Неопределенность и риск
Продемонстрируем это графически в частном случае, когда имеется только два блага, и одно из благ (первое) облагается налогом, а другое нет (см. Рис. 5 а). Введение налога вызывает поворот бюджетной прямой (В В) и переход потребителя к новому равновесию (х х).
Рассмотрим поведение потребителя при бюджетном ограничении (В*), параллельном первоначальному (В) и проходящем через точку равновесия, как если бы ввели эквивалентный подушный налог. Поскольку вспомогательная бюджетная прямая пересекает кривую безразличия, то, двигаясь по ней, потребитель может увеличить свою функцию полезности без снижения величины налога.
На рисунке направление такого Парето -улучшения показано стрелкой.
Возрастет ли или уменьшится потребление благ при изменении цен (налогов)?. Для того, чтобы это узнать, изменение раскладывают на две составляющие: эффект дохода (income effect) получаемый параллельным сдвигом бюджетной линии, и эффект замены (substitution effect), получаемый поворотом бюджетной линии вокруг одной и той же линии уровня (поворотом, сохраняющим неизменную полезность). Иногда эти составляющие определяют иначе: сначала параллельный сдвиг бюджетной линии до новой точки равновесия (эффект дохода), а затем поворот бюджетной линии вокруг точки равновесия (эффект замены).
Те же эффекты будут другими, если двигаться в противоположном направлении. Таким образом, для конечных приращений имеются четыре различных определения эффектов дохода и замены. Если
функция полезности дифференцируема, то для бесконечно малых приращений все четыре определения совпадают.
Благо называют низшим, если при увеличении дохода потребителя спрос на него падает. Благо называют товаром Гиффена, если при увеличении его цены спрос на него растет.
Товар Гиффена всегда является низшим. Оба эти свойства являются локальными, и благо может перестать обладать ими при изменении условий (дохода и цен).
Предполагая о линиях уровня целевой функции и лишь наиболее распространенное свойство что все товары не являются низшими (а следовательно, и товарами Гиффена) можно предсказать, что при введении налога на некоторое благо эффект замены и эффект дохода в отношении спроса на него действуют в одном направлении и потребление этого блага должно снизится. Но на основе только этого предположения, без более конкретных сведений об и, нельзя однозначно предсказать изменение потребления остальных благ, т. к. эффекты замены и дохода по отношению к ним действуют в противоположных направлениях и все зависит от того, какой из эффектов перевесит.
Если же товар является товаром Гиффена, то обложение его налогом приведет к увеличению его потребления (см Рис.5 б).
Вывод о преимуществах униформных налогов трудно применить на практике, поскольку невозможно наблюдать и облагать все блага, все сферы деятельности. Налоговые службы умеют облагать налогами покупаемые товары, но не изготовленные самими потребителями, работу, но не отдых.
Эти перекосы налогообложения приводят к неоптимальности.
Завершая этот раздел, отметим, что если при выборе налоговой системы не принимать во внимание проблему платежеспособности и проблему социальной справедливости (многие избиратели считают, что богатые и платежеспособные должны платить больше), то идеальным налогом является только фиксированный, подушный (неважно одинаковый или различный для индивидов). Дифференцировать подушный налог в зависимости от потенциальной платежеспособности невозможно, поскольку она ненаблюдаема. Наблюдаемая же платежеспособность зависит от усилий людей и обложение налогом в соответствии с ней приводит к снижению стимула делать эти усилия.
Эффективная по Парето система налогов вряд ли возможна. Реальные системы являются компромиссами между различными нежелательными эффектами.
Неопределенность и риск
Принятие экономическим субъектом решений в условиях неопределенности означает, что его благосостояние в будущем зависит от двух факторов: его решения в данный момент и от того, какое состояние мира реализуется в будущем: какая будет погода, экономическая конъюнктура и т. п. Что именно произойдет, человек, принимающий решение, может только догадываться. Когда же определенное состояние реализуется, то принятое решение уже нельзя изменить.
