Точность модели
1) рынок FOREX твердых валют: DEM/USD, GBP/USD, JPY/USD, FRF/USD, CHR/USD, ITL/USD за период с января 1997г. по декабрь 1999г. Далее этот рынок будет обозначаться FX.
2) рынок FOREX мягких валют: RUR/USD, UAH/USD и KZT/USD за период с августа 1998г. по декабрь 1999г. Данный рынок будет обозначаться FS.
3) рынок российских акций (EQRU). В качестве временных рядов брались котировки наиболее ликвидных акций на РТС: EESR.RTS, LKOH.RTS, MSNG.RTS, RTKM.RTS, IRGZ.RTS, NKEL.RTS) за период с августа 1998г. по декабрь 1999г.
Для каждого рынка набор портфелей формировался из элементарных портфелей, портфеля с равными весами и нескольких (5-10) портфелей со случайными весами. Далее для каждого портфеля рассчитывалось значение однодневного VaR для каждого из элементов тестовой выборки.
В тестировании участвовали следующие модели:
1) модель с постоянными весами (CW). Длина выборки, на которой оценивались ковариации, варьировалась в зависимости от рынка (40 на рынке FХ, 30 - на EQRU);
2) экспоненциально-взвешенная модель (EW) с различными значениями параметра Я: Я=0.97 (EW97), как в стандарте J.P. Morgan, и Я=0.90 (EW90). Значение Я=0.90 было получено как оптимальное для российского рынка акций (с использованием метода, описанного в разд.
1.1.2). На рынке FS разброс оптимальных значений Я для отдельных рядов был весьма велик (так, для ряда RUR/USD Я=0.79, а для ряда KZT/USD Я=0.98), поэтому для экспоненциально-взвешенной модели были взяты только значения оптимальных Я для рынков FX и EQRU;
3) GARCH(1,1) модель с постоянными корреляциями;
4) модель с постоянными корреляциями и волатильностью, определяемой посредством вейвлет-анализа (Wavelet);
5) модель, использующая теорию экстремальных значений (EVT).
На рис. 10. показан характерный вид графиков VaR, получаемых
посредством некоторых моделей. По данному графику можно судить о качественном характере поведения приведенных моделей VaR на нестабильном рынке. Так, например, из графика видно, что экспоненциально-взвешенная модель медленно реагирует на смену кластеров волатильности, в то время как GARCH модель, напротив, слишком чувствительна к резким флуктуациям.
Сглаженная вейвлет-модель ведет себя похоже на GARCH, но практически не реагирует на одиночные выбросы, хотя принципиально может иметь резкие скачки.
Точность модели
В данном разделе приведены тесты, определяющие соответствие модели собственно статистическому определению VaR (1). Точность модели контролируется регулирующими органами, поэтому каждая модель должна пройти тестирование на соответствие определению VaR.
3.2.1. Функция потерь
Для построения статистик используются различные варианты так называемой функции потерь (General Loss Function), имеющей в общем случае вид
f (APt+1 ,VaRt),
g (t+1 ,VaRt),
если Ap+1 VaR; если APt+1 VaR,
(44)
где APt+1 - реализовавшееся изменение стоимости портфеля в момент t+1; VaRt - оценка VaR в момент t, f и g - некоторые функции, такие что f g. С учетом того, что мы формируем тестовые портфели с использованием симметризации, т.е. значению реализовавшейся прибыли для некоторого портфеля соответствует такое же значение убытка для портфеля с противоположными весами, будем рассматривать слегка модифицированную функцию
f (APt+1 ,VaR), g (Apt+1, VaRt),
AP
VaR;
если
если
t +1
APt+1 ^ VaRt ¦
(45)
t+1
Чтобы получить значение исходной статистики (44), значение статистики (45) надо будет делить на два. Далее рассмотрим частные виды функции потерь.
3.2.2. Бинарная функция потерь
Бинарная функция потерь используется для анализа числа событий, соответствующих убыткам большим, чем значение VaR (т.е. исключительных ситуаций). Математически ее можно представить как
APt+1 VaR,
1, если 0, если
t
VaR.
Lt+1 _
(46)
AP
t +1
Данная функция учитывает только сами факты наличия превышения без учета величины превышения. В качестве статистики возьмем теперь среднее
значение бинарной функции потерь на тестовой выборке. При уровне достоверности а чем ближе значение статистики к 1-а, тем модель точнее.
По значениям данного теста можно проверить соответствие модели стандартному тесту, принятому BIS. Данный тест является одним из условий приемлемости модели вычисления VaR, используемой в какой-либо организации, регулирующими органами.
Согласно BIS определяются три цветовые зоны:
Зеленая зона: модель попадает в эту зону, если на протяжении 250 дней при уровне достоверности 99% было не более 4 превышений данного уровня. Желтая зона: при тех же условиях - от 5 до 8 превышений.
Красная зона: 9 и более превышений.
Если модель попадает в зеленую зону, то ее использование для предоставления информации регулирующим органам о рисках, принимаемых организацией, разрешается. Соответственно при попадании в красную зону использование модели запрещено.
