Бусыгин Н. - Методы микроэкономического анализа
Под понятие игры подходит любая ситуация с целеполагающими (т.е. оптимизирующими) субъектами (участниками). В частности, любая оптимизационная задача - это игра с одним участником.
Описание структуры конкретной игры обычно содержит три блока: 1)допустимые множества ходов или стратегий участников; 2)цели; 3)тип поведения участников, зависящий от их информированности и др., описываемый концепцией решения игры. По этим трем заданным параметрам ситуации желательно уметь определять множество возможных исходов, то есть решение.
допустимые множества
=- исход (решение) игры
(1)
цели
тип поведения
Для формального анализа игру обычно записывают в одной из форм: развернутой (детальное описание возможных ходов), характеристической (описываются значения выигрышей каждой коалиции, для анализа кооперативных игр) или стратегической (нормальной). Последний вариант, изучаемый далее, означает, что игра есть
G := (/, (X,;)/, (щ)7) , где
/ := {1, множество участников і,
X := (Хі)і := П,: X, допустимое множество стратегий участников,
и ¦= (щ)і = набор целевых функций участников (каждая целевая функция
и, : X, ь- ]R зависит, вообще говоря, от всех (.у )?е/).
Возможно также более общее обобщенное представление игр в нормальной форме (оно соответствует общему Вальрасовскому равновесию и мы далее обращаемся к нему только в соответствующем разделе) Оно предполагает, что текущее допустимое множество стратегий С X; каждого участника может зависеть от
текущих действий х^г других участников. В этом случае игра есть
G := /, (ХіЫДЬ (г^),) ,
где состояние игры есть х е X.
Найти решение игры означает указать множество ее исходов (состояний, от которых участники не станут переходить к другим состояниям). Решений может и не быть: иногда игра не останавливается.
В зависимости от конкретной гипотезы, которую мы примем о характере поведения и информации участников, мы можем прогнозировать разные типы решений. Мы будем изучать следующие решения игр в нормальной форме :
Будем обозначать через хХ := (xj)jei\{i} набор стратегий всех игроков кроме і, и аналогично индексировать множества и функции.
Введем понятия сравнения стратегий. Естественно считать, что одна стратегия игрока доминирует другую, то есть заведомо лучше чем другая его стратегия когда первая стратегия при любых действиях других игроков не хуже второй стратегии и по крайней мере для одного варианта действий других строго лучше (приносит больший выигрыш). Формально:
| Таблица 1: | ||||
|
G АТ, =¦ ІІ;(Х;.Х ;) //,! //;../- , і.
3Х-і G .V , ;- Ujixj.x ,І //,!//,../- ,-}.
где -i '¦= I \ {г}, A , := (А))іфі.
Если две стратегии х,. у, доставляют одинаковые выигрыши = //, ! //,../- / )
при любых действиях партнеров х_і, то они эквивалентны, если же из пары стратегий ни одна не доминирует другую и они не эквивалентны, то они несравнимы.
Понятие доминирования позволяет разбить X, на классы:
Определение 1.0.2 Стратегия Х{ G Аі игрока і называется доминирующей стратегией (среди его стратегий) если она доминирует любую другую либо эквивалентна ей:
?уі G Аі,?х_і G А_і = и,(х,.х ,) //,!//,../- , і.
Множество всех доминирующих стратегий игрока і обозначается Юі. Множество всех недоминируемых (ни одной другой стратегией) стратегий игрока і обозначается V,.
Определение 1.0.3 Множество равновесий в доминирующих стратегиях есть ЮЕ \= П,е/ Еі-
Если доминирующее равновесие существует, то оно самый естественный исход некооперативной игры. Однако игры часто не имеют равновесия в доминирующих стратегиях. В этом случае возникает проблема выбора типа равновесия, который бы наилучшим образом подходил к моделируемой ситуации, мы рассмотрим типы NE, ММЕ, SE, StE.
