Общественные блага
Однако если это ограничение снять, то вполне вероятно, что произойдет самостоятельная координация участниками своих действий без вмешательства государства. О подобных ситуациях торговли экстерналиями или, иначе, включении экстерналий в рынок мы упоминали в примерах трагедии общины и курильщика.
О них идет речь и в следующем нестрогом утверждении, известном как теорема Коуза, утверждающем, что для Парето- оптимальности в определенных условиях безразлично, кому принадлежат права на экстерналии.
Утверждение 3.3.1 (Теорема Коуза) . 1) Если права участников на оказание внешнего воздействия четко определены и издержки сделок нулевые (т.е. нет никаких препятствий к соглашениям), то возникающее соглашение приводит к Парето-оптимальному решению. 2) Если к тому же участники не влияют на общие цены экономики (рассматривается частное равновесие) и эффекта дохода для них нет (целевые функции линейны по деньгам), то кому бы ни присвоить права на оказание внешнего воздействия, объемы экстерналий будут одинаковы.
Первое утверждение здесь можно трактовать как Парето- оптимальность точки из ядра, или же классического равновесия (если под соглашением понимать исход рыночной торговли с использованием цен). Второе непосредственное следствие отсутствия эффекта дохода.
Существуют два основных вида соглашений, решающих проблему экстерналий:
1. Оплата положительных экстерналий и компенсация за сокращение отрицательных экстерналий.
2. Объединение затронутых экстерналиями участников в одну фирму (соглашение о максимизации общей прибыли, при некотором ее разделе).
Проиллюстрируем теорему Коуза примерами.
Пример 3.6 (Продолжение Примера 3.3)
Утверждение 3.3.2 В примере 3.3 при использовании обоих вариантов рыночной координации деятельности предприятий равновесие будет Парето -оптимальным.
Доказательство. Оптимальность равновесий в обоих случаях доказываются просто ссылкой на 1-ю теорему благосостояния: ведь оба эти рынка оказываются совершенными, без экстерналий.
Действительно, в варианте координации 1 предполагается, что первый производитель предъявляет спрос у\ на экстернальные услуги второго и договаривается с ним о цене р\ на эти услуги. Аналогично предъявляет спрос у\ на услуги первого и второй, платя цену р\ за них. Тогда задача максимизации прибыли первым примет вид (здесь аі := уі):
(р1 + р\)у1 РіУі р3а-і таx y1 = g1(a1,yl), 0 ах.
В точке равновесия с координацией у должно оказаться, что спрос на экстернальные услуги совпал с предложением: у2 = у\. Находя дифференциальную характеристику этой точки мы получим, что равновесие обязательно оптимально, причем цена услуги окажется р\ = dl = д% /д2а2Р3¦ Это означает, что государство, если хочет установить оптимальный налог Пигу, должно имитировать налогом цену потенциального добровольного соглашения участников.
В варианте координации 2 из анализа задачи максимизации совокупной прибыли так же получаем, что равновесие с координацией оптимально. Этот, как и предыдущий, результат можно доказать и применением 1-й теоремы благосостояния, поскольку рынок становится классическим как при торговле услугами так и при слиянии фирм: экстерналии перестают быть экстерналиями, а становятся просто товарами.
Пример 3.7 (Продолжение Примера 3.2)
Соседям-студентам разумно было бы вступить в соглашение, когда один из них за деньги отказался бы от части своих прав. При этом возникнет ситуация как в классическом варианте ящика Эджворта: из точек А и В участники перейдут на Парето-границу (см.
Рис.2 б)).
Мы видим, что наличие экстерналий у какого либо блага сама по себе не препятствует организации эффективного рынка этого блага, если возможно установить и контролировать права собственности на его использование. В Примере (3.2) затруднение, возможно, заключается в том, что у участников нет согласия об исходных правах, что привело к конфликту, к ситуации В или, наоборот, к А, в зависимости от того, кто сильнее.
Этот конфликт препятствует взаимовыгодному соглашению. Кроме того, соглашению могут препятствовать традиции общества, ненаблюдаемость действий партнера и другие причины.