Результаты тестов приведены в табл. 2-3.
Из полученных результатов можно сделать следующие выводы: на рынке FX при уровне достоверности 95% все модели имеют практически одинаковые результаты теста и хорошо соответствуют определению VaR, так как распределение доходностей для рынка FX очень близко к нормальному и можно пренебречь отклонениями от нормальности на краях распределения. При уровне достоверности 99% лучшие результаты показывает модель EVT, учитывающая отклонение распределения от нормального.
Помимо существенных отклонений от нормального распределения, рынки EQRU и FS характеризуется сильными флуктуациями и кластеризацией волатильности (периоды высокой волатильности чередуются с периодами низкой). Соответственно при уровне достоверности 95% лучшие результаты показывают те модели, которые более чувствительны к изменениям временного ряда (такие, как GARCH).
При уровне достоверности 99% модель EVT, как и должно было быть согласно исследованию временных рядов, уже значительно лучше остальных. Тот факт, что почти все модели завышают риск при уровне достоверности 95%, объясняется тем, что присутствующие во временных рядах экстремальные отклонения сильно увеличивают оценку волатильности и на последующих относительно спокойных участках она остается достаточно высокой.
Множитель, обеспечивающий покрытие
Множитель, обеспечивающий покрытие (Multiple to Obtain Coverage), сочетает в себе анализ как количества превышений, так и их величины, и показывает, на сколько в среднем надо умножить значение VaR, чтобы в точности получить покрытие риска с заданным уровнем достоверности.
Чем ближе множитель к единице, тем модель лучше в данном аспекте.
Интерпретировать данный множитель можно следующим образом. При нахождении квантилей нормального распределения значение стандартного отклонения умножается на соответствующий множитель Z(a) - квантиль стандартного нормального распределения (1.65 - для 95%, 2.32 - для 99%). Таким образом, множитель, обеспечивающий покрытие, оценивает ошибку Z(a).
Далее мы увидим роль, которую играет данный множитель в других тестах.
Из полученных результатов (см. табл. 7-8) можно сделать следующие выводы: если сравнивать значения множителя по рынкам для каждой из моделей, то выделяются модели, у которых присутствует явная тенденция к ухудшению результатов по мере усложнения рынка: они переоценивают риск при уровне достоверности 95% и недооценивают при 99% (CW,EW и в некоторой степени GARCH), а также модели с относительно стабильными характеристиками - EVT и Wavelet.
Соответствие распределений
Данный тест показывает, насколько соответствует распределение оценок VaR реальному распределению прибылей/убытков. Рассмотрим следующее отношение:
такой
(47)
1, если APt+1 M ¦ VaRt 0 иначе.
F = Т (1 -а),
t=1
где BL(a) - значение средней бинарной функции потерь при значении уровня достоверности а Е (amin; 1) .
В случае совпадения распределений мы должны получить функцию, тождественно равную единице. В терминах теста из разд.
3.1.1. это означает, что для каждого уровня достоверности а мы считаем отношение реальных превышений уровня VaR к теоретическому (равному (1-а)Т, где T - длина выборки).
Если отношение больше единицы, это говорит о том, что реальное распределение тяжелее, т.е. происходит недооценка риска. По графику функции К(а) можно определить интервал параметров - уровней достоверности, для которых исследуемая модель является пригодной. Ниже на рис. 11-13 приведены графики К(а) для всех моделей по каждому рынку.
Для удобства визуализации приводятся по два графика: для интервала уровня достоверности 80-97% и 97-99.9% (соответствующий хвостам распределений).
Из приведенных графиков видно следующее.
1) На нормальном рынке FX при умеренных значениях уровня достоверности (до 97%) все модели практически одинаково пригодны для использования с точки зрения точности модели. Наиболее точными являются модели EW97 (0.97 - оптимальный параметр для этого рынка), GARCH и EVT (для этого рынка распределение Вейбулла практически совпадает с нормальным).
Для значений уровня достоверности, больших 97%, становится заметным отклонения от нормального распределения, как было видно из квантиль-графика.
2) На рынке российских акций при умеренных значениях уровня достоверности (также до 97%) наличие больших флуктуаций и выбросов приводит к завышению волатильности и, следовательно, риска. При больших значениях уровня достоверности поведение большинства моделей то же, что и на FX.
3) На рынке FS эти эффекты еще более выражены, и становится очевидным преимущества модели экстремальных значений.
Заметим также, что все модели, как минимум, на всех рынках попадают в желтую зону BIS, а наиболее консервативная - EVT - всегда в зеленую.
3.3. Эффективность модели
Так как при пассивном управлении риском мера VaR используется для определения величины рискового капитала, т.е. средств, необходимых для покрытия возможных убытков, то необходимы дополнительные тесты, характеризующие модели уже не со статистической, а с экономической точки зрения. Превышение значения VaR означает, что зарезервированного рискового капитала не хватило для покрытия убытков и организации необходимо изыскивать дополнительные средства, что зачастую связано с дополнительными издержками.