Нэшевское равновесие довольно часто существует и родственно равновесию в доминирующих стратегиях: ЮЕ глобально стационарно а Нэшевское равновесие -по крайней мере локально стационарно.
Определение 1.0.4 Множество равновесий по Нэшу (нэшевских равновесий) есть
NE := {х G Х\ Hjixj.x , і = max щ(уі, х_У) ) (г G /)}.
УіХі
Не изучаемое здесь, но популярное, понятие PNE (обычно называемое просто Perfect Equilibrium) задается для игр в развернутой форме с деревом последовательности ходов. Это понятие означает, что исход х е PNE является Нэшевским равновесием не только во всей игре, но и во всех подыграх (ветвях дерева).
Иными словами, Нэшевское равновесие - точка из которой ни одному игроку нет смысла уходить (он либо ничего от этого не приобретает, либо теряет). Подразумевается, что каждый игрок знает текущий выбор партнеров и ведет себя близоруко -не учитывает, что партнеры могут изменить свой выбор когда он изменит свой. Эта возможность приводит иногда к несуществованию стационарных точек (NE), тогда естественно пользоваться следующей вероятностной концепцией решения (исхода) игры.
Определение 1.0.5 Для игры G с конечным множеством стратегий X, = {1,.... іі,\ (г G I) определим смешанные стратегии каждого игрока і как вероятности //, = (//|)Д, = (йі (хУДьД G Xir„ := {//, G МД\ YJk=i йі = 1} с которыми данный игрок применяет свои исходные чистые стратегии х\; определим смешанное расширение игры Gm := (Д (Xim)i, (Ui)i), где Ui(g) := ХДеХ/ '/^2(^2) ¦ - - - - РпУ^п)У Нэшевское равновесие
в смешанных стратегиях NEm есть множество наборов [рі)і, таких, что ни один игрок не может меняя смешанную стратегию улучшить матожидание своего выигрыша, при неизменных стратегиях партнеров; то есть
Ді G arg max Е иі(х)(ді(ті) - ц2(ж2) - - - - - Рп(хп))-
111 хеХТ
Для случая когда (осторожные) игроки не обладают информацией о целях партнеров и о том, какие стратегии выбирают другие, подходит следующая концепция.
Определение 1.0.6 Множество осторожных или максиминных решений есть
ММ := {х G Х\ //,(- /- ;../- ,) = sup ( inf //,i//,. : ,i ) (г G I)}.4 (2)
УіСХі Z-iCX-i
Поясним: в осторожном решении (равновесием его называть не совсем точно) игроки ожидают от партнеров самого худшего для себя. Это кажется правдоподобным поведением при неизвестности целей партнеров и однократном розыгрыше; а также и в ситуации антагонистической игры.
Определение 1.0.7 Множество седловых точек есть Sad := ММЕ П NE. Это те Нэ-шевские (осторожные) равновесия, где худшие предположения сбываются.
Определение 1.0.8 Антагонистической называют игру с нулевой (или, что то же, постоянной) суммой выигрышей, т.е. такую, что Хл6/ иі(х) = 0,?ж G X. Для антагонистической игры двух лиц цена игры /х0 есть полезность первого игрока в седловой точке Sad, то есть
Ро ¦= sup inf гхі(ті,т2) = inf sup гхі(ті,т2) .
XiCXi X2CX-2 X2CX2 xiCXi
Есть виды равновесий в которых подразумевается, что игроки более дальновидны и информированы. В том числе в сложном равновесии считается, что они знают цели друг друга, последовательно отбрасывают доминируемые стратегии и ожидают того же от других.
Определение 1.0.9 Определим последовательность игр G1, G2,..., Gf,..., задавая каждый раз множество всех стратегий новой игры как прошлое множество недоминируемых стратегий: Xt+l := V (7 = 1,2,...) (предполагается что все игроки отбрасывают доминируемые стратегии одновременно). Множество слабых сложных равновесий игры G\ есть стационарное множество этой последовательности: WSE := V = V*-1 (37? 1). Сложное равновесие 5 х е SE есть такое х е WSE, где каждый игрок имеет только эквивалентные стратегии в финальной игре G;.