Предпочтения потребителя в условиях неопределенности
Модифицируем модель потребителя, чтобы учесть в ней неопределенность. Прежде всего к параметрам экономики добавляется множество состояний мира Q. Мы будем считать его конечным. Таким образом, экономические переменные будут иметь кроме индекса блага к Е К еще и индекс состояния мира q Е Q. Потребляемый набор благ для г-го потребителя будет Х{ = {.у'7}.
От него, как и раньше, зависит полезность потребителя.
Функцию полезности будем обозначать ?/,(.). В дальнейшем в этом разделе индекс г будем опускать.
Подразумевается, что в этой целевой функции учтены как полезности для него каждого товара в каждом состоянии мира (например, зонт полезнее в дождь), так и его личные гипотезы о вероятностях событий.
Участники могут действовать по разному в условиях риска, другими словами, иметь разное отношение к риску, которое определяется формой их целевой функции.
Определение 7.1.1 Потребитель называется имеющим (строгое) неприятие риска, если его целевая функция U(.) (строго) квазивогнута, и нейтральным к риску, если она линейна.
Частный, но наиболее часто используемый и удобный для анализа случай целевой функции U есть функция аддитивная по вероятностям или, иначе, функция Неймана-Моргенштерна:
U(х) = pqu(x*q) , (91)
qeQ
где fiq Е [0,1], Y.q lJq = 1 гипотезы участника о вероятностях событий q Е Q, и u(x*q) : Ш1 Ш элементарная функция полезности участника, не зависящая от состояний мира, а только от потребления благ как таковых. Вероятности, заложенные в функции полезности участника могут быть и ошибочными, поэтому их называют
субъективными вероятностями.
Полезность по Нейману-Моргенштерну, таким образом есть (субъективное) математическое ожидание полезности или просто ожидаемая полезность.
Оказывается (см. теорему из раздела XI.6 Маленво), если наблюдаемые нами предпочтения участника удовлетворяют трем свойствам: непрерывности, выпуклости и независимости от состояния мира как такового (только от вероятности лучших исходов), то эти предпочтения всегда можно описать как решения оптимизационной задачи с функцией полезности Неймана-Моргенштерна, подобрав подходящую элементарную функцию полезности и. Это оправдывает применение такой функции в микроэкономическом моделировании.
В терминах функции Неймана-Моргенштерна переопределим отношение к риску.
Определение 7.1.2 Участник г с глобальной функцией полезности U типа Неймана -Моргенштерна называется имеющим неприятие риска, если его элементарная функция полезности и(-) (строго) вогнута, нейтральным к риску, если она линейна, и предпочитающим риск если она (строго) выпукла.
Определение 7.1.3 Функция и(.) вогнута, если из а е (0,1) следует и(ах' + (1 у)х) аи(х') + (1 а)и(х).
Функция и(.) квазивогнута, если из а е (0,1) следует и(ах' + (1 у)х) тт{г4(ж'),и(х)}.
Можно показать, что из определения неприятия риска в терминах и следует определение неприятия в терминах U, (но не обязательно наоборот). Из вогнутости и следует вогнутость U, а следовательно и квазивогнутость.
Часто используют функцию полезности, зависящую от единственного блага денег. Количество денег, которое получает индивидуум в состоянии мира q (xq) будем называть доходом или доходностью.
При этом используют следующие понятия (индекс блага опускаем).
Определение 7.1.4 Ожидаемый доход это (субъективное) математическое ожидание дохода:
Е(х) = ?4*4- (92)
qcQ
Определение 7.1.5 Безрисковым или гарантированным называется такой потребительский набор X, что в любом состоянии мира потребитель имеет один и тот же доход: xq = Е(х).