Среднее значение превышения как раз и характеризует величину непокрытых убытков.
С другой стороны, модель, завышающая степень риска, приводит к излишнему зарезервированному капиталу, что экономически неэффективно. Для характеризации исследуемых моделей рассмотрим следующие тесты.
Уровень достоверности, %
3.3.1. Относительная функция потерь
Относительная функция, или средний непокрытый риск, учитывает величины превышений оценки риска:
ДР,+1 - VaR
ДР,+1 VaR
если
Lt+1 _
VaR,
(49)
0, если ДР,+1 VaRt.
В отличие от бинарной функции потерь данная статистика анализирует только относительные величины превышений, не учитывая их частоту. Таким образом, среднее значение функции показывает, насколько в среднем в случае превышения уровня VaR мы ошибаемся. Чем меньше значение статистики у модели, тем она эффективнее в данном аспекте.
Из результатов можно сделать следующие выводы.
1) На относительно спокойном рынке FX у всех моделей среднее значение приблизительно одинаково, что обусловлено хорошим согласием реальных данных и предположений модели. На рынке FS, как и должно было быть, наилучшие результаты у модели экстремальных значений.
В целом по всем рынкам можно особо выделить модель Wavelet как наиболее стабильную.
2) При анализе результатов необходимо учитывать, что на среднее значение влияет и количество превышений. Так, для модели, имеющей большое количество малых превышений, значение этого теста может быть очень неплохим, в то время, как у другой модели, ее доминирующей, с меньшим числом превышений значение теста может быть больше.
Этот недостаток можно частично устранить, умножив значение VaR на значение множителя, обеспечивающего покрытие для рассматриваемой модели, тем самым приведя все модели к общему знаменателю.
3.3.2. Средний неиспользованный риск
Данный тест фактически является дополнительным к предыдущему тесту на средний непокрытый риск и показывает, насколько в среднем оценка VaR превышает реализовавшиеся прибыли/убытки, т.е. характеризует неиспользованный рисковый капитал. Функция потерь при этом имеет вид
VaRt -\Др,+1
VaR, ,
0
ДР,Р
VaRt ,
если
t +1
(50)
t +1
иначе.
Зарезервированный рисковый капитал не приносит дохода, поэтому желательно, чтобы значение неиспользованного рискового капитала было как
можно меньше. Этот критерий становится еще более важным для банков, так как они согласно BIS должны резервировать капитал, равный 3*VaR.
Поэтому даже небольшое улучшение эффективности по данному критерию может принести значительную выгоду. Согласно результатам теста, приведенным в табл.
6-7, по этому критерию модель Wavelet доминирует над остальными на всех рынках.
3.3.3. Многокритериальный анализ моделей
Предыдущие два теста можно проанализировать вместе, разместив на двумерной плоскости соответствующие точки (рис. 14-16).
По этим графикам можно определить парето-оптимальные модели, когда считается, что модель доминирует другую, если имеет меньший непокрытый и неиспользованный риск.
В целом по всем рынкам парето-оптимальными или близкими к таковым являются модели GARCH(1,1), EVT и Wavelet, причем характеристики модели Wavelet являются наиболее стабильными по всем рынкам. Таким образом, при выборе для практического использования модели из группы оптимальных по Парето для любых внешних рыночных условиях их использование будет экономически более эффективным, чем использование остальных доминируемых моделей.
Корреляция VaR и реальных убытков
Этот простой тест, состоящий в измерении корреляции между значением VaR и абсолютным значением изменения стоимости портфеля, показывает степень зависимости между прогнозами VaR, осуществляемыми моделью, и
реализовавшимися прибылью/убытками. Более эффективным моделям, как осуществляющим более точный прогноз, должны соответствовать большие коэффициенты корреляции.
Результаты теста приведены в табл. 10.
Наибольший коэффициент корреляции имеет модели Wavelet и GARCH, из чего можно сделать вывод об их большей эффективности для прогноза изменений (уменьшения или увеличения) волатильности.
Заключение
Результаты данной работы свидетельствуют о том, что традиционные параметрические модели, используемые для вычисления меры риска VaR и широко применяемые на развитых рынках, могут оказаться непригодны для использования на развивающихся и нестабильных рынках без тонкой настройки и постоянной корректировки параметров модели. Такие выводы сделаны на основе исследования статистических свойств исторических временных рядов, а также прогонки моделей на тестовых выборках.
Показано, что применение традиционных параметрических моделей не дает надежных оценок риска.
В то же время показано, что применение полупараметрических моделей: модели, использующей теорию экстремальных значений, а также предложенной в работе модели, использующей вейвлет-анализ для непараметрической оценки волатильности, - дает хорошие результаты даже на таких рынках. Более того, при многокритериальном анализе эффективности данные модели VaR также доминируют традиционные модели, в том числе и на стабильных рынках.
Полученные результаты позволяют сделать вывод о применимости предложенной модели расчета VaR для портфелей, состоящих из инструментов, относящихся к разнородным рынкам: как к стабильным, так и к развивающимся.