В равновесии по Штакельбергу (Stackelberg) первый игрок (лидер) ориентируется на индивидуально - оптимальные ответы партнеров зная их предпочтения, а остальные (ведомые) играют, как в NE, близоруко.
Определение 1.0.10 Считая І-го игрока лидером, обозначим множество Нэшевски-рациональных откликов его партнеров на его стратегию т, через
NR_i(xі) := {./- _, G Х_і| щ(х) = maxIigx, Ujixj.x ,- }. (г ф 1)}, тогда: Осторожное (пессимистическое) равновесие по Штакельбергу с лидером N 1 есть такой набор х G StEPx, что
е argmaxXl6Xl тіпж_ібЛгд_і(жі) Ui(xi,x_i),
-*^i e argmina;_iejvE_1(s1)Ui(xi,x_i).
(Оптимистическое) равновесие по Штакельбергу х е StE01 есть -Хгі G argтахЖібХі тахж_ібХД_і(жі) Ui(xi,x_i),
-*^і е аі^тахж_іеЛгд_і(жі) Ui(^i,x_i)
Равновесие Штакельберга может возникать, например, когда один из игроков (лидер) делает свой выбор раньше других (ведомых) и знает их цели. Концепция StEO\ предполагает доброжелательность партнеров к лидеру при выборе из эквивалентных для себя вариантов (из NR), a StEP1 недоброжелательность; если же выбор ведомых однозначен, то разницы между StEO и StEP нет.
В последующем мы используем также понятия некоторых кооперативных решений.
Определение 1.0.11 Назовем (сильным) множеством Парето (Парето-оптимумом, или
сильной Парето-границей) множество неулучшаемых по Парето точек (исходов), то есть
V := {ж| Дх G X : и(х) и(х)},
(иначе: это множество исходов неблокируемых большой коалицией I при сильном блокировании); слабая Парето-граница есть
WV := {ж| Дх G X : и(х) и(х)}.
То есть Парето-оптимум это такое состояние, в котором никто из участников не может увеличить свою целевую функцию без уменьшения целевой функции по крайней мере одного другого участника.
Определение 1.0.12 Ядром С (обычным, слабым ядром) называется множество состояний неблокируемых никакой коалицией Тс/, при обычном (слабом) определении блокирования: Т блокирует вариант х С X если существует альтернатива хг с Xj (г С Т) такая, что все участники из Т выигрывают по сравнению с х, т.е. иТ(Х'Ті Х-т) Т ит(х) при любых действиях х_Т не входящих в коалицию Т игроков.
Перейдем к утверждениям. Из данных определений непосредственно следует
Утверждение 1.0.1 Ядро принадлежит слабой Парето-границе, а сильное ядро сильной (обычной) Парето-границе:
Cs с V , С с WV .
Некооперативные решения игр чаще всего оказываются не оптимальными по Парето, как станет ясно из примеров.
Без доказательства (см. Мулен) отметим условия существования и вложений определенных выше множеств.
Теорема 1 (Нэш, 1951) Пусть для всех (г С I) все Xj компактны и выпуклы, все щ(.) непрерывны и вогнуты по Xj, тогда множество NE ф 0, компактно.
Следствие 1.1 Если все X, конечны, то множество NEm ф 0, компактно.
Доказательство теоремы опирается на теорему о неподвижной точке применяемую к отображению отклика Т определяемому ниже в (3).