Еще одно затруднение связано с тем, что соглашения трудно достижимы тогда, когда тех, кто мог бы заплатить за увеличение или уменьшение интенсивности экстерналий, много, причем экстерналии на них действуют не выборочно, а на всех сразу. В этом случае возникает проблема общественного блага, которая рассматривается в следующей главе.
Общественные блага
Экономика с общественными благами
Определение 4.1.1 Назовем благом коллективного потребления такое благо, потребление которого одним субъектом не мешает потреблению его другими; то есть связь между количеством аф доступным потреблению отдельным (і-м) потребителем, и наличным количеством блага к в экономике в целом (J2j Uj + v,k ) выражается неравенством X; У\; у) + Wk .
1 ?
Иными словами, когда один из участников потребляет такое благо, то количество этого блага доступное другим участникам не убывает. Будем называть это свойство неконкурентностью совместного потребления (англ, non-rivalness).
Самым распространенным видом благ коллективного потребления является информация: изобретения, литературные произведения, аудио- и видеозаписи, компьютерные программы и т.п. Типичные примеры также - оборона и телетрансляция; моя полезность не убывает от того, что кто-то еще включил приемник.
Многие блага имеют характер смешанный, промежуточный между благами коллективного и частного потребления. В качестве примера можно указать транспортную инфраструктуру (дороги, мосты), потребительские свойства которой ухудшаются по мере нарастания перегруженности.
В общем случае материальный полубаланс для г-го потребителя можно записать в виде хк г(Уф yk + wk , xk_где ./Ф вектор объемов потребления блага другими (не і), а ф некоторая функция. Блага коллективного и частного потребления будут тогда крайними частными случаями этой функции с ,:(.) = J2j Uj + v,k и Фі(¦) = J2j Ук + v,k ~ J2jyi xj соответственно.
Рассмотрением крайних случаев мы и ограничимся.
Определение 4.1.2 Благо коллективного потребления к называют общественным благом, когда физические или организационные условия не позволяют устранить никого из участников сообщества I от потребления этого блага, то есть количество хк доступное для потребления любым участником одинаково: х1- = J2j Uj + у ,
Практически чистым общественным благом можно считать оборону. Обычно неисключаемость (non-excludability) имеет не абсолютный, физический характер, а просто исключение требует достаточно больших издержек.
Более того, иногда один и тот же вид благ коллективного пользования, например телевизионные программы, дороги, может потребляться то в коммерческой форме (например, исключение организовано в виде шлагбаума на дороге, и с каждого проезжающего взимается плата), то в общественной быть доступным для использования любым желающим.
Неконкурентность часто приводит к образованию естественной монополии собственника блага (если фирма построила дорогу, вряд ли другая станет строить параллельную), и создает проблему выбора различных уровней оплаты и выбора объема блага (мы коснемся этого при анализе монополий). Тем более, и неисключаемость создает сходную проблему, которую называют проблемой финансирования общественного блага, ей и посвящен этот раздел.
Поскольку общественные блага можно считать частным случаем экстерналий (а именно: влияние производителя на потребителей) то проблема финансирования о.б. родственна проблеме нахождения налогов Пигу.
Обозначим Кргіу множество частных благ, а Криь множество общественных благ. Для простоты предположим, что каждое общественное благо потребляется только потребителями, а предприятия могут общественные блага только производить.
Поскольку мы не различаем доступное для потребления и потребляемое, то можно считать, что в потребительские функции прямо входит общий имеющийся объем общественного блага тф = Хф l/'j (k Е Криь) (начальные запасы общественных благ будем считать нулевыми). Итак, рассматриваемая нами экономика описывается следующей оптимизационной задачей получения Парето-оптимальной точки (х,у):
|
||||||||||||
| з |
Чтобы вывести диференциальную характеристику любой точки Парето-оптимума, используем по-прежнему предположения ВЫПУКЛ, ГРАД, включающие дифференцируемость всех функций. Пусть, далее, целевые функции щ возрастают хоть по одному частному и по всем общественным благам.
