'¦точек {.X, е Хі\ ифхі) щ(хф} выпукло (эквивалентное определение квазивогнутости: [щфх + (1 t)y) min{ифх), ъц(у)} для Vx, y,Vt е [0,1] ]). Квазивогнутость следует из вогнутости, поэтому неквазивогнутая функция не приводима к вогнутой монотонным преобразованием.

Обратное не всегда верно, но среди решаемых в курсе примеров (кроме специально сконструированных) Вы не встретите квазивогнутую функцию не приводимую к вогнутой.
Предположение 2 (ГРАД). Точка индивидуально- рационального выбора потребителя х, (называемая иногда индивидуальным равновесием потребителя) внутренняя (хі Е int(Xi)), причем в ней существует и больше нуля градиент grad ифх.ф ф 0.
Тогда ограничения х, е X, несущественны (тем самым единственное ограничение - бюджетное, и выполнено условие регулярности), и функция Лагранжа для задачи
(9)
ифхі) -х max ; /лг, /ф, х; ( .V,
равна L = ч-,іх;) + u,(l:k pxj), где щ множитель Лагранжа для бюджетного ограничения. Поэтому в оптимуме dL/dxk(xi) = 0 Мк , откуда (здесь йк производная по товару к)
й*(хг) = ?грк (кек). (Ю)
Делением подобных соотношений (не равных нулю) исключив ?,, получим дифференциальную характеристику спроса х, при любых фиксированных ценах р (т.е. индивидуальное равновесие потребителя при данных ценах):
Pkjps = іік(ж- )/?\(Хі) (к, se К). (11)
Заметим, что если хоть одна производная ?'/,¦' = 0, то цена рк = 0, иначе получаем противоречие с гипотезой внутреннего положения точки х,.
Отношение iik/uf называют предельной нормой замещения (в потреблении) блага к на благо s. Таким образом, в индивидуально- рациональной внутренней точке (равновесии потребителя) предельные нормы замещения благ равны отношению цен соответствующих благ.
Это одно из условий первого порядка, т.е. необходимых условий максимума. Поскольку grad щ Д 0 и условие х Е X несущественно, то бюджетное огр. существенно, тогда из условий дополняющей нежесткости (dL(xj, v^/dvj = 0) получаем другое условие первого порядка:
рхі = /Зі (12)
Условия первого порядка (11), (12) задают систему уравнений, любое решение х которой при условии (ВЫПУКЛ) по обратной теореме К-Т является индивидуально- рациональным выбором (равновесием) потребителя при данных ценах. Тем самым, (11), (12) задают функцию спроса. Итак, имеем
Замечание 2.1.1 Если при условиях (ГРАД), (ВЫПУКЛ) в задаче (9) пара ж* е АД, А
0) удовлетворяет условиям первого порядка (11), (12), то точка х есть равновесие потребителя при данных ценах и доходе; и обратно: всякое внутреннее равновесие потребителя удовлетворяет условиям первого порядка (11), (12).
Для невнутренних точек сходные соотношения задающие спрос читатель может вывести сам, тоже пользуясь теоремой К-Т.
Модель производителя. При выборе объемов производства у3 = {ук}кек каждая фирма j Е J ограничена своим технологическим множеством Yj с Ш1. Эти множества допустимых технологий можно задавать в частности в виде (неявных) производственных функций fj(yj)'.

Yj := {у3 Е IRlI fj(yj) 0}. Другое удобное представление (когда производится только один товар /г) в виде явной производственной функции yj gj(yjh), где yjh := (yk)k^h затраты (со знаком минус) всех других благ, необходимые для производства блага h. Чтобы привести этот случай к общему представлению Y через функции, достаточно записать {3(у{) = у1- + 9:{у{Ъ) 0.
В качестве целевой функции классического производителя берется его прибыль 7г = pyj = J2kei PkUj ¦ В ситуации совершенной конкуренции производитель, как и потребитель, предполагает, что не может влиять на цены. Результатом решения задачи производителя максимизации прибыли при технологических ограничениях является (возможно, многозначная) функция предложения УД.):
УА?) := {'У;, е Yj\ ру, = max pyj}. (13)
yjtYj
Решение этой задачи также можно характеризовать при помощи теоремы Куна-Таккера. Используем два предположения.