Связь матричных игр с линейным программированием и нахождение NEm. Доказательство Сл. 1.1 для антагонистических (матричных) игр двух лиц можно проводить и независимо от теоремы Нэша, через линейное программирование, что дает также способ поиска NEm для этих игр. Для этого задачу 1-го игрока записывают в форме максимизации (неизвестной ему заранее) цены игры /х0 по переменным ц0,ц, при ограничениях // 0, ТыФі Ek = 1, pak /х0 (к = 1 ,..., п2), где ак С МПі столбцы матрицы платежей (ак) := (иі(х{, хк)). Здесь ограничения типа выражают гипотезу 1-го о неблагоприятном поведении противника (максимин). Легко проверить, что задача противника есть двойственная к описанной задаче. Таким образом симплекс методом можно найти седловую пару в игре Gm, она является и Нэшевской парой. Для случая биматричной игры 2x2 также легко найти NЕгп графически, строя функции (или отображения) NRj(x_j) отклика игроков на действия партнеров.
Утверждение 1.0.2 1) Если все Xj конечны, mo WSE ф 0. 2) В антагонистической игре двух лиц где все Xj конечны SE С Sad, и если SE ф 0, то у игры есть цена.
Утверждение 1.0.3 Пусть все X, компактны а щ непрерывны, тогда 1) ?ПММЕ ф ф 0; 2) множества IDE. ММЕ. N Е компактны, NE С NEm; 3) если ЮЕ ф 0, то МME D ЮЕ = V = Sad = SE С NE ,
Доказательство утверждения (3) элементарно: поскольку доминирующие стратегии заведомо лучше остальных стратегий, то соответствуют и другим некооперативным решениям.
Примеры и способы поиска решений
Приведем пример игры в матричной форме где ЮЕ ф 0.
Пример 1.1 Дилемма заключенных (R.Luce, H.Raiffa, 1957, Мулен).
Двух человек арестовали по подозрению в совершении некоторого преступления. Судья предложил каждому следующую сделку. Если он сознается в преступлении, а другой нет, то сознавшийся получает 1 год наказания, а несознавшийся 10 лет. Если сознаются оба, то каждый получит по 7 лет.
Заключенным известно, что если никто из них не сознается, то оба получат по 3 года.
Игру можно представить с помощью следующей матрицы (Табл.2), в клетках которой слева вверху стоит выигрыш первого заключенного, а справа внизу второго.
| Таблица 2: Второй игрок | ||||||||||||||||
|
В подобных (биматричных) играх с конечными множествами стратегий двух игроков осторожное равновесие практически ищется так: игрок выбирающий строки в каждой строке находит свой гарантированный выигрыш (то есть минимум в строке), а затем в качестве решения принимает строку или строки с максимальным гарантированным выигрышем. Аналогично поступает со столбцами игрок выбирающий столбцы.
Множество WSE ищется последовательным исключением из игры доминируемых строк и столбцов. Множество Нэшевских равновесий ищется перебором всех клеток; равновесия это клетки из которых ни одному участнику не выгодно уйти путем смены стратегии.
Альтернативно, при нахождении равновесия по Нэшу, особенно в играх с непрерывными стратегиями, можно воспользоваться понятием функции отклика.
Отображение (многозначная функция) Тф.) нэшевски- рационального отклика г-го участника на действия партнеров т_, определяется как и ранее в виде:
Рі{х-і) ¦ = NRi(x_i) = arg max щ(хи х_{)
xieXi
Функция отклика показывает, как реагирует участник на действия партнеров. Тогда можно переформулировать определение NE так:
Точка х является равновесием по Нэшу т. ит. т, когда
Xi G iFjix ;) ИЛИ Хі = Тфх , j Vi G I. (3)
Здесь равенство если функции Тг (.) являются однозначными, тогда нэшевское равновесие задается просто системой уравнений и соответственно вычисляется.
Найдем этим путем NE, StE в примере игры с непрерывными стратегиями.
Пример 1.2 (Трудовое соглашение) Рассмотрим игру с двумя участниками профсоюзом и фирмой. Профсоюз может устанавливать заработную плату (w) при ограничении 0 w 3, а фирма количество нанимаемых работников (I в тыс. чел.) при ограничении 0 I 1. Профсоюз максимизирует следующую целевую функцию:
v(w, I) = wl 2/2,
где 2/2 издержки работы для членов профсоюза. Фирма максимизирует свою прибыль:
7Г(w, I) = 2\Д wl.