Соответствующий Лагранжиан имеет вид (здесь А- := 1):
L(x, у, А,щ а) ¦= ?й(.) + 51 Vjfji-) + 51 ^(55ykj + 55 wi - 55xi) +
І j k?Kpriv j І І
+ E ‘Ek!-4 ()
kXKpub j
Исключив из необходимых условий экстремума (проверив, что теорема Куна-Таккера применима) множители Лагранжа (не равные нулю, как и в теореме благосостояния), получим диф. характеристику оптимума:
55 ?)Лд2(л у) = fkl (у) / fj2 (у) (Y? Е J, he криЬ, к2 е Кргі?) (50)
г
#)/*?"(*,Й = (Vt 6 I,j € J.kuh 6 Kpriv) (51)
Первое из соотношений здесь называют уравнением Самуэльсона. Оно говорит, что сумма предельных норм замещения общественного блага на частное в потреблении равна норме замещения общественного блага на частное в производстве.
В дальнейшем будем рассматривать более простой случай, когда общественное благо одно (первое), фирма одна, причем f(y) = д(у2, ..., у1) у1, а начальные запасы всех благ нулевые. Тогда экономика (44) с общественным благом примет вид:
(52)
(53)
(54)
(?, у) Е V [Vie I ^ щ(хД = тахн.ф) :
Ui{xi) Uiipbi), г Е I \ {г}
Хі о , х] = у1 д(у2, ...,у1), іеі , ?^І].
Равновесие (псевдоравновесие) Линдала
Чтобы определить для экономики с общественным благом (52) состояние, аналогичное равновесию классической экономики, нужно ввести индивидуальные потребительские цены на общественное благо q = (q,) геі е Мп, причем их сумма должна равняться цене производства этого блага: )Гг q, = р]. Индивидуальным ценам соответствуют индивидуальные заявки х\ на общественное благо.
Задачи индивидуальной рациональности потребителя и производителя имеют вид
і
{ Ui(x\,xj, ...,ж-) -¦ max I хі 0, : - V //.'- ; } (55)
к=2
{ ру ^ max I у1 д(у2, ..., у1) }. (56)
Определение 4.2.1 Назовем равновесием (псевдоравновесием) Пиндаяа такое допустимое, в смысле (53) (54), состояние (x, y,p,q), в котором выполнен закон Вальраса в форме Т,і(Чі'Х1і + J2k=2Pk%i) = РУі сумма (Ъ = р1, а (х,у) является решением задачи производителя (56) и всех задач потребителей (55) при ценах (p,q).
В равновесии Линдала имеет место консенсус: каждый желает потреблять именно существующий (производимый) объем общественного блага: у = х] (?г). Для него верно следующее утверждение аналог теорем благосостояния для совершенных рынков.
Утверждение 4.2.1 Пусть в экономике (52) функции и(.) и д(.) дифференцируемы и вогнуты (или приводимы к вогнутым), и всюду выполнено условие ненасыщаемости в форме [й](хі) 0 3k G Kpriv : іі\(хі) 0 Vi G /, ?т, 0], и grad(g(-)) ^ 0. Тогда:
(I) Любое внутреннее (в смысле х У 0) равновесие Линдала Парето -оптимально.
(II) Для любого внутреннего Парето-оптимума (х, у) найдутся цены (р, q) и доходы (/Д,...,/Зп), такие что (.x,y,p,q) равновесие Линдала.
Доказательство.
(I) Если выполнены предположения утверждения, то и к задаче оптимума (используем ненулевой градиент) и к задаче равновесия применима теорема Куна-Таккера, и можно проверить совпадение условий первого порядка. Диф. характеристика равновесия (x,y,p,q) будет иметь вид:
й}(х)/йі(х) = Ъ/Рк, Р1 /Рк = -^/дкІУ) ¦ (57)
Эти равенства вытекают, как обычно, из анализа задач потребителя (55) и производителя (56). Просуммировав их по і, учитывая YkQk = Р1 г получим уравнение Самуэльсона.