Предположение 3 (ВЫПУКЛ). Множества Yj, Mj выпуклы и заданы вогнутыми производственными функциями в виде fj(yj) 0, ?у .
Предположение 4 (ГРАД). В проверяемой на индивидульную рациональность или на оптимум точке yj существует и не равен нулю градиент grad f3 (у3) ф 0.
Функция Лагранжа для соответствующей задачи (13) равна L = pyj + Pjfj(yj), где jij множитель Лагранжа для технологического ограничения. При условии р ф 0 в точке максимума Д выполняется dL(yj)/dyk = 0, откуда рк = fk(yj)Pj (V/c G К) (здесь и далее fk производная по товару к в точке уф. Рассматривая товары с ненулевыми ценами, заметим что /у ф 0, и исключив /д, получим дифференциальную характеристику точки равновесия производителя у у.
если рк'2 ф 0 то pkl/pk2 = ft1 (уф/ft2(уф (ki, к2 G К). (14)
Отношение fk' / fk'2 называют технологической предельной нормой замещения блага кі на благо к2. Итак, в точке индивидуально- рационального выбора (в равновесии) производителя технологические предельные нормы замещения благ равны отношению соответствующих цен.
Для производственной функции типа І'фуф) = дфуф) Уj предельная норма замещения производимого блага h на другое (возможно, затрачиваемое) благо (к) равна 1 /дк (в этом виде ее называют также предельной производительностью блага к), и аналогичное соотношение принимает вид 1 /дк = ph/pk.
Дополнительное условие первого порядка есть Д (у3) = 0. Как и ранее, предположение (ВЫПУКЛ) гарантирует, что необходимые условия являются достаточными.
Часто производственное множество для фирмы, производящей один товар (/г), удобно описать в терминах функции издержек с(.). Это подразумевает максимизацию прибыли в задаче типа ук gj(yJh) в два этапа.

На первом этапе для каждого возможного объема производства ук минимизируются издержки производства Ф2кфіі ркук (если ук 0 к ф /г, то это затраты, а не выпуск, и минимизируется положительная величина) при ограничении ук = gj(yjh). При этом цены p~h всех товаров кроме h считаются фиксированными. В результате получается функция издержек cj(Vj 5p h) ¦= argminу(ЕкфЬ~Ркук I Vj =9j(yJh))-
На втором этапе с учетом ph максимизируют по іф- прибыль, равную разности дохода и издержек я, = phy'¦ Cj(yk,p^h). В условиях совершенной конкуренции дифференциальную характеристику оптимума однопродуктовой фирмы в терминах функции издержек можно записать в виде рк = dcj(yk,р_ф)/dy^, т.е. предельные издержки производства товара h равны его цене.
Теперь модели отдельных подсистем (участников) объединим в различные модели рынка (экономики) в целом, называемые иногда моделями общего равновесия (general equilibrium models).
Будем рассматривать следующие типы экономик.
1. Экономика распределения. В экономике распределения производство отсутствует.

Имеются общие, нераспределенные, начальные запасы благ w G Ш1+. Можно считать их производственным множеством состоящим из одной точки Y := {у} := {ш^}.

Бюджетные множества задаются фиксированными денежными доходами Д(.) = d, 0. Общее потребление в экономике не может превышать суммарный начальный запас благ: Е*е/хі У = wу (материальный баланс).
Представить себе экономику распределения можно следующим образом. Проводится аукцион / делимых товаров, суммарные запасы которых w находятся у аукци-онщика.

Каждый участник і Е I имеет намерение полностью потратить свой запас dj денег (или ваучеров) на товары. Участники заявляют спрос и предложение, аукцион-щик отвечает ценами, они заявляют новый спрос (не обмениваясь, пока не наступит равновесие) и т.д.