Найдем некоторые решения в этой игре.
1) Осторожное равновесие (АРАТЕ). Оно не очень правдоподобно в рассматриваемой ситуации: ведь фирмы и профсоюзы обычно знают ходы друг друга; но найдем АЛ АЛЕ для примера. Самое худшее, что может сделать фирма с точки зрения профсоюза, не нанять ни одного работника. При этом профсоюзу все равно, какую зарплату установить. С другой стороны, самое худшее, что может сделать профсоюз с точки зрения фирмы установить максимальную зарплату. При этом фирма наймет столько работников, чтобы максимизировать
тг = 2?~1 - 31.
Находим максимум, приравняв производную этой функции по I к нулю:
1/?І-З = 0.
Таким образом, осторожное равновесие достигается при I = 1/9 и 0 w 3. При этом w = 3 доминирующая стратегия профсоюза, а у фирмы таковых нет.
2) Равновесие по Нэшу (NE). При любом ненулевом количестве нанятых профсоюзу выгодно установить максимальную зарплату (w = 3). Поэтому его функция отклика будет
/(0 = з.
Функция отклика фирмы получается из задачи максимизации прибыли по I:
g(w) = 1/w2.
Решив систему уравнений {w = 3, I = 1/w2,}
найдем Нэшевское равновесие (w,l) = (3,1/9), которое совпадает с одним из осторожных, поэтому является и седлом.
3) Равновесие по Штакельбергу (StE) (лидер профсоюз). Профсоюз знает функцию отклика фирмы, и подставляя ее в свою целевую функцию, максимизирует
? = wg(w) 2g(w)2 = 1/w 2/w4.
Очевидно, максимум достигается при уровне зарплаты 2, чему соответствует уровень занятости д(2) = 1/4.
4) Парето-оптимум (V). Целевые функции участников квазилинейны по деньгам, поэтому Парето-оптимум можно найти как максимум суммы целевых функций. Эта сумма не зависит от величины заработной платы, поэтому количество нанятых во всех точках Парето-оптимума должно быть одинаковым: I = 1///Тб. Зарплата любая из интервала 0 w 3. Очевидно, что ни одно из перечисленных некооперативных равновесий не является Парето-оптимальным.
5) Ядро (С). Точки ядра не должны блокироваться ни одной коалицией: ни коалицией из обоих участников (т.е. должны принадлежать слабой Парето-границе), ни коалицией из одного участника (в качестве индивидуально достижимых выигрышей берем гарантированные минимаксные выигрыши ). Т.о. ядро состоит из точек (l, w) для
которых выполняется: 1 = 1, ? = wl 2/2 u(w, 0) = 0 и п = 2\[і wl 7г(3,1/9) = 1/3.
Классические (совершенные) рынки
Перечислим наиболее важные черты, по которым рынок называют совершенным или классическим:
1) Отсутствие экстерналий: цели и физически допустимые множества каждого участника не зависят от поведения других участников.
2) Совершенство конкуренции: каждый участник считает себя не влияющим на цены (достаточно малым) и принимает их в каждый момент как заданные.
3) Costless trade: влияние издержек сделок, налогов, и прочих видов рыночного трения несущественно, торговля свободна.
4) Совершенство информации: информация о ценах, свойствах товаров, допустимых множествах полна и определенна, выполнение заключенных сделок безусловно (нет неопределенности).
Совершенные или почти совершенные рынки редки, однако их анализ выявляет некоторые эффекты, общие для всех рынков, и предваряет анализ несовершенных. В теоремах благосостояния мы покажем, что совершенный рынок как механизм согласования интересов приводит участников к Парето-оптимальным исходам.