Определение 7.1.6 Безрисковым или гарантированным эквивалентом данного потребительского набора X называется безрисковый потребительский набор х, дающий ту же самую полезность:
U(x) = J2 fiqu(xq) = U(x) = и(Е(х)). (93)
qcQ
Определение 7.1.7 Величина Ах называется вознаграждением за риск для данного потребительского набора X, если Е(х) Ах является безрисковым эквивалентом х:
U(x) = и(Е(х) - Ах). (94)
Для участника, характеризующегося неприятием риска, вознаграждение за риск для любого рискованного актива положительно, а доход гарантированного эквивалента меньше ожидаемого дохода. Такой участник всегда предпочтет безрисковый потребительский набор рискованному.
Проиллюстрируем введенные понятия с помощью графического примера.
Пример 7.1 На Рис. 6а изображена элементарная функция полезности потребителя с неприятием риска (функция вогнута).
Потребитель предполагает, что могут произойти два события (А и В) с некоторыми вероятностями (/іл и рв). Его потребительский набор равен х = (хА, хв), где хА и хв доход, который получит потребитель, если произойдут события А и В соответственно.
Нетрудно догадаться, что точка (E(x),U(x)) лежит на отрезке, соединяющей точки (хА, и(хА)) и (хв, и(хв)) и делит его в отношении рв к рА. Здесь Е(х) ожидаемая доходность набора, a U(x) его полезность.
Поскольку потребитель не любит риск, то график функции полезности лежит выше указанного отрезка, и ожидаемая полезность U(x) больше полезности ожидаемого дохода и(Е(х)). Гарантированный эквивалент х выбирается так, чтобы и(х) = U(x).
Плата за риск Ах равна разности между ожидаемой доходностью и доходностью гарантированного эквивалента.
Индивидуальное равновесие условиях неопределенности
В экономике с неопределенностью естественно ожидать заключения контрактов, условных по событиям. Соответственно, цены благ должны различаться в зависимости от события.
Такие цены называют условно-случайными. Бюджетное ограничение потребителя в экономике обмена тогда принимает вид
ри = Y,Y, pkqnq Е Е pkqnq = pw‘- (95)
qeQ keK qeQ keK
Задачу потребителя можно записать следующим образом:
Щхі) max (96)
хіеВі(р)
По сути задача потребителя имеет тот же вид, что и раньше, только индекс блага становится двойным. Дифференциальная характеристика равновесия потребителя тоже совершенно аналогична.
Пример 7.2 (Страхование имущества). Пусть есть одно благо (деньги), страхуемый имеет капитал wl, который в случае состояния 1 (непожара) сохранится, а в случае пожара состояния мира 2 окажется равным w2 w1.
Страховая фирма предлагает контракт страхования по цене у е [0,1] за единицу страховой суммы, то есть если участник застрахуется на сумму у, то он должен в любом случае заплатить у у, и вправе получить у в случае пожара.
Таким образом, если пожара не будет, то доход потребителя будет равен х1 = w1 7у, если же пожар произойдет, то он будет иметь х2 = w2 уу + у. Бюджетное ограничение вида (95) можем получить, исключив у:
(1 у)х1 + ух2 (1 y)wl + 7w2.
Покупая страховой контракт, потребитель тем самым меняет благо деньги в состоянии 1 на благо деньги в состоянии 2 в отношении р1 /р2 = (1 у)/у.
Предположим далее, что потребитель имеет функцию полезности типа Неймана -Моргенштерна U = (1 рффх1) + ди(х2), такую что функция //(.) дифференцируема и вогнута (т. е. он характеризуется строгим неприятием риска), где // вероятность пожара. Дифференциальная характеристика равновесия потребителя как обычно имеет вид
ди/дх1 = (97) ди/дх2 у
Отсюда в равновесии 1)/'/(./:1) = (^ 1)й(х2). Учитывая, что й(.) возрастаю
щая функция, можно сделать следующие выводы.
При у = р (актуарно справедливая цена страховки) он всегда застрахуется на такую сумму, чтобы х1 = х2, то есть на всю сумму потенциального ущерба w1 w2. Если цена будет высокой (у р), то он застрахуется на такую сумму, чтобы х1 х2, то есть на сумму меньшую величины ущерба.
Наоборот, при у р он застрахуется на сумму, превосходящую ущерб.