Аналогично, для пары частных благ, как обычно, верно
й^іу1, х)/й^(у\х) = ркі/рк2 = дкі(у)/дкЧу) ¦ (58)
Таким образом, дифференциальные характеристики оптимума и равновесия совпадают, что позволяет подобрать оценки Л, //, а Лагранжиана (49) такие, что в точке (х, у) Лагранжиан достигает безусловного экстремума, то есть выполнено необходимое условие условного экстремума задачи (52). Благодаря выпуклости этой задачи необходимое условие совпадает с достаточным, таким образом равновесие (ж, у) является также решением задачи (52), что и требовалось для Парето-оптимальности.
(II) Вторая часть утверждения доказывается аналогично, сопоставлением диф. характеристик оптимума и равновесия. Конкретнее, нужно подобрать цены в соответствии с (57) и (58). Например, можно взять вектор р := ег, где а оптимальные оценки товаров из (52), (49), затем
Уг ¦= р\й\/йк)/й)/й)) (59)
іе/
здесь нормировка обеспечивает выполнение условия YVi = Р1, a fc номер из условий теоремы, поэтому деление корректно. Затем, как и во ПТБ, подбираются доходы /3{ := (рх\ + Ylk=2Рк%і соответствующие оптимуму, и множители Лагранжа индивидуальных задач, соответствующие безусловным экстремумам индивидуальных Лагранжианов (используем пропорциональность индивидуальных цен полезности из (59)).
Как и ранее, выпуклость задач гарантирует, что необходимые условия экстремумов являются достаточными, поэтому х, у являются экстремумами в задачах потребителя (55) и производителя (56). Допустимость (сбалансированность) х. у вытекает из Парето-оптимальности, а выполнение закона Вальраса проверяется как в теореме благосостояния, поэтому (.x,y,p,q) равновесие. щ
Итак, казалось бы, проблему оптимального финансирования общественных благ можно разрешить, организовав равновесие Линдала. Однако попытки построить процедуру (типа аукциона, tatonnement, или др.) сходящуюся к этому равновесию наталкиваются на принципиальную трудность. В отличие от классических рынков, все известные процедуры нащупывающие равновесие Линдала оказываются манипулируемы при обычных предположениях; то есть участникам выгодно делать ложные сообщения о своих предпочтениях или о желаемом спросе, в результате исход процедуры может попасть в равновесие Л. только в исключительных случаях, либо при полной честности участников. Поэтому, из-за трудно-реализуемости, это равновесие называют чаще псевдоравновесием.
Поясняя эту трудность, рассмотрим, например, аналог процесса нащупывания Вальраса.
Процедура нащупывания 1. Аукционер сообщает в каждый момент t участникам текущие цены (p(t),q(t)). Потребители, исходя из этих цен, отвечают спросом на частные блага xk(t) (к = 2,1) и спросом x}(t) на общее благо. Аукционер подправляет с некоторой скоростью реакции а 0 цены товаров, спрос или предложение на которые избыточны:
dpk(t)/dt = пі?;,./(П _ yfc(t)) (к = 2,
dqi(t)/dt = a(xj(t) - y\t)), pl{t) : = ?г $(*)-
Можно показать, что если участники не станут манипулировать заявками, то такая процедура при довольно реалистичных условиях на целевые функции сходится к стационарной точке, которая будет являться равновесием Линдала. Однако вероятна манипулируемость; она состоит в том, что участникам (понимающим, что их личная доля qj/p1 в финансировании общественного блага возрастает пропорционально их заявкам х, на благо) выгодно занижать свою объявляемую потребность в общественном благе, чтобы меньше платить за него. Действительно, понижая x}(t) участник знает, что понижает тем самым цену, которую платит за общественное благо, почти не снижая (при большом количестве участников т) уровень общего блага. Таким образом, здесь возникнет эффект безбилетника (англ, free-rider effect).
В результате, по-видимому, исходом процедуры окажется равновесие с финансированием по добровольной подписке, о котором идет речь в следующем подразделе.
Равновесие с финансированием общественного благапо добровольной подписке (равновесие без координации)
Представим ситуацию, когда создание общего блага участниками никак не координировано: каждый сам вкладывает столько средств или усилий, сколько хочет. Примером служат добровольные взносы в благотворительные фонды, добровольные личные усилия по поддержанию чистоты в общественных местах. Окажется ли равновесие без координации Парето -оптимальным?