Об аукционщике (или естественной закономерности, которая выполняет его функции) предполагается, что он в момент t повышает с некоторой заданной скоростью реакции текущую цену pk(t) товара к е {1,...,/}, спрос на который оказывается выше предложения, и наоборот, понижает цены избыточных товаров.
Этот процесс называют нащупыванием равновесия рынка (фр. tatonement). Если он завершается стационарной точкой р 12 (это возможно лишь когда спрос окажется равен предложению), то этот исход естественно называть равновесием.

Нами это понятие вводится ниже без связи с процессом поиска, просто как состояние рынка, где спрос согласован с предложением.
2. Экономика обмена. Здесь также нет производства. Каждый потребитель обладает фиксированными индивидуальными начальными запасами товаров w, Е Ш1+, и этими товарами потребители обмениваются на рынке.

Бюджет потребителя задается функцией /3j(p) = pwj. Выполняется материальный баланс
Еіе/ 1 - Е; / wi
Представить экономику обмена можно в двух вариантах, обе ситуации описываются той же моделью. (Вариант I) Та же ситуация аукциона, но начальные запасы товаров Wj (в том числе деньги, их не обязательно тратить) исходно распределены между участниками, которые обмениваются сообщениями о желаемом при каждых ценах спросе, аукционщик (или естественная закономерность) меняющий цены лишь помогает участникам договориться, меняя цены в процессе tatonnement. Фактический обмен товарами происходит лишь после установления цен равновесия.
(Вариант II) Это неизменная по технологиям (технологии учтены в допустимых множествах Хг участников) и потребностям экономика, где каждый день у каждого участника і Е I возобновляются (например, труд, земля, капитал) начальные запасы
если он их сегодня не продаст и не потребит, они не накапливаются (вчерашний день труда не продашь сегодня). Процесс tatonnement направляется естественной закономерностью.

Равновесие (оно может и не установиться) понимается как стационарные (изо дня в день) цены и объемы продаж.
3. Экономики общего вида и Эрроу-Дебре. Экономика общего вида включает как производство, так и потребление.

Потребители владеют фиксированными начальными запасами товаров гіу и долями уг] в прибылях фирм. Бюджеты потребителей задаются функциями
/Чр, у) = рщ + ЕjeJ lijPVj + di,
где уij Е [0,1] фиксированные коэффициенты участия потребителя і в прибылях фирм j Е J, a dj фиксированные дополнительные денежные доходы; вариант когда dj = 0 (і Е I) называют моделью Эрроу-Дебре. Потребление не превышает суммы начальных запасов и произведенной продукции:
Еіе/ Д Еі?і wi Т EjeJ 5j-
Интерпретация равновесия такая же, как в варианте II модели обмена.
Таким образом, задавая различный вид Д(.), мы задали три частных модели, от- ражающих различные варианты распределения исходной собственности, и общую модель (заметим, возможны и иные варианты функций доходов Д(.) при учете налогов, и др).
Дадим определение общего рыночного равновесия для общей модели экономики, определение подходит и для экономик Эрроу-Дебре, распределения и обмена, с очевидными упрощениями.
Определение 2.1.1 Вальрасовское равновесие (Вальрасовское полуравновесие) есть такой набор (р, х, у), что выполняются условия:
1) индивидуальная рациональность решений (х,у) при ценах р, т.е
(15)
(16)
(17)
х е Х(р), у е У(р).
2) материальная полусбалансированность:
У Д У щ ¦ у у , .
іеі - / jeJ
3) закон Вальраса (аналог дополняющей нежесткости): Р(У йі ~ У ші - У Уі) = 0 -
іеі id je-J
Множество Вальрасовских равновесий обозначим WE(d, w,y).
Если в состоянии (х, у) баланс (16) выполнен как равенство, то набор (р,х, у) назовем строгим Вальрасовским равновесием, обозначив WE=(d, w,y) соответствующее множество.
К равновесиям общей модели мы будем применять обозначение WE(d,w,g), указывая таким образом параметры распределения собственности, к равновесиям экономики распределения WE(d), обмена WE(w), Эрроу-Дебре WE(w,y).
Определение 2.1.2 Частное (частичное) равновесие (Partial Eguilibrium) для рынка одного из товаров к при ценах р есть набор (х, у), такой, что выполнено условие индивидуальной рациональности (15) и баланс (16) по этому товару к (прочие балансы не учитываются), множество соответствующих частных равновесий обозначим
РЕк(р).
Сопоставляя концепции WE и NE, отметим, что если исходные данные рынка (/, X, и, J, Y, d, w, 7) естественным образом записать как обобщенную игру в нормальной форме G (включив аукционщика регулирующего цены в число участников), то ее Нэшевские равновесия совпадут с Вальрасовскими. Таким образом WE есть NE в обобщенной игре специального вида.
Доказательство теорем существования WE, вложения WE С С и обратного вложения, верного для бесконечно большого числа участников, выходит за пределы данного курса . Укажем лишь, что важными условиями существования являются выпуклость допустимых множеств и квазивогнутость целевых функций, иначе спрос может допускать скачки и равновесие не только не устанавливаться, но и не существовать. Теоремы же устойчивости (сходимости к равновесию) процесса tatonnement (см.