Задача инвестирования (выбора портфеля)
Рассмотрим задачу распределения одного блага капитала между несколькими активами (к = 0,1,...,/). Каждый актив характеризуется своей доходностью (отношением чистого дохода от единицы актива к цене) при различных состояниях мира q Е Q г| с соответствующими вероятностями этих состояний pq. Возможно, первоначально капитал размером w ? имеется в виде (безрискового) актива номер к = 0 (деньги в банке), который имеет гарантированную доходность г0 независимо от состояния мира.
Может быть, начальный запас имеет более общий вид w = (w0,...,uq) : к у = w Инвестор должен выбрать размеры вложений в каждый вид активов zk при ограничениях zk 0, J2k zk ?гч,. (Если возможен кредит под процент г0, то ограничение положительности Zk 0 отсутствует). Доход от портфеля активов при состоянии мира q равен xq = Е;,: zkrqk.
Предпочтения инвестора описывается функцией типа Неймана -Моргенштерна
U(X) = EqEqU(xq) = Eq EqU(EkНкФ
. Поскольку общая величина вложений w постоянна (выбор между накоплением и потреблением остается за рамками модели), то полезность определяется структурой портфеля и можно без ограничения общности заменить величину вложений в к-й актив на его долю в портфеле сц, = zk/w . Получим следующую задачу:
U(х) max xq = Е ОікГІ, ак0, (98)
к к
Для упрощения задачи заменим функцию и(.) ее квадратичной аппроксимацией, то есть разложением в ряд Тейлора вплоть до членов только второго порядка в некоторой точке (например, х = г0). Тогда функция U(.) примет вид
и = с0 + С\Г - С2СГ2, (99)
где с, 0 - некоторые константы, г = Е(х) ожидаемая доходность портфеля, сг2 = ?аг(х) дисперсия доходности (рискованность портфеля). Эти величины вычисляются по формулам: г = Y,kak'rk, где гк ожидаемая доходность fc-го актива (гк = EgAvifc), V2 = Efc! Еа2 (Ук^кіРкгк2, где (Тк корень из дисперсии (среднеквадратическое отклонение) А:-го актива (сг2 = ЕqPq(rl~rk)2) Ркгк2 коэффициент корреляции
(Ркгк2 = ^- EqPq(rqkl ~ Гд)(г|2 - Гк)).
В такой упрощенной модели выбора каждый вид акций (актив) характеризуется для инвестора всего двумя параметрами, поэтому задачу инвестирования можно и удобно рассматривать на плоской диаграмме с осями сг, г. На этой диаграмме каждый актив или портфель р активов можно изобразить точкой ар, гр, а кривые безразличия представляют собой параболы с минимумом доходности при нулевом риске (сг =
0). Рассмотрим ряд легко доказываемых утверждений о характеристиках составных портфелей активов, верных для этой модели. (Для более общей модели верны их аналоги.)
Рассмотрим произвольный портфель р = (а0,аге), состоящий из к + 1 активов.
1) Ожидаемая доходность портфеля есть средневзвешенная с весами ок доходность всех составляющих его активов: гр = Екак'гк-
2) Если портфель р = (0,і), составлен из безрискового актива (к = 0) и неко
торого другого (первого) актива, (возможно, составленного из других активов), то среднеквадратическое отклонение есть ар = Таким образом, различные выпук
лые комбинации этих активов лежат на отрезке с концами в точках (0, г0) и (ег1,г1). Если можно взять кредит, то возможные комбинации лежат на луче, выходящем из (0, г0). Этот отрезок/луч аналог бюджетной прямой.
Отсюда следует, что инвестор с неприятием риска при наличии безрискового актива всегда выберет свой портфель на луче выходящем из (0, г0), имеющем максимальный наклон. Имеется в виду максимум из всех таких лучей, содержащих какие-либо точки рисковые активы, или точки комбинации рисковых активов.