Интуитивно ожидаемый ответ обычно нет. Чтобы выявить условия, когда он верен, формализуем ситуацию.
Обозначим добровольный взнос на общие нужды г-го участника через t, 0; взнос наряду с расходами на другие блага выплачивается из его фиксированного дохода вг. Собранная сумма полностью идет на приобретение общественного блага: р1у1 = Пусть содержательно оправдано (например, тем, что все й\ 0) предположение, что цена общественного блага положительна. Мы предполагаем, кроме того, что каждый участник ведет себя нэшевским образом, считая взносы t_j прочих участников заданными, при выборе своего взноса
Тогда задача индивидуальной рациональности потребителя примет вид:
(60)
щ(хxf ,х\) -х max,
t-i )Xi
(и, хі) о, и + ^2рк'хі А,
к=2
х] = У1 = (h + ^2tj)/p1,
зфі
Определение 4.3.1 В данной модели равновесие без координации или, иначе, равновесие С финансированием по добровольной подписке есть набор (p,t,x, y), такой, что выполнены (і) условия индивидуальной рациональности (56), (60) производителей и потребителей, (іі) полубалансы, включая условие xj = у1 (?г), и (ііі) условия дополняющей нежесткости (закон Вальраса) в форме Лк=2 Pk(yk ~ Л, ХЛ = 0.
Предполагая обычные условия ВЫПУКЛ, ГРАД, и что точка равновесия (і,х,у) внутренняя (в смысле і Л 0) х ^ 0) применим теорему Куна-Таккера и получим дифференциальные соотношения первого порядка. При нахождении условия равновесия потребителя і для которого Ц 0, подставим выражение для х\ = у1 прямо в целевую функцию:
OL/dt- = іі: і і /1 + ^ tj)/p\ x)/p1 - X = 0, (61)
зфі
dL/dxq = u\(yl i x) Xpk = 0 (k = 2, l) . (62)
где A множителем Лагранжа для бюджетного ограничения.
Для участников же недостаточно заинтересованных в общем благе, для которых {х, 0, t, = 0) получим (взяв переменную Лагранжа щ 0 для ограничения t, 0) аналогично:
зфі
Получим диф. характеристику равновесия без координации:
Для любой пары частных благ выполняется обычное соотношение (58):
Сопоставив полученное с диф. характеристикой (51) любой Парето-оптимальной точки х увидим, что эти системы уравнений могут иметь общее решение (ж, у) = (х, у) в довольно редких случаях: 1) когда потребитель всего один т = 1, либо 2) когда только у одного потребителя положительные производные по общественному благу (например й) (у1, хг) = 0 (і Л 1))і либо 3) когда подобные производные одних участников положительны, а других отрицательны и происходит точное уравновешивание. Более точно, имеет место теорема неэффективности:
Утверждение 4.3.1 Пусть в экономике с общественным благом (52) выполнено ВЫПУКЛ, все функции дифференцируемы, и реализовалось равновесие без координации (р, і, х, у), внутреннее: (у1, ж) Л 0, и такое, что й}(у1, хі) 0 (і G /), причем I, 0 , /V (у1. 0 хотя бы для двух участников і = і \. і = і2.
Тогда (I) равновесие не Парето -оптимально, причем (II) в равновесии имеет место (локальная) недостаточность уровня общественного блага, в том смысле, что можно достичь Парето -улучшения повысив на сколько-то этот уровень и перераспределив ресурсы.
Доказательство. Мы уже доказали (I) (несовместностью диф. характеристик) для случая, когда все і, 0 (проверку другого случая опускаем, она аналогична). Недостаточность же (II) доказывается построением дифференциально малого Парето -улучшающего сдвига из точки равновесия:
dyi 0 и dxk( = dykj = dyriij^/ip) 0. Окажется, что в новой точке (х, у) никто из
участников не проигрывает по сравнению с равновесием, в частности, (кіг, = 0, а по крайней мере участник і2 строго выигрывает. U
Комментируя результат, во-первых, отметим, что в рассматриваемой ситуации неоптимальности чаще всего появляется один или несколько безбилетников делающих нулевые взносы U = 0 и пользующихся общественным благом задаром.