Маленво, гл.5, стр. 149), описываемого диф. уравнением
(dpk(t)/dt) = - Wi) - Е Уз(*) )- (18)
* з
требуют еще дополнительных условий кроме квазивогнутости.
Равновесие может быть не единственным, однако, за исключением вырожденных случаев, равновесий обычно конечное, притом нечетное число (более точно, см. напр. Экланд).

Это можно понять из геометрии функций спроса; а также из раздела по вычислению равновесий.

Парето-оптимальные состояния экономики и теоремы благосостояния, дифференциальная характеристика оптимума

Везде в дальнейшем мы будем рассматривать только физически возможные состояния экономики, т.е. такие, для которых хг G Хг ?г G /, yj G Yj V/ G - / и выполнены материальные балансы (16).
Определение 2.2.1 Парето-оптимумом экономики называется такое возможное состояние (х,у), что не существует альтернативного возможного состояния у), дающего лучший вектор полезностей (гц(тг:))ге/ Д (щ(Д))і( , .
Парето-оптимальность означает, что нельзя найти Парето-уяучшения, т.е. повысить благосостояние одного потребителя, не уменьшая благосостояния других.
Замечание 2.2.1 Для того, чтобы точка (х,у), была Парето-оптимальной в экономике общего вида, необходимо и достаточно, чтобы она являлась для любого г о G {1 решением оптимизационной задачи вида
(19)
(20) (21) (22)
иіА'хі0) -¦ max
Щ(хі) Щ = щ(хі) (г G / \ {г0}),
МУз) () U е J)
E4E-f + E^-
і i j
В справедливости замечания легко убедится прямо по определению.
Предполагается, что читатель знаком с доказательством теоремы WE С?, и обратной к ней, для экономики обмена (для непрерывных строго монотонных функций полезности и потребительских множеств X, = Ш1+). Теперь займемся случаем с производством.
Убедимся, что если рынок совершенен, то 1) равновесные планы потребления и производства Парето-оптимальны (невозможно фиаско рынка), и 2) обратно: любого Парето -оптимума можно достичь используя рыночный (ценовой) механизм, и не прибегая к другим средствам достижения согласованного состояния (типа переговоров, правил голосования, государственного регулирования производства и потребления и проч.); все Парето-оптимальные состояния достижимы различными распределениями исходной собственности.
Предположение 5 (НЕНАСЫЩ1): Для каждого участника i Е I целевая функция и, локально ненасыщаема на потребительском множестве X,, то есть для любой точки Xj Е Xj и любой ее окрестности V(xt) найдется альтернативная допустимая точка
Х; Е V(x.j) П Хі : и(хД и(хД).
В частности, для локальной ненасыщаемости достаточно, чтобы в каждой точке х, ф-я щ строго возрастала хотя бы по одному неотрицательному направлению Ахг Е М1+ (отсюда название ненасыщаемость), а потребительское множество Хі всюду было неограничено сверху в смысе Хі = Xj + Ml+.
Теорема 2 (ТБ1 для WE(d,uj,g)). Пусть (р,х,у) Вальрасовское равновесие совершенного рынка общего вида, и выполнено предположение (НЕНАСЫЩ1), тогда (х, у) ~ Парето-оптимально. Т.е.:
(НЕНАСЫЩ1)[(р, х, у) Е WE(d,uj,g)] =$¦ (х, у) С V ¦ (23)
Докажем 1-ю и 2-ю теоремы благосостояния для случая экономики распределения, оставив доказательства для экономики обмена и Эрроу-Дебре как упражнения, проводимые по той же схеме.
Док-во ТБ1 для WE(d). Предположим противное: есть другое допустимое состояние (х,у), лучшее в смысле Парето, то есть такое, что и(х) Д и(х).