3) Пусть доходность всех активов жестко коррелирована: pklk2 = 1 (?Д, Д 0). Тогда а = Еkak (риски складываются с весами а, как и доходности) , поэтому множество возможных комбинаций активов есть их выпуклая комбинация, то есть представляет собой выпуклый многоугольник с вершинами в точках (ак, гк), к = 0,..., /. В этих условиях можно утверждать, что (а) Без кредита (неважно, при наличии или отсутствии нерискового актива) нестрого предпочитаемым всегда (и строго предпочитаемым почти всегда) является портфель с не более чем двумя активами, сколько бы ни было предприятий (активов).
(б) При наличии нерискового актива и возможности кредита это также верно, причем один из двух активов всегда гарантированный, а второй актив с максимальным тангенсом наклона 5к = (гк г0)/ак (к ф 0).
3) В случае некоррелированности доходностей активов, (то есть при ркік.2 = 0 для h ф к2) следует, что а = ^Еа-
В отличие от предыдущего случая, риски при некоррелированности не складываются, поэтому риск при комбинировании активов будет снижен. Тогда все активы с доходностью выше гарантированной должны войти в оптимальный портфель (эффект диверсификации). (Точная формулировка этого утверждения приводится ниже.)
4) Если доходности двух активов жестко отрицательно коррелированы, то из них можно составить безрисковый портфель. Пусть, например, р12. Тогда а =
' а\о\ о-10'2сгісг2 + а2а2 = \oiiJ\ot2J2\. Чтобы 7 = 0, нужно взять QT = ^ , 0-2 = + -
5) В общем случае коррелированное™, графически различные комбинации доходности и риска достижимые комбинированием любых двух точек (активов) окажутся выпуклым множеством лежащим ниже- правее некоторой кривой соединяющей эти точки и выступающей, при не полной коррелированности, влево. Допустимое множество Р всех возможных комбинаций (портфелей), состоящих из рисковых активов для участника будет некоторой выпуклой фигурой.
Комбинируя наилучшую по наклону 5 точку из Р с безрисковым активом как и ранее, получаем наилучший по соотношению риска и доходности (лучший для любого участника!) так называемый рыночный портфель. Этими рассуждениями доказывается следующее
Утверждение 7.3.1 (Mutual Fund Theorem) В описанных условиях, если есть безрисковый актив, если возможен кредит и активы в равной мере доступны каждому инвестору, то все участники выберут портфели с одинаковым соотношением риска и доходности (составного из элементарных) рискового портфеля. Среди их оптимальных решений есть решение всем выбрать одинаковый по структуре рисковых активов портфель (но, возможно, с разными долями безрискового актива).
Каждый выберет портфель, для которого наклон 5 = (г г0)/сг максимален.
Теперь из этой модели отдельных инвесторов с неизменными ценами и доходностями активов сделаем вывод о целом инвестиционном рынке, состоящем из многих таких инвесторов. Из сказанного выше следует, что в первый момент на таком неравновесном рынке с кредитом и с жесткой коррелированностью покупались бы, возможно, только активы с одинаковым наклоном Д, а остальные пользовались бы нулевым спросом несмотря на различие в предпочтениях риска участников.
Вероятно, тогда цены стали бы понижаться, тем самым доходность возрастать, и в общем равновесии доля бы уравнялась у всех активов.
Аналогично и при нежесткой коррелированности активов, поскольку велика вероятность одинаковой структуры рисковых активов, вовсе не обязательно совпадающая со структурой предложения активов, то цены избыточных активов должны падать до тех пор, пока все рыночные составные портфели рисковых активов окажутся на одной прямой с равновесным наклоном 5*.
Теперь рассмотрим эффект диверсификации о котором говорилось выше для функций более общего вида (не обязательно квадратичных).
Утверждение 7.3.2 Пусть инвестор характеризуется целевой функцией типа Неймана -Моргенштерна с возрастающей вогнутой элементарной функцией полезности и(.), пусть доходности статистически независимы и ограничение а0 О несущественно (например, из-за возможности взять кредит). Тогда любой актив, доходность которого выше доходности безрискового актива (rk г0) войдет в портфель, т.е. ад 0.