В дальнейшем мы рассмотрим отдельно каждый из типов рыночных несовершенств 1) 4) и связанные с несовершенствами отклонения равновесий от Парето- оптимальности, то есть так называемые фиаско рынка в ситуациях 1) экстерналий и общественных благ; 2) монополий и олигополий; 3) налогов и издержек сделок; 4) неопределенности, несовершенства информации.
Модели рынка. Равновесие.
Совершенная экономика (рынок) общего вида моделируется как обобщенная некооперативная игра заданная параметрами
G:= (I,Xhuhl3hwhJ,Yj) , (4)
где I, Хі , иі имеют тот же смысл, что и в главе о теории игр, а прочие параметры вводятся ниже.
Далее / := {1, множество потребителей, J := {1, множество произ
водителей (фирм), К := {1, множество товаров (благ). Для описания состояния экономики используются следующие переменные: хк потребление г-м потребителем fc-го блага (к Е К), ук производство j-м производителем fc-го блага (отрицательные компоненты соответствуют затратам), рк цена fc-го блага. Константа wf означает начальный (до торговли) запас блага к у потребителя і.
Модель потребителя. Предпочтения потребителя і Е I описываются его потребительской функцией (функцией полезности) и, (.), зависящей, в классическом случае, только от собственного потребления хг = {xk}keK- Поведение потребителя моделируется как решение задачи максимизации функции полезности по хг при ограничениях. А именно, потребление хг должно принадлежать потребительскому множеству Хі С Ш (физическое ограничение, часто понимаемое просто как неотрицательность потребления: Хг = М1+)3
Кроме того, выбор потребителя ограничен величиной его бюджета: рхj = ^2кекРк'хі Д(.). Здесь Д(.) функция дохода (бюджета) потребителя.
Способ формирования дохода зависит от конкретного варианта экономики, например для экономики обмена вг(р. гшг) = ршг. Предполагается, что собственность w, и цены определяются экзогенно. Другими словами, потребитель считает, что не влияет на цены и свою исходную (до торговли) собственность, принимая их как данные.
Поэтому пока будем считать, что доходы заданы константой Д(.) = Д. Результат решения задачи потребителя, т.е. одно или множество его оптимальных решений определяют отображение (т.е. многозначную функцию) спроса Хг(р. Д).
Она является функцией отклика на данные цены и доходы.
Запишем модель спроса потребителя формально:
Хі(р, Д) := {Хі е Хі\ щ(х{) = max иг(х,)} , (5)
хіеВі(р)
где бюджетное множество БД.) имеет вид:
БД.) := {хі Е ХіI рхі Д(.)} . (6)
Оптимальные выборы потребителя во многих случаях удобно характеризовать при помощи теоремы Куна Таккера (это вариант теоремы Лагранжа для ограничений неравенств).
Прямая теорема Куна-Таккера (необходимое условие оптимальности) в диф-
ф(х) max фг(х) 0 г = 1,г
(7)
(8)
и выполнено некоторое условие регулярности, например, что градиенты активных ограничений линейно независимы в х, то найдутся неотрицательные числа А,,(г = 1,г) множители Лагранжа такие, что производные Лагранжиана L(X, x) := ф(х) + J2r К'Фг(х) по х равны нулю, причем если множитель Аг строго положителен, то соответствующее ограничение выполнено как равенство (активно), а если г-е ограничение неактивно: фг(х) 0, то соответствующий множитель Аг равен нулю (условие дополняющей нежесткости).
Обратная теорема Куна_Таккера (достаточное условие оптимальности) при условиях вогнутости всех функций ф(.), фк(-) утверждает, что если в допустимой точке х нашлись множители Лагранжа удовлетворяющие требованиям прямой теоремы (условиям первого порядка), то точка х оптимальна.
Для характеристики с помощью теоремы Куна Таккера спроса участника і Е I используем два условия.
Предположение 1 (ВЫПУКЛ). Множество X, выпукло, а целевая функция //,(.) вогнута (т.е.