Обозначим t Е I того участника, для кого состояние х строго лучше: щ(х) щ(х).
1) Покажем, что лучший набор дороже, чем нужно, чтобы удовлетворять бюджетному ограничению (6), т.е. pxt dt. Действительно, в противном случае точка xt принадлежала бы бюджетному множеству потребителя: xt Е Bt(p,d) в задаче (15), но она предпочтительнее для него чем xt, следовательно х, не могло бы быть им выбрано, что противоречит равновесности х. Итак pxt dt.
Аналогично для прочих участников pXj dt (г Е /). Действительно, в противном случае в соответствии с условием (НЕНАСЫЩ1) альтернативный удовлетворяющий ограничениям набор х, Е Xj, pxj dj, такой, что иДхД щ(хД, что противоречило бы, опять, равновесности хг.
Суммируя полученные неравенства имеем оценку
2) С другой стороны, в точке равновесия бюджетные ограничения (6) выполняются: pip dj. Суммируя по г и привлекая оценку (24) имеем г гг
3) Однако точка х предполагалась допустимой, что означает выполнение баланса
г, w . Умножая это векторное неравенство на неотрицательный вектор цен р
и пользуясь условием дополняющей нежесткости (17) (законом Вальраса) получим оценку, противоречащую (25): Отметим, что для экономики Эрроу-Дебре можно изменить завершение доказательства, исключив пункт 2) и сравнив непосредственно правые части бюджетов
ЕіА(-) = Е*(ргиі + YtjlijPVj) Е*(рги* - с тем же результатом (проверяя, что
в равновесии бюджеты выполнены как равенства). Однако требуется еще проверка того, что EjeJPVj EjejPVj, что вытекает из условий равновесия производителей.
Перейдем к доказательству того, что всякую Парето-оптимальную точку можно реализовать как равновесие подбором распределения доходов или собственности.
Предположение 6 (ВЫПУКЛ). Для всех г G I множества X, выпуклы, а функции полезности щ вогнуты, т.е. иДіх + (1 t)y) Ьщ(х) + (1 ДиДу) для Уі G [0,1] Ух,у.

Производственные множества Yj ?у выпуклы.
Предположение 7 (ГРАД). Проверяемая на оптимальность точка (х,у) внутренняя (т.е.

X, G int(Xi), Уі G I), причем в ней существует градиент grad ифхД Д 0, Уі. Производственные множества представлены производственными функциями в виде Yj := {у^I fj(yj) 0}, функции дифференцируемы и grad(f(x)) Д 0.
Введенные упрощающие условия (ГРАД) для ТБ2 на самом деле избыточны. Во-первых, дифференцируемость может быть отброшена.