Док-во. Функция Лагранжа для задачи инвестора: L = АЦ llqu(Y,k сц-rf )+А(1 J2k ak)+ Х]дуо Vk®k, где А 0 множитель Лагранжа для ограничения J2kak 1, 0 для
ад 0. Из dL/da0 = 0 имеем r0 J2q dqu'(x1) = А, а из dL/daд = 0 имеем J2q dqrlu'(xq) = А - ?к.
Воспользуемся тем, что мат. ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их мат. ожиданий. При ад = 0 г| и xq, а следовательно и г| и u'(xq) независимы. Поэтому получим J2q Hqrl pqu'(xq) = rfc Hqu'(xq) = A г/д 'Л Y,qHqu'(xq)- Так как pqu'(xq) 0, то не может быть, чтобы гд г0 . щ
Рынки с неопределенностью и риском
Термин рынок С неопределенностью закрепился за такими ситуациями, где у каждого участника имеются собственные (возможно неверные) представления о вероятностях возможных событий. Частным случаем этой ситуации является рынок, где представления всех участников о вероятностях совпадают, тогда говорят о рынке С риском.
Вероятности при этом называют объективными, хотя модели подходят и в том случае, когда все участники одинаково ошибаются.
Рассмотрим общее равновесие в экономике обмена с неопределенностью, учитывая материал предыдущего раздела. Как и прежде, имеется т потребителей и / товаров. Q = {1,...,(/} множество всех возможных состояний мира.
Условно можно представить, что рассматриваются два момента времени сегодня и завтра. Предполагается, что сегодня заключаются сделки и уравновешиваются рынки, а выполняться сделки будут завтра, когда выяснится, какое из состояний мира реализуется.
Элементарным товаром является обязательство (мы будем называть его билет), гарантирующее поставку единицы товара к G К завтра в случае состояния q Е Q. Цену такого билета обозначим рк1, а количество билетов, которое решит иметь участник і xf1. Цена платится сегодня, когда неизвестно, какое состояние мира реализуется.
У участника і в каждом из состояний мира q есть потенциальные начальные запасы w] Е М1, которыми он может располагать, иными словами w, Е это его начальные запасы всех билетов. Сегодня участники обмениваются между собой только имеющимися у них билетами, поэтому заключают сделки в рамках бюджетного ограничения (95).
Каждый из участников максимизирует в рамках такого ограничения свою целевую функцию Ц Наличие общей для всех гипотезы о вероятностях не нужно для понимания торговли случайными благами.
Определение Вальрасовского равновесия остается прежним, сбалансированность (16) требуется для каждого из состояний мира q Е Q отдельно: распределение благ всегда должно быть физически допустимым.
Несложно понять, что такая модель рынка ничем не отличается от классической, с точностью до способа нумерации индексов (k,q). Поэтому можно сразу сформулировать следующее утверждение.
Утверждение 7.4.1 Первая и вторая Теоремы благосостояния применимы к введенной здесь модели обмена с неопределенностью; то есть совершенный рынок случайных благ дает оптимальные равновесия, и любое Парето -оптимальное состояние реализуемо как рыночное равновесие.
Пример 7.3 Есть одно благо деньги, и два участника встречаются, имея запасы w 1 = (1,3), w2 = (3,1) билетов двух типов: 1 тип гарантирует получение 1$ в состоянии мира R (дождь), и ничего при S (солнце), а второй наоборот, гарантирует единицу только при солнце. Итак, первый, если не обмениваться, может рассчитывать на 1$ при дожде и на 3$ при солнце, а второй (3,1).
Пусть оба одинаково ценят деньги в любую погоду и считают вероятности состояний 1 и 2 одинаковыми, имея одинаковые целевые функции Ui(xj) = О.Ып(хф) + 0.5ln(xf).
Описанная экономика представляет собой типичный пример ящика Эджворта только интерпретация переменных специфическая. Здесь речь идет не об обмене обычными (физическими) благами, а об обмене рисками.