Во-вторых отметим, что дифференцируемость является необходимым условием для выявленной неоптимальности. Например, рассмотрим случай жестко взаимодополняющих общественного и частного блага
и, (у\х2) := тіп{агУ; nfryx2. ..., ж-)}, (66)
где aj 0, а2 0 произвольные, возможно разные для участников, заданные коэффициенты взаимодополнительности, с, = ..., х\) некоторая функция вы
ражающая полезность участника і от частных благ. Можно показать (Сотсков 1982), что если в экономике с общественным благом (52) целевые функции имеют взаимодополняющий вид (66), то равновесие без координации всегда Парето -оптимально.
Аналогичный эффект возникает, если общее благо дискретно: если кто-то не вложит денег оно исчезнет. Недифференцируемость это 4-й случай эффективности добровольного равновесия, видимо довольно редкий, как и случаи 1~3 рассмотренные выше.
5-й случай может реализоваться, если нарушить условие внутренности. Например, если п участников готовы платить за единицу общественного блага по 1$ , а она стоит 4п$, то в точке (А,= 0 возможен оптимум.
Аналогичный, обратный, случай: когда все участники ценят частные блага настолько мало по сравнению с общим, что все деньги тратят на общее: х( = 0, к = 2,..., /, і G I; здесь тоже возможна оптимальность.
Итак, Парето-оптимальность равновесий с общим благом без координации в реальности довольно редка. Однако на самом деле в ситуациях внешне добровольного финансирования не всегда реализуется именно равновесие без координации.
В частности, большая чем в России чистота улиц во многих западноевропейских странах при примерно одинаковой с Россией интенсивности профессиональной уборки наводит на мысль, что там имеет место равновесие с неявной координацией: донесение мусора до урны считается обязательным, а не добровольным личным взносом в общее благо, и мораль исполняет роль полицейского поддерживающего эту координацию.
Пример 4.1 (Неэффективность без координации) Пусть в экономике 3 участника, частный товар один к = 2 (например, деньги), а целевые функции имеют вид щ = (\; 1іі(/у1) + х2 (і = 1,2,3), где коэффициенты о, возьмем равными і. Пусть функция производства общественного блага линейна с коэффициентом 1: у1 = у (у2) = у2, причем баланс блага 2 имеет вид ~ wf ) = !Г- Например, это можно интерпре
тировать как трех соседей (или фирм, или стран), решающих нанять общую охрану, предлагаемую по цене 1.
При нескоординированном приобретении общественного блага каждый приобретает его на сумму t,, так что общее его количество составит у1 = Y., А Каждый из соседей будет максимизировать функцию щ = і Ііі(/, +12 + / 3) + wf I, при ограничении tj 0. В максимуме i/y1 1, причем выполняется условие дополняющей нежесткости (1 i/yl)ti = 0. Поскольку в равновесии условия для всех трех соседей должны выполнятся одновременно, то ненулевой взнос сделает только один из них, и для него i/y1 = 1. Это будет тот сосед, который ценит общественное благо больше, а именно третий. Остальные предпочтут пользоваться благом бесплатно.
Отсюда у1 = t3 = 3, ti = t2 = 0. Как мы увидим ниже, в Парето -оптимуме у1 = 6, то есть количество общественного блага меньше оптимального.
Равновесие с долевым финансированием и голосованием
Безусловно, прямое соглашение участников точка из ядра являлось бы во всех отношениях хорошим решением проблемы финансирования общественного блага, когда соглашение достижимо. К сожалению, очень часто участники, особенно если их много, не способны практически прийти в переговорах к потенциально возможному соглашению.
Еще одна возможная процедура это рыночное равновесие с государственным регулированием. Государство, например, может установить, что участники экономики с общественным благом финансируют его производство на долевой основе, объем производства определяется посредством некоторой процедуры голосования, а координацию производства частных благ осуществляет рынок.