Во-вторых, неотрицательность grad щ 0 вытекает из хі G int(Xi). В-третьих, это условие на внутренность может быть ослаблено, так что (ГРАД) в целом можно заменить таким легким условием: [Пусть К+ множество товаров, по которым целевая функция возрастает в точке х хотя бы у одного участника. Тогда либо
1) найдется участник, для которого Хі d Ш1+ х{ 0 Уk Е К-, либо 2)у каждого участника целевые функции строго возрастают по товарам Ук Е К+.\ (ресурсная связность). Читатель может проверить справедливость этого усиления теоремы ТБ2 пользуясь вариантом теоремы К-Т без дифференцируемости.
Теорема 3 (ТБ2 для WE(d,w,y).) Пусть дано Парето -оптимальное состояние (х,у) G V экономики общего вида с параметрами w, и выполнены (ВЫПУКЛ), (ГРАД), тогда найдется распределение собственности (d, w, 7) 0 и цены р Е JRl+, такие что Еге/Дд = 1 (j G J), Еieiwi = ЛшЩі и (р,Р,у) ~ Вальрасовское равновесие, то есть (ВЫПУКЛ) (ГРАД)[(р, х, у) G V] = 3 (p,d,w,g) : (х,у) G WE(d,uj, 7).
При этом распределение собственности может быть выбрано пропорциональным в том смысле, что З? G ШД : [ф = 9id , ид = ?іі? , уд = ф (Vj)] (г G /).
Докажем теорему только для случая экономики распределения, оставив доказательства для экономики обмена и Эрроу-Дебре как упражнения.
Док-во ТБ2 для WE(d). 1) Как отмечено выше в Замечании 2.2.1, точка х может быть Парето -оптимальной тогда и только тогда, когда она является решением т оптимизационных задач (для s = 1 ,...,т) вида (19) переформулируемых для случая экономики распределения так:
2) Для применимости к задаче (27) теоремы Куна-Таккера нужно проверить, что все активные ограничения (т.е. выполняющиеся в точке х как равенства) линейно независимы. Это проводится проверкой ранга матрицы градиентов ограничений, используя условие (ГРАД): выписав структуру матрицы, нужно убедиться что если линейная комбинация ее строк равна нулю, то все коэффициенты нулевые. Мы здесь опускаем эту проверку (см.

Маленво).
3) Применив к (27) теорему Куна-Таккера, получим что существуют множители Лагранжа А; 0, і = 1,.., т для ограничения (28) и множители ак 0, к = 1,.., I для условия (22) такие что:
А- ак = 0 (г ЕІ,кЕ К). (30)
Здесь принято обозначение гік(хг) := ди,/дхк, а также As := 1. Отсюда, из As = 1, grad us ^ 0 следует что вектор а ^ 0, следовательно все \ 0 (г G I) в этой системе равенств.
4) Возьмем оптимальные оценки товаров а в качестве цен: р := а Е 1R1, а в качестве доходов требуемых в теореме ровно столько сколько требуется для приобретения Парето-оптимального набора: d, := рх\. Проверим, равновесие ли мы получим.
Покажем, что х равновесие потребителей при р, d, т.е. решение задачи (9) при этих ценах и доходах. Бюджетное ограничение (12) выполнено. Взяв г/, = 1/А; (используем Аі 0, (30)), заметим, что при ценах р = а множители Лагранжа щ и точка оптимума Х{ удовлетворяют соотношениям (10). Следовательно при выполнении предположения (ГРАД) для точки х выполнены необходимые условия первого порядка.

При условиях (ВЫПУКЛ), (ГРАД) необходимые условия являются и достаточными условия экстремума, итак хг Е Xi(p,di) (i Е /).
Другое требование определения равновесия полусбалансированность вытекает из допустимости Парето-оптимальной точки х, а третье требование закон Вальраса следует из дополняющей нежесткости условий Куна-Таккера для задачи (27). Действительно, если оценка рк = ак какого-то товара к положительна, то ограничение (баланс) по нему выполнено как равенство, что и означает (17).
Теорема доказана. щ
Отметим, что для экономики Эрроу-Дебре в доказательстве необходимо еще проверить индивидуальную рациональность плана производства у, а также поделить совокупную собственность (ш,у) так, чтоб индивидуальные доходы вг('ш. р. х) равнялись найденным числам (рД), то есть были точно достаточны для потребления х. Для этого достаточно поделить собственность пропорционально числам ?г = (рхг/І]?е/ рД).
Важно для дальнейших теорем, что из условий типа (30) мы получаем дифференциальную характеристику Парето-оптимальной точки в виде совпадения (в условиях теоремы) предельных норм замещения любых двух товаров k,t для всех участников:
ак/ф = йк(х)/йк(х) (і Е /), ак/а* = fk{y)/f){x) (j Е /).. (31)
Сутью теорем ТБ1ТБ2 является то, что эта диф. характеристика оптимума для совершенных рынков совпадает с дифференциальной характеристикой равновесия: поскольку цены для всех одинаковы, то отношение предельных норм замены двух товаров одинаково для всех участников и равно отношению цен.



Содержание раздела