КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Рис.19
Что касается трансцендентных чисел, то они не входят и в эту группу, то есть не могут быть обозначены на этой плоскости. Точки комплексной плоскости называют алгебраическими числами, так как они могут быть решениями алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, а трансцендентные числа —нет. Их называют трансцендентными именно по этой, сугубо технической причине, и вполне возможно, что тот математик, который ввел это название, не до конца осознавал, что именно оно означает.

Не исключено, что эти числа трансцендентны и в ином смысле.
Вот некоторые причудливые свойства трансцендентых чисел. Самыми известными и чрезвычайно важными из них являются пи и е (я надеялся, что смогу наглядно объяснить и второе число, но мне это не удалось). Некто сказал, что вселенная вообще не смогла бы существовать без пи и е; в более традиционном смысле можно утверждать, что в отсутствие пи и е нам никогда не удалось бы постичь вселенную и управлять ею. Видите, насколько важны числа?

Впрочем, я не буду отклоняться от темы. Времени осталось мало, так что опустим этот вопрос.
В числе пи действительно есть нечто загадочное. Предположим, у вас есть поверхность с рядом параллельных прямых и расстояния между соседними линиями одинаковы. Возьмем несколько булавок или иголок — любые предметы подобной формы, —длина которых в точности равна расстоянию между прямыми. Бросим их на эту поверхность пятьсот, тысячу раз и подсчитаем количество булавок, которые не пересекли ни одной прямой, и число булавок, пересекших хотя бы одну линию. Будем вносить эти суммы в два столбца и вычислять отношение соседних пар чисел.

Мы обнаружим, что оно приближается к числу пи/4. Откуда возникло число пи? Оно входит в формулу, эмпирическую формулу, связанную с вопросами вероятности. Какое отношение может иметь число пи, например, к задаче определения того, какой процент населения доживает до семидесяти лет? Связь существует.

Число пи входит и в эту формулу. Тот факт, что это число входит в уравнения теории вероятности, позволяет уверенно предположить, что упорядоченность присуща самым случайным событиям, и даже те явления, которые выглядят совершенно непредсказуемыми, подчиняются какой-то закономерности. Эти загадки вызывают трепет.

Для того чтобы понять их, нужно быть хоть немного математиком, и тогда они действительно вызовут холодок в спине. Если вы просто бросаете булавки на поверхность, никакого трепета не возникнет. Однако это и в самом деле совершенно загадочные законы.
Число пи можно получить множеством других способов. Оно определяет суммы некоторых бесконечных рядов, а также непрерывных последовательностей умножений или делений. Один из таких рядов указал Лейбниц:
/4= 1-1/3+ 1/5-1/7 + ...+ 1/(2n-1) + ...
В нем плюсы и минусы перемежаются, а знаменатели дробей представляют собой последовательность нечетных целых чисел. Если вы хотите определить значение числа пи, достаточно складывать члены этого ряда до тех пор, пока не надоест. Следует заметить, что вам придется провести очень много сложений, прежде чем удастся получить точное значение двенадцатого знака после запятой.

Этот ряд — не самый удачный метод вычислений, поскольку он, как говорят математики, сходится очень медленно. Есть другие, быстросходящиеся ряды, но и они тоже остаются просто бесконечными суммами и не имеют никакого сходства с закономерностью, связывающей длину окружности и ее диаметр.
Вы можете подумать, что в настоящее время мы не знаем — и не найдем в обозримом будущем —других трансцендентных чисел, кроме этих двух, что эти числа очень редкие. Однако математики уже разработали несколько бесконечных классов трансцендентных чисел, и существуют доказательства того, что их число во многом превосходит количество всех остальных чисел вместе взятых. Дело в том, что в отличие от прочих чисел, которые (теоретически) за достаточно долгое время можно пересчитать, счесть все трансцендентные числа просто невозможно.

Трансцендентные величины образуют множество } i — уровень бесконечности [14], превосходящий по мощности все остальные числа, которые входят в множество }о.

Некоторые математики утверждают, что рассмотренная числовая плоскость (рис. 19) является в действительности не сплошной, а пористой, и такие дырочки соответствуют трансцендентным числам. Множество алгебраических чисел, всех тех, что я вам показал, является счетным. Это означает, что целых чисел вполне достаточно (внимание, перед вами настоящая тайна!) для того, чтобы сосчитать не только все целые числа, но также все дроби, иррациональные, мнимые и комплексные числа. Вот куда заводит математическая логика.

Это свойство бесконечного многообразия: вы можете исключить из него бесконечное число бесконечных многообразий и при этом исходное многообразие ничуть не уменьшится [15].

Содержание раздела